Le particelle strane ed il modello a quark

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Lezione 12
La stranezza
La “stranezza”
•  Esperimenti coi raggi cosmici dimostrarono anche la
presenza di altre nuove particelle,
•  confermate da esperimenti agli acceleratori.
•  Vennero chiamate strane:
–  Prodotte con sezione d’urto forte
–  Decadimento con tempi tipici delle interazioni deboli
•  Si osservava che venivano sempre prodotte in coppie:
–  Un nuovo numero quantico: stranezza
–  Conservato nelle interazioni forti
–  Violato nelle interazioni deboli
•  Consistente con l’introduzione di un nuovo quark: s
–  Le interazioni deboli di questo quark apriranno la strada alla
sistematizzazione delle interazioni deboli degli adroni.
2
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Particelle strane
•  Nell’esposizione di camera a nebbia a raggi cosmici, si misero in
evidenza decadimenti di nuove particelle.
–  Si poteva ricavare il momento dalla curvatura in campo magnetico
–  Ma non sufficiente capacità di identificare la massa
Decadimento di una
particella neutra
Decadimento di una
particella carica
Rochester e Butler 1947
3
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Esercizio
P-
•  P- = 350 ± 150 MeV
θ
•  θ =
P+
θ
P+
P+T
•  P+ = 340 ± 100 MeV
PV
66.6o
•  PV = 600. ± 300 MeV
Pn
PnT
•  P+ = 770. ± 100 MeV
•  θ = 161.1o
•  Calcolare la massa invariante delle particelle che decade assumendo che le
particelle prodotte siano note:
•  cariche: p, µ, π±
•  neutre: n, ν, π0
•  Verificare se alcune delle combinazioni possono corrispondere a masse già note.
4
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Particelle strane
•  La sfida successiva era costruire rivelatori in grado di identificare
senza ambiguità la massa delle particelle osservate:
–  Esperimenti con camere a nebbia in alta montagna (es.: Pic du Midi)
–  Emulsioni nucleari in palloni
5
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Camera a nebbia
•  Il momento si misura tramite il raggio di curvatura
p =
mβ
1− β
2
= mγβ
•  β, o γβ, dalla Perdita di energia nella materia per ionizzazione: formula di
Bethe-Bloch
−
dE
Z 1
= Kz 2
dx
A β2
⎡ 1 2mec 2 β 2γ 2Tmax
δ⎤
× ⎢ ln
− β2 − ⎥
I
2⎦
⎣2
–  K = 0.307 MeV cm2
–  z carica della particella
•  Per gli eventi che stiamo discutendo
la regione importante è quella relativa a velocità “basse”
6
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Emulsioni nucleari
densità dei grani
−
dE
Z 1
= Kz 2
[ ... ]
dx
A β2
θ
θ rms =
7
13.6 MeV
x
z
βp
Xo
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Particelle strane
•  Numerose nuove particelle
•  Le nuove particelle sono pesanti: hanno diversi decadimenti possibili
•  Mesoni: mK + = 493.677 MeV
•  Iperoni:
K + → π +π +π −
K + → π +π 0
K+ →
µ +ν
K0
→ π +π −
mK 0 = 497.646 MeV
Λ0 →
pπ −
mΛ
= 1115.683 MeV
Σ+ →
pπ 0
mΣ+
=
Σ± → nπ ±
mΣ−
= 1197.449 MeV
mΞ−
=
Ξ− → Λ 0π −
1189.37
1321.31
MeV
MeV
•  Vite medie dell’ordine di 10-8-10-10 s:
–  Decadimenti deboli
•  Dal tasso di produzione si poteva evincere una sezione d’urto in
alluminio (involucro della camera a nebbia) dell’ordine del mb
–  La produzione è un processo forte
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Il numero barionico
•  Prima di procedere nella nostra discussione sulle particelle strane analizziamo la
conservazione del numero barionico
•  Il decadimento b del neutrone: n → p e- ν
–  Abbiamo un nucleone nello stato iniziale e uno nello stato finale
•  Sorge la domanda: perchè non esiste il decadimento p → e+ π0
•  Oppure: perchè non esiste la reazione e- p → π+ p•  La vita media del protone ( τp > 1.6 ×1033 anni ) è il risultato
degli studi più recenti
•  L’esperimento consiste nel tenere una grande massa “sotto osservazione”
•  Ad esempio 1 cm3 di ferro contiene ρ/A NAZ = 2.2 × 1024 nuclei/cm3
–  Un esperimento sensibile richiede pertanto: elevata massa (1000 ton)
e basso fondo (caverne, miniere)
•  L’elevato valore di τp suggerisce che il protone sia stabile
•  Dal momento che il neutrone decade in protone e i decadimenti degli iperoni
portano sempre ad un protone si stabilisce che:
–  Gli Iperoni sono Barioni
–  Il Numero Barionico è conservato: in una reazione o decadimento il numero dei
nucleoni è costante
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Produzione associata
• 
Nel 1953 il gruppo di Fowler a Brookhaven, utilizzando un fascio di π- di
1.5 GeV dell’acceleratore Cosmotron
osservò il seguente evento
• 
L’evento fu interpretato come
p → Λ0
π−
π+ π−
p π−
π-
• 
• 
K0
L’importanza di questo evento fu la
dimostrazione della produzione associata delle particelle strane
Nello stesso esperimento il gruppo di
Fowler osservò anche il decadimento
π−
π- Λ0
• 
p
p → Σ−
K+
n π−
π+
10
K0
π-
L’osservazione della produzione associata porta all’ipotesi che ci sia una
quantità conservata:
–  la stranezza
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Isospin e stranezza: iperoni
•  Per spiegare tutte le osservazioni, Gell-Mann e Nishijima
proposero:
–  un numero quantico additivo: la stranezza
Q
–  nelle interazioni forti la stranezza è conservata
p 1
–  nelle interazioni deboli la stranezza non è
n 0
conservata: |ΔS|=1 nei decadimenti
Λ0 0
•  Includendo la stranezza, la relazione per la
+
Σ 1
carica deve venire modificata:
0
Σ 0
B S
Y
Σ
-1
Q= + +I = +I
2
2
3
2
3
–  dove si è introdotta l’iper-carica Y=B+S
11
-
𝝣
0
𝝣
B
1
1
1
1
1
1
-1 1
0 1
S
0
0
-1
-1
-1
-1
-2
-2
T T3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
0
-1
- 12
1
2
1
2
0
1
1
1
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Isospin e stranezza: mesoni
•  Innanzitutto consideriamo la reazione
π
0
–  Assumendo che nella interazione forte
la stranezza sia conservata dobbiamo
concludere che il mesone K0 ha S = +1
•  Per quanto riguarda l’Isospin assumiamo che
esso sia conservato nella reazione di produzione
–  Deve essere semintero
–  Assumiamo che il K0 abbia Isospin T = ½
K0
•  La formula per la carica applicata al
implica
che esso è il membro T3 = -½ di un doppietto
–  Il membro T3 = +½ deve avere carica +1 ed è
pertanto il mesone K+
p → Λ0
pπ-−
1
Q=
0
–  Anch’esso deve avere Isospin T = ½
–  Deve esserci anche un partner neutro: K0
•  Le particelle K0 e K0 sono distinte:
hanno stranezza differente
•  In definitiva i numeri quantici dei mesoni sono
S
−1
K0
1
0
0
pp Æ
→ L
Λ0 K
K0
1
2
T
0
1
2?
B S
1
+ + T3 → 0 = + T3
2 2
2
+
•  Il mesone K- è l’antiparticella del K+
12
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−
π
0
π
π
K+
0
K
0
K
K-
Q
1
0
-1
1
0
0
-1
B S
0 0
0 0
0 0
0 1
0 1
0 -1
0 -1
T
1
1
1
T3
1
0
-1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
-
1
2
1
2
-
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Decadimenti delle particelle strane
•  Le particelle strane decadono tramite interazione debole violando la
conservazione della stranezza
•  Le prime particelle strane studiate sono anche le più leggere
–  Possono decadere soltanto in particelle “normali” con S = 0
–  La violazione della stranezza proibisce che l’interazione sia forte
•  Infatti i seguenti decadimenti
Λ → N
K
Σ → N
K
Ξ → Λ K
Σ → Λ π
Ξ → Σ K
–  Sarebbero permessi dalla conservazione della stranezza
–  Sono proibiti dalla conservazione della energia
•  Il decadimento
Σ0
→ Λ0 γ
•  è invece permesso sia dalla conservazione della stranezza che dalla
conservazione dell’energia
–  avviene tramite interazione elettromagnetica
13
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Interpretazione nel modello a quark
•  Il modello a quark si può estendere con l’aggiunta di un nuovo quark:
–  s: stranezza S=-1, B=1/3, Y=-2/3, I=I3=0 ⇒ Q = -1/3
–  massa ms ~ mK-mπ = 360 MeV
•  Gli adroni sono stati legati dei 3 quark u, d, s
•  Come esempio notiamo la composizione dei seguenti adroni:
p = ( uud )
Λ = ( uds )
π − = ( ud )
0
K = ( ds )
•  Veniamo alla reazione π-p → Λ0 K0
–  I quark u e u si annichilano tramite
interazione forte (gluone) e producono
successivamente quarks s e s
•  Per il decadimento
Λ0
→
π-p
–  Il quark s si trasforma in u tramite
interazione debole (emissione W-)
14
d
u
u
d
u
s
Λ0
−u
d
s
d
K0
d
0u
s
d
u
u
p
u
d
π−
p
π
Λ
g
W
-
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SU(3) di sapore
•  Reiteriamo l’idea che le interazioni forti sono independenti dalla carica
dei quark:
–  sia elettrica
–  che di ipercarica
•  Invarianza rispetto a rotazione nello spazio di tre stati |u⟩, |d⟩, |s⟩
–  gruppo SU(3)
•  La massa delle particelle strane ≫ particelle ordinarie:
–  la simmetria è meno buona di quella di isospin
Y
d
2
3
u
1
3
− 12
− 12
1
2
15
s
1
2
T3
T3
u
− 23
Y s
− 13
d
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Gruppi SU(N)
•  Per definizione, una matrice n×n del
gruppo U(N) soddisfa la relazione
UU † = I
•  L’equazione precedente implica n×n relazioni fra gli n×n elementi di matrice
•  Pertanto dei 2×n×n parametri reali solo
2×n×n - n×n = n×n sono indipendenti
•  La richiesta poi che il determinante sia 1
(cioè appartenga al gruppo SU(N) ) riduce
di un’altra unità questo numero
•  Pertanto i parametri indipendenti dei 2
gruppi più importanti per la fisica delle
particelle sono
–  SU(2)
3 parametri reali
–  SU(3)
8 parametri reali
•  Veniamo alle rappresentazioni:
–  Una rappresentazione è un omomorfismo di un gruppo con un gruppo di
matrici definite su uno spazio vettoriale di dimensione n
16
• 
• 
–  I fisici spesso chiamano rappresentazione i vettori dello spazio vettoriale
Tutti i gruppi hanno una rappresentazione
banale di dimensione 1 che corrisponde
all’elemento 1
La dimensione della rappresentazione di
dimensione più piccola successiva dipende
dal gruppo
–  SU(2): è realizzata su uno spazio
vettoriale di dimensione 2
•  Coincide con la rappresentazione
coniugata delle matrici U*
•  Una sola rappresentazione: 2
–  SU(3): è realizzata su uno spazio
vettoriale di dimensione 3
•  Non coincide con la rappresentazione coniugata delle matrici U*
•  Due rappresentazioni: 3 e 3
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La rappresentazione 3 di SU(3)
•  Le 8 matrici della rappresentazione 3
(matrici di Gell-Mann) sono:
⎛ 0 1 0 ⎞
⎛ 0 −i 0 ⎞
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
λ1 = 1 0 0 λ2 = i 0 0 λ3 = ⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
•  Si definiscono gli operatori T3 e Y
Y = 13 λ8
T3 = 12 λ3
•  Comportamento sulla base
⎛ 0 0 1 ⎞
⎛ 0 0 −i ⎞
⎛ 0 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
λ 4 = 0 0 0 λ5 = 0 0 0
λ =⎜ 0 0 1 ⎟
⎜ 1 0 0 ⎟
⎜ i 0 0 ⎟ 6 ⎜ 0 1 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 0 0 0 ⎞
λ7 = ⎜ 0 0 −i ⎟
⎜ 0 i 0 ⎟
⎝
⎠
• 
• 
17
⎛
⎞
1 ⎜ 1 0 0 ⎟
λ8 =
0 1 0
3 ⎜⎝ 0 0 −2 ⎟⎠
⎡ 8
⌢ ⎤
⌢
La generica rotazione: U = exp ⎢ i∑α n λn ⎥
⎢⎣ n=1
⎥⎦
⌢ ⌢
⌢
Le regole di commutazione: ⎡⎣ λi , λ j ⎤⎦ = 2ifijk λk
ijk
123
fijk
ijk fijk
246 12
ijk
367
147
1
2
257
1
2
458
156
− 12
345
1
2
678
1
fijk
− 12
⎛ 0 ⎞
⎛ 0 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
u = 0
d = 1
s =⎜ 0 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
T3 u = 12 u
Y u = 13 u
T3 d = − 12 d
Y d = 13 d
T3 s = 0 s
Y s = − 23 s
Y
d
− 12
1
2
3
2
3
2
u
1
3
− 23
T3
s
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Operatori di SU(3)
•  Abbiamo finora visto il comportamento degli
stati per gli operatori T3 e Y
•  Definiamo per comodità gli operatori
Fi = 12 λi
• 
• 
[T3,T± ] = ±T±
[Y,T± ] = 0
[T3,U± ] = ∓ 12 U± [Y,U± ] = ±U±
[T3,V± ] = ± 12 V± [Y,V± ] = ±V±
•  Gli operatori F1, F2, F3 ≡ T3 hanno le stesse
regole di commutazione dell’isospin
[ Fi, Fj ] = ifijk Fk
•  fijk è totalmente antisimmetrico e f123 = 1 e
coincide pertanto con εijk
•  Infatti riconosciamo le matrici di Pauli
• 
⎛ 0 1 0 ⎞
⎛ 0 −i 0 ⎞
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
λ1 = 1 0 0 λ2 = i 0 0 λ3 = ⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
• 
•  Definiamo pertanto gli operatori di innalzamento e abbassamento
•  In modo analogo si definiscono gli operatori
V3 =
18
1
2
( F3 +
3F8 )
permettono di calcolare il
comportamento degli operatori V± e U±
nel piano Y-T3
Ad esempio U+ applicato ad un autostato
di T3 con autovalore α produce uno stato
con autovalore α - ½
T3U+ α
T± = F1 ± iF2
V± = F4 ± iF5
Le regole di commutazione fra questi
nuovi operatori sono facilmente
derivabili
In particolare le regole
U± = F6 ± iF7
U3 =
1
2
( −F3 +
3F8 )
= (U+T3 − 12 U+ ) α
= αU+ α − 12 U+ α
• 
= (α − 12 )U+ α
Analogamente U+ applicato ad un autostato di Y produce uno autostato con un
autovalore aumentato di una unità
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La rappresentazione 3* di SU(3)
•  Analogamente si può studiare la
rappre-sentazione coniugata in cui
generatori sono
⌢
⌢
λn → −λn*
•  Riportiamo per brevità solo gli
operatori λ3 e λ8
−λ3*
⎛ −1 0 0 ⎞
=⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
−λ8*
⎛
⎞
1 ⎜ −1 0 0 ⎟
=
0 −1 0
3 ⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠
•  Abbiamo
T3 u = − 12 u
Y u = − 13 u
T3 d = 12 d
Y d = − 13 d
T3 s = 0 s
Y s = 23 s
•  Rappresentiamo sul piano Y-T3 i 3
stati
•  Definiamo nuovamente
Y =−
1 λ*
3 8
T3 =
2
3
− 12 λ3*
− 12
•  Studiamo infine l’effetto dei
generatori diagonali sulla base
⎛
u =⎜
⎜
⎝
19
⎛ 0 ⎞
⎛ 0
1 ⎞
0 ⎟ d =⎜ 1 ⎟ s =⎜ 0
⎜ 0 ⎟
⎜ 1
0 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
Y s
1
2
T3
u
⎞
⎟
⎟
⎠
− 13
d
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Ottupletto mesonico
• 
• 
• 
Nel modello a quark i mesoni sono uno stato
legato di un quark e di un antiquark
Per i 3 “sapori” (flavors) esistono 9 possibili
combinazioni q + anti-q
Gli stati con I3=Y=0 sono combinazioni lineari
che hanno i numeri quantici corrispondenti a
stati fisici:
1
2
(uu − dd ) = π 0
T =1
T3 = 0
1
6
(uu + dd − 2ss ) = η
T =0
T3 = 0
1
3
• 
• 
Singoletto di SU(3)
(uu + dd + ss ) = η '
T =0
T3 = 0
In realtà, siccome SU(3) è rotta dalla massa di s
gli stati reali sono combinazioni di questi.
Specialmente nel caso dei mesoni vettoriali 1-1
2
(uu − dd ) = ρ 0,
1
2
(uu + dd ) = ω
ss = φ
20
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Classificazione dei barioni
•  Anche nel caso dei barioni si possono classificare gli stati possibili in
termini di I3 ed ipercarica: Y=(B+S)/2
•  Gli stati fondamentali corrispondono ad un ottetto ed un decupletto.
21
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La scoperta del barione Ω•  Un significativo successo del modello a quark fu la predizione
dell’esistenza di uno stato (sss):
–  B=1, I=0, S=-3, Q=-1
–  Scoperto nel 1964 in un esperimento in camera a bolle
22
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Decadimento dei mesoni K
• 
Applichiamo lo stesso approccio del decadimento β
ai mesoni K:
λ=
2 5
2
(m c ) f ( Z,Q)
2π !
GF2 M fi
e
3
• 
Nel caso Q≫me, si ha che
Q5
2 5
( mec ) f ( Z,Q ) ≈ 30
• 
Nel caso del decadimento
K 0 → π + + e− + ν e
mK − mπ = 497.6 −139.6 MeV
M fi ≈ π + V+ K 0 = 1
• 
–  approssimazione peggiore di quella per i
decadimenti super-permessi:
–  non potrei trascurare i fattori di forma f(q2)
–  simmetria rotta da ms
Q valore
Da cui otteniamo
5
(
)
Γ K 0 → π + + e− + ν e =
23
Gs2 mK − mπ
(
60π 3
)
τ K0 = (5.116 ± 0.021) ×10−8 s
L
(
) (
BR K L0 → π +e −ν e = 40.55± 0.11 %
)
Usando queste semplificazioni:
Gs = 0.13×10−5 GeV −2
Molto minore di GF.
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L’angolo di Cabibbo
•  Facendo un trattamento accurato dei fattori di forma nei decadimenti
delle particelle strane, si ottiene:
Gs / GF = 0.2252 ± 0.0009
•  Dai decadimenti β, abbiamo visto che Gβ / GF = 0.98563± 0.00013
•  I dati sperimentali ci forniscono l’informazione che
Gβ2 + Gs2 = GF2
•  che può anche venire riscritta introducendo un angolo θC (angolo di
Cabibbo):
GF2 cos 2 θC + GF2 sin 2 θC = GF2
•  Ciò permette di conservare l’universalità delle interazioni deboli
assumendo che il quark che partecipa alle interazioni deboli sia:
u ↔ d ʹ = cosθ c d + sin θ c s
Gβ/GF
24
Gs/GF
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Il quarto quark
•  La teoria di Cabibbo presenta una forte asimmetria tra il quark u da una parte e
la combinazione lineare di d ed s dall’altra:
u ↔ d ʹ = cosθ c d + sin θ c s
•  Ciò portò a supporre l’esistenza di un quarto quark, il charm (c)
–  Nuovo numero quantico, C: conservato nelle interazioni forti ed elettromagnetiche,
violato nelle deboli
–  Y=B+S+C e Q(c)=+2/3
⎛ cosθ c sin θ c ⎞ d
•  Probabilità di transizione nei decadimento deboli,
u
c
) ⎜⎝ −sinθc cosθc ⎟⎠ s
(
mediata da una matrice di mescolamento:
σ and R in e e Collisions
•  Quark effettivamente scoperto nel 1974, con mc~1.6 GeV
49. Plots of cross sections and related quantities
( )
5
+ −
-2
10
ω
φ
J/ψ
-3
10
ψ(2S)
Υ
ρ′
ρ
-4
σ ( e+e− → adroni )
Z
σ [mb]
10
-5
10
-6
10
cc
Risonanze
-7
10
-8
10
2
1
25
10
3
10
10
Υ
J/ψ
ψ(2S)
Z
√s [GeV]
Z
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 12
A. Andreazza - a.a. 2015/16
I quark
• 
• 
• 
– 
49. Plots of cross sections and related quantities
5
σ and R in e+ e− Collisions
I quark possono essere classificati in
famiglie, come i leptoni.
Nel 1977 venne scoperto anche un quinto
quark b (bottom or beauty)
–  Q=-1/3, mb ~5 GeV
Il suo partner top (t) osservato solo nel
1995
•  Q=+2/3, mt ~175 GeV
Diversamente dai leptoni, le transizioni
deboli sono mediate dalla matrice di
Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)
-2
10
ω
φ
J/ψ
-3
10
ψ(2S)
Υ
ρ′
ρ
-4
σ ( e+e− → adroni )
σ [mb]
-5
10
• 
• 
-6
10
Risonanze bb
-7
10
-8
10
2
1
26
VCKM
Z
10
10
3
10
10
Υ
J/ψ
ψ(2S)
Z
√s [GeV]
⎛Vud
⎜
= ⎜Vcd
⎜V
⎝ td
Vus Vub ⎞
⎟
Vcs Vcb ⎟
Vts Vtb ⎟⎠
Matrice unitaria
Transizioni sempre più improbabili
all’aumentare della differenza di
massa.
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 12
A. Andreazza - a.a. 2015/16