Modelli nucleari

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Lezione 3
Modelli nucleari
MODELLO A GOCCIA
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 3
A. Andreazza - a.a. 2015/16
Modello a goccia
•  Primo modello, suggerito da Bohr, che cerca di
sistematizzare le osservazioni:
–  incompressibilità della materia nucleare (R
–  breve range delle forze (B.E. A)
A1/3)
•  Ispirato ad una goccia di liquido, tenuta insieme dalla
forze inter-molecolari:
–  descrive l’andamento generale dell’energia di legame
–  necessita dell’introduzione di termini fenomenologici per
descrivere alcune caratteristiche osservate.
–  formula semiempirica di Bethe-Weizsacker
2
3
B.E. ( A, Z ) = −a1A + a2 A + a3
3
Z2
A
1
3
3
N − Z )2
(
+ a4
± a5 A− 4
A
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La formula di Bethe-Weizsäcker
B.E. ( A, Z ) = −a1A + a2 A
a1 = 15.753 MeV
a2 = 17.804 MeV
2
3
•  Il primo termine rappresenta l’energia dovuta all’interazione a
corto range di tra nucleoni vicini:
–  proporzionale al numero di nucleoni interagenti
–  ed al volume
~A
•  Il secondo termine positivo è una correzione al primo ed è
proporzionale alla superficie del nucleo
–  i nucleoni interni hanno vicini in tutte le direzioni ~ A 23
–  i nucleoni sulla superficie interagiscono solo con
quelli interni e quelli sulla superficie
–  La correzione all’energia di legame media è più rilevante per nuclei
leggeri e spiega l’aumento di B/A per basse masse.
4
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La formula di Bethe-Weizsäcker
2
3
B ( A, Z ) = −a1A + a2 A + a3
a1 = 15.753 MeV
a2 = 17.804 MeV
a3 = 0.7103 MeV
Z2
A
1
3
•  Il terzo termine è dovuto alla repulsione elettrostatica
– 
– 
– 
– 
è inversamente proporzionale al raggio del nucleo
~
A
2
è proporzionale a Z e può essere calcolato
per alti valori di A favorisce l’eccesso dei neutroni sui protoni
descrive la decrescita di B/A per i nuclei con grande numero atomico
•  Ordine di grandezza:
2
–  energia potenziale di una sfera carica uniformemente:
2
3 !c Z 2
3 e2 Z 2
3 ( Ze )
=
α
=
E=
5 r0 A1/3
5 4πε 0 r0 A1/3 5 4πε 0 r0 A1/3
3 !c
a3 ≈ α
5 r0
5
1
3
≈ 0.6
3 ( Ze )
E=
5 4πε 0 R
1 200 MeV ⋅ fm
= 0.73MeV
137
1.2 fm
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La formula di Bethe-Weizsäcker
2
3
B.E. ( A, Z ) = −a1A + a2 A + a3
Z2
1
N − Z )2
(
+ a4
a1
a2
a3
a4
= 15.753 MeV
= 17.804 MeV
= 0.7103 MeV
= 23.69 MeV
A
A3
•  Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico
e vengono introdotti fenomenologicamente.
•  Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono
più stabili quando c’è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z
–  descrive la valle di stabilità
–  Principio di esclusione di Pauli: due particelle con s=1/2 non possono
avere gli stessi numeri quantici.
7
0n
6
7
1H
7
2He
7
3Li
7
4 Be
7
5B
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La formula di Bethe-Weizsäcker
2
3
B.E. ( A, Z ) = −a1A + a2 A + a3
Z2
a1
a2
a3
a4
a5
N − Z )2
(
− 43
+ a4
± a5 A
1
A
A3
•  Il quinto termine tiene conto del pairing degli spin
–  è nullo per A dispari
–  è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari)
–  è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari–dispari)
Preferito
Eccezione sono i nuclei leggeri
7
=
=
=
=
=
15.753 MeV
17.804 MeV
0.7103 MeV
23.69 MeV
33.6 MeV
Sfavorito
2
1H
6
3L i
10
5B
14
7N
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La valle di stabilità β
•  La formula dell’energia di legame
presenta una evidente regione di
stabilità (stabilità β)
B
–  Per un dato valore di A l’energia di
legame è una parabola al variare di Z
2
3
B ( A, Z ) = −a1A + a2 A + a3
Z2
1
A3
3
A − 2Z )2
(
+ a4
± a5 A− 4
A
A
•  Il punto di minimo si trova semplicemente
∂B ( A, Z )
∂Z
= 2a3
A=cost
Z=
Z
A
1
3
− 4a4
A − 2Z
=0
A
Z
Z
2a4 A
2
a3 A 3 + 4a4
•  La formula ha i due valori limite:
"
A
$
$
2
Z →#
$ 2a4 A 13
$% a3
8
piccoli A
grandi A
A
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Decadimento doppio β
2
3
B ( A , Z ) = - a1A + a2A + a3
Z2
1
A3
+ a4
( A - 2Z )2
A
± a5A -
3
4
•  Per un nucleo con A dispari il termine a5 è nullo
–  L’energia in funzione di Z è una parabola
•  Un nucleo con A pari può essere
–  pari-pari a5 < 0
–  dispari-dispari a5 > 0
•  Pertanto in quest’ultimo caso ci sono due possibili
parabole
•  I casi del tipo Cd – In - Sn sono molto interessanti
–  È possibile un decadimento β doppio
A
ZX
→
A
Z−2 X
+ e− + e− + ν e + ν e
•  È di grande interesse la ricerca di decadimenti
doppio β senza neutrini
• 
Figura da:
Basdevant, Rich, Spiro – Fundamentals in nuclear physics – Springer 2005
9
Z
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60
Differenze tra
energia di legame
misurata e calcolata in un modello a goccia più
recente.
80
100
Z
Confronto dati-stime (http://arxiv.org/abs/1508.06294)
40
(arXiv 1508.06294)
20
Numeri
Magici
20
10
40
60
80
100
120
140
N
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MODELLO A SHELL
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Modello a shell
•  Nel modello a shell si assumono
i nucleoni all’interno di un
potenziale efficace prodotto
dagli altri nucleoni.
–  definizione dei livelli energetici
–  spin e momenti magnetici
–  momento di quadrupolo elettrico
Maria Goeppert Mayer
J. Hans D. Hensen
Nobel 1963
•  Approccio simile alle strutture a shell degli atomi,
•  ma con significative differenze
–  potenziale a breve range
–  non esiste il potenziale coulombiano del nucleo: i nucleoni producono
e subiscono il potenziale
–  interazioni spin-spin e spin-orbita molto più rilevanti
12
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2
⎛ e 2 ⎞2 mec 2
2 me c
En = ⎜
=
α
⎟
2(n + l)2
⎝ 4πε 0 !c ⎠ 2(n + l)2
–  stati degeneri con diverso momento
angolare
•  La degenerazione è rimossa quando si
considerano perturbazioni al puro
potenziale 1/r:
–  presenza di altri elettroni che
modificano il potenziale
–  interazione spin-orbita (splitting fine)
•  Energia di legame e dimensione
atomica (R decresce all’aumentare di
Z) presentano transizioni brusche
quando si passa al livello successivo
13
Z
Energia ionizzazione [eV]
•  Nel modello dell’atomo di idrogeno,
l’energia dipende dalla somma n+l
Raggio atomico [nm]
Modello a shell atomico
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Modello a shell atomico
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Potenziale nucleare
•  Il potenziale di base riflette la densità di materia
all’interno del nucleo:
V (r) =
−V0
1 + exp [ (r − R) / a ]
–  V0: profondità della buca
–  R: estensione del nucleo
–  a: dimensione dello strato superficiale
Compaionio salti a certi
valori di nucleoni:
•  Numeri magici
Non sono però corretti:
•  40, 58, 92, 112 non
sono magici
•  mancano 28, 50,
82,126
15
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Interazione tra momenti magnetici
•  Un momento magnetico, immerso in un campo magnetico acquista
un’energia potenziale:
U = −µ ⋅ B
•  A sua volta genera un campo magnetico:
B=
µ0 ⎡ 3 ( µ ⋅ r̂ ) r̂ − µ ⎤
⎥⎦
4π ⎢⎣
r3
•  L’interazione tra due dipoli è dunque della forma:
U =−
µ0 ⎡ 3 ( µ1 ⋅ r̂ ) ( µ 2 ⋅ r̂ ) − µ1 ⋅ µ 2 ⎤
⎥⎦
4π ⎢⎣
r3
•  Come ordine di grandezza dell’interazione:
U≈
– 
µ0 µ N2
4π 3
r
= 10
−14
−13
3
×10
MeV/T
1.6
×10
J/MeV )
(
−7
per elettroni atomici:
6 ×10
µ0 µ B2
(
−7
U≈
= 10
4π r 3
16
(1.6 ×10
−11
−15
2
= 6 ×10−16 J
3
m)
MeV/T 1.6 ×10−13J/MeV )
(1. ×10−10 m)3
= 3.4keV
2
= 0.9 ×10−21 J= 6 ×10−3 eV
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Interazione spin-orbita
• 
Un nucleone in uno stato con
momento orbitale L, genera un
momento magnetico:
µ L = µN
– 
• 
analogamente si può vedere, nel
sistema di quiete del nucleone,
come il momento generato dal
resto del nucleo che orbita
attorno al nucleone.
Questo interagirà con lo spin dle
nucleone a dare un termine
energetico:
U ∝−
• 
L⋅s
!2
Ogni livello si divide in due
sottolivelle con momento angolare
totale:
J =l+s
17
L
!
J =l−s
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Interazione spin-orbita
•  Risulta energeticamente favorevole l’allinenamento di spin e momento
angolare orbitale.
L ⋅ s 1⎡ 2
1
2
2⎤
=
J
−
L
−
s
=
[ J(J + 1) − l(l + 1) − s(s + 1) ]
•  Il valore:
⎣
⎦
2
!
2
2
•  La separazione tra i livelli:
⎛ L⋅s⎞
Δ ⎜ 2 ⎟ = Jl+s ( Jl+s + 1 ) − Jl−s ( Jl−s + 1 ) = ( l + 1 ) ( l + 3 ) − ( l − 1 ) ( l + 1 ) = 2 ( l + 1 )
2
2
2
2
2
⎝ ! ⎠
–  aumenta all’aumentare di L
–  gli splitting dei livelli con L grande giustifiano i numeri magici effettivamente
osservati.
•  Interazione spin-spin
–  come abbiamo visto nell’interazione nucleone-nucleone ci deve
essere anche un termine di accoppiamento spin-spin di due nucleoni:
energia di pairing.
–  questo favorisce l’anti-allineamento dei due spin, risultando in uno
stato con spin totale 0
–  tutti i nuclei pari-pari hanno stato fondamentale con J=0.
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Momento di dipolo magnetico
•  Nei nuclei con A-dispari, spin e momento magnetico sono determinati dal
nucleone “spaiato”
•  Ripetendo il discorso fatto per il deutone:
µ = gµ N
J
L
s
= gl µ N + gsµ N
!
!
!
•  Per determinare il coefficiente giromagnetico, si può moltiplicare per J/ħ:
J2
L⋅J
s⋅J
g 2 = gl 2 + gsµ N 2
⎡ ⎛
⎞ ⎤
1
!
!
!
g
l(l
+
1)
+
[
j(
j
+
1)
−
l(l
+
1)
−
s(s
+
1)]
⎜
⎟ ⎥
l
⎢
⎠
2
1 ⎡ L2 + L ⋅ s
s2 + s ⋅ L ⎤ = 1 ⎢ ⎝
⎥
g=
+ gsµ N
⎢ gl
⎥
2
2
j(
j
+
1)
j( j + 1) ⎣
⎢ +g ⎛ s(s + 1) + 1 [ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] ⎞ ⎥
!
!
⎦
⎟⎥
⎢⎣ s ⎜⎝
⎠⎦
2
⎡ ⎛
⎛
1
3⎞
3 ⎞⎤
=
g
j(
j
+
1)
+
l(l
+
1)
−
+
g
j(
j
+
1)
−
l(l
+
1)
+
⎜
⎟
⎜
⎟
l
s
⎝
2 j( j + 1) ⎢⎣ ⎝
4⎠
4 ⎠ ⎥⎦
–  j=l+1/2
–  j=l-1/2
19
1⎡ ⎛
1⎞ 1 ⎤
g = ⎢ gl ⎜ j − ⎟ + gs ⎥
j⎣ ⎝
2⎠ 2 ⎦
⎤
1 ⎡ j( j + 3 / 2) 1 j
g = ⎢ gl
−
gs ⎥
j⎣
j +1
2 j +1 ⎦
µ = gjµ N
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Eccitazioni collettive
•  Per nuclei grandi il modello a shell riduce il suo valore
predittivo.
•  Eccitazioni dei nucleoni più esterni possono trasferirsi
agli orbitali meno legati ed eccitare movimenti degli
altri nucleoni
•  Modi vibrazionali:
–  E=(n+1/2)ħω
–  ΔE=ħω
•  Modi rotazionali
–  E=L2/2I
–  ΔE=[l(l+1)-(l-1)l]ħ2/2I=lħ2/I
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