ק וו נ ט

‫תרגילים במכניקה קוונטית‬
‫‪10-00‬‬
‫‪13-00‬‬
‫‪16-00‬‬
‫‪20-00‬‬
‫‪23-00‬‬
‫‪25-00‬‬
‫‪28-00‬‬
‫‪30-00‬‬
‫‪35-00‬‬
‫‪40-00‬‬
‫‪42-00‬‬
‫‪44-00‬‬
‫‪46-00‬‬
‫‪48-00‬‬
‫‪50-00‬‬
‫‪55-00‬‬
‫‪60-00‬‬
‫‪70-00‬‬
‫‪73-00‬‬
‫‪76-00‬‬
‫‪78-00‬‬
‫‪80-00‬‬
‫‪85-00‬‬
‫‪90-00‬‬
‫‪95-00‬‬
‫חזרה על אלגברה לינארית‬
‫מערכות בעלות מימד הילברט סופי‬
‫ההגדרה של אופרטור התנע‬
‫מצבי ם סטציונריי ם של חלקיק בקופסא‬
‫טרנספורמציות‪ ,‬אינוריאנטיות‪ ,‬סימטריות‬
‫תורת פיזור )אלמנטרי(‬
‫תורת פיזור‪ :‬שיטת היסטי הפאזה‬
‫חלקיק בגאומטרית אהרונוב‪-‬בוה ם )טבעת(‬
‫חלקיק בשדה מגנטי א חיד‬
‫חבורות לי‪ ,‬יוצרי ם‪ ,‬אלגברת לי‬
‫בניית ההצגות של חבורת הסיבובי ם‬
‫סיבובי ם ‪" -‬ספיני ם"‬
‫סיבובי ם ‪" -‬פונקציות גל"‬
‫חיבור תנע זויתי‬
‫אופרטורי ם וקטוריי ם‪ ,‬אפקט זימן‬
‫אינטראקצית ספין‪-‬מסילה‬
‫תורת הפרעות למצבי ם קונטיי ם קשורי ם‬
‫דינמיקה קוונטית‬
‫תורת הפרעות לאבולוציה בזמן )אלמנטרי(‬
‫כלל הזהב של פרמי‬
‫קרוב בורן ל חתך הפעולה‬
‫הפרופגטור‪ ,‬הרזולבנט‪ ,‬פונקציות גרין‬
‫תורת הפרעות פורמאלית‬
‫תורת פיזור פורמאלית‬
‫קוונטיזציה שנייה‬
‫במאגר כלולי ם פתרונות שהוגשו על ידי סטודנטי ם ושנ חשבי ם סבירי ם בעיני המרצה‪ .‬במקרי ם מסוימי ם בוצעו תיקוני ם‬
‫או נוספו הערות על ידי המרצה או המתרגל‪ .‬א ם נותרו שגיאות הן לא מהותיות וניתן בקלות לאתרן‪ .‬מאידך פתרונות‬
‫רבי ם נותרו מסורבלי ם ללא הצדקה‪ .‬פתרון אופטימלי אמור להיות די קצר‪ .‬המרצה הוא עצלן ואינו אוהב ל חבר בעיות‬
‫שדורשות פתרון ארוך או עבודה ש חורה‪ .‬לצד כל שאלה רשו ם התאריך של המב חן עבורו היא חוברה‪ .‬ניתן למצוא‬
‫במאגר ג ם את התשובות הסופיות )ללא דריבציה( שסיפק המרצה בעת חיבור השאלות‪ .‬לעיתי ם הפתרונות נסרקו ורק‬
‫א חר כך נבדקו ודובגו על ידי המתרגל והמרצה‪ .‬מן הסת ם רוב השגיאות דוו חו בפורו ם בעת פרסו ם או בדיקת‬
‫הפתרונות‪ .‬כמו כן יכולות להיות אי התאמות שנובעות משדרוג של שאלות לצורך תירגולי ם‪.‬‬
‫)‪ (1020‬מטריצות פאולי‬
‫מטריצות פאולי‪ ,‬לרבות מטריצת הי חידה‪ ,‬מוגדרות להיות‪:‬‬
‫מטריצות פאולי ומטריצת הי חידה מהווי ם בסיס של ם למטריצות ‪2x2‬‬
‫בהנתן אופרטור‬
‫מגדירי ם את היצוג שלו באמצעות הפיתו ח‬
‫‪ .1‬רשו ם את המטריצות האלו בכתיב דיראק‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫ואת‬
‫‪ .2‬הבע את‬
‫‪ .3‬הכלל את הנוס חא למקרה הכללי‪ :‬חישוב‬
‫‪.‬‬
‫של שני אופרטורי ם‬
‫)‪ (1025‬אופרטורי היטל כבסיס להצגה‬
‫המצבי ם‬
‫על‬
‫אופרטורי ההיטל‬
‫מימדי‪.‬‬
‫מהווי ם בסיס של ם להצגת האופרטורי ם מעל מר חב הילברט‬
‫רשו ם את האופרטור המיוצג על ידי המטריצה שלהלן באמצעות אופרטורי היטל כאלה‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬בשלב ראשון הגדר מטריצות פאולי מוכללות‬
‫‪.‬‬
‫ורשו ם את האופרטור ‪ A‬באמצעות‬
‫)לא נדרשת כאן שו ם עבודה אלגברית(‪.‬‬
‫בשלב שני בטא את התוצאה באמצעות אופרטורי ההיטל‪.‬‬
‫)‪ (1040‬זהויות מאלגברה לינארית ‪focus question‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ .5‬הביטוי ל‬
‫‪ .6‬זהות יעקובי‬
‫עבור מטריצה אוניטרית‬
‫בעזרת כתיב דיראק‪ ,‬באשר‬
‫‪.‬‬
‫היא פונקציה כלשהיא‪.‬‬
‫)‪ (1060‬שינוי בסיס של וקטור‬
‫נתון מר חב הילברט הנפרש על ידי הבסיס האורתונורמלי‬
‫מגדירי ם בסיס אורתונורמלי חדש‬
‫נתון כי‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫יהיה מנורמל?‬
‫מה התנאי לכך שהמצב‬
‫כך שהבסיס ה חדש יהיה אורתונורמלי‪.‬‬
‫הגדר את המצב‬
‫יצג בבסיס הסטנדרטי את אופרטורי ההיטל על מצבי הבסיס ה חדש‪.‬‬
‫ציין הא ם יש חופש בתשובות לסעיפי ם )‪ (2‬ו‪.(3)-‬‬
‫רשו ם את מטריצת המעבר מהבסיס הישן לבסיס ה חדש‪.‬‬
‫בבסיס ה חדש‪.‬‬
‫בטא את‬
‫)‪ (1080‬לכסון של מטריצת ההזזה‬
‫‪1. Write the displacement operator for N=3 site system‬‬
‫‪2. Find the eigenvalues from the characteristic equation.‬‬
‫‪3. Find a set of eigenvectors.‬‬
‫‪4. Write the displacement operator for N=4 site system‬‬
‫‪5. Write the eigenvalues $k_n$ using results of the lecture.‬‬
‫‪6. Write explicitly what are the corresponding eigenvectors.‬‬
‫)‪ (1140‬לכסון אופרטורים‬
‫נני ח כי בבסיס מסוי ם האופרטורי ם‬
‫ו‬
‫מיוצגי ם ע"י המטריצות‬
‫‪ .1‬הא ם ל יש ע"ע מנווני ם?‬
‫חילופיי ם‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה כי ו‬
‫אלכסוניי ם בו‪-‬זמנית‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא בסיס חדש בו ו‬
‫)‪ (1200‬התמרות פוריה של פונקציות פ שוטות‬
‫מצא את התמרות פוריה של‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫גאוסיאן ולורנציאן‪.‬‬
‫דלתה מוזזת‪.‬‬
‫שני "סדקי ם" המיוצגי ם על ידי שתי פונקציות דלתה‪.‬‬
‫סריג חד מימדי )"מסרק"( על ידי שימוש ב‪-‬‬
‫סריג ריבועי )דו מימדי( המורכב מדלתאות‬
‫)‪ (1210‬התמרות פוריה של פונקציות מוכללות‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.‬‬
‫של פונקצית מדרגה‬
‫מצא את התמרת פוריה‬
‫מצא את התמרת פוריה של הפונקציה‬
‫על ידי סגירה של קונטור האינטגרציה במישור הקומפלקסי‬
‫קבל את התמרת פוריה ההפוכה של‬
‫על ידי הפרדת האינטרגל לסכו ם של חלק ראשי ‪ +‬תרומת חצי קשת‪.‬‬
‫קבל את התמרת פוריה ההפוכה של‬
‫)‪ (1230‬מ שפטים על התמרות פוריה‬
‫נתון שהתמרות פוריה של הפונקציות‬
‫הן‬
‫מה התמרת פוריה של הנגזרת‬
‫מה התמרת פוריה של הפונקציה המוזזת‬
‫מה התמרת פוריה של הפונקציה המשוקפת‬
‫רשו ם את המכפלה הפנימית של שתי הפונקציות במר חב הזמן‪ ,‬ול חילופין במר חב התדר‪.‬‬
‫רשו ם את הקונבולציה‬
‫כמכפלה פנימית של שתי פונקציות‪.‬‬
‫השתמש בסעיפי ם הקודמי ם כדי להוכי ח את משפט הקונבולציה "בשורה א חת"‪.‬‬
‫)‪ (1240‬שימו ש במ שפטים על התמרת פוריה‬
‫השתמש במשפטי ם על התמרת פוריה על מנת למצוא‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫התמרת פוריה של צמד אנטיסימטרי של פונקציות דלתה מתוך התמרת פוריה של חלון‪.‬‬
‫התמרת פוריה של מדרגה מתוך התמרת פוריה של דלתה‪.‬‬
‫התמרת פוריה של משולש מתוך התמרת פוריה של חלון‪.‬‬
‫התמרת פוריה של "שני סדקי ם" ר חבי ם מתוך התמרות פוריה של סדק ושל שתי דלתאות‪.‬‬
‫)‪ (1320‬מערכת עם שני אתרים‬
‫‪.‬‬
‫המיקו ם של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור שיכול לקבל את הערכי ם‬
‫המ חליף את מקומו של ה חלקיק‪.‬‬
‫כמו כן מגדירי ם אופרטור‬
‫‪ .1‬רשו ם\רשמי הצגה מטריצית של האופרטורי ם הנ"ל בבסיס הנקבע על ידי‬
‫‪ .2‬מצא\י את המצבי ם העצמיי ם של ‪ ,‬וסמן אות ם‬
‫נתון שהמערכת סימטרית מב חינה מר חבית‪.‬‬
‫נתון שאמפליטודת המעבר מאתר לאתר היא ‪.‬‬
‫‪ .3‬רשו ם\רשמי את ההצגה המטריצית של ההמילטוניאן‬
‫‪ .4‬מה ה ם המצבי ם הסטציונריי ם של המערכת?‬
‫הנ ח\הני חי שכאשר‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫ה חלקיק מצוי באתר הימני‬
‫‪.‬‬
‫רשו ם\רשמי את המצב הת חילי כסופרפוזיציה של המצבי ם הסטציונריי ם‪.‬‬
‫‪) .‬השתמש בנוטציות של דירק(‪.‬‬
‫רשו ם\רשמי את מצב ה חלקיק בזמן‬
‫למצוא את ה חלקי באתר הימני‪.‬‬
‫מצא\י את ההסתברות‬
‫כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫מצא\י את‬
‫כידוע יש חופש כיול בב חירת הבסיס הנקבע על ידי משתנה התצפית‬
‫‪.‬‬
‫מטרנספורמצית כיול?‬
‫‪ .9‬כיצד תושפע ההצגה המטריצית של‬
‫‪ .10‬הא ם התוצאות של סעיפי ם ‪ 6-8‬מושפעות?‬
‫)‪ (1322‬מערכת עם של שה אתרים‬
‫במערכת של שלושה אתרי ם המ חוברי ם בצורת משולש‪ ,‬מגדירי ם משתנה תצפית‬
‫מבטאי ם את מיקו ם ה חלקיק )‪ 0‬הוא קודקוד המשולש(‪.‬‬
‫אשר הערכי ם העצמיי ם שלו‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫רשו ם\רשמי את ההצגה המטריצית של ההמילטוניאן הכללי ביותר שמתאר את הדינמיקה של חלקיק במערכת‬
‫בעלת שלשה אתרי ם )"משולש"(‪.‬‬
‫השתמש\י ב חופש הכיול על מנת להביע את ההמילטוניאן באמצעות ‪ 5‬פרמטרי ם ‪ +‬פאזה‪.‬‬
‫כמה פרמטרי ם נדרשי ם א ם נתון )בנוסף( שהמערכת היא סימטרית מב חינה הזזות? שיקופי ם?‬
‫הסבר את המשמעות הפיסיקלית של הפאזה‪.‬‬
‫שי ם לב ש חופש הכיול כולל ג ם את קביעת רמת הי חוס של הפוטנציאל‪.‬‬
‫( מערכת עם ארבע אתרים‬1324)
.(4 ‫)מודולו‬
‫המיקו ם של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור שיכול לקבל ערך של ם‬
.‫ניתן ל חשוב על המערכת כעל "טבעת" מרובעת‬
(.‫)ההכללה של בעיה זו למקרה של "טבעת" ע ם יותר אתרי ם היא מידית‬
.‫המזיז את ה חלקיק צעד א חד נגד כיוון מ חוגי השעון‬
‫מגדירי ם אופרטור הזזה‬
‫על פי הגדרה מתקיי ם‬
‫על פי הגדרה מתקיי ם‬
(?‫ )מדוע מתבקש סימון כזה‬.
‫נסמן בסימון‬
‫את הערכי ם העצמיי ם של‬
‫נסמן בסימון‬
‫את המצבי ם העצמיי ם של‬
‫מיוצגי ם על ידי וקטורי עמודה‬
‫המצבי ם העצמיי ם של‬
‫אופרטור התנע מוגדר באמצעות הנוס חא‬
.
‫בבסיס הנקבע על ידי‬
.‫הכללי ביותר שיכול לתאר את הדינמיקה‬
.
‫רשו ם\רשמי הצגה מטריצית של האופרטורי ם‬
(?‫מה ה ם הערכי ם האפשריי ם של )מודולו‬
‫רשו ם ביטוי מפורש עבור הוקטורי ם העצמיי ם‬
‫באמצעות‬
‫הבע את‬
‫השתמש\י ב חופש הכיול ורשו ם את ההמילטוניאן‬
?‫כמה פרמטרי ם ופאזות מופיעי ם בהמילטוניאן‬
.‫ענה\י על אות ם שאלות א ם נתון שמותרי ם מעברי ם רק בין אתרי ם סמוכי ם‬
‫באמצעות‬
‫ והבע\הביעי את‬,‫הנ ח\הני חי בנוסף שהמערכת סימטרית ת חת הזזות‬
. ‫באמצעות‬
‫ רשו ם ג ם ביטוי אופציונלי עבור‬- ‫במקרה הא חרון‬
‫ רשו ם ביטוי עבור האנרגיות העצמיות‬- ‫במקרה הא חרון‬
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
.10
Eigenstates of a periodic lattice, Bloch theorem (1326)
Consider a mass $m$ particle in 1D periodic lattice with structure
where $a$ and $b$ are
the lengths of the bonds. What are the hopping amplitudes $c_a$ and $c_b$ between the sites.
Write the Hamiltonian matrix $H$ assuming that all sites have the same binding energy. Define the
displacement operator $D$ with which $H$ commutes. Find the two eigenstates of $H$ that have
$e^{i\phi}$ periodicity. Tip: the requested wavefuntion is fully determined by two amplitudes
$(\psi_1,\psi_2)$ for which you should write a reduced eigen-equation. Use the same procedure
find the eigenvalues of a lattice that has the structure
. Explain in what sense the reduced
eigen-equation describes a ring.
Eigenstates of a network with a rank-1 perturbation (1334)
Consider Hamiltonian of the type
. The rank-1 perturbation term generates
jumps between the states $u$ and $v$. Assume that the eigenstates $n$ of $H_0$ are know, and
that $u_n$ and $v_n$ are given.
Write that Hamiltonian matrix $H_{nm}$ and the corresponding eigen-equation.
Show that the functional form of the eigenstates can be found explicitly in terms of two parameters.
Write the reduced eigen-equation for the two parameters.
Explain why the following models are special cases: (A) A network in which only two sites "1" and
"2" are coupled; (B) A ring with a delta perturbation at some "0" site. (C) A site "0" that is couples to
a set of decoupled levels "k".
Write the simplified equation for the eigen-energies in the above cases.
‫)‪ (1344‬תנודות בין אתר לטבעת ‪2011B‬‬
‫שכוללת ‪ N‬אתרי ם בעלי פוטנציאל זהה )אפס(‪ .‬אמפליטודת הקפיצה של חלקיק לי חידת‬
‫נתונה טבעת באורך‬
‫זמן בין אתרי ם שכני ם היא ‪ .‬מוסיפי ם אתר במרכז הטבעת‪ .‬אנרגית הקשר של ה חלקיק באתר המרכזי היא ‪.‬‬
‫אמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן מהאתר המרכזי לכל א חד מאתרי הטבעת היא ‪ .‬את המערכת שמי ם בשדה‬
‫מגנטי כך שהשטף הכולל דרך הטבעת הוא ‪ .‬מטען ה חלקיק הוא ‪ .e‬מהאנליזה להלן נובע שה חלקיק יבצע תנודות‬
‫בין האתר לבין הטבעת‪ .‬זו הכללה של תנודה במערכת שני אתרי ם‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫של חלקיק בטבעת שתוארה לעיל )ללא האתר המרכזי(‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫של ה חלקיק בטבעת )ללא האתר המרכזי(‪.‬‬
‫רשו ם את האנרגיות העצמיות‬
‫של האתר המרכזי למצבי הטבעת‪.‬‬
‫חשב את הצימודי ם‬
‫של ה חלקיק‪.‬‬
‫מה תדירות התנודה‬
‫עבור שטף מגנטי נתון ‪ -‬מה צריכה להיות אנרגית הקשר על מנת לקבל תנודות מלאות‪.‬‬
‫יש תלות מ חזורית בשטף המגנטי‪ .‬מה המ חזור על בסיס אהרונוב‪-‬בוה ם?‬
‫לתדירות‬
‫הבע את התשובות תוך שימוש בנתוני השאלה בלבד‪.‬‬
‫)‪ (1346‬חלקיק בבאר כפולה שמצומדת לרמה גבוהה ‪2013B‬‬
‫חלקיק מצוי בבאר כפולה סימטרית שבה אמפליטות הקפיצה בין אתר "‪ "1‬לבין אתר "‪ "2‬היא ‪.‬‬
‫היא הרבה יותר גבוהה מאשר הפיצול של הרמות בבאר‪.‬‬
‫בנוסף קי ם אתר "‪ "0‬שהאנרגיה הפוטנציאלית שלו‬
‫אמפליטודת הצימוד של אתר "‪ "0‬למצבי הבאר הן‬
‫המשימה העיקרית להלן היא למצוא את ההמילטוניאן האפקטיבי ‪ 2x2‬שמתאר את ה חלקיק בבאר הכפולה‪.‬‬
‫לש ם כך עליך לעבור לבסיס חדש שכולל מצב " ‪ "D‬ומצב " ‪ "C‬שה ם סופרפוזיציות של מצב "‪ "1‬ומצב "‪."2‬‬
‫בסעיפי ם ‪ 1-3‬הנ ח שאפליטות הקפיצה בין האתרי ם היא‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫הגדר מצב אפל " ‪ "D‬שהצימוד שלו לאתר "‪ "0‬הוא אפס‪.‬‬
‫הגדר מצב " ‪ "C‬אורתוגונלי למצב " ‪ ,"D‬ומצא את הצימוד‬
‫על ידי שימוש בתורת הפרעות סדר שני קבע את האנרגיות של המצבי ם ‪ C, D‬שהגדרת‬
‫רשו ם המילטוניאן אפקטיבי ‪ 2x2‬שמתאר את ה חלקיק בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫המצב העצמי של ה חלקיק יהיה ממוק ם באתר י חיד‪.‬‬
‫עבור איזה ערך של‬
‫טיפים ‪:‬‬
‫התשובה בסעיף ‪ 3‬מגדירה המילטוניאן אפקטיבי‬
‫התשובה בסעיף ‪ 4‬היא אותו המילטוניאן בבסיס הסטנדרטי‪ ,‬מיוצג על ידי מטריצה לא אלכסונית‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 4‬יש להוסיף להמילטוניאן את הצימוד‬
‫התשובה בסעיף ‪ 5‬מתקבלת מתוך התבוננות על ההמילטוניאן שמצאת בסעיף ‪4‬‬
‫)‪ (1350‬מערכת עם שלו שה אתרים‪ ,‬זרם ‪2003B1‬‬
‫חלקיק יכול להמצא בתוך א חד מתוך שלשה אתרי ם המאורגני ם בצורת טבעת משולשת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מגדירי ם אופרטור מקו ם שיכול לקבל את הערכי ם‬
‫ההמילטוניאן ‪ H‬שמתאר את תנועת ה חלקיק על גבי הטבעת המשולשת הוא‬
‫‪.‬‬
‫)א( הגדר בצורה הפשוטה ביותר אופרטור ההזזה ‪ , D‬ורשו ם ג ם את‬
‫של המערכת‪ ,‬באשר ‪ k‬הוא התנע‪.‬‬
‫ואת האנרגיות העצמיות‬
‫)ב( רשו ם את המצבי ם העצמיי ם‬
‫מוסיפי ם שטף מגנטי‬
‫דרך הטבעת‪ .‬בכיול מתאי ם ההמילטוניאן הוא‬
‫)ג( רשו ם למה שווה ‪ .c‬נתון מטען ה חלקיק ‪. e‬‬
‫)ד( רשו ם את ‪ H‬המתקבל באמצעות ‪. D‬‬
‫‪.‬‬
‫)ה( רשו ם מה הן האנרגיות העצמיות‬
‫)ו( רשו ם מה הוא הזר ם ה חשמלי ‪ I‬של חלקיק ע ם‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1360‬מערכת עם שלו שה אתרים‪ ,‬ה שרדות ‪2004A1‬‬
‫מערכת של שלושה אתרי ם מתוארת בבסיס הסטנדרטי‬
‫הנ ח שהאתר המרכזי‬
‫מנותק )‬
‫באמצעות ההמילטוניאן‬
‫(‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫)א( רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצבי ם העצמיי ם‬
‫ואת האנרגיות העצמיות המתאימות‪.‬‬
‫)ב( רשו ם את ההמילטוניאן בבסיס ה חדש שמצאת לעיל‪.‬‬
‫להלן הנ ח שמתקיי ם‬
‫‪ ,‬וכמו כן‬
‫)ג( רשו ם את האנרגיות העצמיות‬
‫ואת המצבי ם העצמיי ם‬
‫כסופרפוזיציה של המצבי ם‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫של המערכת‬
‫‪.‬‬
‫)ד( רשו ם את מצבי האנרגיה לעיל ג ם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫)ה( מה ההסתברות למצוא את ה חלקיק באתר‬
‫‪.‬‬
‫במצב‬
‫א ם מכיני ם אותו בזמן‬
‫)ו( מה ההסתברות למצוא את ה חלקיק באתר‬
‫‪.‬‬
‫במצב‬
‫א ם מכיני ם אותו בזמן‬
‫לא חר פרק זמן‬
‫לא חר פרק זמן‬
‫)‪ (1370‬מערכת עם שלו שה אתרים‪ ,‬הפרעה ‪2004C1‬‬
‫חלקיק יכול להמצא בתוך א חד מתוך שלשה אתרי ם המאורגני ם בצורת טבעת משולשת‪.‬‬
‫מגדירי ם אופרטור מקו ם שיכול לקבל את הערכי ם‬
‫ואופרטור שיקוף‬
‫אשר פעולתו היא‬
‫)א( רשו ם את ההצגה המטריצית של‬
‫ההמילטוניאן‬
‫‪,‬‬
‫ושל‬
‫‪.‬‬
‫שמתאר את תנועת ה חלקיק על גבי הטבעת המשולשת הוא‪:‬‬
‫ואת האנרגיות העצמיות‬
‫)ב( רשו ם את המצבי ם העצמיי ם‬
‫הוא התנע‪.‬‬
‫של המערכת‪ .‬באשר‬
‫)ג( רשו ם בסיס חליפי של מצבי ם עצמיי ם שה ם בעלי סימטריה מוגדרת ) ) ‪ S/A‬בי חס לשיקוף‪.‬‬
‫)השתמש בסימון‬
‫עבור מצבי האנרגיה הגבוהי ם( ‪.‬‬
‫מכיני ם חלקיק ברמת היסוד‬
‫‪.‬‬
‫מפעילי ם פולס‬
‫‪.‬‬
‫כך שההמילטוניאן הכולל הוא‬
‫להלן השתמש בתורת הפרעות סדר ראשון על מנת לבצע את ה חישובי ם‪.‬‬
‫)ד( מה ההסתברות למצוא את ה חלקיק לא חר גמר הפולס במצב‬
‫אם‬
‫)ה( מה ההסתברות למצוא את ה חלקיק לא חר גמר הפולס במצב‬
‫אם‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1380‬מערכת עם שלו שה אתרים‪ ,‬ה שרדות וזרם ‪2005B1‬‬
‫נתונה מערכת בת שלושה אתרי ם )ראה שרטוט(‪ .‬היא מתוארת באמצעות ההמילטוניאן‬
‫באשר‬
‫העליון הוא‬
‫)האתר השמאלי הוא‬
‫נתון שמטען ה חלקיק שנע במערכת הוא‬
‫והימני הוא‬
‫(‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את ההמילטוניאן המתקבל א ם מוסיפי ם שטף מגנטי‬
‫דרך הלולאה המ חברת את האתר "הא חרון" )הימני בשרטוט( לאתר "הראשון" )השמאלי(‪.‬‬
‫‪ .2‬הגדר את אופרטור הזר ם באמצעות הנוס חא‬
‫אופרטור זה נותן את הזר ם דרך הלולאה‪ .‬להלן אנו מני חי ם שהשטף המגנטי הוא אפס‪.‬‬
‫‪ .3‬רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצבי ם העצמיי ם ואת האנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫שימו לב שההמילטוניאן סימטרי להזזות כך שלא נדרש כאן " חישוב"‪.‬‬
‫מכיני ם את ה חלקיק באתר "הראשון"‬
‫‪ .4‬חשב את ההסתברות‬
‫‪ .5‬חשב את הזר ם‬
‫למצוא את ה חלקיק באתר "הראשון" לא חר פרק זמן‬
‫שזור ם דרך הלולאה כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)‪ (1390‬מערכת עם ארבעה אתרים‪ ,‬זרם ‪2004B1‬‬
‫נתונה מערכת בת ארבעה אתרי ם )ראה שרטוט(‪ .‬היא מתוארת באמצעות ההמילטוניאן‬
‫נתון שמטען ה חלקיק שנע במערכת הוא ‪.‬‬
‫)א( רשו ם את ההמילטוניאן המתקבל א ם מוסיפי ם שטף מגנטי‬
‫דרך הלולאה המ חברת את שני האתרי ם הראשוני ם‪.‬‬
‫)ב( הגדר את אופרטור זר ם באמצעות הנוס חא‬
‫אופרטור זה נותן את הזר ם דרך הלולאה הת חתונה‪ .‬להלן אנו מני חי ם שהשטף המגנטי הוא אפס‪.‬‬
‫)ג( רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצבי ם העצמיי ם ואת האנרגיות העצמיות כאשר‬
‫‪.‬‬
‫השתמש בסימון המתבקש‬
‫)ד( רשו ם את ההמילטוניאן בבסיס ה חדש שמצאת לעיל‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)ד( רשו ם את ההמילטוניאן בבסיס ה חדש שמצאת לעיל‪.‬‬
‫)ה( רשו ם את האנרגיות העצמיות‬
‫ואת המצבי ם העצמיי ם‬
‫כסופרפוזיציה של המצבי ם‬
‫‪,‬‬
‫של המערכת‬
‫‪.‬‬
‫)ו( רשו ם את מצבי האנרגיה לעיל ג ם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫מכיני ם את ה חלקיק באתר מספר א חד‪:‬‬
‫)ז( חשב את הזר ם שזור ם דרך הלולאה כפונקציה של הזמן‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1400‬שני חלקיקים ב שני אתרים‪ ,‬אוסצילציות ‪2005A1‬‬
‫בשני אתרי ם‪.‬‬
‫נתוני ם שני חלקיקי ם שוני ם‬
‫המערכת סימטרית לשיקוף מר חבי ואמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן היא‬
‫ממשי ללא הגבלת הכלליות(‪.‬‬
‫)ניתן להני ח‬
‫הבסיס הסטנדרטי הוא‪:‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫‪.‬‬
‫בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫שי ם לב שבצעד זמן אינפיניטסימאלי יכול לעבור לכל היותר חלקיק א חד מאתר לאתר‪.‬‬
‫ההסתברות למעבר סימולטני של שני חלקיקי ם היא אפס‪.‬‬
‫על מנת להקל על בדיקת התשובה נא להשתמש בבסיס על פי הסדר שהוגדר למעלה‪.‬‬
‫‪ .2‬רשו ם את ההצגה המטריצית של האופרטור‬
‫שבו‬
‫‪ .3‬הגדר סט של מצבי ם‬
‫שמ חליף את שני ה חלקיקי ם‪.‬‬
‫אלכסוני‪.‬‬
‫בסעיף )‪ (3‬הסימון מרמז מה היא התשובה ) שמאל‪ ,‬ימין‪ ,‬סימטרי‪ ,‬אנטיסימטרי(‪.‬‬
‫הנ ח מעתה שמדובר ב חלקיק ם זהי ם בעלי ספין אפס )בוזוני ם ! !(‪.‬‬
‫בבסיס‬
‫‪ .4‬רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫‪ .5‬רשו ם באותו בסיס את אופרטור השיקוף‬
‫מתלכסן‪.‬‬
‫‪ .6‬הגדר סט של מצבי ם שבו‬
‫‪ .7‬מצא את המצבי ם העצמיי ם של ההמילטוניאן‪ .‬רשו ם אות ם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫‪ .8‬מה הן האנרגיות העצמיות?‬
‫מכיני ם בזמן‬
‫את המערכת במצב הסימטרי‬
‫‪ .9‬מודדי ם את מספר ה חלקיקי ם באתר השמאלי‪ .‬מה התוצאות האפשריות?‬
‫‪ . 10‬מה זמן המ חזור של האוסצילציות שעושה המערכת?‬
‫‪ . 11‬מה התשובה לסעיף )‪ (9‬א חרי חצי זמן מ חזור?‬
‫)‪ (1401‬שני חלקיקים ב שני אתרים‪ ,‬פרמיונים ובוזונים ‪focus question‬‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (1410‬מערכת עם שלו שה אתרים‪ ,‬דליפה ‪2005C1‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון חלקיק במערכת של שלושה אתרי ם‬
‫אמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן מאתר ‪ 1‬לאתר ‪ 2‬היא‬
‫‪.‬‬
‫אמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן מאתר ‪ 2‬לאתר ‪ 3‬היא ‪.‬‬
‫הכינו את המערכת באתר מספר ‪.2‬‬
‫בזמן‬
‫לכך שה חלקיק יגיע לאתר מספר ‪.3‬‬
‫מטרת השאלה היא למצוא את ההסתברות‬
‫בסעיפי ם ‪ 2-3‬הטיפול צריך להיות הפרעתי בפרמטר ‪.‬‬
‫בסעיפי ם ‪ 4-7‬הטיפול צריך להיות מדויק‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫רשו ם את מטריצת ההמילטוניאן של המערכת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫א ם מתקיי ם‬
‫רשו ם ביטוי עבור אמפליטודת ההשרדות‬
‫ומצא פתרון מסדר ראשון עבור‬
‫רשו ם את המשוואה עבור‬
‫מצא באופן מדויק את האנרגיות העצמיות של המערכת )משוואת הערכי ם העצמיי ם מאוד פשוטה( ‪.‬‬
‫הסבר מדוע א חד מהמצבי ם העצמיי ם אינו רלונטי לפתרון הבעיה שלפנינו‪.‬‬
‫מה תדירות התנודות שמבצע ה חלקיק?‬
‫מצא את הפתרון המדויק עבור‬
‫)‪ (1420‬מולקולת אמוניה ‪2012B‬‬
‫ישנ ם שני מצבי קונפיגורציה המהווי ם תמונת מראה א חד של השני‪.‬‬
‫למולקולת אמוניה‬
‫‪.‬‬
‫אילו מעברי ם בין שני המצבי ם האלו לא היו אפשריי ם‪ ,‬אז האנרגיה שלה ם היתה‬
‫בפועל אמפליטודת המעבר לי חידת זמן ממצב קונפיגורציה א חד לשני היא ‪. c‬‬
‫‪ .1‬מה ם האנרגיות האפשריות של מולקולת האמוניה?‬
‫המולקולה במצב הראשון‪ ,‬מה ההסתברות ‪ p‬שהיא תהיה במצב השני בזמן‬
‫‪ .2‬נתון כי ב‬
‫?‬
‫נתון כי לכל א חד ממצבי הקונפיגורציה של המולקולה יש מומנט דיפול חשמלי ‪.‬‬
‫כאשר שמי ם את המולקולה בשדה חשמלי ‪ ,‬הגאומטריה של המולקולה לא משתנה‪,‬‬
‫)פלוס‪/‬מינוס עבור המצב הראשון‪/‬השני בהתאמה(‪.‬‬
‫אבל האנרגיה של המצבי ם משתנה ב‬
‫‪ .3‬מה ם האנרגיות האפשריות של מולקולת האמוניה כעת?‬
‫‪ .4‬מה ערך התו חלת ‪ D‬של מומנט הדיפול א ם היא במצב היסוד?‬
‫)‪ (1430‬ניסוי קונדסציה ב שני אתרים ‪2006A1‬‬
‫בניסוי קונדסצית בוזה‪-‬אינשטיין מכיני ם מספר רב של חלקיקי ם במצב היסוד של "באר כפולה" סימטרית‪.‬‬
‫מצב זה מתואר על ידי פונקצית הגל‬
‫להשכלה כללית‪ :‬אפשר למדוד את התפלגות התנע של ה חלקיקי ם באופן ניסיוני‪ .‬לש ם כך מש חררי ם את הפוטנציאל‪,‬‬
‫נותני ם ל חלקיקי ם לנוע באופן חופשי‪ ,‬ואז מצלמי ם אות ם‪ .‬באופן כזה התפלגות המהירויות של ה חלקיקי ם "מתורגמת"‬
‫לתמונה מר חבית‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשו ם מה היא התפלגות התנע‬
‫על הנירמול הגלובאלי(‪.‬‬
‫של ה חלקיקי ם המתוארי ם על ידי פונקצית הגל הנתונה‪) .‬אין צורך להקפיד‬
‫)‪ (2‬הגדר באופן דומה את פונקצית הגל שמתארת מצב עצמי איזוגי לשיקוף‪ ,‬ורשו ם מה היא התפלגות התנע‬
‫המתקבלת‪.‬‬
‫בסעיפי ם להלן יש לבצע את האנליזה המסגרת קרוב של "מערכת שני מצבי ם"‪ .‬נתון אמפליטודת המעבר לי חידת זמן‬
‫בין שתי הבארות‪ .‬להלן את ם מתבקשי ם‬
‫מבאר לבאר ‪ .‬בנוסף הני חו שיש לנסיונאי שליטה על הפרש הפוטנציאלי ם‬
‫לנת ח שני "תסריטי ם" אפשריי ם‪.‬‬
‫תסריט רא שון ‪ :‬יוצרי ם באופן פתאומי הפרש פוטנציאלי ם‬
‫התפלגות התנע של המערכת‪.‬‬
‫גדול מאוד‬
‫‪ .‬מ חכי ם פרק זמן ואז מודדי ם את‬
‫)‪ (3‬מה תהיה התפלגות התנע של המערכת?‬
‫)‪ (4‬מה צריך להיות שווה על מנת שישארו מינימו ם חלקיקי ם בסביבת המערכת‪.‬‬
‫תסריט שני ‪ :‬מדליקי ם את הפרש הפוטנציאלי ם לאט מאוד )באופן אדיאבטי( כך שלבסוף הוא גדול מאוד‬
‫אז מאפסי ם אותו באופן פתאומי ומ חכי ם פרק זמן ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (5‬מה תהיה התפלגות התנע של המערכת?‬
‫)‪ (6‬מה צריך להיות שווה על מנת שהתפלגות התנע תהיה גאוסית )בלי מודולציה(‪.‬‬
‫התמרת פוריה של גאוסיאן‪:‬‬
‫)‪ (1440‬מלון קוונטי‪.‬‬
‫בבית מלון קוונטי ישנ ם ‪ 4‬חדרי ם זהי ם המ חוברי ם בטור‪.‬‬
‫יש סיכוי שהוא ימצא ב חדר סמוך בזמן א חר‪.‬‬
‫ידוע שא ם משהו נמצא בא חד ה חדרי ם בזמן‬
‫הקירות בין ה חדרי ם זהי ם‪ ,‬פרט לקיר המפריד בין חדר ‪ 2‬ל חדר ‪ 3‬שהוא שונה‪.‬‬
‫)מטרת התרגיל היא לראות כיצד ניתן להשתמש בסימטריה שיש בבעיה בכדי לפשט את מציאת המצבי ם העצמיי ם‪(.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם\י את האופרטור‬
‫‪ .2‬רשו ם\י את ההמילטוניאן‬
‫את משמעות ם‪.‬‬
‫המבטא מדידה של מספר ה חדר‪ ,‬בהצגה מטריצית‪.‬‬
‫אלכסונית‪ .‬הוסף\הוסיפי ביטויי ם עבור הקבועי ם הנ חוצי ם ובטא\י‬
‫‪ ,‬בבסיס בו‬
‫ניתן לראות כי המערכת סימטרית )לא משתנה( ת חת ה חלפה מסוימת של מספור ה חדרי ם‪.‬‬
‫‪ .3‬בטא\י ה חלפה זאת ע"י מטריצה שהיא חילופית ע ם ההמילטוניאן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אלכסונית ומצא את הע"ע של‬
‫בבסיס בו‬
‫‪ .4‬בטא\י את‬
‫)‪ (1450‬זרם במערכת שני אתרים ‪2008A1‬‬
‫( ע ם חלקיק א חד‪.‬‬
‫נתונה מערכת סימטרית של שני אתרי ם )‬
‫אמפליטודת המעבר בין האתרי ם לי חידת זמן היא ‪.‬‬
‫מכיני ם חלקיק באתר הראשון‪ ,‬ונותני ם לו לבצע תנודות קוהרנטיות הלוך ושוב בין שני האתרי ם‪.‬‬
‫שערך התצפית שלו הוא ההסתברות למצוא את ה חלקיק באתר הראשון‪.‬‬
‫מגדירי ם את האופרטור‬
‫מוגדר מתוך הנוס חא עבור קצב השינוי של‬
‫אופרטור הזר ם‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.‬‬
‫ושל ההמילטוניאן‬
‫רשו ם את היצוג המטריצי של האופרטור‬
‫באמצעות האופרטורי ם של הסעיף הקוד ם‪.‬‬
‫רשו ם את ההגדרה של‬
‫מצא את היצוג המטריצי של האופרטור ‪.‬‬
‫של אופרטור הזר ם לא חר פרק זמן‬
‫חשב את ערך התו חלת‬
‫חשב ג ם את הוריאנס‬
‫בתמונת הייזנברג מגדירי ם‬
‫‪ .6‬מצא את היצוג המטריצי המפורש עבור האופרטור הנ"ל )רשו ם את התשובה כקומבינציה של מטריצות פאולי(‪.‬‬
‫מגדירי ם ‪ counting operator‬באמצעות הנוס חא‬
‫‪ .7‬מה ערכי התצפית של האופרטור הנ"ל לא חר חצי זמן מ חזור של תנודה?‬
‫‪ .8‬מה ערכי התצפית של האופרטור הנ"ל לא חר זמן מ חזור של ם של תנודה?‬
‫)‪ (1460‬בעית הנויטרינו‬
‫‪.‬‬
‫חלקיק הנקרא נויטרינו מסוג אלקטרון נוצר בעת אינטרקציה ע ם אלקטרון‪ .‬נסמן חלקיק זה כ‬
‫‪.‬‬
‫נויטרינו מסוג א חר נוצר בעת אינטרקציה ע ם מיואון‪ .‬נסמנו‬
‫אלה ה ם חלקיקי ם שוני ם‪ .‬ישנו גלאי המסוגל לגלות נויטרינו מסוג אלקטרון בלבד‪.‬‬
‫נתון כי המצבי ם העצמיי ם של חלקיקי ם אלו נתוני ם ע"י‬
‫ע ם אנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫ע ם אנרגיה‬
‫נוצר נויטרינו מסוג אלקטרון‪ ,‬מה ההסתברות שכעבור זמן הגלאי יגלה נויטרינו מסוג אלקטרון?‬
‫א ם בזמן‬
‫)‪ (1470‬מערכת עם שלו שה אתרים‪ ,‬זרם ‪2007B1‬‬
‫חלקיק במערכת של שלושה אתרי ם מתואר בבסיס הסטנדרטי‬
‫באמצעות ההמילטוניאן‬
‫)א( רשו ם את האנרגיות העצמיות‬
‫)ב( רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצבי ם העצמיי ם‬
‫ל חלקיק יש מטען‬
‫)ג( רשו ם את ההצגה המטריצית של אופרטור תצפית‬
‫עבור הזר ם מאתר ‪ 1‬לאתר ‪.2‬‬
‫)ד( מה ה ם ערכי התצפית האפשריי ם של אופרטור הזר ם שהגדרת?‬
‫במצב‬
‫מכיני ם את ה חלקיק בזמן‬
‫לא חר פרק זמן‬
‫)ה( מה ההסתברות למדוד‬
‫)‪ (1472‬מערכת עם שלו שה אתרים בטור‪ ,‬דינמיקה ‪2012A‬‬
‫באמצעות ההמילטוניאן‬
‫חלקיק במערכת של שלושה אתרי ם מתואר בבסיס הסטנדרטי‬
‫באתר הראשון‪.‬‬
‫מכיני ם את ה חלקיק בזמן‬
‫‪.‬‬
‫את התשובות בטא באמצעות‬
‫לש ם פתרון סעיף )‪ (1‬יש למצוא את שורשי הפולנו ם האופיני )משוואה מאוד פשוטה(‪.‬‬
‫)‪ (1‬מצא את האנרגיות העצמיות‬
‫)‪ (2‬רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצבי ם העצמיי ם‬
‫)‪ (3‬רשו ם בבסיס האנרגיה את המצב הת חילי‬
‫)‪ (4‬רשו ם ביטוי עבור‬
‫)‪ (5‬רשו ם ביטוי עבור‬
‫‪ ,‬ההסתברות למציאת ה חלקיק באתר הראשון לא חר פרק זמן‬
‫‪ ,‬ערך התצפית של הזר ם שנמדד מאתר ‪ 2‬לאתר ‪ 3‬בזמן‬
‫)‪ (1480‬מערכת של שני ‪ ,QBITS‬תורת הפרעות ‪2007A1‬‬
‫‪ QUBIT‬הוא התקן בעל שני מצבי בסיס‬
‫הנ ח ששני המצבי ם ה ם בעלי אותה אנרגיה ושאמפליטודת המעבר ביניה ם היא ‪.‬‬
‫נתונה מערכת הכוללת שני ‪ QUBITs‬בעלת מצבי בסיס‬
‫מתברר שכאשר שני ה‪ QUBITs-‬במצב‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬יש לכך תשלו ם אנרגטי‬
‫‪.‬‬
‫את ההמילטוניאן של המערכת נרשו ם בצורה‬
‫)‪ (1‬רשו ם את היצוג המטריצי של‬
‫בבסיס הסטנדרטי )סעיף זה אינו דורש עבודה אלגברית(‪.‬‬
‫ההמילטוניאן‬
‫‪.‬‬
‫הוא אלכסוני בבסיס מסוי ם‪ .‬סמן את מצבי הבסיס בסימון‬
‫)‪ (2‬רשו ם וקטורי עמודה המיצגי ם את מצבי הבסיס ה חדשי ם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשו ם את המטריציה האלכסונית שמיצגת את‬
‫בבסיס שהגדרת )סעיף זה אינו דורש עבודה אלגברית(‪.‬‬
‫)‪ (4‬רשו ם בבסיס ה חדש את מטריצת ההפרעה‬
‫)‪ (5‬מצא את האנרגיות העצמיות של המערכת עד סדר ראשון באינטרקציה‪.‬‬
‫)‪ (6‬מצא את אנרגית מצב היסוד עד סדר שני באינטראקציה‪.‬‬
‫)‪ (1640‬מערכת עם אינסוף אתרים ‪ -‬אופרטור התנע ‪focus question‬‬
‫המיקו ם של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫שיכול לקבל ערכי ם שה ם כל כפולה שלמה של ‪.‬‬
‫המזיז את ה חלקיק צעד א חד ימינה‪.‬‬
‫הגדר\הגדירי אופרטור הזזה‬
‫‪.‬‬
‫הסבר\י למה שווה‬
‫מתוך הגדרת‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ורשו ם\רשמי למה שווה‬
‫כמו בבעיה הקודמת הגדר\י בסיס‬
‫באמצעותו‪.‬‬
‫‪ ,‬והבע\הביעי את‬
‫באמצעות‬
‫הגדר\י אופרטור‬
‫‪.‬‬
‫הסק\י למה שווה הקומוטטור‬
‫מתוך הביטוי עבור‬
‫שי ם\שימי לב שג ם ההיפך נכון‪ :‬מי חס הקומוטציה משתמע ש‪-‬‬
‫הוא אופרטור הזזה‪.‬‬
‫)‪ (1660‬צומת גוזפסון וזרם גוזפסון ‪2009B‬‬
‫קבל מורכב משני לו חות סופר‪-‬מוליכ ם‪.‬‬
‫בסופר מוליך נושאי המטען ה ם "זוגות קופר" אליה ם ניתן להתי חס כאל בוזוני ם בעלי מטען‬
‫חלק מהזוגות מצויי ם בלו ח השמאלי ו חלק בלו ח הימני‪.‬‬
‫במצב ניטרלי‬
‫מתקבל על ידי העברת זוגות מהלו ח השמאלי אל הלו ח הימני‪.‬‬
‫המצב הטעון‬
‫‪.‬‬
‫עם‬
‫הבסיס לתאור המערכת הוא אוסף המצבי ם‬
‫‪.‬‬
‫מגדירי ם אופרטור "הזזה" בצורה‬
‫‪.‬‬
‫הנ ח שאמפליטודת המעבר )לי חידת זמן( של זוג מלו ח ללו ח )באמצעות מינהור( היא‬
‫בנוסף הנ ח שהקיבול של הקבל הוא ‪.‬‬
‫והשתמש בתורת הפרעות סדר ראשון‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 4‬הנ ח שמכיני ם את המערכת במצב‬
‫בסעיפי ם ‪ 5-6‬יש להסתייע בתמונה הקלאסית של האבולוציה במר חב הפאזות‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫בעל הערך העצמי‬
‫של‬
‫הגדר את המצב העצמי‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן של המערכת תוך שימוש באופרטורי ם הצמודי ם‬
‫הגדר את אופרטור הזר ם כמשתמע מהנוס חא עבור‬
‫מה ההסתברות למצוא את המערכת לא חר זמן קצר במצב‬
‫מה תדירות התנודות הקטנות של המערכת?‬
‫סביר למצוא את המערכת לא חר זמן רב?‬
‫באיזה מצבי‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1680‬מערכת עם אינסוף אתרים ‪ -‬אבולוציה ‪focus question‬‬
‫המיקו ם של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור שיכול לקבל ערכי ם שה ם כל כפולה שלמה של ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫רשו ם\רשמי את אמפליטודת המעבר לתא שכן מימין בצורה‬
‫‪.‬‬
‫הנ ח\י שהמעברי ם ה ם רק לשכני ם קרובי ם‪.‬‬
‫באמצעות אופרטור ההזזה שהוגדר בבעיה הקודמת‪.‬‬
‫‪ .1‬בטא את ההמילטוניאן‬
‫לצורה הסטנדרטית‪.‬‬
‫‪ .2‬הנ ח\י קטן מאוד‪ ,‬והבא\הביאי את‬
‫‪ .3‬קבע\י מה היא המסה של ה חלקיק‪ ,‬ומה הוא הפוטנציאל הוקטורי ‪.‬‬
‫)‪ (1720‬ק שר בין תנע זויתי אורביטלי לבין תנע קווי ‪focus question‬‬
‫המיקו ם של חלקיק במר חב מתואר באמצעות האופרטור ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫באשר‬
‫מגדירי ם את אופרטור הסיבוב‬
‫‪ .1‬רשו ם באופן מפורש את הביטוי עבור סיבוב אינפיניטסימאלי‬
‫‪ .2‬הסק שיוצר הסיבוב הוא‬
‫הדרכה‪ :‬יש להשתמש בכתיב דירק ולא להיעזר בייצוג הדיפרנציאלי !‬
‫)‪ (2020‬חלקיק בקופסא חד מימדית ‪focus question‬‬
‫הנ ח חלקיק בעל מסה‬
‫בבור פוטנציאל אין סופי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לבין‬
‫‪ .1‬מצא\יאת המצבי ם העצמיי ם תוך הב חנה בין‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא\יאת האנרגיות העצמיות‬
‫‪ .3‬רשו ם\י שוב את פונקציות הגל ורמות האנרגיה עבור קופסא בת חו ם‬
‫‪.‬‬
‫)במקרה הא חרון אין צורך לבצע את ההב חנה המצוינת לעיל‪.‬‬
‫)‪ (2060‬חלקיק בקופסא תלת מימדית ‪:‬‬
‫בקופסא תלת מימדית בעלת גובה ואורך ורו חב‬
‫הנ ח\י חלקיק בעל מסה‬
‫לאורך ולרו חב יש תנאי שפה מ חזוריי ם )גאומטריה זו ידועה בכינוי "טורוס"(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם\י את האנרגיות העצמיות ואת המצבי ם העצמיי ם‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נני ח שמדובר בקופסא דקה‬
‫במקרה זה נרצה למצוא תנאי לכך שניתן יהיה להתיי חס למערכת כאל דו‪-‬מימדית‪.‬‬
‫שבו יהיה ניתן להתעל ם מקיומו של המימד השלישי?‬
‫‪ .2‬מהו ת חו ם האנרגיות‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬חזור על השאלה במקרה שבו הפוטנציאל האנכי הוא‬
‫)‪ (2080‬חלקיק על רצועת מביוס‪.‬‬
‫מצא\י את האנרגיות והמצבי ם העצמיי ם של חלקיק המוגבל לנוע על גבי רצועת מביוס‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ואורך‬
‫זהו חלקיק בבור פוטנציאל בעל רו חב‬
‫בכיוון הרו חבי ישנ ם תנאי שפה אפס לאורך הדפנות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בכיוון האורכי ישנ ם תנאי שפה‪:‬‬
‫)‪ (2090‬חלקיק בבקבוק קליין‬
‫מצא\י את האנרגיות והמצבי ם העצמיי ם של חלקיק המוגבל לנוע על גבי בקבוק קליין‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ואורך‬
‫זהו חלקיק בבור פוטנציאל בעל רו חב‬
‫בכיוון הרו חבי ישנ ם תנאי שפה מ חזוריי ם לאורך הדפנות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בכיוון האורכי ישנ ם תנאי שפה‪:‬‬
‫)‪ (2120‬חלקיק ק שור על ידי פונקצית דלתא ‪:‬‬
‫מצא את פונקצית הגל והאנרגיה‬
‫של חלקיק הקשור על ידי הפוטנציאל‬
‫‪.‬‬
‫נני ח ששמי ם את פונקצית הדלתה במרכז של בור פוטנציאל חד מימדי‪.‬‬
‫מאוד גדול כך שאנרגית הקשר שלילית‪ .‬מה זה "מאוד גדול"?‬
‫בהת חלה‬
‫‪ .‬כיצד נראית פונקצית הגל?‬
‫מקטיני ם את עד אשר אנרגית מצב היסוד היא‬
‫)‪ (2122‬מצב ק שור באתר שמצומד למוליך חד מימדי ‪2012A‬‬
‫בבעיה זו נדרש למצוא את אנרגית המצב הקשור ‪ E‬של חלקיק במערכת שכוללת אתר המצומד למוליך חד מימדי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ה חלקיק הוא בעל מסה ‪ .M‬המוליך ה חד מימדי הוא אינסופי‬
‫‪.‬‬
‫האתר שבו קשור ה חלקיק מצוי בסמיכות לנקודה‬
‫‪.‬‬
‫אילו האתר היה מופרד מהמוליך אנרגית הקשר של ה חלקיק היתה‬
‫בפועל האתר מצומד למוליך‪ ,‬וההמילטוניאן הוא‬
‫ההצגה הסטנדרטית של פונקצית הגל בבסיס המקו ם היא‬
‫באשר האמפליטודות הן‬
‫ע ם קונבנצית נירמול‬
‫)‪ (1‬רשו ם בהצגה הסטנדרטית את‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשו ם בהצגה הסטנדרטית את‬
‫‪.‬‬
‫בהצגה מר חבית‪.‬‬
‫רשו ם את מערכת המשוואות‬
‫והשתמש בתוצאות הסעיפי ם הקודמי ם‪.‬‬
‫טיפ‪ :‬הטל על המצבי ם‬
‫ע ם פוטנציאל אפקטיבי‬
‫על ידי חילוץ הראה שמקבלי ם משוואה סגורה עבור‬
‫שי ם לב שבשלב זה אנו מתי חסי ם לאנרגית הקשר ‪ E‬כאל נתון ידוע‪.‬‬
‫הוא ראשית מערכת הצירי ם‪.‬‬
‫טיפ‪ :‬ללא הגבלת הכלליות אפשר להני ח שהמיקו ם‬
‫)‪ (3‬רשו ם את הביטוי עבור‬
‫)‪ (4‬רשו ם משוואה עבור אנרגית הקשר‬
‫)‪ (5‬פתור את המשוואה במקרה הפרטי‬
‫)‪ (2310‬סימטריות ומ שמעותם ‪focus question‬‬
‫להלן אנו מתי חסי ם להמילטוניאני ם וטרנספורמציות שאינ ם תלויי ם בזמן‪.‬‬
‫אם‬
‫אנו אומרי ם שהמילטוניאן הוא סימטרי בי חס לטרספורמציה‬
‫מת חלף ע ם ‪.‬‬
‫מכאן נובע ש‪-‬‬
‫א ם ההמילטוניאן סימטרי בי חס ל חבורה של טרנספורמציות‪ ,‬אז הוא ג ם מת חלף ע ם היוצרי ם‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מת חלף ע ם אופרטור כלשהוא‬
‫הנ ח שההמילטוניאן‬
‫הוא אלכסוני‪.‬‬
‫בסיס שבו‬
‫יהי‬
‫הסבר מדוע נובעות מכך הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫אינו משתנה במהלך האבולוציה‪.‬‬
‫ערך התו חלת‬
‫הוא מצב עצמי של ‪.‬‬
‫הוא מצב עצמי של ‪ ,‬אז ג ם‬
‫אם‬
‫הוא אלכסוני‪.‬‬
‫שבו‬
‫ההמילטוניאן הוא ‪ block-diagonal‬בבסיס‬
‫מת חלף ע ם יוצרי ם של חבורה לא קומוטטיבית‪.‬‬
‫נתון שאופרטור‬
‫באשר הוא אינקס הניוון‪.‬‬
‫המצבי ם העצמיי ם של‬
‫יהיו‬
‫הסבר מדוע כל תת‪-‬מר חב מנוון מהווה הצגה של ה חבורה‪.‬‬
‫הוכ ח בדרך השלילה את המשפט ההפוך‪ :‬תת‪-‬מר חב בלתי פריק חייב להיות מנוון באנרגיה‪.‬‬
‫כיצד קשור הניוון למימדי ם של ההצגות הבלתי פריקות?‬
‫מדוע חייב להיות ניוון?‬
‫הסבר את הקביעה הבאה‪ :‬הניוון הוא "פיצוי" על כך שהסימטריה‬
‫של כל א חד מהמצבי ם המנווני ם )בנפרד( היא נמוכה יותר מהסימטריה של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫)‪ (2315‬הפרדת מ שתנים ‪focus question‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬במלבן באורך ע ם תנאי שפה מ חזוריי ם בכיוון האורכי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ההמילטוניאן של ה חלקיק הוא מהצורה‬
‫הוא קבוע תנועה ע ם ערכי ם עצמיי ם ‪.‬‬
‫התנע‬
‫הבסיס הסטנדרטי להצגת ה חלקיק הוא‬
‫הבסיס לצורך הפרדת משתני ם הוא‬
‫אנו מ חפשי ם את המצבי ם העצמיי ם‬
‫רשו ם מה ה ם הערכי ם האפשריי ם של‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ומה הן הפונקציות‬
‫על פי משפט הפרדת המשתני ם‬
‫באשר‬
‫ע ם אנרגיות עצמיות‬
‫ופונקציות עצמיות‬
‫במקרה של גאומטרית הול‪.‬‬
‫רשו ם מה הן הפונקציות‬
‫מכאן נובע שהפונקציות העצמיות בהצגה הסטנדרטית הן‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫המו חזק על ידי פוטנציאל מרכזי‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן של ה חלקיק‪ .‬המילטוניאן זה מת חלף ע ם חבורת הסיבובי ם‪.‬‬
‫עבור הפרדת משתני ם‪.‬‬
‫הגדר את הבסיס‬
‫הסבר כיצד מתפרקת ההצגה של חבורת הסיבובי ם מעל מר חב הפונקציות בבסיס זה‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן בבסיס ה חדש‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫וודא שהוא בעל מבנה בלוקי ם‬
‫אינו מופיע בהצגה המטריצית של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫הסבר מדוע האינדקס‬
‫הסבר את המשמעות מב חינת ניווני ם‪.‬‬
‫)‪ (2320‬טרנספורמציה של ההמילטוניאן ‪focus question‬‬
‫מעבר ממערכת י חוס נתונה )או בסיס נתון( למערכת י חוס א חרת )בסיס חדש(‬
‫‪.‬‬
‫גורמת לטרספורמציה של פונקצית הגל‬
‫במערכת הי חוס הישנה‪.‬‬
‫במערכת הי חוס ה חדשה באמצעות ההמילטוניאן‬
‫הבע את ההמילטוניאן‬
‫במקרי ם הבאי ם‪:‬‬
‫ועבור הטרנספורמציה‬
‫רשו ם ביטויי ם מפורשי ם עבור‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫הזזה‬
‫סיבוב‬
‫גלילאי‬
‫כיול‬
‫)‪ (2325‬אינוריאנטיות של ההמילטוניאן ‪focus question‬‬
‫הנ ח שההמילטוניאן הוא בעל הצורה הלא‪-‬רלטויסטית הרגילה‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫כך שניתן לרשו ם באופן סכמטי‬
‫הראה שההמילטוניאן הוא אינוריאנטי ת חת הטרספורמציות שהוגדרו בבעיה הקודמת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫כך שמתקיי ם‬
‫זה אומר שעליך למצוא‬
‫במקרה של טרנספורמצית גלילאי הראה שמתקבלת התוצאה הקלאסית‪:‬‬
‫במקרה של מערכת מסתובבת הראה שמופיעי ם פוטנציאל צנטריפוגלי וכו ח קוריוליס‪.‬‬
‫)‪ (2330‬חלקיק בקופסא נעה ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫חלקיק מצוי התוך קופסא הנעה במהירות ‪ .‬כלומר‬
‫כיוון שהבעיה תלויה בזמן אין מצבי ם סטציונריי ם במערכת המעבדה‪.‬‬
‫ניתן למצוא למשוואת שרדינגר התלויה בזמן פתרונות ע"י הפרדת משתני ם מהצורה‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את הפתרונות האלה‪) .‬לפני שאת\ה פותר\ת‪ :‬נסה\י לנ חש את התשובה מראש(‬
‫‪ .2‬הסבר את האנלוגיה לפתרון הסטציונרי הקלאסי )דיסטריבוציה במר חב הפאזות(‪.‬‬
‫ניתן לנ חש את הפתרון לסעיף )‪ (1‬על ידי ניצול התובנה בסעיף )‪.(2‬‬
‫בהמשך נלמד כיצד לפתור בעיה זו על ידי טרנספורמצית גלילאי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2331‬חלקיק בקופסא נעה ‪ -‬דרך הפתרון האלגנטית‬
‫חלקיק מצוי התוך קופסא הנעה במהירות ‪ .‬כלומר‬
‫במערכת הקופסא ה חלקיק נמצא ברמת אנרגיה ‪.‬‬
‫רשו ם את פונקצית הגל של ה חלקיק במערכת המעבדה‪.‬‬
‫הסבר את האנלוגיה לפתרון הקלאסי )דיסטריבוציה במר חב הפאזות(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2332‬חלקיק בקופסא מואצת ‪2008H3‬‬
‫הפוטנציאל שמ חזיק חלקיק בקופסא חד מימדית הוא‬
‫מעבירי ם את הקופסא למערכת יי חוס שמאיצה בתאוצה ‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.‬‬
‫רשו ם את האופרטור שמגדיר טרנספורמצית הזזה )ללא בוסט( למערכת קואורדינטות שבה הקופסא מצויה‬
‫במנו חה‪.‬‬
‫המתקבלי ם לא חר הטרנספורמציה‪.‬‬
‫מה הפוטנציאלי ם‬
‫רשו ם את האופרטור שמגדיר טרנספורמצית כיול שמאפשר להיפטר מהפוטנציאל הוקטורי‬
‫המתקבלי ם לא חר הטרנספורמציה‪.‬‬
‫מה הפוטנציאלי ם‬
‫)‪ (2336‬חלקיק בקופסה עם קיר זז ‪2006H3‬‬
‫חלקיק כלוא בתוך קופסא חד מימדית‬
‫הראה שבאמצעות ‪ dilation‬ניתן לבצע טרנספורציה שנותנת המילטוניאן ע ם קירות קבועי ם‪.‬‬
‫טיפ ‪ :‬היוצר של ‪ dilation‬הוא‬
‫)‪ (1‬רשו ם את ההמילטוניאן שמתקבל‬
‫)‪ (2‬זהה את הפוטנציאל הוקטורי‬
‫)‪ (3‬זהה את הפוטנציאל הסקלארי‬
‫)‪ (4‬מה היא טרנספורמצית הכיול שדרושה על מנת להיפטר מהפוטנציאל הוקטורי‬
‫)‪ (5‬מה הביטוי עבור הפוטנציאל הסקלארי לא חר ביצוע הכיול?‬
‫)‪ (2520‬הגדרת מטריצת הפיזור בבעיה חד מימדית ‪focus question‬‬
‫עבור‬
‫המקיי ם‬
‫חלקיק מתפזר מפוטנציאל‬
‫בסעיפי ם הראשוני ם הנ ח שהפוטנציאל מ חוץ לאזור הפיזור הוא אפס )‬
‫כך שפונקצית הגל הכללית היא‪:‬‬
‫עבור‬
‫‪ ,‬ובצד השני‬
‫(‪,‬‬
‫‪ .1‬כיצד תראה פונקצית הגל א ם‪ (I) :‬ה חלקיק מגיע מימין? )‪ (II‬ה חלקיק מגיע משמאל?‬
‫הגדר\י מטריצת‬
‫על ידי‬
‫רשו ם את המטריצה בצורה‬
‫באשר ו‬
‫מימין‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫מסמני ם את אמפליטודת הה חזרה וההעברה‪ ,‬והאינדקסי ם מסמני ם מצב בו ה חלקיק בא משמאל או‬
‫בכדי להראות כי‬
‫‪ .2‬השתמש\י בתכונות זר ם ההסתברות עבור‬
‫‪ .3‬כיצד יש להגדיר מטריצת פיזור אוניטרית א ם לא מתקיי ם‬
‫אוניטרית‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2530‬הגדרת מטריצת הפיזור בבעיות סמי חד מימדית ‪focus question‬‬
‫נני ח שהאזור‬
‫חסו ם‪ .‬גאומטריה זו נקראת ‪.semi infinite wire‬‬
‫‪ .1‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫נני ח שבקצה ה חוט‪ ,‬באיזור הפיזור‪ ,‬מציבי ם ספין שיכול להיות בא חד משני מצבי ם‪.‬‬
‫במקרה כזה אומרי ם שהפיזור יכול להיות אינאלסאטי‪.‬‬
‫‪ .2‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬מה מש חק את התפקיד של‬
‫נני ח שבקצה ה חוט‪ ,‬באיזור הפיזור‪ ,‬מציבי ם אוסצילטור הרמוני בעל תדירות‬
‫‪ .4‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫‪ .5‬הגדר באנלוגיה לסעיף )‪ (3‬ורשו ם ביטוי עבור‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נ חזור למקרה של של פיזור אלסטי )אין ספין‪ ,‬אין אוסצילטור(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נני ח של חוט יש רו חב סופי‬
‫‪ .6‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫‪ .7‬הגדר באנלוגיה לסעיף )‪ (5‬ורשו ם ביטוי עבור‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ודא שאתה מבין מדוע הטיפול הפורמאלי בבעיות הבאות הוא זהה‪:‬‬
‫פיזור אלסטי של חלקיק על ידי פוטנציאל לכיוון שונה מהמקורי‬
‫ה חזרה ‪ /‬פיזור אינאלסטי של חלקיק ממטרה בעלת דרגות חופש פנימיות‬
‫ה חזרה ‪ /‬פיזור אינאלסטי של חלקיק בעל דרגות חופש פנימיות מפוטנציאל מפזר‬
‫ה חזרה ‪ /‬פיזור של חלקיק המתקד ם ב ‪lead or waveguide‬‬
‫)‪ (2550‬חלקיק המפוזר על ידי פונקצית דלתא במימד אחד‬
‫עבור פוטנציאל‬
‫רשו ם את פונקצית הגל בצורה‪:‬‬
‫‪ .1‬מתוך תנאי הרציפות מצא\י את מטריצת הפיזור‬
‫‪ .2‬רשו ם את התוצאה באמצעות הסתברות המעבר‬
‫)‪ (2552‬מטריצת פיזור של צומת ‪I‬‬
‫‪.‬‬
‫ועוד שלוש פאזות‪.‬‬
‫שלשה חוטי ם מ חוברי ם בנקודה א חת‪ .‬נני ח כי אות המגיע מרגל א חת מתפזר ב חלקו לרגליי ם הא חרות ומו חזר ב חלקו‬
‫לרגל ממנו הוא בא‪ .‬נתון שהמערכת סימטרית לפרמוטציה של ה חוטי ם‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫את מטריצת הפיזור‪ .‬זוהי מטריצה‬
‫נסמן ב‬
‫א ם נתון שכל האמפליטודות הה חזרה שוות לאותו מספר ממשי ‪ ,‬וכל אמפליטודות המעבר שוות‬
‫‪ .1‬רשו ם\י את‬
‫לאותו מספר ממשי חיובי ‪.‬‬
‫‪ .2‬קבע\י את הערכי ם המספריי ם של ושל ‪.‬‬
‫‪ .3‬הכלל את הנוס חא למקרה שבו יש יותר משלושה חוטי ם‪.‬‬
‫)‪ (2553‬מטריצת פיזור של צומת ‪II‬‬
‫שלשה חוטי ם מ חוברי ם בנקודה א חת‪ .‬נני ח כי אות המגיע מרגל א חת מתפזר ב חלקו לרגליי ם הא חרות ומו חזר ב חלקו‬
‫לרגל ממנו הוא בא‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫את מטריצת הפיזור‪ .‬זוהי מטריצה‬
‫נסמן ב‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫א ם נתון שכל אמפליטודות הה חזרה שוות לאותו מספר ‪ ,‬וכל אמפליטודות המעבר שוות לאותו‬
‫רשו ם\י את‬
‫מספר ‪.‬‬
‫בטא\י את גודל אמפליטודת הה חזרה ע"י הפזה הי חסית בינה לאמפליטודת ההעברה‪.‬‬
‫מהו הערך המינימלי של אמפליטודת הה חזרה?‬
‫הכלל את התוצאה למקרה שבו יש יותר משלושה חוטי ם‪.‬‬
‫מהו הערך של אמפליטודת ההעברה והה חזרה בגבול בו מספר ה חוטי ם מתקרב לאינסוף?‬
‫)‪ (2554‬מטריצת פיזור של צומת ‪NEW‬‬
‫‪Find the most general $S$ matrix that represents a 3 channel junction under the assumptions that‬‬
‫‪the channel wavefunctions have to match at the node of the junction.‬‬
‫‪Remarks: The unitarity of the S matrix implies that the sum of the probability currents that flow out of‬‬
‫‪the junction is zero (Kirchhoff law). We have here a generalization of the 2 channel delta function:‬‬
‫‪hence the solution should depend in a free parameter $u$ that describes the potential energy of the‬‬
‫‪junction. For some more tips see section 39.2 of the lecture notes.‬‬
‫)‪ (2560‬חלקיק המפוזר על ידי מדרגת פוטנציאל‬
‫נתון פוטנציאל מדרגה‬
‫חלקיק חופשי בעל אנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫נמצא משמאל למדרגת הפוטנציאל‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את מקד ם ההעברה ומקד ם הה חזרה עבור בעיה זאת‪.‬‬
‫‪ .2‬רשו ם את מטריצת הפיזור האוניטרית‪.‬‬
‫)‪ (2580‬חלקיק המפוזר על ידי פונקצית דלתא ב‪waveguide -‬‬
‫רשו ם את מטריצת הפיזור עבור ‪ waveguide‬ברו חב‬
‫במרכזו‪.‬‬
‫ע ם פונקצית דלתה‬
‫)‪please use the results of the derivation in the lecture notes, please assume regolarized delta of‬‬
‫‪.(width "a" if required‬‬
‫‪ .1‬הסבר מה הוא האפקט של הערוצי ם ה חסומי ם על מקד ם הה חזרה‪.‬‬
‫גדול מאוד‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את הה חזרה הכוללת עבור‬
‫‪ .3‬התיי חס לטענה שפונקצית דלתא יכולה לפזר רק בבעיה חד מימדית‪.‬‬
‫)‪ (2590‬פיזור אינאלסטי על אוסצילטור‬
‫‪.‬‬
‫( ממוק ם אוסצילטור‬
‫נתון חוט חד מימדי‪ .‬במרכז ה חוט )‬
‫תדירות האוסצילטור היא ‪ .‬מפזרי ם חלקיק על האוסצילטור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫האינטראקציה מתוארת באמצעות פונקצית דלתה‬
‫הפיזור יכול להיות אי‪-‬אלסטי‪ .‬זה אומר שאנרגיה יכולה לעבור מה חלקיק לאוסצילטור )או ההפך(‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫הגדר את ה‪ channels-‬עבור מערכת זו‪.‬‬
‫רשו ם ביטוי פורמאלי עבור פונקצית גל המהווה פתרון סטציונרי‬
‫הגדר את מטריצת הפיזור ‪.‬‬
‫רשו ם ביטוי מטריצי מפורש עבור מטריצת הפיזור‪.‬‬
‫)‪ (2650‬אינטרפרנציה בבעיית פברי פרו ‪focus question‬‬
‫מצא את הסתברות המעבר דרך מ חסו ם כפול המתואר באמצעות שתי פונקציות דלתה‪.‬‬
‫)ראה תקצירי הרצאה ‪(Fabry-Perrot‬‬
‫)‪ (2660‬אינטרפרומטר ‪Mach-Zehnder‬‬
‫רשו ם מטריצת פיזור ‪ 4x4‬אשר מתארת מראה חצי מ חזירה‪.‬‬
‫נתוני ם מקד ם ההעברה ומקד ם הה חזרה של מראה כזאת‪.‬‬
‫אפשר להגדיר באמצעות "שורש ריבועי"‪.‬‬
‫שי ם לב שאת אמפליטות הפיזור המתאימות‬
‫אבל יש לק חת ב חשבון שיש ג ם פאזה‪ ,‬שא ם לא לוק חי ם אותה ב חשבון מאבדי ם אוניטריות‪.‬‬
‫הסבר מדוע מב חינה פורמאלית אפשר להתיי חס למראה כזאת‬
‫כאילו מדובר בבעית פיזור של צומת דו‪-‬ערוצית ע ם מטריצת פיזור ‪2x2‬‬
‫אינטרפרומטר ‪ Mach-Zehnder‬מורכב משתי מראות חצי מ חזירות ומשתי מראות רגילות‪.‬‬
‫בפאזה‪.‬‬
‫למראה רגילה יש מקד ם ה חזרה השווה לא חד כך שהאפקט הי חיד הוא שינוי כיוון הקרן ושינוי‬
‫אלומת ה חלקיקי ם מתפצלת במראה ה חצי מ חזירה הראשונה לשתי אלומות שעוברות שני מסלולי ם אופטיי ם שוני ם‪,‬‬
‫כך שנצבר הפרש פאזה ‪ .‬אז הן מתא חדות שוב במראה ה חצי מ חזירה השניה‪,‬‬
‫וה חלקיקי ם יכולי ם לצאת בא חד משני הערוצי ם‪.‬‬
‫רשו ם ביטויי ם עבור מקדמי המעבר לכל א חד משני הערוצי ם‪.‬‬
‫ודא שסכו ם הסתברויות המעבר הוא א חד‪.‬‬
‫)‪ (2680‬פיזור של חלקיק בעל ‪ 4‬מצבים‪.‬‬
‫חלקיק יכול להיות צבוע ב ‪ 4‬צבעי ם שוני ם )נסמנ ם ‪.(1,2,3,4‬‬
‫כאשר מפזרי ם חלקיק בעל צבע מסוי ם ממפזר‪ ,‬הוא עלול לשנות את הצבע שלו‪.‬‬
‫מקבלי ם כי א ם הוא היה בצבע ‪ 1‬לפני הפיזור אז לא חר הפיזור הוא יכול להיות בצבע ‪ 2‬או להשאר בצבע ‪.1‬‬
‫חלקיק בצבע ‪ 2‬יכול להשאר בצבע ‪ 2‬או להצבע בצבע ‪.1‬‬
‫חלקיק בצבע ‪ 3‬לא יכול להצבע בצבע ‪ 2‬לא חר הפיזור‪.‬‬
‫‪ .1‬הא ם חלקיק בצבע ‪ 3‬יכול להתפזר ל חלקיק בצבע ‪?1‬‬
‫‪ .2‬א ם חלקיק נמצא בצבע ‪ ,4‬באיזה צבעי ם ניתן לומר שהוא לא יצבע לא חר הפיזור?‬
‫הדרכה‪ :‬השתמש\י בתכונות מטריצת הפיזור‪.‬‬
‫)‪ (2820‬פיזור על מטרה כדורית ‪ -‬חתך פעולה מכסימאלי ‪focus question‬‬
‫מצא חס ם עליון על חתך הפעולה הכולל שיכול להתקבל ב חישוב של פיזור על מטרה כדורית ברדיוס ‪ .‬הב חן בין‬
‫המקרי ם הבאי ם‪:‬‬
‫‪ .1‬פיזור איזוטרופי על ידי מטרה קטנה )רק‬
‫‪ .2‬פיזור לא‪-‬איזוטרופי על ידי מטרה גדולה )‬
‫תור ם(‪.‬‬
‫(‪.‬‬
‫)‪ (2830‬פיזור על ידי פונקצית דלתא‬
‫‪In this question you are requested to calculate the phase shifts in scattering on a 3D delta function‬‬
‫‪. For this puropose think of it as a small sphere of radius and potential‬‬
‫‪such that‬‬
‫‪. Later take the limit‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2840‬פיזור על כדור ק שיח ‪focus question‬‬
‫מצא את היסטי הפאזות הנגרמות כתוצאה מפיזור על כדור קשי ח בהנ חה שמתקיי ם‬
‫הפעולה הכולל בקרוב זה‪.‬‬
‫)‪ (2850‬פיזור על פוטנציאל ארוך טווח ‪2007H3‬‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫ואנרגיה‬
‫מפוזר על פוטנציאל‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬חשב את חתך‬
‫)‪ (1‬רשו ם את הפיתרון הפורמאלי של המשוואה הרדיאלית ע ם ערך אפקטיבי של‬
‫)‪ (2‬רשו ם ביטוי עבור היסט הפאזה‬
‫)‪ (3‬רשו ם ביטוי עבור חתך הפעולה ה חלקי‬
‫)‪ (4‬רשו ם ביטוי פורמאלי עבור חתך הפעולה הכולל‪.‬‬
‫)‪ (5‬קבל קרוב ל חתך הפעולה הכולל א ם לפוטנציאל יש טוו ח סופי‬
‫)‪ (2870‬פיזור על קליפה כדורית‪ ,‬היסטי הפאזה‬
‫ואשר מסוכך על‬
‫הנגר ם כתוצאה מפיזור על כדור בעל רדיוס שהפוטנציאל שלו הוא‬
‫מצא את היסט הפאזה‬
‫‪ .‬על מנת לקבל קרובי ם סבירי ם הנ ח שהמ חסו ם הוא גבוה מאוד )אבל לא אין‬
‫ידי קליפה כדורית‬
‫‪.‬‬
‫סופי(‪ .‬כמו כן הנ ח שמתקיי ם‬
‫)‪ (2880‬רזוננסים של באר מסוככת ‪2009H‬‬
‫מפוזר על קליפה כדורית בעלת רדיוס‬
‫ובעל אנרגיה‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫ומתקיי ם‬
‫הקליפה מתוארת על ידי הפוטנציאל‬
‫רצפת הפוטנציאל בתוך הקליפה היא ומתקיי ם‬
‫להלן התי חס אך ורק ל‪s-scattering -‬‬
‫‪ .1‬רשו ם ביטוי עבור הנגזרת הלוגריתמית‬
‫מותר להשתמש בסימון‬
‫של פונקצית הפיזור בצד ה חיצוני של הקליפה‪.‬‬
‫‪ .2‬מה המשוואה שמקיימת הנגזרת הלוגריתמית א ם רוצי ם למצוא את הקטבי ם של הרזולבנט?‬
‫בסעיפי ם להלן אתה מתבקש למצוא קרוב לינארי‬
‫של הנגזרת הלוגריתמית‪.‬‬
‫אשר תקף סביב האפסי ם‬
‫‪ .3‬מצא קרוב עבור האנרגיות‬
‫א ם ריצפת הפוטנציאל היא עמוקה‪ .‬הגדר מה זה עמוק‪.‬‬
‫‪ .4‬מצא קרוב עבור האנרגיות‬
‫א ם ריצפת הפוטנציאל היא גבוהה‪ .‬הגדר מה זה גבוה‪.‬‬
‫‪ .5‬רשו ם ביטוי מדויק עבור המקדמי ם‬
‫תוך שימוש בסימון‬
‫‪ .6‬רשו ם ביטוי מקורב עבור קבועי הדעיכה‬
‫ועבור זמן השיהוי‬
‫ברזוננס על סמך סעיפי ם ‪2,3‬‬
‫‪ .7‬רשו ם ביטוי מקורב עבור קבועי הדעיכה‬
‫ועבור זמן השיהוי‬
‫ברזוננס על סמך סעיפי ם ‪2,4‬‬
‫)‪ (2890‬פיזור על קליפה כדורית‪ ,‬רזוננס ‪2005H2‬‬
‫מפוזר על קליפה כדורית בעלת רדיוס‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫הקליפה מתוארת על ידי הפוטנציאל‬
‫להלן הנ ח פיזור באנרגיה נמוכה כך שרק ‪ s-scattering‬הוא חשוב‬
‫להלן מותר להשתמש בסימון‬
‫‪ .1‬מצא נוס חא עבור היסט הפאזה‬
‫‪ .2‬רשו ם ביטוי עבור‬
‫‪ .3‬רשו ם ביטוי עבור‬
‫אנרגיות הרזוננס מוגדרות על ידי המשוואה‬
‫‪ .4‬מצא ביטוי סגור עבור רו חב הרזוננסי ם‬
‫רמז‪ :‬עליך לבצע לינאריזציה של המכנה סביב אנרגית הרזוננס‪,‬‬
‫ולהשתמש במשוואה שקובעת את אנרגיות הרזוננס על מנת לקבל תוצאה סגורה‪.‬‬
‫נוס חת גאמוב אומרת שזמן ה חיי ם נקבע על ידי זמן המ חזור של התנודות של ה חלקיק בתוך הבור כפול מקד ם המעבר‬
‫של המ חסו ם‪.‬‬
‫‪ .5‬מה התנאי לכך שתוצאת סעיף )‪ (4‬תתלכד ע ם נוס חת גאמוב?‬
‫)‪ (2910‬חתך פעולה ותאורמה אופטית ב שני מימדים ‪2005H3‬‬
‫בבעיה זו עליך "להכליל" את שיטת היסטי הפאזה מ‪ 3D -‬ל‪2D -‬‬
‫נא להשתמש בסימוני ם המתבקשי ם‬
‫היא הזוית בקואורדינטות פולריות‪.‬‬
‫באשר‬
‫‪ .1‬הגדר‬
‫‪ .2‬רשו ם את פונקציות הגל ה חופשיות‬
‫עליך להקפיד על נירמול נכון )שטף נכנס שווה לא חד(‪.‬‬
‫נתון גל מישורי‬
‫אשר פוגע במטרה "כדורית" )=עיגולית(‬
‫‪ .3‬רשו ם את הגל הפוגע כסכו ם של גלי ם "כדוריי ם" שהגדרת בסעיף )‪.(2‬‬
‫‪ .4‬למה שווה השטף אשר נכנס בערוץ‬
‫נתון היסט הפאזה‬
‫בערוץ‬
‫‪ .5‬מצא ביטוי עבור חתך הפעולה ה חלקי‬
‫בערוץ‬
‫ההתנהגות האסימפטוטית של הגל ניתנת לרישו ם האופן הבא‪:‬‬
‫‪ .6‬רשו ם ביטוי עבור פונקצית הפיזור‬
‫‪ .7‬מצא את מקד ם הפרופורציה בנוס חא‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (2920‬חתך פעולה ותאורמה אופטית ב שני מימדים‬
‫בבעיה זו עליך "להכליל" את הדריבציה של התאורמה האופטית מ‪ 3D -‬ל‪2D -‬‬
‫תוך שימוש בפורמאליז ם של ה‪. T matrix -‬‬
‫)‪ (3020‬חלקיק בטבעת חד מימדית‪.‬‬
‫הנ ח\הני חי חלקיק בעל מסה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫ומטען‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫‪.‬‬
‫בהנ חת כיול הומוגני )להלן הכיול "הישן"(‬
‫רשו ם למה שווה הפוטנציאל הוקטורי‬
‫בהנ חת כיול דלתה )להלן הכיול "ה חדש"(‬
‫רשו ם למה שווה הפוטנציאל הוקטורי‬
‫במקרה של כיול דלתה הסבר איך אפשר לרשו ם את תנאי ה‪ matching-‬בפורמאליז ם של מטריצת פיזור‪.‬‬
‫בכיול "הישן" ובכיול "ה חדש"‪.‬‬
‫מצא את המצבי ם העצמיי ם‬
‫מה היא טרנפורמצית הכיול שבאמצעותה ניתן לקבל את המצבי ם בכיול ה חדש?‬
‫ודא שבשתי שיטות הכיול מתקבלות אותן אנרגיות עצמיות‬
‫)‪ (3040‬חלקיק בטבעת חד מימדית ‪ +‬מפזר‬
‫הנ ח\הני חי חלקיק בעל מסה ומטען בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪.‬‬
‫בנוסף יש בטבעת מפזר המתואר על ידי‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫‪) .‬אבל אין צורך לפתור אותה(‬
‫מצא\י משוואה סגורה עבור האנרגיות העצמיות‬
‫מתקבל הספקטרו ם של בור פוטנציאל אינסופי‪.‬‬
‫הראה שבגבול‬
‫‪.‬‬
‫צייר דיאגרמה של רמות האנרגיה כפונקציה של השטף בגבול‬
‫הסבר )איכותית( מה הוא האפקט העיקרי של נוכ חות המפזר על הדיאגרמה שציירת ‪.‬‬
‫)‪ (3060‬סוספטיבליות מגנטית של טבעת ‪2012A‬‬
‫הנ ח\הני חי אלקטרון בעל מסה ‪ ,‬מטען ‪ ,‬וי חס גירומגנטי ‪ g‬בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪.‬‬
‫הטבעת מצויה בשדה מגנטי א חיד‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫המערכת הוכנה בטמפרטורה אפס‪ ,‬ז"א שהיא מצויה במצב היסוד‪.‬‬
‫המגנטיזציה ‪ M‬של המערכת מוגדרת דרך הנגזרת הראשונה של האנרגיה לפי השדה המגנטי‪.‬‬
‫הסוספטיביליות של המערכת מוגדרת דרך הנגזרת השניה של האנרגיה בשדה שואף לאפס‪.‬‬
‫שי ם לב שאלקטרוני ם ה ם פרמיוני ם בעלי ספין חצי המקיימי ם את עקרון האיסור של פאולי‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫מצא\י את הסוספטיבליות המגנטית של המערכת עבור אלקטרון י חיד‪.‬‬
‫הסבר\הסבירי באיזה מובן האפקט הוא דיאמגנטי‪.‬‬
‫מה יהיה האפקט של נוכ חות מפזר על התוצאה שמצאת‪.‬‬
‫חזור על סעיף )‪ (1‬עבור ‪ 3‬אלקטרוני ם‪.‬‬
‫במקרה הא חרון ‪ -‬מה המגנטיציה של המערכת בשדה שואף לאפס‪.‬‬
‫כיצד היתה משתנה תשובתך א ם השטף המגנטי היה מרוכז במרכז הטבעת‪.‬‬
‫)‪ (3070‬מגנטיזציה של טבעת עם אלקטרונים ‪2009A‬‬
‫מצויה בשדה מגנטי א חיד ‪.‬‬
‫טבעת בעלת רדיוס‬
‫מטען וספין חצי‪.‬‬
‫בטבעת יש ‪ 5‬אלקטרוני ם בעלי מסה‬
‫שי ם לב ששני אלקטרוני ם לא יכולי ם לאכלס את אותו מצב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נסמן את אנרגית מצב היסוד ב‪-‬‬
‫נגדיר את המגנטיזציה בצורה‬
‫נתוני ם‪:‬‬
‫א ם לא היה לאלקטרוני ם ספין אז המגנטיזציה היתה פונקציה מ חזורית‪ ,‬ע ם מ חזור‬
‫בהמשך השאלה אנו מני חי ם שהשדה המגנטי הוא‬
‫מספר של ם ובאשר‬
‫באשר‬
‫‪ .1‬רשו ם ביטוי עבור‬
‫עבור‬
‫‪ .2‬מצא את‬
‫כאשר‬
‫‪ .3‬בהמשך לסעיף הקוד ם רשו ם את התוספת ל‪-‬‬
‫‪ .4‬מצא את‬
‫עבור‬
‫קטן‬
‫עבור‬
‫גדול כאשר‬
‫‪ .5‬בהמשך לסעיף הקוד ם רשו ם את התוספת ל‪-‬‬
‫‪ .6‬הגדר מה זה‬
‫‪.‬‬
‫קטן‬
‫עבור‬
‫גדול‬
‫טיפ‪ :‬בסעיפי ם ‪ 2,4‬כדאי לצייר דיאגרמת איכלוס של רמות האנרגיה‪.‬‬
‫)‪ (3080‬זרמים מתמידים של חלקיק בטבעת‬
‫הנ ח\הני חי חלקיק בעל מסה ומטען‬
‫ה חלקיק נמצא במצב היסוד של הטבעת‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את הזר ם‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫‪.‬‬
‫שזור ם בטבעת‪.‬‬
‫‪ .2‬צייר\י ציור סכמטי של הזר ם כפונקציה של השטף‪.‬‬
‫‪ .3‬הסבר )איכותית( מה הוא האפקט של נוכ חות מפזר על התוצאה‬
‫)‪ (3090‬חלקיק בין שני גלילים קונצנטרים‪.‬‬
‫והרדיוסי ם שלה ם‬
‫ו‬
‫‪.‬‬
‫חלקיק טעון חשמלית נמצא בין שני גלילי ם קונצנטרי ם שאורכ ם‬
‫מצא\י ביטוי לרמות האנרגיה של ה חלקיק‪.‬‬
‫כעת נני ח כי דרך הגליל הקטן יותר עובר שטף מגנטי‪.‬‬
‫הראה\הראי כי למרות שה חלקיק נע באזור בו השדה המגנטי הוא אפס‪ ,‬רמות האנרגיה ישתנו‪.‬‬
‫)‪ (3120‬התאבכות בגאומטרית אהרונוב‪-‬בוהם‬
‫לטבעת חד מימדית מ חוברי ם שני חוטי ם חד מימדיי ם באופן סימטרי‪.‬‬
‫האורך של כל חצי טבעת )"זרוע"( הוא ‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫של ה חלקיק המוזרק‪.‬‬
‫בנוסף נתון התנע‬
‫‪.‬‬
‫הבעיה היא למצא את העבירות )הטרנסמיציה( של ההתקן‬
‫הנ ח\הני חי שכל צומת מתוארת על ידי מטריצת כמו בבעיה ‪.262‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם\רשמי מערכת של ‪ 6‬משוואות לינאריות שבאמצעותה ניתן למצוא את הפתרון‪) .‬אין צורך לפתור את‬
‫מערכת המשוואות(‪.‬‬
‫‪ .2‬רשו ם\רשמי את הפתרון המקורב לבעיה זו אילו ניתן היה להזני ח ה חזרות פנימיות בתוך הטבעת‪) .‬זה הקרוב‬
‫המקובל ברוב ספרי הלימוד(‪.‬‬
‫)‪ (3121‬התאבכות בגאומטרית אהרונוב‪-‬בוהם ‪NEW‬‬
‫‪Find an explicit expression for the transmission of an Aharonov-Bohm ring that has arms of length‬‬
‫‪$L_1$ and $L_2$, connected to two leads. The flux through the ring is $\Phi$. Assume junctions as‬‬
‫‪described in the section 39.2 of the lecture notes with $u=0$. In order to solve use the method that‬‬
‫‪is described in section 39.3 of the lecture notes.‬‬
‫‪Guidance: write a set of two coupled equations for the value $\psi_1$ and $psi_2$ of the‬‬
‫‪wavefunction at the two junctions. Note that the two equations reflect the condition of having current‬‬
‫‪conservation. Solve this set of equations assuming that an incident wave that has unit amplitude‬‬
‫‪enters the first junction. The reflections and transmission amplitudes $r$ and $t$ can be expressed‬‬
‫‪from $psi_1$ and $psi_2$ respectively.‬‬
‫)‪ (3150‬מונופולים מגנטיים )דירק(‬
‫נני ח כי קיימי ם מונופולי ם מגנטיי ם בעלי מטען‬
‫סולונואיד מאוד ארוך המשתרע לאור הציר‬
‫‪ .‬נני ח שהשדה המגנטי של מונופול הוא כמו השדה של קצה של‬
‫‪ .1‬מהו השדה המגנטי של המונופול?‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה כי‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫הא ם הפוטנציאל מוגדר היטב בכל המר חב?‬
‫מה התנאי לכך שנוכ חות הסולונואיד תהיה מלתי מורגשת מב חינה פיסיקלית?‬
‫המוגדר היטב היכן שהקוד ם מתבדר‪.‬‬
‫הגדר פוטנציאל‬
‫היכן הפוטנציאל השני מתבדר?‬
‫ניתן להשתמש בשני הפוטנציאלי ם י חד כדי להגדיר את השדה המגנטי בכל המר חב‪.‬‬
‫מכיוון שהפוטנציאלי ם מתארי ם את אותו השדה ה ם קשורי ם ע"י טרנספורמצית כיול‪.‬‬
‫‪ .7‬מהי טרנספורמצית הכיול?‬
‫‪ .8‬מה הקשר בין פונקצית הגל בכיול הראשון ובכיול השני?‬
‫‪ .9‬מה הקשר בין המטען המגנטי למטען ה חשמלי הנובע מהאילוץ שפונקצית הגל היא חד ערכית?‬
‫)‪ (3520‬חלקיק בטבעת עם שדה מגנטי לא הומוגני ‪2013A‬‬
‫‪ ,‬מטען ‪ ,‬וספין חצי ע ם קבוע גירמגנטי‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫בכיוון ציר ‪.‬‬
‫יוצרי ם שדה מגנטי לא הומוגני‬
‫במרכז הטבעת‪.‬‬
‫בנוסף מני חי ם מטען‬
‫מצוי בטבעת בעלת רדיוס‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם ביטוי עבור הוקטור פוטנציאל שמופיע בהמילטוניאן של ה חלקיק‬
‫‪ .2‬רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫‪ .3‬רשו ם מה הקבוע הגירומגנטי האפקטיבי‬
‫כולל אינטראקצית ספין‪-‬מסילה‬
‫שמשתמע מאיבר זימן האורביטלי בהמילטוניאן שרשמת‪.‬‬
‫‪ .4‬מה צריך להיות רדיוס הטבעת על מנת שאיבר זימן האורביטלי לא ישפיע על הספקטרו ם‪.‬‬
‫טיפ ‪ :‬את התנאי בסעיף ‪ 4‬אפשר לקבל ללא צורך במציאת ההמילטוניאן‪.‬‬
‫)‪ (3530‬המילטוניאן של חלקיק ב שדה מגנטי של גל מי שורי‬
‫‪are‬‬
‫‪and‬‬
‫‪where‬‬
‫‪with the vector potential‬‬
‫‪Consider partcile with mass‬‬
‫‪perpendicular. Write the expression that corresponds to the Zeeman term in this case.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪, so we have in the Hamiltonian a Zeeman term with‬‬
‫‪Assume that the region of interest is near‬‬
‫‪. Call it‬‬
‫‪. Explain the difference.‬‬
‫???‬
‫‪region‬‬
‫‪in the region‬‬
‫‪direction.‬‬
‫‪in the‬‬
‫‪Find what is the magentic field‬‬
‫‪In particular find‬‬
‫‪.‬‬
‫‪identical with‬‬
‫‪direction and‬‬
‫‪Do you have in the‬‬
‫‪. Is‬‬
‫‪in the‬‬
‫‪Tip: Define‬‬
‫‪For simplicity you can take‬‬
‫)‪ (3540‬דרך פ שוטה למציאת רמות לנדאו ‪focus question‬‬
‫התי חס לבעיה של אלקטרון חסר ספין בשדה מגנטי הומוגני‪.‬‬
‫ואת אופרטורי המיקו ם הציקלוטרוני‬
‫הגדר את אופרטורי המהירות‬
‫מצא את י חסי הקומוטציה בין האופרטורי ם‪ .‬רשו ם את ההמילטוניאן באמצעות ם‪.‬‬
‫הראה שמתקבל המילטוניאן של אוסצילטור הרמוני‪.‬‬
‫קבע את רמות האנרגיה ואת הניוון שלה ם על ידי שימוש בשיקול סמיקלאסי‪.‬‬
‫)נתון שט ח הקופסא(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (3560‬חלקיק בפוטנציאל הרמוני דו‪-‬מימדי עם שדה מגנטי‬
‫חלקיק קשור על ידי פוטנציאל הרמוני דו מימדי‬
‫‪ .1‬מה הן רמות האנרגיה? מה הניוון של כל רמה?‬
‫(‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬נו ח לענות על שאלה זו על ידי הפרדת משתני ם בקואורדינטות קרטזיות )‬
‫(‪.‬‬
‫בשלב שני יש "לתרג ם" את התוצאה לשפה של קואורדינטות פולריות )‬
‫השלב השני )אשר נדרש לצורך פתרון המשך השאלה( דורש חשיבה "בלתי קונבנציונלית" ולא עבודה ש חורה !‬
‫‪ .2‬מוסיפי ם שדה מגנטי הומוגני ‪ .‬מה הן רמות האנרגיה?‬
‫‪ .3‬מה הניוון הגנרי של כל רמה א ם מזני חי ם את האיבר הדיאמגנטי?‬
‫‪ .4‬מה הסוספטיבליות המגנטית א ם המערכת היא במצב היסוד?‬
‫בסעיפי ם לעיל התבקשת להני ח שתנועתו של ה חלקיק מוגבלת להיות על פני מישור דו‪-‬מימדי‪.‬‬
‫חזור על הסעיפי ם הנ"ל במקרה התלת מימדי )ז"א ה חלקיק יכול לנוע ג ם בכיוון האנכי(‪.‬‬
‫)‪ (3570‬חלקיק בעיגול עם שדה מגנטי ‪ -‬רמות לנדאו‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫רשו ם בקואורדינטות קרטזיות את ההמילטוניאן של חלקיק במישור ‪ XY‬בנוכ חות שדה מגנטי הומוגני אנכי ‪.‬‬
‫הראה שההמילטוניאן הוא כמו של אוסצילטור דו‪-‬מימדי פלוס איבר זימן‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן בקואורדינטות פולריות‪ ,‬וציין מה היא המשוואה הרדיאלית‪.‬‬
‫מה הן רמות האנרגיה שמתקבלות מהמשוואה הרדיאלית ללא איבר זימן? מה הניוון של כל רמה?‬
‫מה הן רמות האנרגיה שמתקבלות מהמשוואה הרדיאלית ע ם איבר זימן? מה הניוון של כל רמה?‬
‫הערות‪:‬‬
‫בסעיף ‪ 4‬אפשר להסיק את התשובה מתוך הכרות ע ם הפתרון הידוע בקואורדינטות קרטזיות‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 5‬הנ ח שתנועתו של ה חלקיק מוגבלת בתוך עיגול בעל רדיוס ‪.R‬‬
‫יש להראות שהתשובות הסופיות הן בהתאמה לתוצאות הידועות עבור רמות לנדאו‪.‬‬
‫)‪ (3610‬אלקטרון בגאומטריה של אפקט הול‬
‫הנ ח\הני חי דג ם דו‪-‬מימדי באורך‬
‫נתון פוטנציאל חשמלי‬
‫‪ ,‬ע ם תנאי שפה מ חזוריי ם באינטרוול‬
‫בכיוון ציר ‪.‬‬
‫‪ ,‬ויש שדה מגנטי הומוגני‬
‫נו ח להביע את השדה המגנטי באמצעות הגודל חסר המימד‬
‫ניתן לשי ם לב ש‪ -‬הוא למעשה י חס בין שתי תדירויות )מה הן?(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אלקטרוני ם חסרי ספין‪.‬‬
‫לתוך הדג ם מכניסי ם‬
‫רק פס )‪ (band‬לנדאו הראשון מאוכלס‪.‬‬
‫הראה שכל עוד‬
‫)לצורך קבלת תוצאה זו יש לעשות לא מעט אלגברה(‪.‬‬
‫הראה\י כיצד ניתן לקבל בקלות י חסית את התוצאה הנ"ל בקרובי ם של שדה מגנטי חזק מאוד ושל שדה מגנטי חלש‬
‫מאוד‪.‬‬
‫)‪ (3630‬אלקטרונים בבור פוטנציאל סופי ‪ +‬שדה מגנטי‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ובעומק‬
‫נתון בור פוטנציאל דו מימדי בגודל‬
‫בתוך הבור‪ ,‬קירות מאוד גבוהי ם בהיקף הבור‪ ,‬וכן‬
‫זה אומר‬
‫בור חי ם ה חוצה‪.‬‬
‫כתוצאה מכך כל האלקטרוני ם ע ם אנרגיה‬
‫הנ ח שהאלקטרוני ם שנותרי ם בקופסא ה ם חסרי ספין‪ ,‬בעלי מסה ‪ ,‬ובעלי מטען ‪.‬‬
‫כמו כן ניתן להתעל ם מתיקוני ם לאנרגיה שנובעי ם מתנאי השפה של הקופסא‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את התנאי‬
‫להלן הנ ח‬
‫מ חוץ לבור‪.‬‬
‫לכך שיוכל להיות לפ חות אלקטרון א חד בבור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את מספר האלקטרוני ם‬
‫שיכולי ם להיות בבור‪.‬‬
‫במאונך למישור שבו מצוי הבור‪.‬‬
‫יוצרי ם שדה מגנטי הומוגני‬
‫בסעיפי ם להלן ניתן להשתמש )ללא צורך בהוכ חה( בתוצאות ידועות לגבי רמות לנדאו‪.‬‬
‫לכך שיוכלו להיות אלקטרוני ם בתוך הבור‪.‬‬
‫‪ .3‬רשו ם את התנאי‬
‫שיכולי ם להיות בבור כאשר‬
‫‪ .4‬חשב את מספר האלקטרוני ם‬
‫?‬
‫‪ .5‬למה שווה הי חס‬
‫)מלמטה(‪.‬‬
‫)‪ (3640‬אלקטרונים בבור פוטנציאל סופי ‪ +‬שדה מגנטי ‪2005C3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ובעומק‬
‫נתון בור פוטנציאל דו מימדי בגודל‬
‫מ חוץ לבור‪.‬‬
‫בתוך הבור‪ ,‬קירות מאוד גבוהי ם בהיקף הבור‪ ,‬וכן‬
‫זה אומר‬
‫בור חי ם ה חוצה‪.‬‬
‫כתוצאה מכך כל האלקטרוני ם ע ם אנרגיה‬
‫הנ ח שהאלקטרוני ם שנותרי ם בקופסא ה ם חסרי ספין‪ ,‬בעלי מסה ‪ ,‬ובעלי מטען ‪.‬‬
‫כמו כן ניתן להתעל ם מתיקוני ם לאנרגיה שנובעי ם מתנאי השפה של הקופסא‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את התנאי‬
‫להלן הנ ח‬
‫לכך שיוכל להיות לפ חות אלקטרון א חד בבור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את מספר האלקטרוני ם‬
‫שיכולי ם להיות בבור‪.‬‬
‫במאונך למישור שבו מצוי הבור‪.‬‬
‫יוצרי ם שדה מגנטי הומוגני‬
‫בסעיפי ם להלן ניתן להשתמש )ללא צורך בהוכ חה( בתוצאות ידועות לגבי רמות לנדאו‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את השדה המקסימאלי‬
‫כך שיש שתי רמות לנדאו מלאות בתוך הבור‪.‬‬
‫נסמן את מספר ה חלקיקי ם בסעיף )‪ (3‬בסימון‬
‫‪ .4‬למה שווה הי חס‬
‫?‬
‫‪ .5‬הכלל את התוצאה למקרה של ‪ n‬רמות לנדאו מלאות‪.‬‬
‫)‪ (3710‬אלקטרון בגאומטריה של אפקט הול‪ ,‬באר כפולה ‪2013B‬‬
‫הנ ח תנאי שפה מ חזוריי ם‪.‬‬
‫שמשתנה באופן מאוד מתון‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון דג ם מלבני דו מימדי ארוך‪ .‬במימד האורכי‬
‫במימד הרו חבי הנ ח פוטנציאל חשמלי‬
‫לפוטנציאל יש מינימו ם לוקאלי לאורך הקווי ם‬
‫‪.‬‬
‫הדג ם מצוי בשדה מגנטי אנכי‬
‫הדג ם מאכלס ‪ 2‬אלקטרוני ם חסרי ספין‪ ,‬בעלי מסה ומטען ‪.‬‬
‫האלקטרוני ם מאכלסי ם את מצבי לנדאו הנמוכי ם ביותר‬
‫‪.‬‬
‫והמצב שלה ם מיוצג על ידי פונקציות גל‬
‫בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫בסעיפי ם ‪ 1-3‬הנ ח שדה הומוגני‬
‫בסעיפי ם ‪ 4-6‬הנ ח שהפכו את כיוון השדה המגנטי ב חצי המישור הת חתון‬
‫)‪ (1‬רשו ם את ההמילטוניאן של אלקטרון בדג ם זה‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשו ם את הפוטנציאלי האפקטיבי‬
‫)‪ (3‬רשו ם את פונקציות הגל‬
‫שמתקבל לא חר הפרדת משתני ם‪.‬‬
‫של שני האלקטרוני ם‪.‬‬
‫)‪ (4‬רשו ם וצייר סכמטית את הפוטנציאלי האפקטיבי‬
‫עבור השדה המגנטי ה חדש‪.‬‬
‫)‪ (5‬רשו ם ביטויי ם מקורבי ם עבור פונקציות הגל ה חדשות‪.‬‬
‫)‪ (6‬רשו ם על סמך ‪ WKB‬ביטוי עבור פיצול האנרגיה‬
‫הדרכה ‪:‬‬
‫יש להביע את התשובות באמצעות הנתוני ם‪.‬‬
‫על מנת לפשט ביטויי ם מותר ורצוי להשתמש בסימון‬
‫של המצבי ם ה חדשי ם‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫כמו כן מותר ורצוי להשתמש בסימון‬
‫בסעיף ‪ 6‬יש לספק ביטויי ם מפורשי ם עבור ‪A, C‬‬
‫ב חישוב ‪ A‬יש להזני ח את האנרגיה הקינטית בי חס לגובה המ חסו ם‪.‬‬
‫)‪ (4020‬הזזות ‪focus question‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את הריאליזציה שמגדירה את האיברי ם של חבורת ההזזות‬
‫‪ .2‬הסבר מדוע הריאליזציה שמגדירה את חבורת ההזזות אינה מהווה "הצגה" של ה חבורה‬
‫‪ .3‬רשו ם את פעולת ההזזות מעל מר חב הפונקציות‪ .‬מדוע זאת "הצגה"?‬
‫הערה‪ :‬ההצגה הזאת מתפרקת לסכו ם של אינסוף הצגות חד‪-‬מימדיות‪.‬‬
‫‪ .4‬מצא\י את היצוג הדיפרנציאלי של היוצרי ם‬
‫‪ .5‬הוכ ח\י את י חסי הקומוטציה של היוצרי ם‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪ .6‬באר\י את המשמעות הגאומטרית של התוצאה‪.‬‬
‫עבור הצגה זו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4030‬דיליטציות ‪:‬‬
‫באנלוגיה להגדרה של הזזות וסיבובי ם‪ ,‬ניתן ג ם להגדיר דיליטציות באמצעות הטרנספורמציה‬
‫‪.‬‬
‫שי ם לב שמתקיי ם‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.‬‬
‫הצע ראליזציה שומרת נירמול של דיליטציות מעל מר חב הפונקציות‬
‫כיצד נראית פעולת הדיליטציה בהצגת התנע?‬
‫הצע פרמטריזציה יותר נו חה כך שיתקיי ם‬
‫מצא יצוג דיפרנציאלי עבור היוצר של פעולת הדיליטציה )הצגה מר חבית(‬
‫באמצעות האופרטורי ם‬
‫רשו ם את‬
‫חשב את הקומוטטורי ם‬
‫הסבר את משמעות התוצאה הא חרונה מב חינת האיפיון האלגברי של‬
‫)‪ (4050‬חבורת הסיבובים‬
‫‪focus question‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את הריאליזציה שמגדירה את האיברי ם של חבורת הסיבובי ם‬
‫‪ .2‬הסבר מדוע זאת הצגה של חבורת הסיבובי ם )"ההצגה האוקלידית"(‪.‬‬
‫ההצגה האוקלידית משמשת לצורך הגדרת "טבלת הכפל" של חבורת הסיבובי ם‪.‬‬
‫הצגה זו היא הצגה נאמנה בלתי פריקה ממימד ‪.3‬‬
‫‪,‬‬
‫לעומת זאת ההצגה מעל מר חב הפונקציות מתפרקת בצורה‬
‫כך שהיא כוללת את כל ההצגות )הנאמנות( הבלתי פריקות של חבורת הסיבובי ם‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ ,‬ומצא את היוצרי ם‬
‫רשו ם\רשמי את מטריצות הסיבוב האוקלידיות‬
‫‪.‬‬
‫הוכ ח\י את י חסי הקומוטציה של היוצרי ם‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫באר\י את המשמעות הגאומטרית של התוצאה )במונ חי ם של סיבובי ם אינפיניטסימאליי ם(‪.‬‬
‫הסבר\י מדוע י חסי הקומוטציה שמצאת תופסי ם לגבי כל הצגה א חרת של חבורת הסיבובי ם‪.‬‬
‫)‪ (4070‬חבורת "הסיבובים"‬
‫‪.‬‬
‫יש את אותה "טבלת כפל" כמו ל חבורה‬
‫עד כדי התאמה דו ערכית‪ ,‬ל חבורה‬
‫בעלות דטרמיננטה‬
‫ההצגה המגדירה של חבורה זו כוללת את אוסף המטריצות האוניטריות‬
‫‪ .1‬הסבר מדוע כל מטריצה כזאת ניתן לרישו ם בצורה‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫ב חר בצורה הפשוטה ביותר את היוצרי ם‪.‬‬
‫מה ה ם קבועי המבנה של ה חבורה?‬
‫מה יקרה לקבועי המבנה א ם תב חר את היוצרי ם בצורה שונה?‬
‫מדוע אף פע ם לא מדברי ם בספרי ם או בתרגילי ם על "ה חבורה‬
‫"‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4090‬החבורה‬
‫נתונות ההצגות הבאות של היוצרי ם של‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .1‬מדוע יש ‪ 8‬יוצרי ם?‬
‫‪ .2‬מצא\י את קבועי המבנה של ה חבורה‬
‫יש כאן הרבה אלגברה‪ .‬אפשר )רצוי( להשתמש במ חשב‪.‬‬
‫)‪ (4220‬אופרטורי העלאה והורדה ‪focus question‬‬
‫‪ .1‬מתוך י חסי הקומוטציה הבסיסיי ם של יוצרי הסיבובי ם הוכ ח\י את התוצאה הבאה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫חייב להיות מספר טבעי‪.‬‬
‫‪ .1‬הסבר\י כיצד מתוצאה זו משתמע ש‬
‫‪ .2‬הסבר\י מדוע מספר זה הוא המימד של ההצגה‪.‬‬
‫‪ .3‬על ידי שימוש בתוצאה לעיל קבע\י את מקד ם הנירמול ‪ c‬בנוס חא‪:‬‬
‫)‪ (4240‬בניית הצגות של חבורת הסיבובים‬
‫מצא את ההצגה הסטנדרטיות של היוצרי ם‬
‫‪.‬‬
‫עבור הצגות בעלות מימד‪:‬‬
‫הדרכה‪ :‬חשב את אלמנטי המטריצה של‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬מתוך אלו של‬
‫‪,‬‬
‫בנה את ההצגה‬
‫בנה את ההצגה‬
‫)‪ (4260‬חי שוב מטריציות סיבוב ‪focus question‬‬
‫ברגע שיש לנו הצגה מפורשת של היוצרי ם‪ ,‬ניתן ל חשב באמצעות ם את ההצגה המטריצית של פעולת הסיבוב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הנ ח שציר הסיבוב נקבע על ידי וקטור י חידה שהכיוון שלו מוגדר על ידי הקואורדינטות הכדוריות‬
‫זוית הסיבוב היא‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫רשמו ביטוי מפורש עבור הוקטור ‪.‬‬
‫במקרה של הצגה ממימד ‪) 2‬ספין ‪(1/2‬‬
‫מצאו נוס חא ל חישוב מטריצת הסיבוב‬
‫רישמו ביטוי מפורש עבור מטריצת הסיבוב‪.‬‬
‫במקרה של הצגה ממימד ‪) 3‬ספין ‪(1‬‬
‫מצאו נוס חא ל חישוב מטריצת הסיבוב‬
‫חשבו במפורש את מטריצות הסיבוב כאשר ציר הסיבוב הוא ציר ‪ Y‬או ציר ‪Z‬‬
‫הסבירו מדוע בעזרת התוצאות של )‪ (5‬ניתן ל חשב כל סיבוב !‬
‫)‪ (4320‬מצבי קיטוב )טהורים( של ספין ‪1/2‬‬
‫של ספין ‪ 1/2‬מוגדר בצורה הבאה‪:‬‬
‫מצב קיטוב טהור‬
‫מסובבי ם מצב ‪ up‬בזוית מסביב לציר וא ח"כ מבצעי ם סיבוב בזוית‬
‫מסביב לציר ‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם\רשמי את המצב המתקבל כסופרפוזיציה של מצבי ‪ up‬ו‪. down -‬‬
‫‪ .2‬הראה באופן מפורש שזה מצב עצמי של יוצר הסיבובי ם מסביב לציר‬
‫‪ .3‬ללא שו ם חישוב נוסף הסק את התוצאה הבאה‪:‬‬
‫באשר‬
‫ה ם שני כיווני קיטוב כלשה ם‬
‫)‪ (4340‬מצבי קיטוב מעגליים ולינארים של חלקיקים בעלי ספין‪1‬‬
‫של ספין‪ 1‬מוגדר בצורה הבאה‪:‬‬
‫מצב קיטוב מעגלי‬
‫בזוית מסביב לציר ‪ ,‬וא ח"כ מבצעי ם סיבוב בזוית‬
‫מסובבי ם מצב‬
‫רשו ם\רשמי את המצב המתקבל כסופרפוזיציה בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫מסביב לציר ‪. z‬‬
‫של ספין‪ 1‬מוגדר בצורה הבאה‪:‬‬
‫מצב קיטוב לינארי‬
‫בזוית מסביב לציר ‪ ,‬וא ח"כ מבצעי ם סיבוב בזוית‬
‫מסובבי ם מצב‬
‫רשו ם\רשמי את המצב המתקבל כסופרפוזיציה בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫מסביב לציר ‪. z‬‬
‫)‪ (4350‬מצבי קיטוב של ספין‪ 1‬בהיבט אוקלידי‬
‫במקרה של ספין‪.1‬‬
‫באנלוגיה לבעיה ‪ 4320‬מצא ביטוי עבור‬
‫הב חן בין המקרי ם הבאי ם‪:‬‬
‫שני המצבי ם ה ם קיטוב מעגלי‬
‫שני המצבי ם ה ם קיטוב לינארי‬
‫מצב א חד הוא מעגלי והשני הוא לינארי‬
‫)‪ (4360‬הק שר בין ההצגה‬
‫להצגה האוקלידית‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את היוצרי ם של חבורת הסיבובי ם בהצגה הסטנדרטית‬
‫כבסיס חדש להצגה‪.‬‬
‫‪ .2‬הגדר את מצבי הקיטוב הלינארי‬
‫‪ .3‬הראה שההצגה של היוצרי ם בבסיס ה חדש מתלכדת ע ם ההצגה האוקלידית‪.‬‬
‫ז"א שההצגה הסטנדרטית וההצגה האוקלידית הן שקולות‪.‬‬
‫)‪ (4420‬זיהוי מצב קיטוב של "ספין ‪"1/2‬‬
‫זהה\זהי בשתי דרכי ם את האורינטציה של המצב המקוטב‪:‬‬
‫‪ .1‬הדרך הראשונה היא על ידי קבלתו ממצב ‪ UP‬באמצעות מטריצות סיבוב )סביב ‪ Y‬וא ח"כ סביב ‪.(Z‬‬
‫‪ .2‬הדרך השניה היא על ידי חישוב של וקטור הפולריזציה )ז"א חישוב ערכי תו חלת(‪.‬‬
‫)‪ (4430‬זיהוי סיבוב ‪ Hadamard‬של ספין ‪2005C2 1/2‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין חצי‪ .‬מגדירי ם את הפעולה הבאה )בבסיס הסטנדרטי(‪:‬‬
‫שאלות ל חימו ם‪:‬‬
‫‪ .1‬מפעילי ם את‬
‫‪ .2‬מפעילי ם את‬
‫על מצב ‪ . UP‬מה יהיה כיוון הקיטוב?‬
‫על מצב ‪ . DOWN‬מה יהיה כיוון הקיטוב?‬
‫שאלת "מיליון הדולר"‪:‬‬
‫‪ .3‬מה זוית הסיבוב המיוצג על ידי‬
‫במעבדה עלי ידי הפעלת שדה לפרק זמן של‬
‫ניתן לממש את‬
‫ההמילטוניאן בעת הפעלת השדה הוא מהצורה‬
‫‪ .4‬קבע את הכיוון ואת הגודל של השדה המגנטי‬
‫‪ .5‬קבע את הערך של הקונסטנטה‬
‫)‪ (4440‬זיהוי סיבובים ‪2008A2‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין חצי‪ .‬מגדירי ם את מטריצות הסיבוב הבאות )בבסיס הסטנדרטי(‪:‬‬
‫)א( עבור כל א חת מהמטריצות הנתונות זהה את זוית הסיבוב‬
‫)ב( רשו ם מטריצת סיבוב ‪ 4x4‬אשר מבצעת את הפעולה‬
‫ואת ציר הסיבוב‬
‫על שני ספיני ם‪.‬‬
‫)‪ (4460‬יצוג מצבי ספין ‪.1/2‬‬
‫את המצב הקוונטי של ספין ‪ 1/2‬ניתן לקבוע באמצעות שלוש מדידות בלתי תלויות‪.‬‬
‫באשר ‪. j=1,2,3‬‬
‫הנ ח שמדדו את ערכי התו חלת‬
‫הבע את האלמנטי ם של מטריצת ההסתברות באמצעות רכיבי וקטור הפולריזציה‬
‫‪.‬‬
‫הראה שניתן לרשו ם את התוצאה בצורה‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4480‬דינמיקה במערכת שני אתרים‬
‫נתון חלקיק חסר ספין במערכת של שני אתרי ם‪.‬‬
‫נתון שאמפליטודת המעבר לי חידת זמן בין המצב‬
‫בנוסף קיי ם שדה חשמלי כך שיש הפרש פוטנציאלי ם‬
‫למצב‬
‫בין שני האתרי ם‪.‬‬
‫היא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתקיי ם‬
‫נתון שבזמן‬
‫הבעיה של דינמיקה במערכת שני אתרי ם זהה פורמאלית לבעית הפרסציה של ספין ‪: 1/2‬‬
‫‪ .1‬רשו ם\רשמי את ההמילטוניאן בצורה‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫‪ .2‬למה שווה‬
‫‪ .3‬הבע את תדירות הפרסציה באמצעות הנתוני ם‬
‫למצוא את ה חלקיק באתר הימני לא חר זמן ‪.‬‬
‫‪ .4‬רשו ם ביטוי עבור ההסתברות‬
‫את הסעיף הא חרון ניתן לפתור כמעט ללא "עבודה ש חורה" על ידי שימוש בתמונת הפרסציה‪.‬‬
‫בכיוון ציר ‪.z‬‬
‫יש להביע באמצעות המגנטיזציה‬
‫את ההסתברות‬
‫)‪ (4510‬הפעלת מטריצות סיבוב על ספינים ‪2002A2‬‬
‫מצא את וקטור המצב‬
‫התי חס למקרי ם הבאי ם‪:‬‬
‫בבסיס הסטנדרטי עבור ספין המקוטב במישור ‪ XY‬בזוית‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬ספין חצי‬
‫‪ .2‬ספין ‪ 1‬ע ם קיטוב מעגלי‬
‫‪ .3‬ספין ‪ 1‬ע ם קיטוב לינארי‬
‫וכיו"ב‪.‬‬
‫את האלמנטי ם של וקטור המצב בתשובה הסופית יש לנס ח באמצעות‬
‫על מנת למנוע אפס נקודות בגין שגיאה אלגברית נא לרשו ם את נוס חת ה חישוב ‪ +‬התוצאה הסופית‪.‬‬
‫)‪ (4520‬הפעלת מטריצות סיבוב על ספינים ‪2007B3‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון ספין חצי במצב‬
‫)‪ (1‬זהה את האורינטציה‬
‫)‪ (2‬רשו ם את‬
‫של מצב הקיטוב המיוצג על ידי‬
‫באמצעות מטריצות סיבוב‬
‫‪.‬‬
‫הפועלות על‬
‫)‪ (3‬רשו ם את נוס חת ה חישוב ‪ +‬ביטווי ם מפורשי ם עבור המטריצות‬
‫נתון ספין ‪ 1‬במצב של קיטוב מעגלי בכיוון ציר ‪Z‬‬
‫)‪ (4‬רשו ם את המצב המתקבל לא חר סיבוב באותן זויות כמו בסעיף ‪.1‬‬
‫)‪ (5‬רשו ם את ההסתברות למדוד מצב של קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪) Z‬לא חר הסיבוב הנ"ל(‪.‬‬
‫מותר להשתמש בתוצאות ידועות עבור היוצרי ם‪.‬‬
‫)‪ (4530‬הפעלת מטריצות סיבוב על ספינים ‪2004B2‬‬
‫)א( רשו ם את ההצגה הסטנדרטית של ספין ‪ 1‬ע ם קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪.z‬‬
‫)ב( חשב את ההצגה הסטנדרטית של ספין ‪ 1‬ע ם קיטוב מעגלי בכיוון ציר ‪.x‬‬
‫מודדי ם הא ם יש לספין קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪.y‬‬
‫)ג( מה ההסתברות לתוצאה חיובית עבור ההכנה של סעיף )א(?‬
‫)ד( מה ההסתברות לתוצאה חיובית עבור ההכנה של סעיף )ב(?‬
‫)‪ (4620‬סיבוב של פונקצית גל‬
‫חלקיק מתואר באמצעות פונקצית הגל‪:‬‬
‫סביב ציר ‪.‬‬
‫סביב ציר ‪ ,‬וא חר כך בזווית של‬
‫מסובבי ם את פונקצית הגל בזווית של‬
‫מה פונקצית הגל המתקבלת? פתור בשתי דרכי ם שונות‪:‬‬
‫הדרך הפשוטה היא לעבור לקואורדינטות קרטזיות‪ ,‬ולפעול ע ם מטריצת סיבוב אוקלידית )מר חבית( על הקואורדינטות‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫הדרך הארוכה היא לרשו ם את פונקצית הגל כסופרפוזיציה של פונקציות‬
‫ולהפעיל על וקטור המקדמי ם מטריצות סיבוב בהצגה הסטנדרטית‪.‬‬
‫)‪ (4640‬תנע זויתי של פונקצית גל ‪2009B‬‬
‫פונקצית הגל של חלקיק היא‬
‫‪ .1‬רשו ם את פונקצית הגל בהצגה‬
‫‪ .2‬רשו ם את פונקצית הגל בהצגה‬
‫נתון‬
‫מגדירי ם‬
‫כך שפונקצית הגל תהיה מנורמלת‪.‬‬
‫‪ .3‬רשו ם תנאי על‬
‫להלן נתון שמתקיי ם‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫(‬
‫מה היא ההסברות למצוא את ה חלקיק במצב "כדורי" )‬
‫מה ה ם הערכי ם האפשריי ם שניתן לקבל )בהסתברות<‪ (0‬במדידה של‬
‫כנ"ל א ם מודדי ם את‬
‫( עם‬
‫מה היא ההסתברות למצוא את ה חלקיק במצב "פולרי" )‬
‫רמז לסעיף הא חרון‪ :‬ב חישוב מופיע פקטור‬
‫)‪ (4660‬בניית‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫עבור תנע זויתי מסילתי מגדירי ם‪:‬‬
‫רכיבי התנע הזויתי המוגדרי ם בצורה כזאת מקיימי ם‪:‬‬
‫ה ם ע ם של ם או חצי של ם‪.‬‬
‫מי חסי ה חילוף הנ"ל נובע שהע"ע של‬
‫מצד שני‪ ,‬אנו יודעי ם כי בהצגת המקו ם מתקיי ם‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את‬
‫מתוך הדרישה‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את שאר‬
‫ע"י הפעלת‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4700‬חלקיק על קליפה כדורית ‪focus question‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫שמוגבל לנוע על גבי קליפה כדורית בעלת רדיוס‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ה ם המצבי ם העצמיי ם‪ ,‬ומה הן האנרגיות העצמיות של ה חלקיק‪.‬‬
‫‪ .2‬מה הניוון של כל א חת מרמות האנרגיה?‬
‫ב חר את מצב היסוד כרמת הי חוס לאנרגיה‪.‬‬
‫)‪ (4710‬חלקיק על קליפה כדורית‪ ,‬דינמיקה ‪2005B2‬‬
‫ומטען ‪.‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס ו חלקיק בעל מסה‬
‫בשאלה זו עליך להני ח שניתן לעורר את ה חלקיק מרמת היסוד לרמת האנרגיה הראשונה‪,‬‬
‫אך לא מעבר לכך‪ .‬מכאן שמר חב המצבי ם הוא ארבע מימדי‪.‬‬
‫מכיני ם את ה חלקיק כך שהוא "מרוכז" ככל האפשר "בקוטב הצפוני" של הקליפה‪.‬‬
‫של ה חלקיק‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את פונקצית הגל‬
‫הסעיף הזה דורש " חשיבה"‪ .‬התשובה היא פשוטה ואינה מצריכה "אלגברה"‪.‬‬
‫המצב שרשמת ם אינו מצב סטציונרי‪.‬‬
‫ה חלקיק יבצע תנודות בין הקוטב הצפוני לבין הקוטב הדרומי‪.‬‬
‫‪ .2‬מה זמן המ חזור של התנודות?‬
‫מגדירי ם את הקיטוב של המערכת בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ .3‬מצא את הקיטוב‬
‫כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (4720‬חלקיק על קליפה כדורית‪ ,‬פולס ‪2005A2‬‬
‫ומטען ‪.‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס ו חלקיק בעל מסה‬
‫מני חי ם את ה חלקיק על פני הקליפה במצב האנרגיה הכי נמוך‪.‬‬
‫בזמן‬
‫מדליקי ם פולס של שדה חשמלי בכיוון ציר ‪ Z‬שגודלו‬
‫להלן הנ ח תקפות של תורת הפרעות סדר ראשון‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫רשו ם ביטוי מפורש עבור פוטנציאל ההפרעה‬
‫בין מצב היסוד למצבי ם המעוררי ם‪.‬‬
‫חשב את אלמנטי המטריצה של‬
‫מה הפרש האנרגיה של המעברי ם המותרי ם מרמת היסוד?‬
‫חשב את ההסתברות למצוא את ה חלקיק ברמה מעוררת לא חר שהפולס מסתיי ם‬
‫)זה אומר לא חר פרק זמן ארוך מאוד כשהשדה כבר שווה לאפס(‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (4730‬חלקיק על קליפה כדורית‪ ,‬דינמיקה ‪2007A2‬‬
‫ומטען ‪.‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס ו חלקיק בעל מסה‬
‫שי ם לב שמשתני התצפית הסטנדרטיי ם שמתארי ם את מצב ה חלקיק ה ם‬
‫בשאלה זו עליך להני ח שניתן לעורר את ה חלקיק מרמת היסוד לרמת האנרגיה הראשונה‪,‬‬
‫אך לא מעבר לכך‪ .‬מכאן שמר חב המצבי ם הוא ארבע מימדי‪.‬‬
‫סמן את מתבי הבסיס בסימון‬
‫)‪ (1‬מה האנרגיה של כל א חד ממצבי הבסיס‪ .‬הגדר את מצב היסוד כאנרגיה אפס‪.‬‬
‫מכיני ם את ה חלקיק כך שהוא "מרוכז" ככל האפשר "בקוטב הצפוני" של הקליפה‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשו ם את פונקצית הגל‬
‫של ה חלקיק‪.‬‬
‫המצב שרשמת ם אינו מצב סטציונרי‪.‬‬
‫ה חלקיק יבצע תנודות בין הקוטב הצפוני לבין הקוטב הדרומי‪.‬‬
‫)‪ (3‬מה זמן המ חזור‬
‫של התנודות?‬
‫מקרה ראשון‪ :‬מדליקי ם שדה חשמלי קבוע‬
‫בכיוון ציר‬
‫)‪ (4‬רשו ם באופן פורמאלי את איבר ההפרעה באמצעות משתני התצפית הסטנדרטיי ם‪.‬‬
‫)‪ (5‬מה זמן המ חזור‬
‫של התנודות?‬
‫מקרה שני‪ :‬מדליקי ם שדה מגנטי קבוע‬
‫בכיוון ציר‬
‫)‪ (6‬רשו ם באופן פורמאלי את איבר ההפרעה באמצעות משתני התצפית הסטנדרטיי ם‪.‬‬
‫)‪ (7‬מצא ערך של‬
‫שגור ם לכך שבזמן‬
‫ה חלקיק חוזר למצב הת חילי‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫סעיפי ם )‪ (2‬ו‪ (7)-‬דורשי ם " חשיבה"‪ .‬התשובה היא פשוטה ואינה מצריכה "אלגברה"‪.‬‬
‫)‪ (4820‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½ ‪focus question‬‬
‫פרק את ההצגה הסטנדרטית של ספין ½ ‪ +‬ספין ½‪.‬‬
‫מהבסיס הישן לבסיס ה חדש‪.‬‬
‫רשו ם את מטריצת המעבר‬
‫)בסיס חדש = מצב סינגלט ‪ +‬מצבי טריפלט(‬
‫)‪ (4830‬מצבי סינגלט וטריפלט‬
‫הראה באופן מפורש שמצבי הסינגלט והטריפלט ה ם מצבי ם עצמייי ם של‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫טיפ‪ :‬בטא את‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4840‬מצב של ספין שמהווה חלק מסינגלט או טריפלט‬
‫נתון שהכינו מערכת שכוללת שני ספיני ם במצב סינגלט או בא חד ממצבי הטריפלט‪.‬‬
‫מודדי ם את המצב הקוונטי של א חד מהספיני ם‪.‬‬
‫מה המצב הקוונטי של הספין הנב חר בכל א חד מן ההכנות שהוגדרו לעיל?‬
‫הדרכה‪ :‬חשב את וקטור הפולריזציה של הספין הנב חר‪.‬‬
‫)‪ (4842‬אוריינטציה של מצב סינגלט‬
‫שני אלקטרוני ם מאכלסי ם את אותו אורביטל‪ .‬מצא‪/‬י את וקטור הפולרזיציה עבור כל א חד מה ם‪.‬‬
‫)‪ (4850‬מצב שזור של שני ספינים ‪2006B2‬‬
‫נתוני ם שני חלקיקי ם בעלי ספין חצי‪ .‬מצבי הספין של המערכת מיוצגי ם בבסיס הסטנדרטי‬
‫הכינו את המערכת במצב‬
‫שי ם לב שהמערכת הוכנה במצב סימטרי בי חס לפרמוטציה כך שלשני ה חלקיקי ם יש אותו מצב קיטוב‪.‬‬
‫)‪ (1‬מצא את היצוג של האופרטור‬
‫לעיל‪.‬‬
‫שמתאר את הספין של א חד ה חלקיקי ם כמטריצה בבסיס הסטנדרטי שהוגדר‬
‫)‪ (2‬מצא את וקטור הפולריזציה‬
‫)‪ (3‬רשו ם את כיוון הקיטוב‬
‫שמתאר את מצב הקיטוב של כל א חד מה חלקיקי ם‪.‬‬
‫ואת מידת הקיטוב‬
‫של המצב ה חד חלקיקי‪.‬‬
‫)‪ (4‬מה הוא וקטור המצב בבסיס ‪ up / down‬שמתאר ספין י חיד ע ם קיטוב מלא בכיוון‬
‫)‪ (5‬מה יהיה מצב המערכת א ם מכיני ם את שני ה חלקיקי ם במצב של קיטוב מלא בכיוון‬
‫‪.‬‬
‫בסעיף הא חרון רשו ם את התשובה כוקטור עמודה בבסיס הסטנדרטי כפי שהוגדר בראשית השאלה‪.‬‬
‫כל התשובות צריכות להיות מוגמרות )אל תצפו שהבודק יבצע חישובי ם בשבילכ ם(‪.‬‬
‫)‪ (4851‬דינמיקה במערכת שני אתרים ‪focus question‬‬
‫בבעיה זו את ם מתבקשי ם לתת הצדקה מתמטית מסודרת לתמונת הפרסציה של ספין ‪: 1/2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשו ם\רשמי את ההמילטוניאן בצורה‬
‫באמצעות המצב הת חילי‬
‫‪ .2‬הבע את מצב המערכת‬
‫מבצע פרסציה‪.‬‬
‫‪ .3‬הראה שוקטור הפולריזציה‬
‫)‪ (4852‬דינמיקה של ספינים מצומדים ‪2011A‬‬
‫נתוני ם שני ספיני ם מצומדי ם המתוארי ם על ידי ההמילטוניאן‬
‫באשר‬
‫‪ .‬מכיני ם‬
‫את הספין הראשון במצב קיטוב ‪ Z‬ואת הספין השני במצב קיטוב ‪ .X‬ללא הגבלת הכלליות נתמקד להלן בתנועה של‬
‫‪ .‬טיפ‪:‬‬
‫(‪ .‬את מצב הספין מתארי ם על ידי וקטור פולריזציה‬
‫הספין השני )‬
‫ב חישובי ם הנדרשי ם בסעיפי ם ‪ 4-5‬נו ח לקבוע את הקונסטנטה בהמילטוניאן כך שאנרגית מצב הטריפלט תהיה אפס‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫לו היה אפשר להקפיא את המצב של הספין הראשון‪ ,‬מה היתה תדירות הפרסציה של הספין השני‪ ,‬ומה היתה‬
‫התוצאה עבור וקטור הפולריזציה‬
‫רשו ם את המצב הת חילי של המערכת כסופרפוזיציה של מצבי סינגלט וטריפלט‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן בבסיס סינגלט‪-‬טריפלט‪ .‬מה תדירות התנועה של המערכת?‬
‫מה התוצאה עבור‬
‫מה התוצאות עבור‬
‫מה התוצאה עבור האורך של וקטור הפולריזציה? הא ם הוא קבוע?‬
‫באיזה זמני ם אפשר לתאר את הספין באמצעות "פונקצית גל"‪.‬‬
‫)‪ (4854‬דינמיקה של ספינים מצומדים ‪2012B‬‬
‫שני ספיני ם מצומדי ם המתוארי ם על ידי ההמילטוניאן‬
‫באשר‬
‫‪.‬‬
‫הבסיס הסטנדרטי להצגה הוא‬
‫)‪ (1‬רשו ם בבסיס הסטנדרטי את ‪ 3‬המטריצות שמיצגות את ‪ 3‬האיברי ם בהמילטוניאן‪.‬‬
‫)‪ (2‬מכיני ם את שני הספיני ם במצב ‪ .up‬מה תהיה תדירות הסיבוב של המערכת?‬
‫)‪ (3‬מכיני ם ספין א חד ‪ up‬ואת השני ‪ .down‬מה תהיה תדירות הסיבוב של המערכת?‬
‫)‪ (4‬צייר באופן סכמטי את תלות האנרגיות העצמיות בשדה המגנטי ‪ ,h‬הנ ח‬
‫)‪ (5‬מכיני ם את המערכת במצב היסוד‪ ,‬בשדה מגנטי אפס‪.‬‬
‫מגדילי ם באיטיות את השדה המגנטי‪ ,‬עד לערך גדול מאוד‪.‬‬
‫רשו ם בבסיס הסטנדרטי מה הוא המצב הת חילי ומה הוא המצב הסופי של המערכת‪.‬‬
‫)‪ (6‬באופן מעשי המערכת לא מבודדת מהסביבה ויכולה להיות‬
‫אינטראקציה חלשה‬
‫הא ם אינטראקציה כזו יכולה להשפיע על המצב הסופי של המערכת?‬
‫ציין מה המצב הסופי )א ם יש השפעה(‪ ,‬או נמק במשפט קצר )א ם אין השפעה(‪.‬‬
‫)‪ (4860‬ספין ‪ + 1‬ספין ½‬
‫‪ .1‬פרק את ההצגה הסטנדרטית של "ספין ½" פלוס "ספין ‪."1‬‬
‫מהבסיס הישן לבסיס ה חדש‪.‬‬
‫‪ .2‬רשו ם את מטריצת המעבר‬
‫בבסיס הישן‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את אלמנטי המטריצה של האופרטור‬
‫)‪ (4862‬שיקולי חיבור תנע זויתי בהתפרקות חלקיק ‪2010H‬‬
‫של מערכת הכוללת שני חלקיקי ם בעלי ספין ‪.1‬‬
‫)‪ (1‬רשו ם בבסיס הסטנדרטי את מצבי‬
‫)‪ (2‬חלקיק בעל ספין ‪ 0‬ב חלל ה חופשי מתפרק לשני חלקיקי ם ניי חי ם בעלי ספין ‪.1‬‬
‫מודדי ם את הקיטוב הלינארי שלה ם‪ .‬מה ההסתברות שה ם יהיו מקוטבי ם באותו כיוון‪.‬‬
‫בשאלות להלן פונקצית הגל נקבעת באופן י חיד על בסיס שלושה שיקולי ם‪:‬‬
‫פרמיוני ם‪/‬בוזוני ם; סימטריה לשיקוף; אינטראקצית ההתפרקות בראשית היא נקודתית‪.‬‬
‫)‪ (3‬חלקיק נקודתי בעל ספין ‪ 0‬מאולץ להתפרק לשני חלקיקי ם בעלי ספין ‪1/2‬‬
‫כך שהא חד נע למעלה ע ם תנע והשני נע למטה ע ם תנע הפוך‪.‬‬
‫רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצב הקוונטי של שני הספיני ם‪.‬‬
‫)‪ (4‬חלקיק נקודתי בעל ספין ‪ 0‬מאולץ להתפרק לשני חלקיקי ם בעלי ספין ‪1‬‬
‫כך שהא חד נע למעלה והשני נע למטה‪.‬‬
‫רשו ם בבסיס הסטנדרטי את המצב הקוונטי של שני הספיני ם‪.‬‬
‫הנ ח שלשני הספיני ם אין קיטוב לינארי בכיוון תנועת ם‪.‬‬
‫)‪ (5‬במקרה הא חרון מה ההסתברות שהספין הכולל של התוצרי ם הוא אפס‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כיוון שיש בבעיה כיוון מועדף‪ ,‬הספין הכולל אינו קבוע תנועה‪ ,‬ולכן אינו חייב להיות אפס‪.‬‬
‫)‪ (4870‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½‬
‫פרק את ההצגה הסטנדרטית של ספין ½ ‪ +‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½‪.‬‬
‫מהבסיס הישן לבסיס ה חדש‪.‬‬
‫רשו ם את מטריצת המעבר‬
‫)‪ (4890‬התפרקות של חלקיק עם ספין אפס‬
‫חלקיק בעל ספין ‪ 0‬נמצא במנו חה ומתפרק לשני חלקיקי ם בעלי ספין ‪ 1/2‬כל א חד‪.‬‬
‫מודדי ם את הספין בכיוון ‪ Z‬של כל א חד מה חלקיקי ם שנוצרו‪.‬‬
‫הגלאי ם מצויי ם בזוית בי חס לציר ‪.Z‬‬
‫את ההסתברות למצוא את שני ה חלקיקי ם במצב ‪.up‬‬
‫נסמן בסימון‬
‫את הספין הכולל של ה חלקיקי ם נסמן באות ‪.‬‬
‫את התנע הזויתי האורביטלי ההדדי של צמד ה חלקיקי ם נסמן באות‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫מה יכול להיות התנע הזויתי האורביטלי של ה חלקיקי ם לא חר ההתפרקות?‬
‫רשו ם באופן סכמטי את המצב של המערכת לא חר ההתפרקות בבסיס הנקבע על ידי‬
‫‪.‬‬
‫הסבר בשפה קלאסית מדוע‬
‫מצא ביטוי מפורש עבור הי חס‬
‫)‪ (5020‬אופרטורים סקלרים ווקטורים ‪focus question‬‬
‫נתון כי‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫היא פעולת סיבוב‪ .‬נתון‬
‫מארז של אופרטורי ם‪.‬‬
‫לכך שהמארז הוא טנסור‪.‬‬
‫הגדר את הדרישה על‬
‫רשו ם\רשמי את הדרישה לעיל עבור סיבוב אינפיניטסימאלי‪.‬‬
‫מתוך כך קבע\י מה צריך להיות י חס הקומוטציה של ע ם מרכיבי התנע הזוויתי‪.‬‬
‫רשו ם\רשמי מספר דוגמאות לאופרטורי ם סקלריי ם ווקטוריי ם‪.‬‬
‫רשו ם\רשמי ג ם דוגמאות לאופרטורי ם שאינ ם כאלה )אינ ם חלק ממארז בעל אופי "טנסורי"(‪.‬‬
‫)‪ (5040‬אופרטורי תצפית של תנע זויתי ‪focus question‬‬
‫בעצמו )ודא שאתה מבין טענה זו(‪.‬‬
‫הדוגמה הטריוויאלית לוקטור אופרטור הוא‬
‫הוא אופרטור עבור מדידת התנע הזוויתי בכיוון ציר ‪.‬‬
‫על פי הגדרה‬
‫רשו ם ונמק מה הוא אופרטור התצפית עבור מדידת תנע זויתי בכיוון ‪.‬‬
‫)‪ (5142‬אטום ב שדה מגנטי הומוגני )אפקט זימן(‬
‫של אטו ם הוא‬
‫ההמילטוניאן המתאר רמת אנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫הסבר את המשמעות הפיסיקלית של המקדמי ם‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫התיי חס להלן למקרה‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫הראה שניתן לרשו ם תוצאה מדויקת‪ ,‬באופן מידי‪ ,‬עבור שתי אנרגיות עצמיות‪.‬‬
‫הראה שלצורך מציאת שאר האנרגיות העצמיות יש ללכסן שתי מטריצות ‪.2×2‬‬
‫)עליך לרשו ם מה הן המטריצות‪ ,‬אך אינך מתבקש לבצע את הליכסון בפועל(‪.‬‬
‫?‬
‫‪ .6‬מה הוא הפתרון המדויק לבעיה במקרה‬
‫)‪ (5143‬אפקט זימן‪ ,‬טיפול בתורת הפרעות ‪focus question‬‬
‫התיי חס לבעיה הקודמת‪.‬‬
‫‪ .1‬עבור שדה חלש רשו ם ביטוי ע ם תיקון מסדר ראשון ב‪ -‬עבור האנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור שדה חזק רשו ם ביטוי ע ם תיקון מסדר ראשון ב‪ -‬עבור האנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫‪ .3‬שרטט שרטוט סכמאטי של האנרגיות כפונקציה של עוצמת השדה המגנטי עבור המקרה‬
‫)‪ (5150‬חי שוב‬
‫באפקט זימן ‪focus question‬‬
‫יש לייש ם את משפט וויגנר‪-‬אקרט‬
‫)‪ (5662‬רמות לנדאו בגרפין ‪2010A‬‬
‫ההמילטוניאן האפקטיבי של אלקטרון בשכבה דו מימדית של גרפין הוא‬
‫ובאשר ‪ A‬הוא הוקטור פוטנציאל עבור שדה אנכי ‪ B‬בכיול לנדאו‪.‬‬
‫באשר‬
‫באשר‬
‫שי ם לב שהבסיס הסטנדרטי להצגת האלקטרון הוא‬
‫)‪ (1‬בהעדר שדה מגנטי‪ ,‬עבור תנע נתון‬
‫מה הן האנרגיות העצמיות של ה חלקיק?‬
‫‪,‬‬
‫הוא קבוע תנועה‪.‬‬
‫)‪ (2‬בכיול לנדאו האופרטור‬
‫שמתקבל לא חר הפרדת משתני ם‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫זה אופרטור הורדה‪,‬‬
‫כדאי לזכור שקומבינציה לינארית של קואורדינטות קנוניות‬
‫‪.‬‬
‫ולרשו ם את המטריצה המתקבלת בצורה האלטרנטיבית‬
‫)‪ (3‬הגדר את האופרטור‬
‫רשו ם מה ה ם הערכי ם העצמיי ם‬
‫שי ם לב שכל הערכי ם העצמיי ם למעט‬
‫של ‪C‬‬
‫ה ם מנווני ם‪.‬‬
‫)‪ (4‬כיוון ש ‪ C‬הוא קבוע תנועה ניתן לבצע הפרדת משתני ם נוספת‪.‬‬
‫רשו ם את המטריצה ‪ 2x2‬שמיצגת את‬
‫)‪ (5‬מצא את רמות האנרגיה‬
‫עבור‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (6‬מצא את המצבי ם העצמיי ם‪ ,‬ורשו ם אות ם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫שי ם לב שהמצב הקוונטי בבסיס הסטנדרטי מיוצג באמצעות‬
‫עבור הפונקציות העצמיות של אוסצילטור הרמוני חד מימדי‪.‬‬
‫ניתן להשתמש בסימון‬
‫)‪ (5664‬אינטראקצית ספין‪-‬מסילה ‪2008B1‬‬
‫ומטען מצוי בטבעת חד מימדית בעלת רדיוס ‪.‬‬
‫אלקטרון בעל מסה‬
‫הממוק ם במרכז הטבעת‪.‬‬
‫לאלקטרון אינטראקצית ספין‪-‬מסילה ע ם השדה ה חשמלי שיוצר מטען‬
‫מומלץ להשתמש בי חידות‬
‫)א( רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫של האלקטרון‬
‫)ב( מה הן האנרגיות העצמיות של האלקטרון?‬
‫)ג( מה המהירות של האלקטרון בכל א חד ממצבי האנרגיה?‬
‫)ד( איזה שטף מגנטי‬
‫דרך מרכז הטבעת יאפס את האפקט של‬
‫על אלקטרון בעל ספין ‪up‬‬
‫נא להביע את כל התשובות באמצעות הנתוני ם בלבד‪.‬‬
‫)‪ (5668‬פרסציה של ספין בגין אינטראקצית ספין מסילה ‪2010B‬‬
‫אלקטרון בעל מסה ‪ M‬מטען ‪ e‬וספין ע ם קבוע גירומגנטי ‪,g‬‬
‫משוגר ע ם אנרגיה ‪ E‬בתוך מוליך חד מימדי בכיוון ציר ‪.X‬‬
‫המוליך עובר דרך לו חות קבל שאורכו ‪.L‬‬
‫בכיוון ציר ‪.Y‬‬
‫הקבל יוצר שדה חשמלי‬
‫בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫כמו כן באותו איזור יש שדה מגנטי‬
‫כאשר האלקטרון נכנס לאיזור האינטראקציה הספין שלו מקוטב בכיוון התנועה‪.‬‬
‫בכל סעיפי ם להלן הנ ח שאפשר להתעל ם מההסתברות לכך שה חלקיק יו חזר מאזור האינטראקציה‪.‬‬
‫ועל זמן המעוף‪.‬‬
‫בשני הסעיפי ם הראשוני ם בסס את הערכתך על המהירות של ה חלקיק‬
‫)‪ (1‬מה יהיה הכיוון‬
‫)‪ (2‬מה צריך להיות‬
‫של הספין ביציאה מאזור האינטראקציה‪.‬‬
‫על מנת שהספין לא יסתובב‪.‬‬
‫בסעיפי ם להלן עליך לתת תשובה מדויקת על סמך אנרגית השיגור של ה חלקיק‪.‬‬
‫בתור הקואורדינטה של נקודת הכניסה‪.‬‬
‫נו ח לקבוע‬
‫)‪ (3‬רשו ם את מצב ה חלקיק באזור האינטראקציה בבסיס הסטנדרטי‬
‫)‪ (4‬תן את התשובה המדויקת לסעיף הראשון‪.‬‬
‫באשר‬
‫)‪ (6020‬איבר ההפרעה עבור קופסא ‪ +‬הזזת קיר ‪focus question‬‬
‫‪.‬‬
‫של הקיר‪.‬‬
‫)א( נתון בור פוטנציאל חד‪-‬מימדי‬
‫מצא את איבר "ההפרעה" עבור הזזה‬
‫איבר זה מוגדר על ידי הקירוב‬
‫הן האנרגיות של הבור באורך ‪.‬‬
‫באשר‬
‫קרוב זה תקף א ם ההזזה של הקיר היא הרבה יותר קטנה מאורך הגל שלו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הדרכה לפתרון‪ :‬הנ ח שהקיר מתואר על ידי מדרגת פוטנציאל‬
‫על ידי שימוש בדרישת הרציפות של "הנגזרת הלוגריתמית"‬
‫והנגזרת שלה‬
‫קבע מה הוא הי חס בין פונקצית הגל‬
‫‪.‬‬
‫גדול מאוד‪ ,‬ובסוף ה חישוב ק ח את הגבול‬
‫הנ ח ש‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫)ב( מצא מה הוא התיקון מסדר ראשון לאנרגיות העצמיות של חלקיק‬
‫של הקיר‪.‬‬
‫‪ ,‬בגין הזזה‬
‫בבור פוטנציאל חד‪-‬מימדי‬
‫השתמש בתוצאה שלמעלה‪ ,‬והשווה לפתרון המדויק‪.‬‬
‫)‪ (6040‬קופסא דו מימדית עם קיר מוזז‪ ,‬תורת הפרעות ‪2010B‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬בקופסא דו‪-‬מימדית ריבועית‬
‫ההזזה של הקיר השמאלי מתוארת על ידי הפונקציה‬
‫בעלת צלע ‪.a‬‬
‫‪.‬‬
‫אילו הקופסא היתה חד מימדית איבר ההפרעה בהמילטוניאן היה‬
‫‪.‬‬
‫באשר אנו מני חי ם הזזה קטנה‪ ,‬והנגזרות מ חושבות בנקודה‬
‫)‪ (1‬רשו ם את ההכללה הדו‪-‬מימדית של הנוס חא לעיל )דורש הבנה בלבד(‪.‬‬
‫הנ ח שהקיר מוטה בזוית קטנה כך שמתקיי ם‬
‫וכן‬
‫)‪ (2‬רשו ם את מטריצת ההמילטוניאן עבור שלושת המצבי ם הנמוכי ם ביותר )בבסיס הלא מופרע(‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשו ם את התיקון המוביל לאנרגית מצב היסוד‪.‬‬
‫)‪ (4‬רשו ם את התיקון המוביל לאנרגיות של המצבי ם המעוררי ם‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (6050‬חלקיק מופרע בקופסה ריבועית ‪2009A‬‬
‫נתון חלקיק חסר ספין בעל מסה‬
‫בהמשך השאלה מוסיפי ם הפרעה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫בקופסה ריבועית‬
‫של מצב היסוד הבלתי מופרע‬
‫רשו ם את פונקציות הגל‬
‫כנ"ל ג ם את ‪ 3‬המצבי ם המעוררי ם הנמוכי ם ביותר שמצומדי ם על ידי ההפרעה למצב היסוד‪.‬‬
‫בבסיס הנ"ל‬
‫כסכו ם של שתי מטריצות‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫רשו ם את המצבי ם העצמיי ם )כוקטורי עמודה( ואת האנרגיות העצמיות בסדר ראשון ב‪-‬‬
‫חשב את התיקון מסדר שני ב‪ -‬לאנרגית מצב היסוד‪.‬‬
‫)‪ (6060‬תורת הפרעות עבור טבעת ‪ +‬מפזר ‪ +‬שטף מגנטי ‪focus question‬‬
‫הנ ח\הני חי חלקיק בעל מסה‬
‫ומטען‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪.‬‬
‫השטף דרך הטבעת הוא ‪.‬‬
‫בנוסף יש בטבעת מפזר המתואר על ידי‬
‫‪.‬‬
‫יש סימטריות ‪ /‬ניווני ם בבעיה זו‪.‬‬
‫הסבר עבור אלו ערכי ם של הפרמטרי ם‬
‫‪.‬‬
‫מה הבסיס שבו טבעי להשתמש א ם‬
‫‪.‬‬
‫מה הבסיס שבו טבעי להשתמש א ם‬
‫נת ח את הסרת הניווני ם במסגרת תורת הפרעות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חשב את התיקון מסרר שני ב‪ -‬לאנרגית מצב היסוד כאשר‬
‫)‪ (6070‬חלקיק בטבעת ‪ +‬פוטנציאל‪ ,‬תורת הפרעות ‪2007B2‬‬
‫ומטען בטבעת חד מימדית בעלת רדיוס‬
‫נתונה חלקיק בעל מסה‬
‫הומוגני במקביל למישור הטבעת‪.‬‬
‫בתור "הפרעה" יוצרי ם שדה חשמלי‬
‫‪ .1‬רשו ם את ההמילטוניאן‬
‫‪.‬‬
‫של המערכת‪.‬‬
‫‪ .2‬איזה סימטריות יש למערכת בלי‪/‬ע ם הפרעה‪.‬‬
‫‪ .3‬רשו ם את ההצגה המטריצית של ההמילטוניאן בבסיס המתאי ם לטיפול הפרעתי‪.‬‬
‫עד סדר שני בהפרעה‪.‬‬
‫‪ .4‬חשב את אנרגית מצב היסוד‬
‫‪ .5‬חשב את אנרגית המצבי ם המעוררי ם‬
‫עד סדר שני בהפרעה‪.‬‬
‫)‪ (6080‬חלקיק בעל ספין בקופסא ‪ +‬מפזר ‪2003B3‬‬
‫אלקטרון בעל ספין‬
‫ומסה‬
‫‪ ,‬מצוי בבור פוטנציאל חד מימדי‪.‬‬
‫הנ ח תנאי שפה אפס בקצות האינטרוול‬
‫ההמילטוניאן של המערכת הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)א( רשו ם את האנרגיות ואת המצבי ם העצמיי ם )בהצגה הסטנדרטית( כאשר‬
‫‪.‬‬
‫)ב( חשב את התיקון מסדר ראשון לאנרגיות העצמיות עבור‬
‫קטן‪ .‬הא ם נותר ניוון בספקטרו ם?‬
‫)ג( רשו ם את האנרגיות העצמיות של ה חלקיק כאשר‬
‫‪ .‬ציין והסבר את הניוון בספקטרו ם‪.‬‬
‫)ד( צייר )באופן איכותי( את האנרגיות של ‪ 8‬המצבי ם הנמוכי ם ביותר כפונקציה של‬
‫)‪ (6120‬אוסצילטור הרמוני ‪ +‬הפרעה‬
‫נתון אוסצילטור הרמוני בעל תדירות ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מוסיפי ם להמילטוניאן הפרעה מהצורה‬
‫מצא\י את האנרגיה של מצב היסוד עד סדר שני‪ ,‬על‪-‬פי תורת ההפרעות‪ ,‬וע"י פתרון מדויק‪.‬‬
‫השווה\השווי בין התוצאות‪.‬‬
‫במקו ם ההפרעה בסעיף הראשון מוסיפי ם הפרעה מהצורה‪:‬‬
‫מהו התיקון ברמת האנרגיה ה‪ -‬עד סדר ראשון?‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (6140‬הפרעה שוברת סימטריה‪ ,‬הסרת ניוונים ‪2005A3‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין ‪ 2‬המתואר על ידי ההמילטוניאן‬
‫קל מאוד להיווכ ח שההמילטוניאן ע ם‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫הוא אלכסוני בבסיס הסטנדרטי‬
‫מה הן האנרגיות העצמיות )ללא הפרעה(?‬
‫שרטט דיאגרמה של רמות האנרגיה והמ חש באמצעותה אילו מצבי ם ההפרעה מצמדת‪.‬‬
‫חשב את המצבי ם העצמיי ם ואת האנרגיות העצמיות של הרמה המעוררת הראשונה‪.‬‬
‫חשב עד סדר שני את ההיסט של הרמה הת חתונה‪.‬‬
‫)‪ (6150‬הפרעה שוברת סימטריה ‪ ,‬הסרת ניוונים ‪2005B3‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין ‪ 1‬המתואר על ידי ההמילטוניאן‬
‫בשלושת הסעיפי ם הראשוני ם הנ ח‬
‫מגדירי ם את אופרטורי ההיטל‬
‫‪ .1‬על איזה מצב מתבצעת "ההטלה" של )לדוגמה( האופרטור‬
‫‪ .2‬מה ה ם המצבי ם העצמיי ם של ההמילטוניאן )רשו ם אות ם בבסיס הסטנדרטי(?‬
‫‪ .3‬מה הן האנרגיות העצמיות?‬
‫בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫מוסיפי ם שדה מגנטי‬
‫לש ם פשטות הרישו ם בלענו בתוך ההגדרה של‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫את כל המקדמי ם‪.‬‬
‫רשו ם את איבר האינטראקציה בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫רשו ם ההמילטוניאן )כולל איבר האינטראקציה( בבסיס של סעיף )‪.(2‬‬
‫מה הן האנרגיות העצמיות של ההמילטוניאן?‬
‫צייר ציור סכמטי של האנרגיות כפונקציה של השדה ‪.‬‬
‫הכינו את ה חלקיק במצב של קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫‪.‬‬
‫הדליקו את השדה מגנטי בצורה אדיאבטית כך שבסופו של דבר‬
‫בגלל בעיות במעבדה השדה המגנטי היה מוטה במקצת בי חס לכיוון האנכי‪.‬‬
‫‪ .8‬מה המצב של הספין בסוף התהליך?‬
‫)‪ (6160‬תיקונים לאטום המימן עבור פרוטון בגודל סופי‪.‬‬
‫נני ח כי לפרוטון יש רדיוס ‪ ,‬והוא טעון בצורה א חידה‪.‬‬
‫מהו התיקון מסדר ראשון לרמות האנרגיה של אטו ם המימן?‬
‫)‪ (6170‬מ שוואת ואן‪-‬דר‪-‬ואלס‬
‫נתוני ם שני אטומי מימן‪ ,‬כשהגרעיני ם נקראי ם ו‪ -‬והאלקטרוני ם נקראי ם ו‪) -‬בהתאמה(‪.‬‬
‫להמילטוניאני ם של האטומי ם המבודדי ם נוספת האינטראקציה הקולומבית‪,‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫א‪ .‬הנ ח‪/‬י כי המר חק בין שני הגרעיני ם קבוע‪ ,‬ופת ח‪/‬י את המילטוניאן ההפרעה עד לסדר שני במרכיבי‬
‫והראו כי זה נותן אינטראקציה דיפולית בין שני האטומי ם‪.‬‬
‫ב‪ .‬בקירוב הנ"ל‪ ,‬השתמש‪/‬י בבסיס הרגיל של מצבי כל א חד מאטומי המימן‪ ,‬ורשו ם‪/‬י ביטוי כללי לתיקון לרמת היסוד עד‬
‫באמצעות‬
‫‪ ,‬וזהה‪/‬י את המקד ם‬
‫לסדר השני בהפרעה הנ"ל‪ .‬הראה‪/‬י כי תיקון זה ניתן לכתיבה בצורה‬
‫אלמנטי המטריצה של אטו ם המימן‪.‬‬
‫במכנה של הביטוי שהתקבל‪ ,‬והראה‪/‬י כי במקרה זה התיקון לאנרגיה הוא‬
‫ג‪ .‬השתמש‪/‬י בקירוב‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬השתמש‪/‬י בקירוב זה כדי להראות כי‬
‫)‪ (6180‬תורת הפרעות עבור אטום הליום‬
‫אטו ם ההליו ם הוא כולל שני אלקטרוני ם בעלי ספין ‪.1/2‬‬
‫בבעיב זו עליכ ם להתיי חס אל האינטרקציה בין האלקטרוני ם כאל הפרעה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫בהנ חה שהגרעין של אטו ם ההליו ם נקודתי וכבד מאוד‪ ,‬מהו ההמילטוניאן המתאר את האלקטרוני ם באטו ם‬
‫ההליו ם?‬
‫מה ה ם המצבי ם הקשורי ם היציבי ם של האטו ם‪ ,‬בהזנ חת האינטראקציה בין שני האלקטרוני ם?‬
‫מהי אנרגית היינון של אטו ם ההליו ם בסדר אפס בתורת הפרעות?‬
‫מהו התיקון מסדר ראשון לאנרגית היינון של אטו ם ההליו ם?‬
‫מה הוא התיקון המוביל לאנרגיה של המצבי ם הקשורי ם המעוררי ם?‬
‫בסעיף )‪ (4‬האינטגרל שמתקבל דומה לאינטגרלי ם שמתקבלי ם בבעיה אלקטרוסטטית‪.‬‬
‫בסעיף )‪ (5‬רשו ם ביטויי ם סגורי ם‪ ,‬אך אין צורך ל חשב את האינטגראלי ם‪.‬‬
‫שי ם לב שבסעיף הא חרון יש להב חין בין מצבי סינגלט לבין מצבי טריפלט‪.‬‬
‫)‪ (6210‬אפקט שטרק באטום המימן ‪2011A‬‬
‫‪ .‬להלן נני ח‬
‫האלקטרון באטו ם המימן הוא חלקיק בעל מסה ‪ M‬ומטען ‪ e‬שרואה פוטנציאל‬
‫היא זני חה כך שמר חב המצבי ם של ה חלקיק הוא‬
‫שההסתברות למצוא את ה חלקיק ברמת אנרגיה מעוררת‬
‫בעל מימד ‪ ,5‬ונפרס על ידי שני אורביטלי ם כדוריי ם ושלושה אורביטלי ם פולריי ם כך שהבסיס להצגה הוא‬
‫‪ .‬אנו מזני חי ם את אינטראקצית ספין‪-‬מסילה כך שאפשר להתעל ם מהספין‪ .‬את האטו ם‬
‫בכיוון ציר ‪ ,Z‬וכתוצאה מכך הוא מתקטב‪ .‬מטרת השאלה היא חישוב הפולריזציה של‬
‫שמי ם בשדה חשמלי א חיד‬
‫הוא‬
‫באשר‬
‫‪ .‬את התשובות יש לבטא באמצעות‬
‫האטו ם‬
‫‪ .‬יש להתי חס להנ חיות שבסוף השאלה ולהמנע מעבודה‬
‫רדיוס האטו ם של בוהר‪ ,‬ובאשר‬
‫ש חורה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן בצורה הסטנדרטית באמצעות המשתני ם הדינמיי ם‬
‫רשו ם את שתי המטריצות שמיצגות את ההמילטוניאן הבלתי מופרע‪ ,‬ואת האינטראקציה ע ם השדה ה חשמלי‪.‬‬
‫בקרוב של תורת הפרעות סדר שני‪.‬‬
‫רשו ם את הביטוי לאנרגית מצב היסוד‬
‫רשו ם את הביטוי לאנרגית המצב המעורר הנמוך‬
‫רשו ם את הביטוי עבור הפולריזציה של האטו ם א ם הכינו אותו במצב היסוד‬
‫רשו ם את הביטוי עבור הפולריזציה של האטו ם א ם הכינו אותו ברמה המעוררת‬
‫את הפונקציות הרדיאליות של הלקטרון באטו ם המימן ניתן לרשו ם באופן‬
‫באשר‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫הנ חיות‪ :‬בסעיף ‪ 2‬מופיעי ם שני אינטגרלי ם רדיאליי ם‪ .‬התוצאה של האינטגרל שכולל את‬
‫כוללת מקד ם מספרי‬
‫כוללת מקד ם מספרי ‪ .‬יש לבטא את התשובות באמצעות מקדמי ם‬
‫‪ .‬התוצאה של האינטגרל שכולל את‬
‫אלו )ללא הצבה מספרית(‪ .‬על מנת לקבל את מלוא הנקודות הביטוי צריך להיות נכון ג ם מב חינת המקדמי ם המספריי ם‬
‫הנוספי ם שמופיעי ם ב חישוב‪ .‬את התשובות לסעיפי ם ‪ 5-6‬אפשר לקבל בדרך פשוטה מאוד ללא צורך ב חישובי ם‬
‫מיגעי ם‪.‬‬
‫)‪ (6220‬תורת הפרעות סדר שני עבור אטום ב שדה ח שמלי )אפקט שטרק קוודראטי(‬
‫הסבר מדוע באופן "גנרי" יש לפונקצית הגל העצמיות של אלקטרון באטו ם זוגיות מוגדרת‪.‬‬
‫הסבר מדוע נובע מכך שבשדה חשמלי התיקון מסדר ראשון לאנרגיות הוא אפס‪.‬‬
‫נתון אטו ם שניתן לתאר אותו כמערכת שתי רמות ע ם הפרש אנרגיה ‪.‬‬
‫על סמך האמור לעיל רשו ם את ההמילטוניאן של האטו ם בשדה חשמלי‪.‬‬
‫השתמש בסימון ‪ ε‬עבור חוזק ההפרעה‪ .‬ציין מה הוא הקשר של ‪ ε‬לעוצמת השדה ה חשמלי‪.‬‬
‫מצא באמצעות תורת הפרעות סדר שני את האנרגיה של האטו ם הנ"ל‬
‫כאשר הוא מצוי במצב היסוד באיזור שבו קיי ם שדה חשמלי‪.‬‬
‫השווה לפתרון המתקבל מליכסון מדויק של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫ודא שאתה מבין את ההערה הבאה‪:‬‬
‫עוצמת השדה ה חשמלי יכולה להיות שונה במקומות שוני ם במר חב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לכן האטו ם ירגיש פוטנציאל אפקטיבי‬
‫פוטנציאל זה מביא לכדי ביטוי את הירידה באנרגיה שנגרמת כתוצאה מהפולריזציה של האטו ם בתוך השדה ה חשמלי‪.‬‬
‫הגדר ו חשב את הפולריזציה באמצעות תורת הפרעות‪.‬‬
‫)‪ (6510‬מציאת רמות אנרגיה בעזרת ‪WKB‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא בקרוב ‪ WKB‬את רמות האנרגיה בבעיה חד מימדית שבה הפוטנציאל הוא‬
‫יש רצפה?‬
‫עבור איזה ערכי ם של‬
‫בפרט דון במקרי ם‬
‫)‪WKB transmission of parabolic barrier (6514‬‬
‫‪Obtain the WKB approximation for the under-the-barrier transmission of a parabolic potential‬‬
‫‪$V(x)=(1/2)Kx^2$. Compare with the exact solution that can be found in the book of Landau and‬‬
‫‪Lifshitz (§50 Problem 4), and with the exact solution for the inverse cosh(x) potential (§25 Problem‬‬
‫‪4).‬‬
‫)‪ (7020‬מ שוואת שרדינגר בהצגת האינטראקציה ‪focus question‬‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫ההמילטוניאן של מערכת הוא‬
‫‪.‬‬
‫המצבי ם העצמיי ם של ההמילטוניאן הבלתי מופרע ה ם‬
‫מצב המערכת בבסיס הבלתי מופרע נרש ם בצורה‬
‫היא פונקציה של הזמן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את המשוואה שמקימות האמפליטודות‬
‫בין רמות אנרגיה בלתי מופרעות‪.‬‬
‫‪ .2‬רשו ם\י את הביטוי להסתברות המעבר‬
‫‪ .3‬הסבר\י באילו נסיבות הדינמיקה היא בעלת אופי "הפרעתי"‪.‬‬
‫)‪ (7040‬מ שוואת שרדינגר בהצגה האדיאבטית ‪focus question‬‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫ההמילטוניאן של מערכת הוא‬
‫המצבי ם העצמיי ם "הרגעיי ם" של ההמילטוניאן ה ם‬
‫הוא פרמטר התלוי בזמן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫המצבי ם העצמיי ם "הרגעיי ם" של ההמילטוניאן ה ם‬
‫מצב המערכת בבסיס האדיאבטי נרש ם בצורה ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את המשוואה שמקימות האמפליטודות‬
‫בין רמות אנרגיה אדיאבטיות‪.‬‬
‫‪ .2‬רשו ם\י את הביטוי להסתברות המעבר‬
‫‪ .3‬מצא\י מה הוא התנאי לכך שהדינמיקה היא בעלת אופי "אדיאבטי"‪.‬‬
‫)‪ (7060‬אפקט של פולס‬
‫‪.‬‬
‫חזור לשאלה )‪ .(702‬הנ ח שמדובר בפולס המקיי ם‬
‫שמצאת בבעיה )‪(704‬‬
‫הראה שבמקרה כזה התוצאה עבור‬
‫מתלכדת ע ם התוצאה שמצאת בבעיה )‪.(702‬‬
‫שי ם לב שלצורך הוכ חה זו עליך להני ח שהאנרגיות ואלמנטי המטריצה בהצגה האדיאבאטית ה ם קבועי ם‪.‬‬
‫הנ חה זו תקפה רק עבור הפרעה חלשה‪.‬‬
‫במילי ם א חרות‪ :‬קיי ם ת חו ם )הפרעה חלשה ואיטית( שבו ג ם תורת הפרעות וג ם הפורמליז ם האדיאבטי תקפי ם‪,‬‬
‫ואז מתקבלת בשתי הדרכי ם אותה התוצאה עבור הסתברות המעבר‪.‬‬
‫)‪ (7110‬הזזה פתאומית של קיר‬
‫במצב היסוד‪.‬‬
‫חלקיק נמצא בבור פוטנציאל‬
‫‪.‬‬
‫לפתע מזיזי ם את הקיר כך שרו חב הבור הוא‬
‫למצוא את ה חלקיק ברמת אנרגיה‬
‫מצא את ההסתברות‬
‫)‪ (7120‬מעברים בין רמות בגין הזזת קיר ‪2010A‬‬
‫בעלת צלע ‪.a‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬בקופסא חד מימדית‬
‫מכיני ם את ה חלקיק במצב היסוד של הקופסא‪.‬‬
‫בזמן‬
‫‪.‬‬
‫ההזזה של הקיר השמאלי מתוארת על ידי הפונקציה‬
‫נתונה המהירות שבה מזיזי ם את הקיר‬
‫להלן הנ ח שההזזה הכוללת היא קטנה כך שאיבר ההפרעה בהמילטוניאן הוא‬
‫באשר הנגזרות מ חושבות בנקודה שבה מצוי הקיר ‪,‬‬
‫והסימן מינוס )פלוס( מתי חס למקרה של הגדלה )הקטנה(‪.‬‬
‫בזמן‬
‫)‪ (1‬מצא את ההסתברות‬
‫למצוא את ה חלקיק ברמה מעוררת ‪n‬‬
‫עבור ההזזה מאוד מהירה )פתאומית(‪.‬‬
‫)‪ (2‬מצא את ההסתברות‬
‫עבור הזזה במהירות סופית‪.‬‬
‫במסגרת תורת הפרעות סדר ראשון‪,‬‬
‫)‪ (3‬ענה שוב על הסעיף הקוד ם א ם מזיזי ם את שני הקירות ה חוצה בי חד‪,‬‬
‫כך שהמיקו ם שלה ם מתואר על ידי‬
‫)‪ (4‬הגדר שני תנאי ם שוני ם שיכולי ם להבטי ח את תוקף ה חישוב של תורת הפרעות‪:‬‬
‫גדול(‪.‬‬
‫או שמזיזי ם רק קצת ) קטן(‪ ,‬או שמזיזי ם מספיק לאט )‬
‫)‪ (5‬רשו ם את התנאי על על מנת שהתהליך יהיה אדיאבטי‪.‬‬
‫ציין הא ם במקרה שלפננו הת חו ם האידאבטי מוכל בת חו ם התקפות של תורת הפרעות‪,‬‬
‫או מתלכד ע ם א חד התנאי ם‪ ,‬או מהווה ת חו ם שונה‪/‬נוסף בבעיה‪.‬‬
‫)‪ (7130‬הזזה איטית של קיר ‪focus question‬‬
‫במצב היסוד‪ .‬מזיזי ם את הקיר הימני במהירות‬
‫חלקיק נמצא בבור פוטנציאל‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מה הוא התנאי לכך שהאפקט של הזזת הקיר יהיה אדיאבטי?‬
‫‪ .2‬מה קורה לתנאי האדיאבטיות א ם ה חלקיק נמצא ברמת אנרגיה "גבוהה"?‬
‫‪ .3‬הגדר באופן איכותי למה אתה מצפה במקרה של קופסא תלת מימדית‪.‬‬
‫)‪ (7320‬חלקיק בבור פוטנציאל ‪ +‬פולס דלתה ‪2007A3‬‬
‫ע ם תנאי שפה אפס בקצוות‪.‬‬
‫(‪.‬‬
‫בתוך הבור במצב היסוד )‬
‫נתון בור פוטנציאל ברו חב‬
‫מכיני ם חלקיק בעל מסה‬
‫בזמן‬
‫)א( רשו ם את פונקצית הגל של ה חלקיק‪.‬‬
‫מדליקי ם הפרעה‬
‫)ב( חשב את ההסתברות‬
‫ברמות האנרגיה‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫למצוא את ה חלקיק בסוף התהליך )‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫בסעיפי ם הבאי ם הנ ח ש‪-‬‬
‫הוא מאוד גדול‪ ,‬אבל מאידך התהליך הוא אדיאבטי ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)ג( רשו ם את פונקצית הגל של ה חלקיק בזמן‬
‫)ד( רשו ם את התנאי לכך שהקרוב האדיאבטי תקף‪.‬‬
‫)‪ (7340‬חלקיק בבור פוטנציאל ‪ +‬פולס מדרגה‪.‬‬
‫נתון חלקיק בקופסא חד‪-‬מימדית באורך‬
‫הפוטנציאל הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ע ם תנאי שפה אפס בקצות האינטרוול‬
‫‪.‬‬
‫(‪.‬‬
‫ה חלקיק הוכן במצב היסוד )‬
‫בזמן‬
‫חשב\י באמצעות תורת הפרעות )סדר ראשון( את ההסתברות‬
‫‪.‬‬
‫למצוא את ה חלקיק ברמת האנרגיה‬
‫)‪ (7360‬תנודות של חלקיק בין שני אתרים‬
‫הוא נמצא באתר השמאלי‪.‬‬
‫חלקיק יכול להמצא בא חד משני אתרי ם‪ .‬בזמן‬
‫שהוא ישאר באתר השמאלי‪.‬‬
‫יש ל חשב את ההסתברות‬
‫נתון שההפרש בין אנרגיות הקשר לאתרי ם הוא ‪ ,‬ואמפליטודת המעבר בין האתרי ם היא‬
‫השווה את הפתרון המתקבל בסדר ראשון של תורת הפרעות לפתרון המדויק‪.‬‬
‫)את הפתרון המדויק ניתן למצוא בקלות מתוך תמונת הפרסציה(‪.‬‬
‫)‪ (7380‬דינמיקה במערכת שני אתרים עם הינע חיצוני‬
‫‪.‬‬
‫בזמן‬
‫מערכת יכולה להיות ב ‪ 2‬מצבי ם ללא הסתברות מעבר ביניה ם‪.‬‬
‫האנרגיות המתאימות למצבי ם אלו שונות א חת מהשניה‪.‬‬
‫מוסיפי ם הפרעה תלויה בזמן‪:‬‬
‫בזמן‬
‫המערכת נמצאת במצב היסוד‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את ההסתברות להיות במצב היסוד ובמצב השני‪ ,‬בסדר ראשון בתורת הפרעות‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא\י את ההסתברות להיות במצב היסוד ובמצב השני באופן מדויק‪.‬‬
‫)‪ (7620‬הזזה מחזורית של קיר )כלל הזהב(‬
‫של בור פוטנציאל שרו חבו‬
‫מכיני ם חלקיק ברמת אנרגיה מאוד גבוהה‬
‫‪.‬‬
‫מזיזי ם את הקיר באופן מ חזורי‬
‫חשב\י באמצעות כלל הזהב את קצב המעבר לרמות א חרות‪.‬‬
‫המתקבל‪.‬‬
‫שרטט\י באופן סכמטי את פילוג הסתברות‬
‫הגדר\י את התנאי על הזמן כך שה חישוב יהיה תקף‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (7640‬קצב הדעיכה של מצב לתוך "רצף" וכלל הזהב של פרמי‬
‫‪.‬‬
‫חלקיק קשור בתוך אתר‪ .‬אמפליטודת המעבר מהאתר לתוך כל א חד מהמצבי ם של הקופסא גדולה היא‬
‫הסתברות המעבר בין מצבי ם שוני ם של הקופסא הגדולה היא אפס‪.‬‬
‫הוא קטן‬
‫‪ ,‬באשר מרוו ח האנרגיה הממוצע‬
‫מצבי האנרגיה של הקופסא הגדולה ה ם בעלי צפיפות א חידה‬
‫מאוד‪.‬‬
‫את האפקט של האינטראקציה בין האתר לבין מצבי הקופסא ניתן לתאר כדעיכה לתוך "רצף"‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י פתרון מדויק עבור קבוע הדעיכה‬
‫‪ .2‬הראה\י שכלל הזהב של פרמי נותן את הפתרון המדויק בבעיה זו‪.‬‬
‫)‪ (7660‬נוסחת גאמוב וכלל הזהב של פרמי ‪focus question‬‬
‫חלקיק במימד א חד מוגבל מצד שמאל על ידי קיר אינסופי ומצד ימין על ידי פונקצית דלתה‪ .‬יש ל חשב במדויק את ‪.‬‬
‫יש להראות שמתקבלת נוס חת גאמוב קובעת שקצב הדעיכה שווה לתדירות שבה מנסה ה חלקיק לעבור את המ חסו ם‬
‫כפול העבירות של המ חסו ם‪.‬‬
‫בהנ חה שהתוצאה קונסיסטנטית ע ם כלל הזהב של פרמי הסק מה היא אמפליטודת המעבר מתוך הבור אל המר חב‬
‫שב חוץ‪.‬‬
‫)הנ ח שהמר חב שב חוץ הוא בעל אורך גדול מאוד(‪.‬‬
‫נני ח שה חלקיק מצוי בבאר כפולה סימטרית‪ ,‬ושה חציצה בין הבורות היא באמצעות אותה דלתה‪.‬‬
‫על ידי שימוש בתוצאה שהסקת במקרה הקוד ם קבע מה התדירות של האוסצילציות הקוהרנטיות‪.‬‬
‫)‪ (7670‬דעיכת גאמוב ‪2006A3‬‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫פוטנציאל"‬
‫‪ .‬אל ההתקן ה חד מימדי ניתן להתי חס כאל "בור‬
‫כלוא בתוך התקן חד מימדי שאורכו‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬מכיני ם את ה חלקיק בא חת מרמות האנרגיה‬
‫)‪ (1‬שאלה מקדימה‪ :‬רשו ם מה הן רמות האנרגיה‬
‫ופונקציות הגל העצמיות‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪:‬‬
‫ה חלקיק יכול לברו ח ל חוט חד מימדי ארוך מאוד‪ .‬אופן הצימוד של ההתקן לשני קצות ה חוט מתואר בשרטוט‪ .‬מקדמי‬
‫‪ .‬בסעיף ‪ 3‬הנ ח‬
‫‪ .‬בסעיף ‪ 2‬הנ ח‬
‫המעבר ) ‪ ( transmission‬של נקודת ה חיבור ה ם‬
‫‪.‬‬
‫להלן יש להביע את התשובות באמצעות‬
‫)‪ (2‬רשו ם ביטוי מפורש עבור אלמנטי המטריצה‬
‫)‪ (3‬מצא את קבוע הדעיכה‬
‫בין מצבי ההתקן לבין מצבי ה חוט )הנ ח‬
‫(‬
‫של כל א חד מהמצבי ם‪.‬‬
‫)‪ (4‬שאלת בונוס‪ :‬כיצד סטודנט עצלן יכול למצוא את התשובה הנכונה בלי לבצע שו ם חישוב? ]זהירות ![‬
‫הדרכה ‪ +‬רמזים ‪:‬‬
‫לצורך הפתרון ניתן להני ח שאורך ה חוט הוא‬
‫)סופי( אך בתשובה נתון זה אמור "להצטמצ ם"‪.‬‬
‫על מנת לפתור את השאלה ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכ חה(‪:‬‬
‫כאשר מצמדי ם חלש שני חוטי ם ניתן להתי חס אל נקודת ה חיבור כאל "מ חסו ם דלתא"‬
‫המטריצה בין המצבי ם של חוט א חד לבין המצבי ם של חוט שני ה ם‬
‫היא הניגזרת בכיוון הרדיאלי )הקואורדינטה‬
‫‪ .‬אלמנטי‬
‫באשר‬
‫מכוונת מהצומת כלפי חוץ(‪.‬‬
‫את התשובה הסופית יש להביע באמצעות ‪ .‬ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכ חה(‪:‬‬
‫העבירות של מ חסו ם דלתא גדול מאוד היא‬
‫)‪ (7680‬דעיכת גאמוב מתוך טבעת ‪2011B‬‬
‫‪ .‬אל ההתקן ה חד מימדי ניתן להתי חס כאל "בור‬
‫כלוא בתוך התקן חד מימדי שאורכו‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫באשר‬
‫ע ם תנאי שפה אפס בקצוות‪ .‬מכיני ם את ה חלקיק בא חת מרמות האנרגיה‬
‫פוטנציאל"‬
‫‪ .‬ה חלקיק יכול‬
‫‪ .‬מהירות ה חלקיק בתוך הבור מוגדרת באמצעות הביטוי‬
‫לברו ח אל מוליך חד מימדי ארוך מאוד‪ .‬אופן הצימוד של ההתקן אל המוליך מתואר בשרטוט‪ .‬מקדמי המעבר )‬
‫‪ .‬להלן יש להביע את כל התשובות באמצעות‬
‫‪ ( transmission‬של נקודת ה חיבור ה ם‬
‫‪ .‬בשלבי הביניי ם ניתן להני ח שאורך המוליך הארוך הוא )סופי( אך בתשובה הסופית של‬
‫‪.‬‬
‫סעיף )‪ (4‬נתון זה אמור "להצטמצ ם"‪ .‬בסעיף ‪ 2‬הנ ח‬
‫‪.‬‬
‫ופונקציות הגל העצמיות‬
‫בין מצבי ההתקן לבין מצבי המוליך )הנ ח‬
‫)‪ (1‬שאלה מקדימה‪ :‬רשו ם מה הן רמות האנרגיה‬
‫)‪ (2‬רשו ם ביטוי מפורש עבור אלמנטי המטריצה‬
‫(‬
‫בתוך המוליך הארוך‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשו ם ביטוי מפורש עבור צפיפות מצבי האנרגיה‬
‫של כל א חד מהמצבי ם‪.‬‬
‫)‪ (4‬מצא את קבוע הדעיכה‬
‫)‪ (5‬הכלל את הנוס חא למקרה שבו יש שטף מגנטי דרך הטבעת‪ .‬הנ ח שמטען ה חלקיק הוא ‪.e‬‬
‫הדרכה ‪ +‬רמזים ‪ :‬על מנת לפתור את השאלה ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכ חה(‪ :‬כאשר מצמדי ם‬
‫‪ .‬אלמנטי המטריצה בין‬
‫חלש שני מוליכי ם ניתן להתי חס אל נקודת ה חיבור כאל "מ חסו ם דלתא"‬
‫באשר‬
‫המצבי ם של מוליך א חד לבין המצבי ם של מוליך שני ה ם‬
‫היא‬
‫הניגזרת בכיוון הרדיאלי )הקואורדינטה מכוונת מהצומת כלפי חוץ(‪ .‬על מנת להביע את התשובות באמצעות הנתוני ם‬
‫‪.‬‬
‫ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכ חה(‪ :‬העבירות של מ חסו ם דלתא גדול מאוד היא‬
‫הסעיף הא חרון לא דורש עבודה אלגברית נוספת אלא הבנה פיסיקלית בלבד‪.‬‬
‫)‪ (7682‬דעיכת גאמוב מתוך באר כפולה ‪2012B‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬בקופסא ברו חב‬
‫‪.‬‬
‫הקופסא מ חולקת לשני תאי ם זהי ם באורכ ם על ידי מ חסו ם דלתה שהעבירות שלו היא‬
‫‪.‬‬
‫הדופן הימנית של הקופסא אינה אטומה ‪ -‬יש לה עבירות‬
‫רצפת הפוטנציאל בכל האיזורי ם )תא שמאלי‪ ,‬תא ימני‪ ,‬והאזור מימין לקופסא( היא אפס‪.‬‬
‫בשאלה זו יש להני ח שהמ חסומי ם מספיק גבוהי ם ושפיצול הרמות מספיק קטן כך שאפשר להשתמש בקרוב של שתי‬
‫רמות ובנוס חת גאמוב‪.‬‬
‫שמי ם חלקיק במצב היסוד של התא הימני‬
‫)‪ (1‬אילו היה נתון‬
‫מה היה תדר התנודות‬
‫)‪ (2‬אילו היה נתון‬
‫מה היה קבוע הדעיכה‬
‫של חלקיק בין שני חלקי הקופסא‪.‬‬
‫של ה חלקיק‪.‬‬
‫שמי ם חלקיק במצב היסוד של הקופסא‬
‫)‪ (3‬מה קבוע הדעיכה‬
‫של ה חלקיק‬
‫מעלי ם מעט את רצפת הפוטנציאל של התא השמאלי‪ ,‬כך שהפרש הפוטנציאלי ם הוא‬
‫)‪ (4‬מה קבוע הדעיכה‬
‫של ה חלקיק‬
‫)‪ (7684‬חלקיק באתר שמצומד לטבעת גדולה ‪2013A‬‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫כלוא בתוך אתר‪ .‬אנרגית הקשר הבלתי מופרעת היא‬
‫בנקודה א חת‪ ,‬כך שמתקיי ם‬
‫האתר מצומד לטבעת גדולה באורך‬
‫היא מת חת לרצפת הפוטנציאל של הטבעת‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 1‬הנ ח שהאנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫חשב את התיקון לאנרגית הקשר‪ ,‬על ידי שימוש בתורת הפרעות סדר שני‪.‬‬
‫היא מעל לרצפת הפוטנציאל של הטבעת‪.‬‬
‫כנ"ל בהנ חה שהאנרגיה‬
‫של המצב הקשור‪ ,‬בהתבסס על כלל הזהב של פרמי‪.‬‬
‫במקרה הא חרון ‪ -‬חשב את קבוע הדעיכה‬
‫מצא את ת חו ם ערכי שבו לא ניתן לבטו ח בתוצאות שקיבלת בסעיפי ם הקודמי ם‪.‬‬
‫את אנרגית הקשר בסעיף ‪ 1‬אפשר למצוא במדויק‪ ,‬על ידי פתרון של משוואה ממעלה שלישית‪ .‬רשו ם את‬
‫המשוואה‪.‬‬
‫הדרכה ‪:‬‬
‫של הטבעת‬
‫נו ח לעבוד בבסיס התנע‬
‫הנ ח שהטבעת גדולה מאוד כך שניתן לקרב את הסכו ם באמצעות אינטגרל‪.‬‬
‫הבע את התשובות הסופיות באמצעות‬
‫א ם זה מפשט את הביטוי‪ ,‬מותר ומומלץ להשתמש בסימון‬
‫)‪ (7820‬קרוב בורן לחתך הפעולה ‪ :‬נוסחאות שימו שיות ‪focus question‬‬
‫נתון פוטנציאל מפזר‬
‫בעל סימטריה כדורית‪ .‬תהי התמרת פוריה שלו‬
‫‪.‬‬
‫כאינטגרל חד מימדי על ‪.‬‬
‫‪ .1‬הבע את הנוס חא עבור‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫‪ .2‬רשו ם\רשמי את הביטוי עבור חתך הפעולה‬
‫‪ .3‬הבע\הביעי את הביטוי עבור חתך הפעולה הכולל כאינטגרל חד מימדי על ‪.‬‬
‫)‪ (7840‬ביטוי אופציונלי לחתך הפעולה הכולל‬
‫הראה\י כי ה חתך פעולה הכולל לפיזור הוא בקרוב‪:‬‬
‫)‪ (7850‬חי שוב חתך פעולה עבור פוטנציאל גאוסי‬
‫מצא את חתך הפעולה הדיפרנציאלי ואת חתך הפעולה הכולל בקרוב בורן‬
‫‪.‬‬
‫עבור פוטנציל גאוסי‬
‫הגדר\י את התנאי ם לכך שקרוב בורן יהיה תקף‪.‬‬
‫)‪ (7860‬חי שוב חתך פעולה עבור פוטנציאל יוקאווה )רתרפורד מקרה פרטי(‬
‫מצא את חתך הפעולה הדיפרנציאלי ואת חתך הפעולה הכולל בקרוב בורן‬
‫‪.‬‬
‫עבור פוטנציאל יוקאווה‬
‫הגדר\י את התנאי ם לכך שקרוב בורן יהיה תקף‪.‬‬
‫שי ם לב שפיזור רתרפורד הוא גבול מיו חד של יוקווה‪.‬‬
‫)‪ (7870‬חי שוב חתך פעולה על מטרה קולונית "מרוחה"‬
‫‪.‬‬
‫רשו ם את נוס חת בורן עבור חתך הפעולה בהנתן מטרה אלקטרוסטטית ע ם צפיפות מטען‬
‫הבע את התוצאה באמצעות ה‪ form factor-‬אשר מוגדר בתור התמרת פוריה של צפיפות המטען‪.‬‬
‫)‪ (8110‬פרופגטור של חלקיק חופ שי ‪focus question‬‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (8130‬פרופגטור של אוסצילטור הרמוני‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (8150‬פרופוגטור של חלקיק חופ שי ‪ +‬קיר מחזיר‬
‫מצא את הפרופוגטור של חלקיק בבעיה חד מימדית ע ם קיר מ חזיר‪.‬‬
‫)‪ (8160‬פרופוגטור של חלקיק חופ שי בנוכחות קיר רך ‪2008H1‬‬
‫חשב את הפרופוגטור‬
‫הפוטנציאל‬
‫עבור תנועה של חלקיק בעל מסה‬
‫במשך זמן‬
‫‪.‬‬
‫בנוכ חות‬
‫העזר בנוס חת ון‪-‬ולק ורשו ם בצורה ברורה מה ה‪ action-‬ומהו מורס אינדקס עבור כל איבר‪.‬‬
‫‪ ,‬וארגן את תשובתך על פי הסעיפי ם הבאי ם‪:‬‬
‫לש ם פשטות התי חס למקרה‬
‫‪ .1‬הפרופוגטור עבור זמן קצר‬
‫‪ .2‬הגדר את המושג זמן קצר‬
‫‪ .3‬הפרופגטור עבור זמן ארוך‬
‫)‪ (8210‬מציאת ‪ LDOS‬מתוך פונקציות גרין ‪focus question‬‬
‫הבע את פונקצית צפיפות המצבי ם הלוקאלית בנקודה‬
‫אמצעות פונקצית גרין‪.‬‬
‫)‪ (8230‬מציאת פונקצית גל של מצב עצמי מתוך הרזולבנט‬
‫הבע את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כאינטגרלי ם של הרזולבנט במישור הקומפלקסי‬
‫)‪ (8310‬פונקצית גרין של חלקיק חופ שי‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (8330‬יי שומים של מ שפט גרין‬
‫בת חו ם‬
‫‪ .‬מדליקי ם פוטנציאל חלש‬
‫ופונקציות עצמיות‬
‫ל חלקיק בקופסא יש אנרגיות עצמיות‬
‫)‪ (domain‬מסוי ם של הקופסא‪ .‬בשאר הקופסא הפוטנציאל הוא אפס‪ .‬על מנת ל חשב את האנרגיות המופרעות אנו‬
‫‪ .‬הראה שניתן ל חשב את את אלמנטי המטריצה באמצעות אינטגרל על הגבול‬
‫זקוקי ם לאלמנטי המטריצה‬
‫)‪ (boundary‬של הת חו ם‪.‬‬
‫)‪ (8360‬רזולבנט של חלקיק בטבעת ‪2009H‬‬
‫בשאלה זו עליך למצוא ביטוי סגור עבור הסכו ם‬
‫לש ם כך הנ ח שיש חלקיק חופשי כל גבי טבעת שרדיוסה‬
‫על מנת שהקטבי ם של הרזולבנט יהיו באנרגיות‬
‫‪ .1‬מה צריך להיות ההמילטוניאן‬
‫באנרגיה ממשית על ידי פתרון משוואה דיפרנציאלית‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את הרזולבנט‬
‫‪ .3‬השתמש בתוצאה של הסעיף הקוד ם על מנת למצוא ביטוי סגור עבור‬
‫)‪ (8370‬הרזולבנט עבור חלקיק בקופסא‬
‫)‪ (1‬מצא את הרזולבנט עבור חלקיק בתוך בור פוטנציאל חד מימדי בעל עומק אינסופי‪.‬‬
‫)‪ (2‬מתוך כך מצא את האנרגיות העצמיות ואת פונקציות הגל העצמיות‪.‬‬
‫)‪ (3‬הראה שבגבול של קופסא אינסופית הרזולבנט מקיי ם ב חצי המישור העליון תנאי שפה של גלי ם יוצאי ם‪.‬‬
‫)‪ (8390‬קטבים קומפלקסיים של הרזולבנט ונוסחת גאמוב ‪focus question‬‬
‫‪ .‬הבור מוגבל מצד שמאל על ידי קיר אינסופי ומצד‬
‫חלקיק במימד א חד נמצא בבור פוטנציאל שעומקו‬
‫‪ .‬חשב את מיקו ם הקטבי ם של הרזולבנט ובדוק באילו תנאי ם‬
‫ימין על ידי פונקצית דלתה‬
‫מתקבלת נוס חת גאמוב עבור ‪ .‬הגדר תנאי ם המאפשרי ם להשתמש בקירובי ם סבירי ם‪ .‬תזכורת‪ :‬נוס חת גאמוב‬
‫קובעת שקצב הדעיכה שווה לתדירות שבה מנסה ה חלקיק לעבור את המ חסו ם כפול העבירות של המ חסו ם‪.‬‬
‫)‪ (8510‬דעיכה של מצב דיסקרטי לתוך "רצף"‬
‫ראה תקצירי הרצאות‬
‫)‪ (8520‬דעיכה לרצף ממערכת שתי רמות ‪2005H1‬‬
‫במערכת המתוארת בשרטוט‪.‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫ואורך הקטע הארוך הוא ‪.‬‬
‫אורך כל קשת הוא‬
‫להלן הנ ח שמכיני ם את ה חלקיק ע ם אנרגיה‬
‫כאשר ה חלקיק בור ח "ה חוצה" המהירות שלו היא‬
‫אמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן בין שתי הקשתות היא‬
‫אמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן מכל א חת מהקשתות אל הקטע הארוך היא‬
‫באשר‬
‫‪ .1‬רשו ם את ההמילטוניאן של המערכת בבסיס‬
‫את הרזולבנט של איזור הקשתות )מטריצה‬
‫( נרשו ם בצורה‪:‬‬
‫‪ .2‬רשו ם את ההמילטוניאן האפקטיבי בביטוי עבור הרזולבנט‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את "המצבי ם העצמיי ם" של ההמילטוניאן האפקטיבי‪.‬‬
‫‪ .4‬מה קבוע הדעיכה של כל א חד מהמצבי ם שמצאת?‬
‫מותר בסעיף )‪ (2‬להתעל ם מההיסט הממשי של רמות האנרגיה‪.‬‬
‫באיזור הקשתות‪.‬‬
‫)‪ (8530‬דעיכה מתוך טבעת ‪2006H1‬‬
‫יוצרי ם על מצע זהב שכבת ת חמוצת ומעליה מנדפי ם שכבת זהב "דו מימדית"‪ .‬מצבי האנרגיה הבלתי מופרעי ם של‬
‫‪ .‬הצפיפות שלה ם במר חב האנרגיה היא ‪ .‬מצבי המקו ם של ה חלקיק בתוך השכבה‬
‫אלקטרון בתוך המצע ה ם‬
‫‪ .‬אלקטרון בשכבה הדו מימדית יכול לברו ח אל המצע‪ .‬אלמנט המטריצה הוא‬
‫הדו מימדית ה ם‬
‫)‪ (1‬רשו ם בהצגה מר חבית את ה חלק הדימיוני של ההמילטוניאן האפקטיבי של ה חלקיק בשכבה הדו מימדית‪.‬‬
‫חורצי ם על פני השכבה הדו מימדית טבעת " חד מימדית" שאורכה‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשו ם את ה חלק הדימיוני של ההמילטוניאן שמצאת בהצגת התנע של הטבעת‪.‬‬
‫לצורך המעבר להצגת התנע הנ ח שהטבעת מורכבת ממספר גדול מאוד‬
‫של אתרי ם‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשו ם את האנרגיות ואת קבועי הדעיכה של "המצבי ם העצמיי ם" של ה חלקיק בטבעת‪.‬‬
‫ומסת האלקטרון‬
‫בטא את התשובות באמצעות הנתוני ם‬
‫)‪ (8540‬דעיכה מתוך שלו שה אתרים ‪2007H1‬‬
‫חלקיק ספו ח )אנרגית קשר‬
‫( יכול לדעוך לתוך פס של מצבי ם‬
‫צפיפות המצבי ם בפס היא א חידה ושווה ל‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אמפליטודת המעבר לי חידת זמן אל כל א חד ממצבי הפס היא‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1‬חשב את התיקון לאנרגית הקשר בגין הצימוד לפס‪.‬‬
‫)‪ (2‬חשב את קבוע הדעיכה‪.‬‬
‫הנ ח שיש שלושה אתרי ספי חה שכול ם מצומדי ם לאותו פס של מצבי ם‪.‬‬
‫אמפליטודת הקפיצה של ה חלקיק מאתר לאתר היא ‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשו ם את ההמילטוניאן הקומפלקסי האפקטיבי של המערכת כמטריצה ‪3x3‬‬
‫הנ ח שבזמן‬
‫שמי ם חלקיק בא חד מן האתרי ם‪.‬‬
‫)‪ (4‬חשב את ההסתברות‬
‫למצוא את ה חלקיק באותו מקו ם לא חר פרק זמן‬
‫)‪ (5‬מה התשובה שמתקבלת בסעיף הא חרון עבור‬
‫)‪ (8610‬אינטראקציה אפקטיבית‬
‫הנ ח שניתו לסווג את מצבי האנרגיה של חלקיק לשתי קבוצות‪ :‬פס של מצבי ם נמוכי ם )מר חב‬
‫( ע ם אנרגיות‬
‫‪ .‬ההמילטוניאן של ה חלקיק הוא מהצורה‬
‫ופס של מצבי ם מעוררי ם )מר חב ( ע ם אנרגיות‬
‫‪ .‬נני ח שאנו מעוניני ם בדינמיקה באנרגיות נמוכות כך שאין סיכוי למצוא את ה חלקיק במצב מעורר‪.‬‬
‫מתוך ההמילטוניאן‪ .‬קרוב טוב יותר הוא להשתמש בתורת‬
‫הקרוב הגס ביותר הוא ל חתוך את מר חב המצבי ם‬
‫הפרעות סדר שני על מנת לרשו ם פוטנציאל אינטראקציה אפקטיבי בתוך המר חב ‪ .‬רשו ם את הביטוי המפורש‪.‬‬
‫ישו ם אלמנטרי של הנוס חא שקיבלת הוא לרישו ם הפוטציאל האפקטיבי ש חלקיק "רואה" בגין פולריזציה )ראה בעיה‬
‫‪ 263‬על אפקט שטרק(‪ .‬דוגמה מענינת יותר‪ :‬האינטראקציה האפקטיבית בין אלקטרוני ם במתכת בגין חילוף פוטוני ם‬
‫וירטואליי ם בתאורית ‪.BCS‬‬
‫)‪ (8710‬הכללת כלל הזהב של פרמי‬
‫באמצעות‬
‫רשו ם את הביטוי הפורמאלי להסתברות המעבר‬
‫כלל הזהב של פרמי ובאיזה תנאי ם וכיצד ניתן להכליל את כלל זה לסדרי ם גבוהי ם יותר‪.‬‬
‫‪ .‬הסבר כיצד מתקבל‬
‫)‪ (9010‬יי שום קרוב בורן לבעית פיזור על סריג קובי‬
‫חשב בקרוב בורן סדר ראשון את אמפליטודת הפיזור ואת חתך הפעולה עבור חלקיק המפוזר על סריג קובי‪.‬‬
‫)‪ (9020‬פיזור על יד ‪inverse cosh‬‬
‫פיזור על יד ‪inverse cosh‬‬
‫)‪ (9030‬פיזור על דלתה בתורת הפרעות ‪2007H2‬‬
‫בשאלה זו עליך ל חשב במדויק את חתך הפעולה בפיזור של חלקיק על פונקצית דלתה במימד א חד‪.‬‬
‫הנ ח חלקיק בעל מסה‬
‫‪.‬‬
‫שנע בתוך פס הולכה ע ם אנרגיה‬
‫צפיפות המצבי ם לי חידת אורך בפס ההולכה היא א חידה ושווה ל‪-‬‬
‫הפוטנציאל המפזר הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשו ם את הביטוי עבור אמפליטודת הה חזרה במסגרת ‪) T-matrix‬סדר ראשון(‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשו ם את הביטוי עבור האיבר מסדר שני בפיתו ח‪.‬‬
‫)‪ (3‬קבל את התוצאה המדויקת על ידי סיכו ם טור אינסופי )הנ ח התכנסות(‪.‬‬
‫)‪ (9040‬יי שום קרוב בורן סדר שני )הקדמה לקונדו(‬
‫המאופיני ם להלן‪ .‬ה חלקיק נע במהירות‬
‫חלקיק נע בפס אנרגיה ומתפזר על פוטנציאל‬
‫בקרוב בורן סדר שני על מנת למצוא את התלות של חתך הפעולה באנרגית ה חלקיק ‪.‬‬
‫מצבי התנע של ה חלקיק יוצרי ם פס אנרגיה‬
‫אלמנטי המטריצה של הפוטנציאל המפזר ה ם‬
‫שווי ם אפס‪.‬‬
‫‪ .‬יש להשתמש‬
‫‪ .‬צפיפות המצבי ם בתוך הפס היא‬
‫עבור‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬א חרת ה ם‬
‫הדרכה‪ :‬בשלב ראשון רשו ם את נוס חת בורן סדר ראשון עבור חתך הפעולה הכולל‪ .‬הגישה הפשוטה ביותר היא‬
‫באמצעות כלל הזהב של פרמי )ראה תקצירי הרצאה(‪ .‬עליך להמנע מהנ חה מפורשת לגבי המימד הגאומטרי או לגבי‬
‫ולבצע את ה חישוב עד סדר שני‪.‬‬
‫במטריצת הפיזור‬
‫י חס הדיספרסיה‪ .‬בשלב שני יש לה חליף את‬
‫)‪ (9050‬פיזור על דלתה בתורת הפרעות ‪2006H2‬‬
‫בשאלה זו עליך ל חשב במדויק את חתך הפעולה בפיזור של חלקיק על ‪ . regolarized delta function‬על פי הגדרה‬
‫הוא ‪ .‬א חרת אלמנט המטריצה‬
‫בין כל שני מצבי תנע המקימי ם‬
‫אלמנט המטריצה של‬
‫שווה לאפס‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשו ם את הביטוי עבור חתך הפעולה במסגרת קרוב בורן )סדר ראשון(‬
‫)‪ (2‬רשו ם את הביטוי עבור האיבר מסדר שני בפיתו ח של‬
‫)‪ (3‬קבל עבור‬
‫את התוצאה המדויקת על ידי סיכו ם כל הסדרי ם‬
‫בשאלה זו אין "עבודה ש חורה" ואת ם מתבקשי ם להעזר בסימון הבא‪:‬‬
‫)‪ (9080‬פיזור רזונטיבי דרך שתי פונקציות דלתא ‪2008H2‬‬
‫‪.‬‬
‫הנ ח ש ‪ QuantumDot‬כוללת מצב קשור י חיד בעל אנרגיה‬
‫ע ם צפיפות‬
‫( כולל רצף מצבי ם‬
‫מ חברי ם אליה שני ‪ leads‬שכל א חד מה ם )‬
‫‪.‬‬
‫הצימודי ם בין המצב של ה‪ dot-‬למצבי ה‪ lead-‬ה ם‬
‫בשאלה זו עליך למצוא את הסתברות המעבר של ה חלקיק דרך המערכת )‪(transmission‬‬
‫ארגן את תשובתך על פי הסעיפי ם הבאי ם‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫של הרמה‬
‫מה הוא קבוע הדעיכה‬
‫של ה‪dot-‬‬
‫מה הרזולבנט‬
‫באמצעות הרזולבנט‪ ,‬הצימודי ם‪ ,‬ומהירות פרמי‪.‬‬
‫בטא את מטריצת הפיזור‬
‫רשו ם ביטוי מפורש עבור הסתברות המעבר‬
‫מה הסתברות המעבר המכסימלית )ז"א בפיזור רזונטיבי(‬
‫הא ם יכול להיות שהסתברות המעבר תהיה ‪100%‬‬
‫)‪ (9090‬רזוננס בפיזור בגין צימוד של דוט למוליך חד מימדי ‪2010H‬‬
‫בבעיה פיזור סמי חד מימדית‬
‫בבעיה זו נדרש למצוא את היסט הפאזה‬
‫חלקיק בעל מסה ‪ M‬נשל ח מהאינסוף ע ם אנרגיה נתונה ‪ E‬ו חוזר ע ם היסט פזה‬
‫‪ .‬ההמילטוניאן הוא‬
‫שנובע מנוכ חות של דוט קוונטי )אתר( בסמיכות לנקודה‬
‫ההצגה הסטנדרטית של פונקצית הגל בבסיס המקו ם היא‬
‫ע ם קונבנצית נירמול‬
‫)‪ (1‬רשו ם בהצגה הסטנדרטית את‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשו ם בהצגה הסטנדרטית את‬
‫רשו ם את מערכת המשוואות‬
‫רשו ם משוואה סגורה עבור‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬על ידי חילוץ‬
‫ע ם פוטנציאל אפקטיבי‬
‫)‪ (3‬רשו ם את הביטוי עבור הפוטנציאל האפקטיבי‪.‬‬
‫)‪ (4‬מצא ביטוי סגור עבור היסט הפאזה‬
‫)‪ (5‬רשו ם את הביטוי עבור קבוע הדעיכה‬
‫‪.‬‬
‫מתוך הדוט‪ ,‬תוך שימוש בכלל הזהב של פרמי‪.‬‬
‫)‪ (6‬ע"ס הסעיף הקוד ם רשו ם את ביטוי עבור היסט הפאזה‬
‫בקרוב של רזוננס וויגנר‪.‬‬
‫)‪ (7‬מה הפרמטר הקטן שבו יש לפת ח על מנת להראות קונסיסטנטיות של קרוב וויגנר‪.‬‬
‫)‪ (9130‬דריבציה של קרוב בורן עבור היסט הפאזה‬
‫קימות מספר דריבציות של קרוב בורן עבור ‪ .‬בבעיה זו עליך לקבל את נוס חת בורן עבור היסטי הפאזה מתוך קרוב‬
‫‪ .‬הדרכה‪ :‬נסה למצוא את מקדמי הפיתו ח הטורי של אמפליטודת הפיזור בפולינומי ם‬
‫בורן לאמפליטודת הפיזור‬
‫של לזנדר‪.‬‬
‫)‪ (9150‬יי שום קרוב בורן לבעית פיזור על קליפה כדורית‬
‫חשב את אמפליטודת הפיזור ואת היסטי הפאזה בקרוב בורן עבור חלקיק המפוזר על קליפה כדורית‪.‬‬
‫)‪ (9170‬רזוננסים בפיזור כתוצאה מקטבים של הרזולבנט‬
‫בבעית פיזור על מטרה כדורית הנ ח שלרזולבנט יש קוטב ב חצי המישור הת חתון‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא את התרומה של הקוטב ל חתך הפעולה ה חלקי‬
‫הסבר את המשמעות‪ ,‬את הניסו ח המתמטי‪ ,‬והסבר את התנאי לכך שיתקיי ם המשפט האופטי‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬שי ם לב שפרוצדורת הפתרון היא הכללה של דריבצית נוס חת בורן‪.‬‬
‫)‪ (9520‬הפורמאלים של פוק עבור אתר יחיד עם אלקטרונים‬
‫השתמש בפרוצדורה שנלמדה בהרצאה על מנת לרשו ם בקוונטיזציה שניה )באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה(‬
‫‪.‬‬
‫עבור מערכת ע ם אתר י חיד‪ .‬מצא ג ם ביטוי עבור‬
‫את‬
‫‪.‬‬
‫ודא שהביטויי ם שמצאת מקיימי ם את י חס ה חילוף‬
‫הכלל את הביטויי ם למקרה שיש יותר מאתר א חד‪.‬‬
‫)‪ (9550‬ההמילטוניאן בכתיב של קוונטיזציה שנייה ‪focus question‬‬
‫השתמש בפרוצדורה שנלמדה בהרצאה על מנת לרשו ם בקוונטיזציה שניה‪ ,‬באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה‬
‫ע ם אינטרקציה דו‪-‬גופית‬
‫במר חב התנע‪ ,‬ביטוי כללי להמילטוניאן של מערכת חלקיקי ם חסרי ספין בשדה‬
‫)‪ (9610‬מודל בוז‪-‬הבדר עם שני אתרים‪ ,‬אבולוציה של אופרטורי שדה‬
‫רשו ם בקוונטיזציה שניה )באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה( את ההמילטוניאן הכללי ביותר של חלקיקי ם חסרי ספין‬
‫במערכת של שני אתרי ם‪ .‬נא לק חת ב חשבון את היכולת של ה חלקיקי ם לעבור בין שני האתרי ם וג ם את האינטרקציה‬
‫הדו‪-‬גופית ביניה ם‪ .‬כמה פרמטרי ם נדרשי ם לצורך רישו ם ההמילטוניאן הכללי א ם נתון שהמערכת היא סימטרית‬
‫לשיקוף? רשו ם את משוואת התנועה עבור אופרטורי השדה‪ .‬הסבר מה הוא הפתרון של המשוואות א ם אין‬
‫אינטראקציה בין שני ה חלקיקי ם‪.‬‬
‫)‪ (9630‬מודל בוז‪-‬הברד עם שני אתרים‪ ,‬רדוקציה לבעית ספין‬
‫התי חס למערכת סימטרית ע ם שני אתרי ם של השאלה הקודמת‪ .‬הנ ח שאמפליטודת התנודות של חלקיק י חיד‬
‫‪.‬‬
‫חלקיקי ם נמצאי ם באותו אתר אז אנרגית האינטראקציה היא‬
‫במערכת היא ‪ .‬בנוסף הנ ח שא ם‬
‫)הסבר כיצד יש לתקן את הביטוי הריבועי כך שיהיה תקף ג ם עבור מעט חלקיקי ם(‪ .‬רשו ם את ההמילטוניאן‪ .‬בהנ חה‬
‫של חלקיקי ם הראה שאנרגית האינטראציה תלויה בפרש האיכלוס של שני האתרי ם‪ .‬עבור‬
‫שיש מספר כולל‬
‫נתון מה המימד של מר חב הילברט?‬
‫שמעביר חלקיק מאתר א חד לאתר שני‪ .‬באמצעותו הגדר סט של אופרטורי ם‬
‫הגדר את אופרטור סול ם‬
‫והראה שה ם מקימי ם את י חסי הקומוטציה הצפויי ם‪ .‬רשו ם את ההמילטוניאן באמצעות אופרטורי ם אלה‪.‬‬
‫רשו ם ג ם את משוואות התנועה של האופרטורי ם שהגדרת‪ .‬הסבר את ההבדל באופיה של הדינמיקה בגבולות של‬
‫אינטרקציה חלשה ‪ /‬חזקה‪.‬‬
‫)‪ (9710‬מערכת שני חלקיקים ב שני אתרים עם אינטראקציה‬
‫הנ ח מערכת שני חלקיקי ם חסרי ספין בשני אתרי ם במסגרת התאור של קוונטיזציה ראשונה‪.‬‬
‫ה חלקיקי ם ה ם זהי ם בתכונותיה ם אך מוב חני ם א חד מהשני‪ ,‬כך שמר חב הילברט הוא ממימד ‪.4‬‬
‫שי ם לב שפורמאלית הבעיה זהה למערכת של שני ספיני ם או שני ‪.qbits‬‬
‫נתוני ם‪:‬‬
‫הפרש האנרגיה הפוטנציאלית בין שני האתרי ם‬
‫אמפליטודת הקפיצה לי חידת זמן‬
‫האינטראקציה בין ה חלקיקי ם א ם ה ם באותו אתר‬
‫לצורך הניתו ח הנ ח‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן של המערכת בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן האפקטיבי עבור שני המצבי ם הכמעט מנווני ם על ידי שימוש ב‪PQ‬‬
‫מה ה ם המצבי ם העצמיי ם במסגרת קרוב זה?‬
‫מה הפיצול בין המצבי ם במסגרת קרוב זה?‬
‫עכשיו נאמץ אסטרטגיה שונה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.‬‬
‫בהעדר אינטראקציה הגדר בסיס של אורביטלי ם חד חלקיקיי ם‬
‫חשב בבסיס זה את אלמנטי המטריצה ‪ K,J‬של האינטראקציה‪.‬‬
‫הסבר את המשפט הבא‪ :‬באינטראקצית מגע ‪ K,J‬ה ם שווי ם‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן‪.‬‬
‫חשב את הפיצול של המצבי ם הכמעט מנווני ם תוך שימוש בסדר שני של תורת הפרעות‪.‬‬
‫שי ם לב שב חלק הראשון הפיצול הוא לינארי באינטראקציה‪ ,‬וב חלק השני הוא ריבועי באמפליטודת הקפיצה‪.‬‬
‫הסבר מה התנאי ם לתקפות הביטויי ם ומתי ה ם מתלכדי ם‪.‬‬
‫)‪ (9720‬מודל הברד עם שני אתרים‬
‫הנ ח מערכת אלקטרונית הכוללת שני אתרי ם‪ .‬מר חב פוק הוא ממימד ‪.6‬‬
‫‪ .1‬רשו ם את ההמילטוניאן תוך שימוש בסימוני ם של בעיה ‪.9710‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫הסבר מדוע ה חלק הלא טריוויאלי של ההמילטוניאן הוא בלוק ממימד ‪. 4‬‬
‫הסבר מדוע בלוק ההמילטוניאן ממימד ‪ 4‬זהה לזה של בעיה ‪.9710‬‬
‫זהה את מצבי הטריפלט ומצבי הסינגלט של המערכת )סה"כ ‪ 6‬מצבי ם(‪.‬‬
‫רשו ם את המצבי ם בשפה של קוונטיזציה ראשונה‪.‬‬
‫רשו ם את המצבי ם בשפה של קוונטיזציה שניה‪.‬‬
‫שי ם לב‪ :‬בבעיה זו אין עבודה אלגברית בהנ חה שכבר פתרת את בעיה ‪9710‬‬
‫)‪ (9730‬מודל אנדרסון ‪ :‬אתר זיהום ופס הולכה‬
‫( או רמת זיהו ם מת חת לאנרגית פרמי )‬
‫במודל אנדרסון אלקטרון יכול לאכלס רמות מעל אנרגית פרמי )‬
‫‪ .‬ג ם להשארת את רמת‬
‫(‪ .‬א ם שני אלקטרוני ם מאכלסי ם את רמת הזיהו ם יש לכך מ חיר אנרגטי גבוה‬
‫‪ .‬הסבר מדוע מודל אנדרסון מתלכד פורמאלית ע ם מודל‬
‫הזיהו ם ריקה יש מ חיר אנרגטי גבוה‬
‫הברד א ם פס ההולכה כולל רמה א חת בלבד‪ .‬להלן הנ ח שיש מעל אנרגית פרמי מספר כלשהוא )"פס"( של רמות‬
‫אנרגיה )לא רק רמה א חת(‪ .‬מצא באמצעות הפורמאליז ם ‪ PQ‬את פוטנציאל הפיזור האפקטיבי )סדר שני( של‬
‫בהמילטוניאן האפקטיבי של קונדו‪:‬‬
‫אלקטרון בתוך "הפס"‪ .‬מתוך כך קבע את ערכו של‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן של קונדו בצורה מפורשת באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה ‪.‬‬
‫)‪ (9740‬בעית הפיזור של קונדו‬
‫‪ .‬נני ח י חס הדיספרסיה לינארי ולא ריבועי‪,‬‬
‫נתי חס לבעיה של פיזור חד חלקיקי ע ם המילטוניאן‬
‫‪ .‬בטיפול ה חד‪ -‬חלקיקי חתך הפעולה מתבדר כאשר אנרגית הפיזור קרובה לרצפה‪ .‬לעומת זאת א ם‬
‫ע ם רצפ ה‬
‫אז בטיפול הרב‪ -‬חלקיקי ההתבדרות מתקזזת‪.‬‬
‫קימות רמות מלאות מת חת לאנרגיה‬
‫הוכ ח את טענה זו באמצעות חישוב בפורמאליז ם רב‪ -‬חלקיקי‪.‬‬
‫הסבר מדוע ע ם ההמילטוניאן של קונדו ההתבדרות מופיעה שוב )אין התקזזות(‪ .‬אפקט זה נקרא "קונדו‬
‫רזוננס"‪.‬‬
‫כנ"ל עבור בעית פיזור אינאלסטי של חלקיק חסר ספין על ‪two level atom‬‬
‫בסעיף הא חרון נתונה אנרגית העירור‬
‫של האטו ם‪.‬‬
‫)‪ (9750‬איכלוס שני אורביטלים באלקטרונים‪exchange ,‬‬
‫נתונות פונקציות הגל של שני אורביטלי ם מר חביי ם‪.‬‬
‫הגדר את ‪ K,J‬עבור אינטראקציה קולונית‪.‬‬
‫הנ ח ששמי ם אלקטרון א חד בכל אורביטל‪ ,‬כך שמר חב המצבי ם הוא ממימד ‪.4‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן של המערכת‪.‬‬
‫רשו ם את המצבי ם העצמיי ם והאנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫רשו ם את מצב הסינגלט בשפה של קוונטיזציה ראשונה‪.‬‬
‫רשו ם את מצב הסינגלט בשפה של קוונטיזציה שנייה‪.‬‬
‫הסבר מדוע ההמילטוניאן האפקטיבי ניתן לרישו ם בצורה‬
‫)‪ (9760‬איכלוס שני אורביטלים באלקטרונים‪ ,‬כללי הונד‬
‫הסבר את שלושת כללי הונד‪.‬‬
‫קבע את מצב היסוד בכל א חד מהמקרי ם הבאי ם‪:‬‬
‫שני אלקטרוני ם ברמה ‪p‬‬
‫שני אלקטרוני ם ברמה ‪d‬‬
‫)‪ (9810‬ההמילטוניאן של אטום ב שדה אלקטרומגנטי‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן ה חלקי של אלקטרוני ם )מר חב פוק( בשדה אלקטרומגנטי קלאסי‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן המלא של אלקטרוני ם )מר חב פוק( בשדה אלקטרומגנטי קוונטי‪.‬‬
‫רשו ם את ההמילטוניאן של אלקטרון י חיד )קוונטיזציה ראשונה( בשדה אלקטרומגנטי קוונטי‪.‬‬
‫עבור איבר האינטראקציה‪.‬‬
‫הסבר כיצד מתקבל הקרוב הדיפולי‬
‫באמצעות אלו של‬
‫על מנת להביע את אלמטי המטריצה של‬
‫השתמש בקשר‬
‫עבור האלקטרוני ם השתמש באופרטורי היצירה‬
‫עבור הפוטוני ם השתמש באופרטורי היצירה‬
‫ול חילופין‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שי ם לב‪:‬‬
‫)‪ (9820‬פליטה אלקטרומגנטית של אטום בעל שתי רמות‬
‫בשאלה זו נגדיר אטו ם מלאכותי שמורכב משני אתרי ם ע ם אלקטרון י חיד חסר ספין‪.‬‬
‫‪ ,‬ולמערכת יש סימטריה לשיקוף‪.‬‬
‫שני האתרי ם ממוקמי ם לאורך ציר ‪ Z‬בנקודות‬
‫‪.‬‬
‫אמפליטודת הקפיצה בין שני האתרי ם היא‬
‫רשו ם את אלמנטי המטריצה של האופרטור‬
‫אלה נקראי ם "אלמנטי מטריצה דיפוליי ם"‪.‬‬
‫הבע את אלמנטי המטריצה של המהירות‬
‫באמצעות התוצאה שמצאת עבור אלמנטי המטריצה הדיפוליי ם‪.‬‬
‫מצא את אלמנט המטריצה ליצירת פוטון‬
‫ומתוך כך חשב את‬
‫‪,‬‬
‫מכיני ם את האטו ם במצב מעורר‪.‬‬
‫השתמש בכלל הזהב של פרמי על מנת לקבל את קצב הקרינה‪.‬‬
‫שי ם לב שהתשובה תלויה בזוית ע ם ציר ‪.Z‬‬
‫על ידי אינטגרציה מצא את קצב הקרינה הכולל‬
‫)‪ (9830‬פליטה אלקטרומגנטית של אטומים ‪superradiance‬‬
‫אטומי ם באותו מקו ם בשדה‪.‬‬
‫בהמשך לשאלה ‪ 9820‬הנ ח שיש‬
‫פורמאלית כל ‪ two leve atom‬הוא כמו ספין ‪.1/2‬‬
‫הוא קבוע תנועה של המילטוניאן‪.‬‬
‫הסבר מדוע‬
‫כמה מולטיפלטי ם יש ע ם‬
‫כמה מולטיפלטי ם יש ע ם‬
‫כמה מולטיפלטי ם יש ע ם‬
‫כל האטומי ם מצויי ם במצב מעורר‪.‬‬
‫הנ ח שבזמן‬
‫הראה שהקצב הת חילי של הקרון הוא‬
‫הראה שלא חר פרק זמן מסוי ם מתקבל קצב מכסימאלי‬