23.02.15 .תיטילנא הקינכמ :ןחבמ ןדימ תינגד :הצרמ לאגי רמות :לגרתמ
by user
Comments
Transcript
23.02.15 .תיטילנא הקינכמ :ןחבמ ןדימ תינגד :הצרמ לאגי רמות :לגרתמ
23.02.15 מבחן :מכניקה אנליטית. מרצה :דגנית מידן מתרגל :תומר יגאל • משך המבחן שלוש שעות • ללא חומר עזר. • ענה על 3השאלות. שאלה 30) :1נקודות( חלקיק ,בעל מסה mומטען ,qנע בשדה מגנטי אחיד B = Bezובשדה חשמלי שנוצר על ידי חלקיק נקודתי בעל מטען Qהיושב בראשית .השדות הללו מתוארים על ידי הפוטנציאלים: Q r ; ) x = (x1 , x2 , x3 φ = − 1 B×x 2 = A הניחו שתנועת החלקיק מוגבלת למישור .x − yנגדיר תדירות qB 2mc =Ω .1הלגרנגיאן של המערכת הוא: q 1 L = m (|ẋ|)2 − qφ + ẋ · A 2 c רשמו את ההמילטוניאן של החלקיק כפונקציה של הקואורדינטות rו־ θוהתנע הצמוד שלהם pr ו־ 5) .pθנק'( .2הראו שטרנספורמצית הקואורדינטות φ = θ + Ωt pφ = pθ היא טרנספורמציה קנונית .מצאו את הפונקציה היוצרת של הטרנספורמציה ואת ההמילטוניאן בקואורדינטות החדשות 10) .נק'( .3מצאו שני גדלים שמורים בלתי תלויים עבור התנועה של החלקיק 3) .נק'( .4מצאו את הפוטנציאל האפקטיבי Vef fעבור התנועה הרדיאלית .מצאו את משוואה עבור רדיוס המסלול המעגלי )אין צורך לפתור את המשוואה( 7) .נק'( .5מצאו את תדירות התנודות הקטנות סביב המסלול המעגלי כפונקציה של 5) .m, q, Q, Ωנק'( 1 שאלה 35) :2נקודות( חלקיק בעל מסה mנע בפוטנציאל דמוי טבעת for 2R < r for R < r < 2R for r < R V0 = )V (r 0 V0 כאשר .V0 > 0 .1סרטטו את הפוטנציאל האפקטיבי של הבעיה 3) .נק'( .2נתחו את מסלולי הפיזור השונים .מהי האנרגיה המינימלית עבורה קיים מסלול פיזור המוסט )משנה את כיוונו( פעמיים? ) 12נק'( .3מצאו את חתך הפעולה לפיזור מהליבה הפנימית 10) .נק'( .4מצאו את חתך הפעולה הכללי 5) .נק'( .5דונו בקצרה כיצד היו משתנות התשובות לסעיפים 1 − 4עבור פוטנציאל בעל סימן הפוך .כלומר 5) .V0 < 0נק'( שאלה 35) :3נקודות( נתון לגרנגיאן בעל דרגת חופש אחת אשר תלוי בזמן 1 2 1 2 βt mq̇ − kq L=e 2 2 .1רשמו את משוואות התנועה של אויילר ־ לגרנג' .איזו מערכת פיסיקאלית הן מתארות? ) 5נק'( .2מצאו את ההמילטוניאן .מהי הטרנספורמציה הנוצרת ע"י הפונקציה βt F (q, P, t) = qP e 2 מצאו את ההמילטוניאן החדש ואת משוואות התנועה של המילטון עבור הקואורדינטות החדשות Qו־ 10) .Pנק'( .3האם יש גדלים שמורים במערכת? פרשו אותם במונחים של המשתנה המקורי 5) .qנק'( .4פתרו את משוואת התנועה עבור ) .Q(tרמז :רשמו את הלגרנגיאן במונחי המשתנה 10) .Qנק'( q k 2 mבמונחים של .Qלמה זה מתייחס .5דונו בהתנהגות של המערכת עבור βקטן/גדול מ־ במונחים של 5) ?qנק'( 2 :נוסחאות שימושיות ∂L ∂q ∂H ∂qk df dt = d dt ∂L ∂ q̇ ∂H = q̇k ∂pk ∂f = [f, H] + ∂t X ∂f ∂g ∂f ∂g − [g, f ] ≡ ∂p ∂q ∂qi ∂pi i i i = −ṗk F1 (q, Q, t) ⇒ F2 (q, P, t) ⇒ F3 (p, Q, t) ⇒ ; ∂F1 ∂F1 ∂F1 , P =− , H0 = H + ∂q ∂Q ∂t ∂F2 ∂F2 ∂F2 p= , Q= , H0 = H + ∂q ∂P ∂t ∂F3 ∂F3 ∂F3 , q= , H0 = H + P =− ∂Q ∂p ∂t p= !בהצלחה 3