הקיסיפ 3 א '

‫‪ 3( 8:00-11:00‬שעות) ‪03.02.2012‬‬
‫פיסיקה ‪3‬א' (‪ )203.1.2391‬מועד א' – ד"ר אלעד שופן‬
‫הוראות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫להלן ‪ 4‬שאלות‪ ,‬לכל אחת ‪ 44‬נקודות‪ .‬יש לבחור ‪ 4‬שאלות מתוך ה‪.4-‬‬
‫נא לציין בעמוד הראשון של המחברת את ‪ 4‬השאלות שברצונכם שייבדקו‪.‬‬
‫חומר עזר מותר – ‪ 2‬עמודים כתובים של נוסחאות (בגודל ‪.)A4‬‬
‫לשאלון מצורפות נוסחאות שימושיות‪.‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪0 0  x  a‬‬
‫חלקיק חופשי נמצא בבור חד מימדי ברוחב ‪ a‬עם פוטנציאל הנתון ע"י‬
‫‪ otherwise‬‬
‫‪. V ( x)  ‬‬
‫‪2‬‬
‫המצבים הסטציונריים והאנרגיות העצמיות הינם‪  nx  :‬‬
‫‪sin ‬‬
‫}‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪, n ( x) ‬‬
‫‪ 2n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2m a 2‬‬
‫‪{ En ‬‬
‫ידועה פונקציית הגל של חלקיק ב‪ n ( . ( x,0)  n( x) : t=0-‬נתון)‬
‫א‪ .‬מהי ) ‪ 6( ? ( x, t‬נק')‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכי התוחלת ‪  p̂  ,  x̂ ‬ו‪  E  -‬בזמן כלשהו ‪ 7( .t‬נק')‬
‫ג‪ .‬מהו הסיכוי שבמדידת מיקום החלקיק הוא יימצא ברבע השמאלי של הבור ( ‪?) 0  x  0.25 a‬‬
‫בדוק את תשובתך עבור ‪ n‬זוגי‪ .‬התוצאה שקיבלת אינה תלויה בזמן‪ .‬האם זהו מקרה פרטי או‬
‫שמדובר בתוצאת כללית המאפיינת חלקיק בבור אינסופי? הסבר‪ 7( .‬נק')‬
‫ד‪ .‬נגדיר פונקציית צפיפות הסתברות לתנע באופן הבא‪ :‬הביטוי ‪ f pˆ ( p) dp‬יתאר את ההסתברות‬
‫לכך שבמדידת התנע של החלקיק נקבל תנע בין ‪ p‬ל‪ .p+dp -‬מצא את ) ‪ 7( . f pˆ ( p‬נק')‬
‫אין צורך לפשט את הביטויים – מספיק לרשום ביטוי אחרי אינטגרציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬הראה שעבור הבור המתואר מתקיים עקרון אי הוודאות עבור חלקיק ברמה ‪ n‬כלשהי‪ 7( .‬נק')‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫חלקיק שמסתו ‪ m‬הנע במימד אחד‪ ,‬מוגבל לנוע בתחום ‪ 0 x a‬בבור פוטנציאל אינסופי (בתוך‬
‫הבור הפוטנציאל שווה לאפס)‪ .‬בנוסף‪ ,‬במרכז הבור יש פוטנציאל דלתא בחוזק ‪. g‬‬
‫במילים אחרות – הפוטנציאל במרחב הינו‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0 & x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪g‬‬
‫)‪. V ( x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.0‬‬
‫א‪ .‬רשום את משוואת שרדינגר הסטציונרית בתחום ‪x a‬‬
‫מהם תנאי השפה‪/‬רציפות בנקודות ‪ x a / 2 , x 0‬ו‪a -‬‬
‫‪ 13( .‬נק')‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a/2‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬מצא פתרון למשוואה על ידי כתיבת פתרון בכל תחום ו"תפירה"‪ 12( .‬נק')‬
‫ג‪ .‬מצא את התנאי המתמטי המתאר את הערכים העצמיים האפשריים של האנרגיה (האנרגיה‬
‫בבעיה זו מקוונטטת)‪ .‬שרטט גרף המתאר איכותית כיצד ניתן למצוא את הערכים האפשריים‬
‫לאנרגיה‪ 9( .‬נק')‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נבנה מודל של אלקטרונים חופשיים בגביש שצורתו קובייה בנפח ‪ . L3‬הפוטנציאל נתון ע"י ‪V=0‬‬
‫ותנאי השפה הם מחזוריים‪. ( x  L, y, z )   ( x, y  L, z)  ( x, y, z L)  ( x, y, z) :‬‬
‫א‪ .‬מצא מצבים חד חלקיקיים סטציונריים מנורמלים עבור בעיה זו‪ 7( .‬נק')‬
‫ב‪ .‬עבור מערכת עם ‪ 9‬אלקטרונים (‪ :)N=9‬מצא את האנרגיה של מצב היסוד‪ .‬האם יש ניוון?‬
‫הסבר‪ 6( .‬נק')‬
‫עבור הסעיפים הבאים אפשר להניח ש‪ ,N-‬מספר האלקטרונים‪ ,‬הינו נתון וכן גדול מאוד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצב היסוד של מערכת ובה ‪ N‬אלקטרונים חופשיים מתקבל על ידי מילוי רמות האנרגיה עד‬
‫לרדיוס פרמי ‪ . k F‬מהו הקשר בין ‪ k F‬ו‪ 7( ?N -‬נק')‬
‫ד‪ .‬מצא את פונקציית צפיפות המצבים ) ‪ D(‬של ‪ N‬אלקטרונים חופשיים (לא לשכוח ספין)‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק')‬
‫ה‪ .‬חשב את צפיפות האנרגיה (כלומר האנרגיה הכוללת של האלקטרונים ‪ E‬ליחידת נפח)‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק')‬
‫נתונים‪.m ,L ,N :‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫ענה על שני הסעיפים הבאים‪ .‬הסעיפים הינם בלתי תלויים‪.‬‬
‫א‪ .‬אלומת חלקיקים (פוטונים או אלקטרונים) נעה לעבר מסך עם שני סדקים‪ A ,‬ו‪ .B-‬מאחורי‬
‫המסך עם הסדקים יש מסך ועליו מותקנים גלאים המגלים את החלקיקים כאשר הם פוגעים‬
‫בו‪ .‬תאר איכותית‪ :‬מה תהיה התמונה על המסך כאשר סדק ‪ A‬פתוח וסדק ‪ B‬סגור‪ .‬מה תהיה‬
‫התמונה כאשר שני הסדקים פתוחים? מה יקרה לתמונה כאשר עוצמת האלומה תקטן עד‬
‫למאוד? (‪ 17‬נק')‬
‫ב‪ .‬פונקציית הגל של חלקיק היא ‪u( x) ei k x‬‬
‫)‪ k , ( x‬חיובי ונתון‪ .‬ידוע ש‪--‬‬
‫(‪ u( x ) )1‬הינה פונקציה ממשית ומנורמלת‬
‫(‪u( x) )2‬‬
‫(‪a 2 )3‬‬
‫) ‪u( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u( x ) x 2 dx‬‬
‫( ‪ a‬נתון)‪.‬‬
‫לא חייבים להשתמש בכל הנתונים!‬
‫האם ) ‪( x‬‬
‫היא פונקציה עצמית של אופרטור התנע? של אופרטור המיקום? (‪ 17‬נק')‬
‫בהצלחה!‬
‫הערה‪ :‬אפשר למצוא את פי בריבוע גם על‬
‫ידי שימוש בכך שהאנרגיה ידועה‬
‫ופרופורציונית לפי בריבוע (זה יותר אלגנטי‪/‬‬
‫‪).‬חכם‬
‫הערה‪ :‬לא בהכרח שמתם לב לאפשרות לרשום את הפונקציה‬
‫בתחום הימני באופן כזה (כתיבה שמפשטת מאוד את ההמשך)‪ .‬צורה‬
‫זו הגיונית בגלל הסימטריה של הבעיה‪ ,‬אבל בכל אופן אפשר להמשיך‬
‫גם בלעדיה (פשוט התנאי לאנרגיה יהיה מכוער יותר)‬
‫הערה‪ :‬ישנה אפשרות שפסי תקיים‬
‫משוואה זו אם יו הינה מהצורה של‬
‫פונקציית דלתא כפול אקפוננט של מינוס‬
‫קיי איקס‪ .‬אבל במקרה זה יו איננה‬
‫ממשית וגם לא ניתנת לנירמול (ובעצם גם‬
‫לא ממש פונקציה)‬