הקיסיפ 3 א –

‫פיסיקה ‪3‬א – מבחן דוגמה ‪2‬‬
‫הוראות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫להלן ‪ 4‬שאלות‪ ,‬לכל אחת ‪ 34‬נקודות‪ .‬יש לבחור ‪ 3‬שאלות מתוך ה‪.4-‬‬
‫נא לציין בעמוד הראשון של המחברת את ‪ 3‬השאלות שברצונכם שייבדקו‪.‬‬
‫חומר עזר מותר – ‪ 2‬עמודים כתובים של נוסחאות )בגודל ‪.(A4‬‬
‫לשאלון מצורפות נוסחאות שימושיות‪.‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫חלקיק שמסתו ‪ m‬נמצא בהשפעת פוטנציאל הרמוני חד מימדי )אוסילטור הרמוני(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mw 2 x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪ . V ( x‬המצבים הסטציונריים של הבעיה‪ ,‬הרלוונטיים לתרגיל‪ ,‬מופיעים‬
‫להלן‪ .‬פונקציית הגל של החלקיק בזמן ‪ 0‬נתונה בנוסחה )) ‪, ( x,0)  A (3 0 ( x )  4i 1 ( x‬‬
‫כאשר ‪ A‬הינו קבוע‪ .‬נתונים‪. m,  :‬‬
‫המצבים הסטציונריים של אוסילטור הרמוני הינם בעלי אנרגיות‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪En   n     , n  0,1, 2,...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫המצבים המוזכרים לעיל‪ ,‬מנורמלים‪ ,‬הינם‪:‬‬
‫‪1/4‬‬
‫‪mw 2‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪ö‬‬
‫‬‫‪x‬‬
‫‪2mw‬‬
‫÷÷÷ ‪, j1 ( x ) = çç m w‬‬
‫‪x e 2‬‬
‫‪çè  p ÷ø‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/4‬‬
‫‪æ m w ö÷ - m w x2‬‬
‫‪÷ e 2‬‬
‫‪j0 ( x ) = çç‬‬
‫‪çè  p ÷÷ø‬‬
‫א‪ .‬מהו ערך התוחלת של האנרגיה?‬
‫ב‪ .‬כתוב את פונקציית צפיפות ההסתברות למציאת החלקיק במרחב‪ ,‬בזמן ‪t‬‬
‫כלשהו‪ .‬מהו זמן המחזור‪ ,‬כלומר תוך כמה זמן חוזרת הפונקציה לעצמה?‬
‫‪‬‬
‫מבצעים מדידה של האנרגיה של החלקיק ומקבלים את הערך‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬הסעיפים‬
‫הבאים מתייחסים למצב החלקיק מיד לאחר המדידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬רשום את פונקציית הגל של החלקיק מיד לאחר המדידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את ‪ , D x‬אי הוודאות במיקום החלקיק‪ .‬האם ‪ D x‬ישתנה בזמן?‬
‫ה‪ .‬מצא את פונקציית צפיפות ההסתברות למדידת התנע עבור המצב החדש‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫אופרטור הזוגיות ̂‪ P‬מוגדר על ידי‪ˆ Y ( x ) = Y (-x ) :‬‬
‫‪.P‬‬
‫א‪ .‬האם אופרטור הזוגיות הוא הרמיטי?‬
‫ב‪ .‬מצא את יחס החילוף בין אופרטור הזוגיות ̂‪ P‬לאופרטור המיקום ̂‪. x‬‬
‫‪æ px ö‬‬
‫‪æ ö‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪ j1 ( x ) = 1 cos çç p x ÷÷ , j2 ( x‬הן פונקציות עצמיות של אופרטור‬
‫הפונקציות ÷÷÷ ‪sin çç‬‬
‫÷‬
‫‪ç‬‬
‫‪ç‬‬
‫‪èa ø‬‬
‫‪è 2a ø‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫האנרגיה עבור חלקיק חופשי הכלוא בבור אינסופי ] ‪. [-a , a‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם ) ‪ j2 ( x‬ו‪ j1 ( x ) -‬הינן גם פונקציות עצמיות של אופרטור הזוגיות? אם כן –‬
‫מהם הערכים העצמיים המתאימים? מהו הערך הממוצע של ̂‪ P‬בכל מצב?‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬חלקיק נמצא במצב המתואר )ב‪ (t=0-‬על ידי )) ‪(j1 ( x ) + j2 ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪ . y( x‬האם‬
‫זוהי פונקציה עצמית של האופרטור ̂‪ ? P‬אם כן – מהו הערך העצמי? מהו הערך‬
‫הממוצע של ̂‪ P‬במצב זה?‬
‫ה‪ .‬מהם כל הערכים העצמיים האפשריים לאופרטור הזוגיות? רמז‪. P̂2 :‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫חלקיק עם אנרגיה ‪ -V0 < E < 0‬נע במימד אחד תחת השפעת הפוטנציאל‬
‫‪x£0‬‬
‫‪0< x<a‬‬
‫‪x>a‬‬
‫‪ì¥‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪. V ( x ) = í-V0‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪î 0‬‬
‫א‪ .‬מהם תנאי השפה ותנאי הרציפות בנקודות ‪ ? x = 0, a‬‬
‫ב‪ .‬מצא פתרון ) ‪ j( x‬למשוואת שרדינגר הסטציונרית על ידי כתיבת פתרון בכל תחום‬
‫ג‪.‬‬
‫ו"תפירה"‪ .‬‬
‫הראה שמתקבל תנאי לערכים העצמיים האפשריים של האנרגיה )האנרגיה מקוונטטת(‪ .‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪* .‬מה צריכה להיות המכפלה ‪ V0a‬על מנת שיהיה רק פתרון אחד קשור? ‪ ‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫הסבר מה משפט בלוך אומר‪ .‬מהן הנחות הקירוב בתיאור אלקטרונים בגבישים מוליכים‬
‫ומבודדים על פי מודל בלוך?‬
‫איזה ערכים בלתי תלויים אפשריים ל‪ k-‬וקטור הגל של הסריג )עבור בעיה עם תנאי שפה‬
‫מחזוריים במימד אחד(‪.‬‬
‫מצאו מצבים עצמיים ואנרגיות עצמיות של אלקטרון חופשי ‪ V = 0‬בגביש חד ממדי ברוחב‬
‫‪ L‬עם תנאי שפה מחזוריים‪.‬‬
‫הראו שכל הפתרונות שמצאתם בסעיף ג' ניתנים לכתיבה בצורה של פונקציות בלוך )כלומר‪,‬‬
‫פונקציה מחזורית בסריג מוכפלת באקספוננט(‪.‬‬
‫לפי מודל ההולכה בתמונת בלוך – גביש ובו יש מספר אי‪-‬זוגי של אלקטרונים לתא‬
‫פרימיטיבי יהיה בהכרח מוליך‪ .‬הסבר איכותית מדוע‪.‬‬
‫בהצלחה!‬