תיטנווק הקינכמב םיליגרת

‫תרגילים במכניקה קוונטית‬
‫‪10-00‬‬
‫‪13-00‬‬
‫‪16-00‬‬
‫‪20-00‬‬
‫‪25-00‬‬
‫‪28-00‬‬
‫‪30-00‬‬
‫‪35-00‬‬
‫‪40-00‬‬
‫‪42-00‬‬
‫‪44-00‬‬
‫‪46-00‬‬
‫‪48-00‬‬
‫‪50-00‬‬
‫‪55-00‬‬
‫‪60-00‬‬
‫‪70-00‬‬
‫‪73-00‬‬
‫‪76-00‬‬
‫‪78-00‬‬
‫‪80-00‬‬
‫‪85-00‬‬
‫‪90-00‬‬
‫‪95-00‬‬
‫חזרה על אלגברה לינארית‬
‫מערכות בעלות מימד הילברט סופי‬
‫ההגדרה של אופרטור התנע‬
‫מצבים סטציונריים של חלקיק בקופסא‬
‫תורת פיזור )אלמנטרי(‬
‫תורת פיזור‪ :‬שיטת היסטי הפאזה‬
‫חלקיק בגאומטרית אהרונוב‪-‬בוהם )טבעת(‬
‫חלקיק בשדה מגנטי אחיד‬
‫חבורות לי‪ ,‬יוצרים‪ ,‬אלגברת לי‬
‫בניית ההצגות של חבורת הסיבובים‬
‫סיבובים ‪" -‬ספינים"‬
‫סיבובים ‪" -‬פונקציות גל"‬
‫חיבור תנע זויתי‬
‫אופרטורים סקלריים‪ ,‬וקטוריים‪ ,‬וטנסורים‬
‫טרנספורמציות‪ ,‬אינוריאנטיות‪ ,‬סימטריות‬
‫תורת הפרעות למצבים קונטיים קשורים‬
‫דינמיקה קוונטית‬
‫תורת הפרעות לאבולוציה בזמן )אלמנטרי(‬
‫כלל הזהב של פרמי‬
‫קרוב בורן לחתך הפעולה‬
‫הפרופגטור‪ ,‬הרזולבנט‪ ,‬פונקציות גרין‬
‫תורת הפרעות פורמאלית‬
‫תורת פיזור פורמאלית‬
‫קוונטיזציה שנייה‬
‫במאגר כלולים פתרונות שהוגשו על ידי סטודנטים ושנחשבים סבירים בעיני המרצה‪ .‬במקרים מסוימים בוצעו תיקונים או‬
‫נוספו הערות על ידי המרצה או המתרגל‪ .‬אם נותרו שגיאות הן לא מהותיות וניתן בקלות לאתרן‪ .‬מאידך פתרונות רבים‬
‫נותרו מסורבלים ללא הצדקה‪ .‬פתרון אופטימלי אמור להיות די קצר‪ .‬המרצה הוא עצלן ואינו אוהב לחבר בעיות שדורשות‬
‫פתרון ארוך או עבודה שחורה‪ .‬לצד כל שאלה רשום התאריך של המבחן עבורו היא חוברה‪ .‬ניתן למצוא במאגר את‬
‫התשובות הסופיות )ללא דריבציה( שסיפק המרצה בעת חיבור השאלות‪ .‬לעיתים הפתרונות נסרקו ורק אחר כך נבדקו‬
‫ודובגו על ידי המתרגל והמרצה‪ .‬כך שיכול להיות שיש שגיאות שמן הסתם דווחו בפורום בעת פרסום הפתרונות‪ .‬כמו כן‬
‫יכולות להיות אי התאמות שנובעות משדרוג של שאלות לצורך תירגולים‪.‬‬
‫)‪ (1020‬מטריצות פאולי‬
‫מטריצות פאולי‪ ,‬לרבות מטריצת היחידה‪ ,‬מוגדרות להיות‪:‬‬
‫מטריצות פאולי ומטריצת היחידה מהווים בסיס שלם למטריצות ‪2x2‬‬
‫מגדירים את היצוג שלו באמצעות הפיתוח‬
‫בהנתן אופרטור‬
‫‪ .1‬רשום את המטריצות האלו בכתיב דיראק‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫ואת‬
‫‪ .2‬הבע את‬
‫‪ .3‬הכלל את הנוסחא למקרה הכללי‪ :‬חישוב‬
‫)‪ (1025‬אופרטורי היטל כבסיס להצגה‬
‫‪.‬‬
‫של שני אופרטורים‬
‫המצבים‬
‫אופרטורי ההיטל על‬
‫מימדי‪.‬‬
‫מהווים בסיס שלם להצגת האופרטורים מעל מרחב הילברט‬
‫רשום את האופרטור המיוצג על ידי המטריצה שלהלן באמצעות אופרטורי היטל כאלה‪.‬‬
‫הוא אופרטור היטל על‬
‫אם‬
‫היא מטריצת פאולי מוכללת‪.‬‬
‫אז‬
‫הסבר כיצג אפשר להגדיר בסיס של מטריצות פאולי )מוכללות(‬
‫במקום אופרטורי הההיטל הנ"ל‪ ,‬ורשום את האופרטור ‪ A‬בבסיס זה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬מבחינה טכנית נוח יותר לפתור קודם את הסעיף האחרון‪,‬‬
‫ובשלב שני לבטא את התוצאה באמצעות אופרטורי ההיטל‪.‬‬
‫)‪ (1040‬זהויות מאלגברה לינארית ‪focus question‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ .5‬הביטוי ל‬
‫‪ .6‬זהות יעקובי‬
‫עבור מטריצה אוניטרית‬
‫בעזרת כתיב דיראק‪ ,‬באשר‬
‫‪.‬‬
‫היא פונקציה כלשהיא‪.‬‬
‫)‪ (1060‬שינוי בסיס של וקטור‬
‫במרחב דו‪-‬מימדי נסמן שני בסיסים‬
‫ו‬
‫נתון כי‬
‫‪ .1‬מה התנאי על‬
‫‪.‬‬
‫ו‬
‫‪.‬‬
‫ו על מנת שהבסיס‬
‫‪ .2‬בטא את‬
‫יהיה אורתונורמלי?‬
‫בבסיס‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1080‬לכסון של מטריצת ההזזה‬
‫‪1. Write the displacement operator for N=3 site system‬‬
‫‪2. Find the eigenvalues from the characteristic equation.‬‬
‫‪3. Find a set of eigenvectors.‬‬
‫‪4. Write the displacement operator for N=4 site system‬‬
‫‪5. Write the eigenvalues $k_n$ using results of the lecture.‬‬
‫‪6. Write explicitly what are the corresponding eigenvectors.‬‬
‫)‪ (1140‬לכסון אופרטורים‬
‫נניח כי בבסיס מסוים האופרטורים‬
‫ו‬
‫מיוצגים ע"י המטריצות‬
‫‪ .1‬האם ל יש ע"ע מנוונים?‬
‫חילופיים‪.‬‬
‫ו‬
‫‪ .2‬הראה כי‬
‫אלכסוניים בו‪-‬זמנית‪.‬‬
‫ו‬
‫‪ .3‬מצא בסיס חדש בו‬
‫)‪ (1200‬התמרות פוריה של פונקציות פשוטות‬
‫מצא את התמרות פוריה של‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫גאוסיאן ולורנציאן‪.‬‬
‫דלתה מוזזת‪.‬‬
‫שני "סדקים" המיוצגים על ידי שתי פונקציות דלתה‪.‬‬
‫סריג חד מימדי )"מסרק"( על ידי שימוש ב‪-‬‬
‫סריג ריבועי )דו מימדי( המורכב מדלתאות‬
‫)‪ (1210‬התמרות פוריה של פונקציות מוכללות‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.‬‬
‫של פונקצית מדרגה‬
‫מצא את התמרת פוריה‬
‫מצא את התמרת פוריה של הפונקציה‬
‫על ידי סגירה של קונטור האינטגרציה במישור הקומפלקסי‬
‫קבל את התמרת פוריה ההפוכה של‬
‫על ידי הפרדת האינטרגל לסכום של חלק ראשי ‪ +‬תרומת חצי קשת‪.‬‬
‫קבל את התמרת פוריה ההפוכה של‬
‫)‪ (1230‬משפטים על התמרות פוריה‬
‫נתון שהתמרות פוריה של הפונקציות‬
‫הן‬
‫מה התמרת פוריה של הנגזרת‬
‫מה התמרת פוריה של הפונקציה המוזזת‬
‫מה התמרת פוריה של הפונקציה המשוקפת‬
‫רשום את המכפלה הפנימית של שתי הפונקציות במרחב הזמן‪ ,‬ולחילופין במרחב התדר‪.‬‬
‫רשום את הקונבולציה‬
‫כמכפלה פנימית של שתי פונקציות‪.‬‬
‫השתמש בסעיפים הקודמים כדי להוכיח את משפט הקונבולציה "בשורה אחת"‪.‬‬
‫)‪ (1240‬שימוש במשפטים על התמרת פוריה‬
‫השתמש במשפטים על התמרת פוריה על מנת למצוא‪:‬‬
‫‪ .1‬התמרת פוריה של צמד אנטיסימטרי של פונקציות דלתה מתוך התמרת פוריה של חלון‪.‬‬
‫‪ .2‬התמרת פוריה של מדרגה מתוך התמרת פוריה של דלתה‪.‬‬
‫‪ .3‬התמרת פוריה של משולש מתוך התמרת פוריה של חלון‪.‬‬
‫‪ .4‬התמרת פוריה של "שני סדקים" רחבים מתוך התמרות פוריה של סדק ושל שתי דלתאות‪.‬‬
‫)‪ (1320‬מערכת עם שני אתרים‬
‫‪.‬‬
‫המיקום של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור שיכול לקבל את הערכים‬
‫המחליף את מקומו של החלקיק‪.‬‬
‫כמו כן מגדירים אופרטור‬
‫‪ .1‬רשום\רשמי הצגה מטריצית של האופרטורים הנ"ל בבסיס הנקבע על ידי‬
‫‪ ,‬וסמן אותם‬
‫‪ .2‬מצא\י את המצבים העצמיים של‬
‫נתון שהמערכת סימטרית מבחינה מרחבית‪.‬‬
‫נתון שאמפליטודת המעבר מאתר לאתר היא‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬רשום\רשמי את ההצגה המטריצית של ההמילטוניאן‬
‫‪ .4‬מה הם המצבים הסטציונריים של המערכת?‬
‫הנח\הניחי שכאשר‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫החלקיק מצוי באתר הימני‬
‫‪.‬‬
‫רשום\רשמי את המצב התחילי כסופרפוזיציה של המצבים הסטציונריים‪.‬‬
‫‪) .‬השתמש בנוטציות של דירק(‪.‬‬
‫רשום\רשמי את מצב החלקיק בזמן‬
‫למצוא את החלקי באתר הימני‪.‬‬
‫מצא\י את ההסתברות‬
‫כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫מצא\י את‬
‫כידוע יש חופש כיול בבחירת הבסיס הנקבע על ידי משתנה התצפית‬
‫‪.‬‬
‫מטרנספורמצית כיול?‬
‫‪ .1‬כיצד תושפע ההצגה המטריצית של‬
‫‪ .2‬האם התוצאות של סעיפים ‪ 6-8‬מושפעות?‬
‫)‪ (1340‬מערכת עם שלשה אתרים‬
‫במערכת של שלושה אתרים המחוברים בצורת משולש‪ ,‬מגדירים משתנה תצפית‬
‫מבטאים את מיקום החלקיק )‪ 0‬הוא קודקוד המשולש(‪.‬‬
‫אשר הערכים העצמיים שלו‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫רשום\רשמי את ההצגה המטריצית של ההמילטוניאן הכללי ביותר שמתאר את הדינמיקה של חלקיק במערכת בעלת‬
‫שלשה אתרים )"משולש"(‪.‬‬
‫השתמש\י בחופש הכיול על מנת להביע את ההמילטוניאן באמצעות ‪ 5‬פרמטרים ‪ +‬פאזה‪.‬‬
‫כמה פרמטרים נדרשים אם נתון )בנוסף( שהמערכת היא סימטרית מבחינה הזזות? שיקופים?‬
‫הסבר את המשמעות הפיסיקלית של הפאזה‪.‬‬
‫שים לב שחופש הכיול כולל גם את קביעת רמת היחוס של הפוטנציאל‪.‬‬
‫)‪ (1350‬מערכת עם שלושה אתרים‪ ,‬זרם ‪2003B1‬‬
‫חלקיק יכול להמצא בתוך אחד מתוך שלשה אתרים המאורגנים בצורת טבעת משולשת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מגדירים אופרטור מקום שיכול לקבל את הערכים‬
‫ההמילטוניאן ‪ H‬שמתאר את תנועת החלקיק על גבי הטבעת המשולשת הוא‬
‫‪.‬‬
‫)א( הגדר בצורה הפשוטה ביותר אופרטור ההזזה ‪ , D‬ורשום גם את‬
‫של המערכת‪ ,‬באשר ‪ k‬הוא התנע‪.‬‬
‫ואת האנרגיות העצמיות‬
‫)ב( רשום את המצבים העצמיים‬
‫מוסיפים שטף מגנטי‬
‫דרך הטבעת‪ .‬בכיול מתאים ההמילטוניאן הוא‬
‫)ג( רשום למה שווה ‪ .c‬נתון מטען החלקיק ‪. e‬‬
‫)ד( רשום את ‪ H‬המתקבל באמצעות ‪. D‬‬
‫‪.‬‬
‫)ה( רשום מה הן האנרגיות העצמיות‬
‫)ו( רשום מה הוא הזרם החשמלי ‪ I‬של חלקיק עם‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1360‬מערכת עם שלושה אתרים‪ ,‬השרדות ‪2004A1‬‬
‫מערכת של שלושה אתרים מתוארת בבסיס הסטנדרטי‬
‫הנח שהאתר המרכזי‬
‫מנותק )‬
‫באמצעות ההמילטוניאן‬
‫(‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫)א( רשום בבסיס הסטנדרטי את המצבים העצמיים‬
‫ואת האנרגיות העצמיות המתאימות‪.‬‬
‫)ב( רשום את ההמילטוניאן בבסיס החדש שמצאת לעיל‪.‬‬
‫להלן הנח שמתקיים‬
‫‪ ,‬וכמו כן‬
‫)ג( רשום את האנרגיות העצמיות‬
‫ואת המצבים העצמיים‬
‫כסופרפוזיציה של המצבים‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫של המערכת‬
‫‪.‬‬
‫)ד( רשום את מצבי האנרגיה לעיל גם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫)ה( מה ההסתברות למצוא את החלקיק באתר‬
‫במצב‬
‫אם מכינים אותו בזמן‬
‫לאחר פרק זמן‬
‫‪.‬‬
‫לאחר פרק זמן‬
‫)ו( מה ההסתברות למצוא את החלקיק באתר‬
‫‪.‬‬
‫במצב‬
‫אם מכינים אותו בזמן‬
‫)‪ (1370‬מערכת עם שלושה אתרים‪ ,‬הפרעה ‪2004C1‬‬
‫חלקיק יכול להמצא בתוך אחד מתוך שלשה אתרים המאורגנים בצורת טבעת משולשת‪.‬‬
‫מגדירים אופרטור מקום שיכול לקבל את הערכים‬
‫ואופרטור שיקוף‬
‫אשר פעולתו היא‬
‫)א( רשום את ההצגה המטריצית של‬
‫ההמילטוניאן‬
‫‪,‬‬
‫ושל‬
‫‪.‬‬
‫שמתאר את תנועת החלקיק על גבי הטבעת המשולשת הוא‪:‬‬
‫ואת האנרגיות העצמיות‬
‫)ב( רשום את המצבים העצמיים‬
‫הוא התנע‪.‬‬
‫של המערכת‪ .‬באשר‬
‫)ג( רשום בסיס חליפי של מצבים עצמיים שהם בעלי סימטריה מוגדרת ) ) ‪ S/A‬ביחס לשיקוף‪.‬‬
‫)השתמש בסימון‬
‫עבור מצבי האנרגיה הגבוהים( ‪.‬‬
‫מכינים חלקיק ברמת היסוד‬
‫‪.‬‬
‫מפעילים פולס‬
‫‪.‬‬
‫כך שההמילטוניאן הכולל הוא‬
‫להלן השתמש בתורת הפרעות סדר ראשון על מנת לבצע את החישובים‪.‬‬
‫)ד( מה ההסתברות למצוא את החלקיק לאחר גמר הפולס במצב‬
‫אם‬
‫)ה( מה ההסתברות למצוא את החלקיק לאחר גמר הפולס במצב‬
‫אם‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1380‬מערכת עם שלושה אתרים‪ ,‬השרדות וזרם ‪2005B1‬‬
‫נתונה מערכת בת שלושה אתרים )ראה שרטוט(‪ .‬היא מתוארת באמצעות ההמילטוניאן‬
‫באשר‬
‫העליון הוא‬
‫)האתר השמאלי הוא‬
‫נתון שמטען החלקיק שנע במערכת הוא‬
‫והימני הוא‬
‫(‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום את ההמילטוניאן המתקבל אם מוסיפים שטף מגנטי‬
‫דרך הלולאה המחברת את האתר "האחרון" )הימני בשרטוט( לאתר "הראשון" )השמאלי(‪.‬‬
‫‪ .2‬הגדר את אופרטור הזרם באמצעות הנוסחא‬
‫אופרטור זה נותן את הזרם דרך הלולאה‪ .‬להלן אנו מניחים שהשטף המגנטי הוא אפס‪.‬‬
‫‪ .3‬רשום בבסיס הסטנדרטי את המצבים העצמיים ואת האנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫שימו לב שההמילטוניאן סימטרי להזזות כך שלא נדרש כאן "חישוב"‪.‬‬
‫מכינים את החלקיק באתר "הראשון"‬
‫‪ .4‬חשב את ההסתברות‬
‫‪ .5‬חשב את הזרם‬
‫למצוא את החלקיק באתר "הראשון" לאחר פרק זמן‬
‫שזורם דרך הלולאה כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)‪ (1390‬מערכת עם ארבעה אתרים‪ ,‬זרם ‪2004B1‬‬
‫נתונה מערכת בת ארבעה אתרים )ראה שרטוט(‪ .‬היא מתוארת באמצעות ההמילטוניאן‬
‫נתון שמטען החלקיק שנע במערכת הוא‬
‫‪.‬‬
‫)א( רשום את ההמילטוניאן המתקבל אם מוסיפים שטף מגנטי‬
‫דרך הלולאה המחברת את שני האתרים הראשונים‪.‬‬
‫)ב( הגדר את אופרטור זרם באמצעות הנוסחא‬
‫אופרטור זה נותן את הזרם דרך הלולאה התחתונה‪ .‬להלן אנו מניחים שהשטף המגנטי הוא אפס‪.‬‬
‫)ג( רשום בבסיס הסטנדרטי את המצבים העצמיים ואת האנרגיות העצמיות כאשר‬
‫‪.‬‬
‫השתמש בסימון המתבקש‬
‫)ד( רשום את ההמילטוניאן בבסיס החדש שמצאת לעיל‪.‬‬
‫)ה( רשום את האנרגיות העצמיות‬
‫ואת המצבים העצמיים‬
‫כסופרפוזיציה של המצבים‬
‫‪,‬‬
‫של המערכת‬
‫‪.‬‬
‫)ו( רשום את מצבי האנרגיה לעיל גם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫מכינים את החלקיק באתר מספר אחד‪:‬‬
‫)ז( חשב את הזרם שזורם דרך הלולאה כפונקציה של הזמן‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1400‬שני חלקיקים בשני אתרים‪ ,‬אוסצילציות ‪2005A1‬‬
‫בשני אתרים‪.‬‬
‫נתונים שני חלקיקים שונים‬
‫המערכת סימטרית לשיקוף מרחבי ואמפליטודת הקפיצה ליחידת זמן היא‬
‫ממשי ללא הגבלת הכלליות(‪.‬‬
‫)ניתן להניח‬
‫הבסיס הסטנדרטי הוא‪:‬‬
‫‪ .1‬רשום את ההמילטוניאן‬
‫‪.‬‬
‫בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫שים לב שבצעד זמן אינפיניטסימאלי יכול לעבור לכל היותר חלקיק אחד מאתר לאתר‪.‬‬
‫ההסתברות למעבר סימולטני של שני חלקיקים היא אפס‪.‬‬
‫על מנת להקל על בדיקת התשובה נא להשתמש בבסיס על פי הסדר שהוגדר למעלה‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום את ההצגה המטריצית של האופרטור שמחליף את שני החלקיקים‪.‬‬
‫אלכסוני‪.‬‬
‫שבו‬
‫‪ .3‬הגדר סט של מצבים‬
‫בסעיף )‪ (3‬הסימון מרמז מה היא התשובה ) שמאל‪ ,‬ימין‪ ,‬סימטרי‪ ,‬אנטיסימטרי(‪.‬‬
‫הנח מעתה שמדובר בחלקיקם זהים בעלי ספין אפס )בוזונים!!(‪.‬‬
‫בבסיס‬
‫‪ .4‬רשום את ההמילטוניאן‬
‫‪ .5‬רשום באותו בסיס את אופרטור השיקוף‬
‫מתלכסן‪.‬‬
‫‪ .6‬הגדר סט של מצבים שבו‬
‫‪ .7‬מצא את המצבים העצמיים של ההמילטוניאן‪ .‬רשום אותם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫‪ .8‬מה הן האנרגיות העצמיות?‬
‫מכינים בזמן‬
‫את המערכת במצב הסימטרי‬
‫‪ .9‬מודדים את מספר החלקיקים באתר השמאלי‪ .‬מה התוצאות האפשריות?‬
‫‪ . 10‬מה זמן המחזור של האוסצילציות שעושה המערכת?‬
‫‪ . 11‬מה התשובה לסעיף )‪ (9‬אחרי חצי זמן מחזור?‬
‫)‪ (1401‬שני חלקיקים בשני אתרים‪ ,‬פרמיונים ובוזונים ‪focus question‬‬
‫‪.‬‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (1410‬מערכת עם שלושה אתרים‪ ,‬דליפה ‪2005C1‬‬
‫נתון חלקיק במערכת של שלושה אתרים‬
‫אמפליטודת הקפיצה ליחידת זמן מאתר ‪ 1‬לאתר ‪ 2‬היא‬
‫אמפליטודת הקפיצה ליחידת זמן מאתר ‪ 2‬לאתר ‪ 3‬היא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הכינו את המערכת באתר מספר ‪.2‬‬
‫בזמן‬
‫לכך שהחלקיק יגיע לאתר מספר ‪.3‬‬
‫מטרת השאלה היא למצוא את ההסתברות‬
‫בסעיפים ‪ 2-3‬הטיפול צריך להיות הפרעתי בפרמטר ‪.‬‬
‫בסעיפים ‪ 4-7‬הטיפול צריך להיות מדויק‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫רשום את מטריצת ההמילטוניאן של המערכת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אם מתקיים‬
‫רשום ביטוי עבור אמפליטודת ההשרדות‬
‫ומצא פתרון מסדר ראשון עבור‬
‫רשום את המשוואה עבור‬
‫מצא באופן מדויק את האנרגיות העצמיות של המערכת )משוואת הערכים העצמיים מאוד פשוטה( ‪.‬‬
‫הסבר מדוע אחד מהמצבים העצמיים אינו רלונטי לפתרון הבעיה שלפנינו‪.‬‬
‫מה תדירות התנודות שמבצע החלקיק?‬
‫מצא את הפתרון המדויק עבור‬
‫)‪ (1420‬מולקולת אמוניה‬
‫ישנם שני מצבי קונפיגורציה המהווים תמונת מראה אחד של השני‪.‬‬
‫למולקולת אמוניה‬
‫‪.‬‬
‫אילו מעברים בין שני המצבים האלו לא היו אפשריים‪ ,‬אז האנרגיה שלהם היתה‬
‫‪.‬‬
‫בפועל אמפליטודת המעבר ממצב קונפיגורציה אחד לשני היא‬
‫‪ .1‬מהם האנרגיות האפשריות של מולקולת האמוניה?‬
‫המולקולה במצב ‪ ,1‬מה ההסתברות שהיא תהיה במצב השני בזמן‬
‫‪ .2‬אם נתון כי ב‬
‫נתון כי לכל אחד ממצבי הקונפיגורציה של המולקולה יש מומנט דיפול חשמלי‬
‫‪ ,‬האנרגיה של כל מצב משתנה ב‬
‫כאשר שמים את המולקולה בשדה חשמלי‬
‫אך הגאומטריה של המולקולה לא משתנה‪.‬‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .3‬מהם האנרגיות האפשריות של מולקולת האמוניה כעת?‬
‫‪ .4‬מה ערך התוחלת של מומנט הדיפול אם היא במצב היסוד?‬
‫)‪ (1430‬ניסוי קונדסציה בשני אתרים ‪2006A1‬‬
‫בניסוי קונדסצית בוזה‪-‬אינשטיין מכינים מספר רב של חלקיקים במצב היסוד של "באר כפולה" סימטרית‪.‬‬
‫מצב זה מתואר על ידי פונקצית הגל‬
‫להשכלה כללית‪ :‬אפשר למדוד את התפלגות התנע של החלקיקים באופן ניסיוני‪ .‬לשם כך משחררים את הפוטנציאל‪ ,‬נותנים‬
‫לחלקיקים לנוע באופן חופשי‪ ,‬ואז מצלמים אותם‪ .‬באופן כזה התפלגות המהירויות של החלקיקים "מתורגמת" לתמונה‬
‫מרחבית‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשום מה היא התפלגות התנע‬
‫הנירמול הגלובאלי(‪.‬‬
‫של החלקיקים המתוארים על ידי פונקצית הגל הנתונה‪) .‬אין צורך להקפיד על‬
‫)‪ (2‬הגדר באופן דומה את פונקצית הגל שמתארת מצב עצמי איזוגי לשיקוף‪ ,‬ורשום מה היא התפלגות התנע המתקבלת‪.‬‬
‫בסעיפים להלן יש לבצע את האנליזה המסגרת קרוב של "מערכת שני מצבים"‪ .‬נתון אמפליטודת המעבר ליחידת זמן‬
‫מבאר לבאר ‪ .‬בנוסף הניחו שיש לנסיונאי שליטה על הפרש הפוטנציאלים‬
‫בין שתי הבארות‪ .‬להלן אתם מתבקשים לנתח‬
‫שני "תסריטים" אפשריים‪.‬‬
‫תסריט ראשון‪ :‬יוצרים באופן פתאומי הפרש פוטנציאלים‬
‫התפלגות התנע של המערכת‪.‬‬
‫גדול מאוד‬
‫‪ .‬מחכים פרק זמן ואז מודדים את‬
‫)‪ (3‬מה תהיה התפלגות התנע של המערכת?‬
‫)‪ (4‬מה צריך להיות שווה על מנת שישארו מינימום חלקיקים בסביבת המערכת‪.‬‬
‫תסריט שני‪ :‬מדליקים את הפרש הפוטנציאלים לאט מאוד )באופן אדיאבטי( כך שלבסוף הוא גדול מאוד‬
‫מאפסים אותו באופן פתאומי ומחכים פרק זמן ‪.‬‬
‫)‪ (5‬מה תהיה התפלגות התנע של המערכת?‬
‫)‪ (6‬מה צריך להיות שווה‬
‫על מנת שהתפלגות התנע תהיה גאוסית )בלי מודולציה(‪.‬‬
‫התמרת פוריה של גאוסיאן‪:‬‬
‫)‪ (1440‬מלון קוונטי‪.‬‬
‫בבית מלון קוונטי ישנם ‪ 4‬חדרים זהים המחוברים בטור‪.‬‬
‫יש סיכוי שהוא ימצא בחדר סמוך בזמן אחר‪.‬‬
‫ידוע שאם משהו נמצא באחד החדרים בזמן‬
‫הקירות בין החדרים זהים‪ ,‬פרט לקיר המפריד בין חדר ‪ 2‬לחדר ‪ 3‬שהוא שונה‪.‬‬
‫‪ .‬אז‬
‫)מטרת התרגיל היא לראות כיצד ניתן להשתמש בסימטריה שיש בבעיה בכדי לפשט את מציאת המצבים העצמיים‪(.‬‬
‫‪ .1‬רשום\י את האופרטור‬
‫‪ .2‬רשום\י את ההמילטוניאן‬
‫את משמעותם‪.‬‬
‫המבטא מדידה של מספר החדר‪ ,‬בהצגה מטריצית‪.‬‬
‫אלכסונית‪ .‬הוסף\הוסיפי ביטויים עבור הקבועים הנחוצים ובטא\י‬
‫‪ ,‬בבסיס בו‬
‫ניתן לראות כי המערכת סימטרית )לא משתנה( תחת החלפה מסוימת של מספור החדרים‪.‬‬
‫‪ .3‬בטא\י החלפה זאת ע"י מטריצה שהיא חילופית עם ההמילטוניאן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בבסיס בו אלכסונית ומצא את הע"ע של‬
‫‪ .4‬בטא\י את‬
‫)‪ (1450‬זרם במערכת שני אתרים ‪2008A1‬‬
‫( עם חלקיק אחד‪.‬‬
‫נתונה מערכת סימטרית של שני אתרים )‬
‫אמפליטודת המעבר בין האתרים ליחידת זמן היא ‪.‬‬
‫מכינים חלקיק באתר הראשון‪ ,‬ונותנים לו לבצע תנודות קוהרנטיות הלוך ושוב בין שני האתרים‪.‬‬
‫שערך התצפית שלו הוא ההסתברות למצוא את החלקיק באתר הראשון‪.‬‬
‫מגדירים את האופרטור‬
‫אופרטור הזרם מוגדר מתוך הנוסחא עבור קצב השינוי של‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫ושל ההמילטוניאן‬
‫רשום את היצוג המטריצי של האופרטור‬
‫באמצעות האופרטורים של הסעיף הקודם‪.‬‬
‫רשום את ההגדרה של‬
‫מצא את היצוג המטריצי של האופרטור ‪.‬‬
‫של אופרטור הזרם לאחר פרק זמן‬
‫חשב את ערך התוחלת‬
‫חשב גם את הוריאנס‬
‫‪.‬‬
‫בתמונת הייזנברג מגדירים‬
‫‪ .6‬מצא את היצוג המטריצי המפורש עבור האופרטור הנ"ל )רשום את התשובה כקומבינציה של מטריצות פאולי(‪.‬‬
‫מגדירים ‪ counting operator‬באמצעות הנוסחא‬
‫‪ .7‬מה ערכי התצפית של האופרטור הנ"ל לאחר חצי זמן מחזור של תנודה?‬
‫‪ .8‬מה ערכי התצפית של האופרטור הנ"ל לאחר זמן מחזור שלם של תנודה?‬
‫)‪ (1460‬בעית הנויטרינו‬
‫‪.‬‬
‫חלקיק הנקרא נויטרינו מסוג אלקטרון נוצר בעת אינטרקציה עם אלקטרון‪ .‬נסמן חלקיק זה כ‬
‫‪.‬‬
‫נויטרינו מסוג אחר נוצר בעת אינטרקציה עם מיואון‪ .‬נסמנו‬
‫אלה הם חלקיקים שונים‪ .‬ישנו גלאי המסוגל לגלות נויטרינו מסוג אלקטרון בלבד‪.‬‬
‫נתון כי המצבים העצמיים של חלקיקים אלו נתונים ע"י‬
‫עם אנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫עם אנרגיה‬
‫נוצר נויטרינו מסוג אלקטרון‪ ,‬מה ההסתברות שכעבור זמן הגלאי יגלה נויטרינו מסוג אלקטרון?‬
‫אם בזמן‬
‫)‪ (1470‬מערכת עם שלושה אתרים‪ ,‬זרם ‪2007B1‬‬
‫באמצעות ההמילטוניאן‬
‫חלקיק במערכת של שלושה אתרים מתואר בבסיס הסטנדרטי‬
‫)א( רשום את האנרגיות העצמיות‬
‫)ב( רשום בבסיס הסטנדרטי את המצבים העצמיים‬
‫לחלקיק יש מטען‬
‫)ג( רשום את ההצגה המטריצית של אופרטור תצפית‬
‫עבור הזרם מאתר ‪ 1‬לאתר ‪.2‬‬
‫)ד( מה הם ערכי התצפית האפשריים של אופרטור הזרם שהגדרת?‬
‫מכינים את החלקיק בזמן‬
‫)ה( מה ההסתברות למדוד‬
‫במצב‬
‫לאחר פרק זמן‬
‫)‪ (1480‬מערכת של שני ‪ ,QBITS‬תורת הפרעות ‪2007A1‬‬
‫‪ QUBIT‬הוא התקן בעל שני מצבי בסיס‬
‫הנח ששני המצבים הם בעלי אותה אנרגיה ושאמפליטודת המעבר ביניהם היא‬
‫נתונה מערכת הכוללת שני ‪ QUBITs‬בעלת מצבי בסיס‬
‫מתברר שכאשר שני ה‪ QUBITs-‬במצב‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬יש לכך תשלום אנרגטי‬
‫את ההמילטוניאן של המערכת נרשום בצורה‬
‫)‪ (1‬רשום את היצוג המטריצי של‬
‫ההמילטוניאן‬
‫בבסיס הסטנדרטי )סעיף זה אינו דורש עבודה אלגברית(‪.‬‬
‫הוא אלכסוני בבסיס מסוים‪ .‬סמן את מצבי הבסיס בסימון‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשום וקטורי עמודה המיצגים את מצבי הבסיס החדשים בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשום את המטריציה האלכסונית שמיצגת את‬
‫בבסיס שהגדרת )סעיף זה אינו דורש עבודה אלגברית(‪.‬‬
‫)‪ (4‬רשום בבסיס החדש את מטריצת ההפרעה‬
‫)‪ (5‬מצא את האנרגיות העצמיות של המערכת עד סדר ראשון באינטרקציה‪.‬‬
‫)‪ (6‬מצא את אנרגית מצב היסוד עד סדר שני באינטראקציה‪.‬‬
‫)‪ (1620‬מערכת עם ארבע אתרים‬
‫המיקום של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור‬
‫שיכול לקבל ערך שלם‬
‫)מודולו ‪.(4‬‬
‫ניתן לחשוב על המערכת כעל "טבעת" מרובעת‪.‬‬
‫)ההכללה של בעיה זו למקרה של "טבעת" עם יותר אתרים היא מידית‪(.‬‬
‫מגדירים אופרטור הזזה המזיז את החלקיק צעד אחד נגד כיוון מחוגי השעון‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪.10‬‬
‫על פי הגדרה מתקיים‬
‫על פי הגדרה מתקיים‬
‫‪) .‬מדוע מתבקש סימון כזה?(‬
‫נסמן בסימון‬
‫את הערכים העצמיים של‬
‫נסמן בסימון‬
‫את המצבים העצמיים של‬
‫מיוצגים על ידי וקטורי עמודה‬
‫המצבים העצמיים של‬
‫אופרטור התנע מוגדר באמצעות הנוסחא‬
‫רשום\רשמי הצגה מטריצית של האופרטורים‬
‫)מודולו?(‬
‫מה הם הערכים האפשריים של‬
‫רשום ביטוי מפורש עבור הוקטורים העצמיים‬
‫באמצעות‬
‫הבע את‬
‫בבסיס הנקבע על ידי‬
‫‪.‬‬
‫הכללי ביותר שיכול לתאר את הדינמיקה‪.‬‬
‫השתמש\י בחופש הכיול ורשום את ההמילטוניאן‬
‫כמה פרמטרים ופאזות מופיעים בהמילטוניאן?‬
‫ענה\י על אותם שאלות אם נתון שמותרים מעברים רק בין אתרים סמוכים‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫הנח\הניחי בנוסף שהמערכת סימטרית תחת הזזות‪ ,‬והבע\הביעי את‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫במקרה האחרון ‪ -‬רשום גם ביטוי אופציונלי עבור‬
‫במקרה האחרון ‪ -‬רשום ביטוי עבור האנרגיות העצמיות‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1640‬מערכת עם אינסוף אתרים ‪ -‬אופרטור התנע ‪focus question‬‬
‫המיקום של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫שיכול לקבל ערכים שהם כל כפולה שלמה של‬
‫‪.‬‬
‫הגדר\הגדירי אופרטור הזזה המזיז את החלקיק צעד אחד ימינה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתוך הגדרת הסבר\י למה שווה‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ורשום\רשמי למה שווה‬
‫כמו בבעיה הקודמת הגדר\י בסיס‬
‫באמצעותו‪.‬‬
‫‪ ,‬והבע\הביעי את‬
‫באמצעות‬
‫הגדר\י אופרטור‬
‫‪.‬‬
‫הסק\י למה שווה הקומוטטור‬
‫מתוך הביטוי עבור‬
‫שים\שימי לב שגם ההיפך נכון‪ :‬מיחס הקומוטציה משתמע ש‪-‬‬
‫הוא אופרטור הזזה‪.‬‬
‫)‪ (1660‬צומת גוזפסון וזרם גוזפסון ‪2009B‬‬
‫קבל מורכב משני לוחות סופר‪-‬מוליכם‪.‬‬
‫בסופר מוליך נושאי המטען הם "זוגות קופר" אליהם ניתן להתיחס כאל בוזונים בעלי מטען‬
‫חלק מהזוגות מצויים בלוח השמאלי וחלק בלוח הימני‪.‬‬
‫במצב ניטרלי‬
‫מתקבל על ידי העברת זוגות מהלוח השמאלי אל הלוח הימני‪.‬‬
‫המצב הטעון‬
‫‪.‬‬
‫עם‬
‫הבסיס לתאור המערכת הוא אוסף המצבים‬
‫‪.‬‬
‫מגדירים אופרטור "הזזה" בצורה‬
‫‪.‬‬
‫הנח שאמפליטודת המעבר )ליחידת זמן( של זוג מלוח ללוח )באמצעות מינהור( היא‬
‫‪.‬‬
‫בנוסף הנח שהקיבול של הקבל הוא‬
‫והשתמש בתורת הפרעות סדר ראשון‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 4‬הנח שמכינים את המערכת במצב‬
‫בסעיפים ‪ 5-6‬יש להסתייע בתמונה הקלאסית של האבולוציה במרחב הפאזות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בעל הערך העצמי‬
‫של‬
‫‪ .1‬הגדר את המצב העצמי‬
‫‪ .2‬רשום את ההמילטוניאן של המערכת תוך שימוש באופרטורים הצמודים‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫כמשתמע מהנוסחא עבור‬
‫הגדר את אופרטור הזרם‬
‫מה ההסתברות למצוא את המערכת לאחר זמן קצר במצב‬
‫של המערכת?‬
‫מה תדירות התנודות הקטנות‬
‫סביר למצוא את המערכת לאחר זמן רב?‬
‫באיזה מצבי‬
‫)‪ (1680‬מערכת עם אינסוף אתרים ‪ -‬אבולוציה ‪focus question‬‬
‫המיקום של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור שיכול לקבל ערכים שהם כל כפולה שלמה של‬
‫‪.‬‬
‫רשום\רשמי את אמפליטודת המעבר לתא שכן מימין בצורה‬
‫הנח\י שהמעברים הם רק לשכנים קרובים‪.‬‬
‫שהוגדר בבעיה הקודמת‪.‬‬
‫באמצעות אופרטור ההזזה‬
‫‪ .1‬בטא את ההמילטוניאן‬
‫לצורה הסטנדרטית‪.‬‬
‫‪ .2‬הנח\י קטן מאוד‪ ,‬והבא\הביאי את‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬קבע\י מה היא המסה של החלקיק‪ ,‬ומה הוא הפוטנציאל הוקטורי‬
‫)‪ (1720‬קשר בין תנע זויתי אורביטלי לבין תנע קווי ‪focus question‬‬
‫המיקום של חלקיק במרחב מתואר באמצעות האופרטור‬
‫באשר‬
‫מגדירים את אופרטור הסיבוב‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום באופן מפורש את הביטוי עבור סיבוב אינפיניטסימאלי‬
‫‪ .2‬הסק שיוצר הסיבוב הוא‬
‫הדרכה‪ :‬יש להשתמש בכתיב דירק ולא להיעזר בייצוג הדיפרנציאלי!‬
‫)‪ (2020‬חלקיק בקופסא חד מימדית ‪focus question‬‬
‫הנח חלקיק בעל מסה‬
‫בבור פוטנציאל אין סופי‪.‬‬
‫לבין‬
‫‪ .1‬מצא\יאת המצבים העצמיים תוך הבחנה בין‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא\יאת האנרגיות העצמיות‬
‫‪ .3‬רשום\י שוב את פונקציות הגל ורמות האנרגיה עבור קופסא בתחום‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)במקרה האחרון אין צורך לבצע את ההבחנה המצוינת לעיל‪.‬‬
‫)‪ (2040‬חלקיק בקופסא נעה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬כלומר‬
‫חלקיק מצוי התוך קופסא הנעה במהירות‬
‫כיוון שהבעיה תלויה בזמן אין מצבים סטציונריים במערכת המעבדה‪.‬‬
‫ניתן למצוא למשוואת שרדינגר התלויה בזמן פתרונות ע"י הפרדת משתנים מהצורה‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את הפתרונות האלה‪) .‬לפני שאת\ה פותר\ת‪ :‬נסה\י לנחש את התשובה מראש(‬
‫‪ .2‬הסבר את האנלוגיה לפתרון הסטציונרי הקלאסי )דיסטריבוציה במרחב הפאזות(‪.‬‬
‫ניתן לנחש את הפתרון לסעיף )‪ (1‬על ידי ניצול התובנה בסעיף )‪.(2‬‬
‫בהמשך נלמד כיצד לפתור בעיה זו על ידי טרנספורמצית גלילאי‪.‬‬
‫)‪ (2060‬חלקיק בקופסא תלת מימדית‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בקופסא תלת מימדית בעלת גובה ואורך ורוחב‬
‫הנח\י חלקיק בעל מסה‬
‫לאורך ולרוחב יש תנאי שפה מחזוריים )גאומטריה זו ידועה בכינוי "טורוס"(‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום\י את האנרגיות העצמיות ואת המצבים העצמיים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נניח שמדובר בקופסא דקה‬
‫במקרה זה נרצה למצוא תנאי לכך שניתן יהיה להתייחס למערכת כאל דו‪-‬מימדית‪.‬‬
‫שבו יהיה ניתן להתעלם מקיומו של המימד השלישי?‬
‫‪ .2‬מהו תחום האנרגיות‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬חזור על השאלה במקרה שבו הפוטנציאל האנכי הוא‬
‫)‪ (2080‬חלקיק על רצועת מביוס‪.‬‬
‫מצא\י את האנרגיות והמצבים העצמיים של חלקיק המוגבל לנוע על גבי רצועת מביוס‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ואורך‬
‫זהו חלקיק בבור פוטנציאל בעל רוחב‬
‫בכיוון הרוחבי ישנם תנאי שפה אפס לאורך הדפנות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בכיוון האורכי ישנם תנאי שפה‪:‬‬
‫)‪ (2090‬חלקיק בבקבוק קליין‬
‫מצא\י את האנרגיות והמצבים העצמיים של חלקיק המוגבל לנוע על גבי בקבוק קליין‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ואורך‬
‫זהו חלקיק בבור פוטנציאל בעל רוחב‬
‫בכיוון הרוחבי ישנם תנאי שפה מחזוריים לאורך הדפנות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בכיוון האורכי ישנם תנאי שפה‪:‬‬
‫)‪ (2120‬חלקיק קשור על ידי פונקצית דלתא‪:‬‬
‫מצא את פונקצית הגל והאנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫של חלקיק הקשור על ידי הפוטנציאל‬
‫נניח ששמים את פונקצית הדלתה במרכז של בור פוטנציאל חד מימדי‪.‬‬
‫מאוד גדול כך שאנרגית הקשר שלילית‪ .‬מה זה "מאוד גדול"?‬
‫בהתחלה‬
‫‪ .‬כיצד נראית פונקצית הגל?‬
‫מקטינים את עד אשר אנרגית מצב היסוד היא‬
‫)‪ (2520‬הגדרת מטריצת הפיזור בבעיה חד מימדית ‪focus question‬‬
‫חלקיק מתפזר מפוטנציאל‬
‫עבור‬
‫המקיים‬
‫בסעיפים הראשונים הנח שהפוטנציאל מחוץ לאזור הפיזור הוא אפס )‬
‫כך שפונקצית הגל הכללית היא‪:‬‬
‫‪ ,‬ובצד השני‬
‫(‪,‬‬
‫‪ .1‬כיצד תראה פונקצית הגל אם‪ (I) :‬החלקיק מגיע מימין? )‪ (II‬החלקיק מגיע משמאל?‬
‫הגדר\י מטריצת‬
‫על ידי‬
‫רשום את המטריצה בצורה‬
‫‪,‬‬
‫עבור‬
‫באשר ו‬
‫מסמנים את אמפליטודת ההחזרה וההעברה‪ ,‬והאינדקסים מסמנים מצב בו החלקיק בא משמאל או מימין‪.‬‬
‫‪ .2‬השתמש\י בתכונות זרם ההסתברות עבור בכדי להראות כי‬
‫‪ .3‬כיצד יש להגדיר מטריצת פיזור אוניטרית אם לא מתקיים‬
‫אוניטרית‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2530‬הגדרת מטריצת הפיזור בבעיות סמי חד מימדית ‪focus question‬‬
‫נניח שהאזור‬
‫חסום‪ .‬גאומטריה זו נקראת ‪.semi infinite wire‬‬
‫‪ .1‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫נניח שבקצה החוט‪ ,‬באיזור הפיזור‪ ,‬מציבים ספין שיכול להיות באחד משני מצבים‪.‬‬
‫במקרה כזה אומרים שהפיזור יכול להיות אינאלסאטי‪.‬‬
‫‪ .2‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬מה משחק את התפקיד של‬
‫נניח שבקצה החוט‪ ,‬באיזור הפיזור‪ ,‬מציבים אוסצילטור הרמוני בעל תדירות‬
‫‪ .4‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫‪ .5‬הגדר באנלוגיה לסעיף )‪ (3‬ורשום ביטוי עבור‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נחזור למקרה של של פיזור אלסטי )אין ספין‪ ,‬אין אוסצילטור(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נניח שלחוט יש רוחב סופי‬
‫‪ .6‬כיצד מוגדרת מטריצת הפיזור במקרה זה?‬
‫‪ .7‬הגדר באנלוגיה לסעיף )‪ (5‬ורשום ביטוי עבור‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ודא שאתה מבין מדוע הטיפול הפורמאלי בבעיות הבאות הוא זהה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫פיזור אלסטי של חלקיק על ידי פוטנציאל לכיוון שונה מהמקורי‬
‫החזרה ‪ /‬פיזור אינאלסטי של חלקיק ממטרה בעלת דרגות חופש פנימיות‬
‫החזרה ‪ /‬פיזור אינאלסטי של חלקיק בעל דרגות חופש פנימיות מפוטנציאל מפזר‬
‫החזרה ‪ /‬פיזור של חלקיק המתקדם ב ‪lead or waveguide‬‬
‫)‪ (2550‬חלקיק המפוזר על ידי פונקצית דלתא במימד אחד‬
‫עבור פוטנציאל‬
‫רשום את פונקצית הגל בצורה‪:‬‬
‫‪ .1‬מתוך תנאי הרציפות מצא\י את מטריצת הפיזור‬
‫‪ .2‬רשום את התוצאה באמצעות הסתברות המעבר‬
‫‪.‬‬
‫ועוד שלוש פאזות‪.‬‬
‫)‪ (2552‬מטריצת פיזור של צומת ‪I‬‬
‫שלשה חוטים מחוברים בנקודה אחת‪ .‬נניח כי אות המגיע מרגל אחת מתפזר בחלקו לרגליים האחרות ומוחזר בחלקו לרגל‬
‫ממנו הוא בא‪ .‬נתון שהמערכת סימטרית לפרמוטציה של החוטים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫את מטריצת הפיזור‪ .‬זוהי מטריצה‬
‫נסמן ב‬
‫אם נתון שכל האמפליטודות ההחזרה שוות לאותו מספר ממשי‬
‫‪ .1‬רשום\י את‬
‫לאותו מספר ממשי חיובי ‪.‬‬
‫‪ .2‬קבע\י את הערכים המספריים של ושל ‪.‬‬
‫‪ .3‬הכלל את הנוסחא למקרה שבו יש יותר משלושה חוטים‪.‬‬
‫‪ ,‬וכל אמפליטודות המעבר שוות‬
‫)‪ (2553‬מטריצת פיזור של צומת ‪II‬‬
‫שלשה חוטים מחוברים בנקודה אחת‪ .‬נניח כי אות המגיע מרגל אחת מתפזר בחלקו לרגליים האחרות ומוחזר בחלקו לרגל‬
‫ממנו הוא בא‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫את מטריצת הפיזור‪ .‬זוהי מטריצה‬
‫נסמן ב‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫אם נתון שכל אמפליטודות ההחזרה שוות לאותו מספר‬
‫‪ ,‬וכל אמפליטודות המעבר שוות לאותו‬
‫רשום\י את‬
‫מספר ‪.‬‬
‫בטא\י את גודל אמפליטודת ההחזרה ע"י הפזה היחסית בינה לאמפליטודת ההעברה‪.‬‬
‫מהו הערך המינימלי של אמפליטודת ההחזרה?‬
‫הכלל את התוצאה למקרה שבו יש יותר משלושה חוטים‪.‬‬
‫מהו הערך של אמפליטודת ההעברה וההחזרה בגבול בו מספר החוטים מתקרב לאינסוף?‬
‫)‪ (2560‬חלקיק המפוזר על ידי מדרגת פוטנציאל‬
‫נתון פוטנציאל מדרגה‬
‫חלקיק חופשי בעל אנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫נמצא משמאל למדרגת הפוטנציאל‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את מקדם ההעברה ומקדם ההחזרה עבור בעיה זאת‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום את מטריצת הפיזור האוניטרית‪.‬‬
‫)‪ (2580‬חלקיק המפוזר על ידי פונקצית דלתא ב‪waveguide -‬‬
‫רשום את מטריצת הפיזור עבור ‪ waveguide‬ברוחב‬
‫במרכזו‪.‬‬
‫עם פונקצית דלתה‬
‫)‪please use the results of the derivation in the lecture notes, please assume regolarized delta of width‬‬
‫"‪.(a" if required‬‬
‫‪ .1‬הסבר מה הוא האפקט של הערוצים החסומים על מקדם ההחזרה‪.‬‬
‫גדול מאוד‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את ההחזרה הכוללת עבור‬
‫‪ .3‬התייחס לטענה שפונקצית דלתא יכולה לפזר רק בבעיה חד מימדית‪.‬‬
‫)‪ (2590‬פיזור אינאלסטי על אוסצילטור‬
‫‪.‬‬
‫( ממוקם אוסצילטור‬
‫נתון חוט חד מימדי‪ .‬במרכז החוט )‬
‫‪ .‬מפזרים חלקיק על האוסצילטור‪.‬‬
‫תדירות האוסצילטור היא‬
‫‪.‬‬
‫האינטראקציה מתוארת באמצעות פונקצית דלתה‬
‫הפיזור יכול להיות אי‪-‬אלסטי‪ .‬זה אומר שאנרגיה יכולה לעבור מהחלקיק לאוסצילטור )או ההפך(‪.‬‬
‫‪ .1‬הגדר את ה‪ channels-‬עבור מערכת זו‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום ביטוי פורמאלי עבור פונקצית גל המהווה פתרון סטציונרי‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬הגדר את מטריצת הפיזור‬
‫‪ .4‬רשום ביטוי מטריצי מפורש עבור מטריצת הפיזור‪.‬‬
‫)‪ (2650‬אינטרפרנציה בבעיית פברי פרו ‪focus question‬‬
‫מצא את הסתברות המעבר דרך מחסום כפול המתואר באמצעות שתי פונקציות דלתה‪.‬‬
‫)ראה תקצירי הרצאה ‪(Fabry-Perrot‬‬
‫)‪ (2660‬אינטרפרומטר ‪Mach-Zehnder‬‬
‫של מראה כזאת‪.‬‬
‫רשום מטריצת פיזור ‪ 4x4‬אשר מתארת מראה חצי מחזירה‪ .‬נתונים מקדם ההעברה ומקדם ההחזרה‬
‫אינטרפרומטר ‪ Mach-Zehnder‬מורכב משתי מראות חצי מחזירות ומשתי מראות רגילות‪.‬‬
‫בפאזה‪.‬‬
‫למראה רגילה יש מקדם החזרה השווה לאחד כך שהאפקט היחיד הוא שינוי כיוון הקרן ושינוי‬
‫אלומת החלקיקים מתפצלת במראה החצי מחזירה הראשונה לשתי אלומות שעוברות שני מסלולים אופטיים שונים‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫כך שנצבר הפרש פאזה‬
‫אז הן מתאחדות שוב במראה החצי מחזירה השניה וחלקיקים יכולים לצאת באחד משני הערוצים‪.‬‬
‫רשום ביטויים עבור מקדמי המעבר לכל אחד משני הערוצים‪.‬‬
‫ודא שסכום הסתברויות המעבר הוא אחד‪.‬‬
‫)‪ (2680‬פיזור של חלקיק בעל ‪ 4‬מצבים‪.‬‬
‫חלקיק יכול להיות צבוע ב ‪ 4‬צבעים שונים )נסמנם ‪.(1,2,3,4‬‬
‫כאשר מפזרים חלקיק בעל צבע מסוים ממפזר‪ ,‬הוא עלול לשנות את הצבע שלו‪.‬‬
‫מקבלים כי אם הוא היה בצבע ‪ 1‬לפני הפיזור אז לאחר הפיזור הוא יכול להיות בצבע ‪ 2‬או להשאר בצבע ‪.1‬‬
‫חלקיק בצבע ‪ 2‬יכול להשאר בצבע ‪ 2‬או להצבע בצבע ‪.1‬‬
‫חלקיק בצבע ‪ 3‬לא יכול להצבע בצבע ‪ 2‬לאחר הפיזור‪.‬‬
‫‪ .1‬האם חלקיק בצבע ‪ 3‬יכול להתפזר לחלקיק בצבע ‪?1‬‬
‫‪ .2‬אם חלקיק נמצא בצבע ‪ ,4‬באיזה צבעים ניתן לומר שהוא לא יצבע לאחר הפיזור?‬
‫הדרכה‪ :‬השתמש\י בתכונות מטריצת הפיזור‪.‬‬
‫)‪ (2820‬פיזור על מטרה כדורית ‪ -‬חתך פעולה מכסימאלי ‪focus question‬‬
‫מצא חסם עליון על חתך הפעולה הכולל שיכול להתקבל בחישוב של פיזור על מטרה כדורית ברדיוס‬
‫הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬פיזור איזוטרופי על ידי מטרה קטנה )רק‬
‫‪ .2‬פיזור לא‪-‬איזוטרופי על ידי מטרה גדולה )‬
‫‪ .‬הבחן בין המקרים‬
‫תורם(‪.‬‬
‫(‪.‬‬
‫)‪ (2830‬פיזור על ידי פונקצית דלתא‬
‫‪In this question you are requested to calculate the phase shifts in scattering on a 3D delta function‬‬
‫‪. For this puropose think of it as a small sphere of radius and potential‬‬
‫‪such that‬‬
‫‪. Later take the limit‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2840‬פיזור על כדור קשיח ‪focus question‬‬
‫מצא את היסטי הפאזות הנגרמות כתוצאה מפיזור על כדור קשיח בהנחה שמתקיים‬
‫הכולל בקרוב זה‪.‬‬
‫‪ .‬חשב את חתך הפעולה‬
‫)‪ (2850‬פיזור על פוטנציאל ארוך טווח ‪2007H3‬‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫ואנרגיה‬
‫מפוזר על פוטנציאל‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשום את הפיתרון הפורמאלי של המשוואה הרדיאלית עם ערך אפקטיבי של‬
‫)‪ (2‬רשום ביטוי עבור היסט הפאזה‬
‫)‪ (3‬רשום ביטוי עבור חתך הפעולה החלקי‬
‫)‪ (4‬רשום ביטוי פורמאלי עבור חתך הפעולה הכולל‪.‬‬
‫)‪ (5‬קבל קרוב לחתך הפעולה הכולל אם לפוטנציאל יש טווח סופי‬
‫)‪ (2870‬פיזור על קליפה כדורית‪ ,‬היסטי הפאזה‬
‫מצא את היסט הפאזה‬
‫קליפה כדורית‬
‫כמו כן הנח שמתקיים‬
‫ואשר מסוכך על ידי‬
‫הנגרם כתוצאה מפיזור על כדור בעל רדיוס שהפוטנציאל שלו הוא‬
‫‪ .‬על מנת לקבל קרובים סבירים הנח שהמחסום הוא גבוה מאוד )אבל לא אין סופי(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2880‬רזוננסים של באר מסוככת ‪2009H‬‬
‫ובעל אנרגיה‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫הקליפה מתוארת על ידי הפוטנציאל‬
‫רצפת הפוטנציאל בתוך הקליפה היא‬
‫להלן התיחס אך ורק ל‪s-scattering -‬‬
‫מפוזר על קליפה כדורית בעלת רדיוס‬
‫ומתקיים‬
‫ומתקיים‬
‫‪ .1‬רשום ביטוי עבור הנגזרת הלוגריתמית‬
‫מותר להשתמש בסימון‬
‫של פונקצית הפיזור בצד החיצוני של הקליפה‪.‬‬
‫‪ .2‬מה המשוואה שמקיימת הנגזרת הלוגריתמית אם רוצים למצוא את הקטבים של הרזולבנט?‬
‫בסעיפים להלן אתה מתבקש למצוא קרוב לינארי‬
‫של הנגזרת הלוגריתמית‪.‬‬
‫אשר תקף סביב האפסים‬
‫‪ .3‬מצא קרוב עבור האנרגיות‬
‫אם ריצפת הפוטנציאל היא עמוקה‪ .‬הגדר מה זה עמוק‪.‬‬
‫‪ .4‬מצא קרוב עבור האנרגיות‬
‫אם ריצפת הפוטנציאל היא גבוהה‪ .‬הגדר מה זה גבוה‪.‬‬
‫‪ .5‬רשום ביטוי מדויק עבור המקדמים‬
‫תוך שימוש בסימון‬
‫‪ .6‬רשום ביטוי מקורב עבור קבועי הדעיכה‬
‫ועבור זמן השיהוי‬
‫ברזוננס על סמך סעיפים ‪2,3‬‬
‫‪ .7‬רשום ביטוי מקורב עבור קבועי הדעיכה‬
‫ועבור זמן השיהוי‬
‫ברזוננס על סמך סעיפים ‪2,4‬‬
‫)‪ (2890‬פיזור על קליפה כדורית‪ ,‬רזוננס ‪2005H2‬‬
‫מפוזר על קליפה כדורית בעלת רדיוס‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫הקליפה מתוארת על ידי הפוטנציאל‬
‫כך שרק ‪ s-scattering‬הוא חשוב‬
‫להלן הנח פיזור באנרגיה נמוכה‬
‫להלן מותר להשתמש בסימון‬
‫‪ .1‬מצא נוסחא עבור היסט הפאזה‬
‫‪ .2‬רשום ביטוי עבור‬
‫‪ .3‬רשום ביטוי עבור‬
‫אנרגיות הרזוננס מוגדרות על ידי המשוואה‬
‫‪ .4‬מצא ביטוי סגור עבור רוחב הרזוננסים‬
‫רמז‪ :‬עליך לבצע לינאריזציה של המכנה סביב אנרגית הרזוננס‪,‬‬
‫ולהשתמש במשוואה שקובעת את אנרגיות הרזוננס על מנת לקבל תוצאה סגורה‪.‬‬
‫נוסחת גאמוב אומרת שזמן החיים נקבע על ידי זמן המחזור של התנודות של החלקיק בתוך הבור כפול מקדם המעבר של‬
‫המחסום‪.‬‬
‫‪ .5‬מה התנאי לכך שתוצאת סעיף )‪ (4‬תתלכד עם נוסחת גאמוב?‬
‫)‪ (2910‬חתך פעולה ותאורמה אופטית בשני מימדים ‪2005H3‬‬
‫בבעיה זו עליך "להכליל" את שיטת היסטי הפאזה מ‪ 3D -‬ל‪2D -‬‬
‫נא להשתמש בסימונים המתבקשים‬
‫היא הזוית בקואורדינטות פולריות‪.‬‬
‫באשר‬
‫‪ .1‬הגדר‬
‫‪ .2‬רשום את פונקציות הגל החופשיות‬
‫עליך להקפיד על נירמול נכון )שטף נכנס שווה לאחד(‪.‬‬
‫נתון גל מישורי‬
‫אשר פוגע במטרה "כדורית" )=עיגולית(‬
‫‪ .3‬רשום את הגל הפוגע כסכום של גלים "כדוריים" שהגדרת בסעיף )‪.(2‬‬
‫‪ .4‬למה שווה השטף אשר נכנס בערוץ‬
‫נתון היסט הפאזה‬
‫בערוץ‬
‫‪ .5‬מצא ביטוי עבור חתך הפעולה החלקי‬
‫בערוץ‬
‫ההתנהגות האסימפטוטית של הגל ניתנת לרישום האופן הבא‪:‬‬
‫‪ .6‬רשום ביטוי עבור פונקצית הפיזור‬
‫‪ .7‬מצא את מקדם הפרופורציה בנוסחא‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (2920‬חתך פעולה ותאורמה אופטית בשני מימדים‬
‫בבעיה זו עליך "להכליל" את הדריבציה של התאורמה האופטית מ‪ 3D -‬ל‪2D -‬‬
‫תוך שימוש בפורמאליזם של ה‪. T matrix -‬‬
‫)‪ (3020‬חלקיק בטבעת חד מימדית‪.‬‬
‫הנח\הניחי חלקיק בעל מסה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫ומטען‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫בהנחת כיול הומוגני‬
‫רשום\רשמי למה שווה הפוטנציאל הוקטורי‬
‫רשום\רשמי למה שווה הפוטנציאל הוקטורי בהנחת כיול דלתה‬
‫ואת האנרגיות העצמיות‬
‫מצא\י את המצבים העצמיים‬
‫מה היא טרנפורמצית הכיול עבור המצבים העצמיים?‬
‫צייר\י ציור סכמטי של האנרגיות כפונקציה של השטף‪.‬‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫במקרה של כיול דלתה מומלץ להעזר בפורמאליזם של מטריצת פיזור‪.‬‬
‫)‪ (3040‬חלקיק בטבעת חד מימדית ‪ +‬מפזר‬
‫הנח\הניחי חלקיק בעל מסה ומטען בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪.‬‬
‫בנוסף יש בטבעת מפזר המתואר על ידי‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪) .‬אבל אין צורך לפתור אותה(‬
‫מצא\י משוואה סגורה עבור האנרגיות העצמיות‬
‫מתקבל הספקטרום של בור פוטנציאל אינסופי‪.‬‬
‫הראה שבגבול‬
‫‪.‬‬
‫צייר דיאגרמה של רמות האנרגיה כפונקציה של השטף בגבול‬
‫הסבר )איכותית( מה הוא האפקט העיקרי של נוכחות המפזר על הדיאגרמה שציירת ‪.‬‬
‫)‪ (3060‬סוספטיבליות מגנטית של חלקיק בטבעת‪.‬‬
‫הנח\הניחי חלקיק בעל מסה ומטען‬
‫החלקיק נמצא במצב היסוד של הטבעת‪.‬‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫של המערכת‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את הסוספטיבליות המגנטית‬
‫‪ .2‬הסבר\הסבירי באיזה מובן האפקט הוא דיאמגנטי‪.‬‬
‫‪ .3‬מה יהיה האפקט של נוכחות מפזר על התוצאה שמצאת?‬
‫להלן פרמיונים מוגדרים כחלקיקים המקיימים את עקרון האיסור של פאולי‪.‬‬
‫שימו לב שאלקטרונים הם פרמיונים בעלי ספין חצי‪.‬‬
‫‪ .4‬חזור על סעיף )‪ (1‬עבור ‪ 3‬פרמיונים חסרי ספין‪.‬‬
‫‪ .5‬מה יקרה עם ‪ 6‬אלקטרונים בעלי ספין ‪?1/2‬‬
‫)‪ (3070‬מגנטיזציה של טבעת עם אלקטרונים ‪2009A‬‬
‫טבעת בעלת רדיוס‬
‫מצויה בשדה מגנטי אחיד‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫‪.‬‬
‫מטען וספין חצי‪.‬‬
‫בטבעת יש ‪ 5‬אלקטרונים בעלי מסה‬
‫שים לב ששני אלקטרונים לא יכולים לאכלס את אותו מצב‪.‬‬
‫נסמן את אנרגית מצב היסוד ב‪-‬‬
‫נגדיר את המגנטיזציה בצורה‬
‫נתונים‪:‬‬
‫אם לא היה לאלקטרונים ספין אז המגנטיזציה היתה פונקציה מחזורית‪ ,‬עם מחזור‬
‫בהמשך השאלה אנו מניחים שהשדה המגנטי הוא‬
‫מספר שלם ובאשר‬
‫באשר‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום ביטוי עבור‬
‫עבור שדה אפס‬
‫‪ .2‬מצא את‬
‫‪ .3‬רשום את התוספת ל‪-‬‬
‫‪ .4‬מצא את‬
‫עבור‬
‫עבור שדה קטן‬
‫גדול כאשר‬
‫‪ .5‬רשום את התוספת ל‪-‬‬
‫גדול‬
‫‪ .6‬הגדר מה זה‬
‫עבור‬
‫גדול כאשר‬
‫טיפ‪ :‬בסעיפים ‪ 2,4‬כדאי לצייר דיאגרמת איכלוס של רמות האנרגיה‪.‬‬
‫)‪ (3080‬זרמים מתמידים של חלקיק בטבעת‬
‫הנח\הניחי חלקיק בעל מסה ומטען‬
‫החלקיק נמצא במצב היסוד של הטבעת‪.‬‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪.‬‬
‫שזורם בטבעת‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את הזרם‬
‫‪ .2‬צייר\י ציור סכמטי של הזרם כפונקציה של השטף‪.‬‬
‫‪ .3‬הסבר )איכותית( מה הוא האפקט של נוכחות מפזר על התוצאה‬
‫)‪ (3090‬חלקיק בין שני גלילים קונצנטרים‪.‬‬
‫והרדיוסים שלהם‬
‫ו‬
‫חלקיק טעון חשמלית נמצא בין שני גלילים קונצנטרים שאורכם‬
‫מצא\י ביטוי לרמות האנרגיה של החלקיק‪.‬‬
‫כעת נניח כי דרך הגליל הקטן יותר עובר שטף מגנטי‪.‬‬
‫הראה\הראי כי למרות שהחלקיק נע באזור בו השדה המגנטי הוא אפס‪ ,‬רמות האנרגיה ישתנו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (3120‬התאבכות בגאומטרית אהרונוב‪-‬בוהם‬
‫לטבעת חד מימדית מחוברים שני חוטים חד מימדיים באופן סימטרי‪.‬‬
‫‪ .‬השטף דרך הטבעת הוא‬
‫האורך של כל חצי טבעת )"זרוע"( הוא‬
‫של החלקיק המוזרק‪.‬‬
‫בנוסף נתון התנע‬
‫‪.‬‬
‫הבעיה היא למצא את העבירות )הטרנסמיציה( של ההתקן‬
‫כמו בבעיה ‪.262‬‬
‫הנח\הניחי שכל צומת מתוארת על ידי מטריצת‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום\רשמי מערכת של ‪ 6‬משוואות לינאריות שבאמצעותה ניתן למצוא את הפתרון‪) .‬אין צורך לפתור את מערכת‬
‫המשוואות(‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום\רשמי את הפתרון המקורב לבעיה זו אילו ניתן היה להזניח החזרות פנימיות בתוך הטבעת‪) .‬זה הקרוב‬
‫המקובל ברוב ספרי הלימוד(‪.‬‬
‫)‪ (3150‬מונופולים מגנטיים )דירק(‬
‫נניח כי קיימים מונופולים מגנטיים בעלי מטען‬
‫סולונואיד מאוד ארוך המשתרע לאור הציר‬
‫‪ .‬נניח שהשדה המגנטי של מונופול הוא כמו השדה של קצה של‬
‫‪ .1‬מהו השדה המגנטי של המונופול?‬
‫‪ .2‬הראה כי‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫האם הפוטנציאל מוגדר היטב בכל המרחב?‬
‫מה התנאי לכך שנוכחות הסולונואיד תהיה מלתי מורגשת מבחינה פיסיקלית?‬
‫המוגדר היטב היכן שהקודם מתבדר‪.‬‬
‫הגדר פוטנציאל‬
‫היכן הפוטנציאל השני מתבדר?‬
‫ניתן להשתמש בשני הפוטנציאלים יחד כדי להגדיר את השדה המגנטי בכל המרחב‪.‬‬
‫מכיוון שהפוטנציאלים מתארים את אותו השדה הם קשורים ע"י טרנספורמצית כיול‪.‬‬
‫‪ .7‬מהי טרנספורמצית הכיול?‬
‫‪ .8‬מה הקשר בין פונקצית הגל בכיול הראשון ובכיול השני?‬
‫‪ .9‬מה הקשר בין המטען המגנטי למטען החשמלי הנובע מהאילוץ שפונקצית הגל היא חד ערכית?‬
‫)‪ (3520‬המילטוניאן של חלקיק בשדה מגנטי לא הומוגני ‪2009B‬‬
‫מצוי בטבעת בעלת רדיוס‬
‫ומטען‬
‫חלקיק חסר ספין בעל מסה‬
‫בכיוון ציר ‪.‬‬
‫יוצרים שדה מגנטי לא הומוגני‬
‫‪.‬‬
‫הוא התנע‬
‫שים לב שהקואורדינטה הצמודה לזוית הפולרית‬
‫‪ .1‬הסק מהו איבר זימן המשתמע מתוך אנליזה של ההמילטוניאן הסטנדרטי‪.‬‬
‫ואת האנרגיות העצמיות של החלקיק בטבעת‬
‫‪ .2‬רשום את ההמילטוניאן‬
‫‪ .3‬על סמך הסעיף הקודם מה צריך להיות רדיוס הטבעת על מנת שהאפקט של השדה המגנטי על הספקטרום לא יורגש‪.‬‬
‫‪ .4‬רשום תנאי שמאפשר לענות על השאלה בסעיף הקודם ללא צורך במציאת ההמילטוניאן‪.‬‬
‫)‪ (3530‬המילטוניאן של חלקיק בשדה מגנטי של גל מישורי‬
‫‪are‬‬
‫‪Consider partcile with mass‬‬
‫‪with the vector potential‬‬
‫‪where and‬‬
‫‪perpendicular. Write the expression that corresponds to the Zeeman term in this case.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪, so we have in the Hamiltonian a Zeeman term with‬‬
‫‪Assume that the region of interest is near‬‬
‫‪. Call it‬‬
‫‪. Explain the difference.‬‬
‫???‬
‫‪in the region‬‬
‫‪Find what is the magentic field‬‬
‫‪In particular find‬‬
‫‪.‬‬
‫‪region‬‬
‫‪identical with‬‬
‫‪. Is‬‬
‫‪Do you have in the‬‬
‫‪Tip: Define‬‬
‫‪direction.‬‬
‫‪in the‬‬
‫‪direction and‬‬
‫‪For simplicity you can take‬‬
‫‪in the‬‬
‫)‪ (3540‬דרך פשוטה למציאת רמות לנדאו ‪focus question‬‬
‫התיחס לבעיה של אלקטרון חסר ספין בשדה מגנטי הומוגני‪.‬‬
‫ואת אופרטורי המיקום הציקלוטרוני‬
‫הגדר את אופרטורי המהירות‬
‫מצא את יחסי הקומוטציה בין האופרטורים‪ .‬רשום את ההמילטוניאן באמצעותם‪.‬‬
‫הראה שמתקבל המילטוניאן של אוסצילטור הרמוני‪.‬‬
‫קבע את רמות האנרגיה ואת הניוון שלהם על ידי שימוש בשיקול סמיקלאסי‪.‬‬
‫)נתון שטח הקופסא(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (3560‬חלקיק בפוטנציאל הרמוני דו‪-‬מימדי עם שדה מגנטי‬
‫חלקיק קשור על ידי פוטנציאל הרמוני דו מימדי‬
‫‪ .1‬מה הן רמות האנרגיה? מה הניוון של כל רמה?‬
‫(‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬נוח לענות על שאלה זו על ידי הפרדת משתנים בקואורדינטות קרטזיות )‬
‫(‪.‬‬
‫בשלב שני יש "לתרגם" את התוצאה לשפה של קואורדינטות פולריות )‬
‫השלב השני )אשר נדרש לצורך פתרון המשך השאלה( דורש חשיבה "בלתי קונבנציונלית" ולא עבודה שחורה!‬
‫‪ .2‬מוסיפים שדה מגנטי הומוגני ‪ .‬מה הן רמות האנרגיה?‬
‫‪ .3‬מה הניוון הגנרי של כל רמה אם מזניחים את האיבר הדיאמגנטי?‬
‫‪ .4‬מה הסוספטיבליות המגנטית אם המערכת היא במצב היסוד?‬
‫בסעיפים לעיל התבקשת להניח שתנועתו של החלקיק מוגבלת להיות על פני מישור דו‪-‬מימדי‪.‬‬
‫חזור על הסעיפים הנ"ל במקרה התלת מימדי )ז"א החלקיק יכול לנוע גם בכיוון האנכי(‪.‬‬
‫)‪ (3570‬חלקיק בעיגול עם שדה מגנטי ‪ -‬רמות לנדאו‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫רשום בקואורדינטות קרטזיות את ההמילטוניאן של חלקיק במישור ‪ XY‬בנוכחות שדה מגנטי הומוגני אנכי ‪.‬‬
‫הראה שההמילטוניאן הוא כמו של אוסצילטור דו‪-‬מימדי פלוס איבר זימן‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן בקואורדינטות פולריות‪ ,‬וציין מה היא המשוואה הרדיאלית‪.‬‬
‫מה הן רמות האנרגיה שמתקבלות מהמשוואה הרדיאלית ללא איבר זימן? מה הניוון של כל רמה?‬
‫מה הן רמות האנרגיה שמתקבלות מהמשוואה הרדיאלית עם איבר זימן? מה הניוון של כל רמה?‬
‫הערות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בסעיף ‪ 4‬אפשר להסיק את התשובה מתוך הכרות עם הפתרון הידוע בקואורדינטות קרטזיות‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 5‬הנח שתנועתו של החלקיק מוגבלת בתוך עיגול בעל רדיוס ‪.R‬‬
‫יש להראות שהתשובות הסופיות הן בהתאמה לתוצאות הידועות עבור רמות לנדאו‪.‬‬
‫)‪ (3610‬אלקטרון בגאומטריה של אפקט הול‬
‫‪ ,‬עם תנאי שפה מחזוריים באינטרוול‬
‫הנח\הניחי דגם דו‪-‬מימדי באורך‬
‫בכיוון ציר‬
‫‪ ,‬ויש שדה מגנטי הומוגני‬
‫נתון פוטנציאל חשמלי‬
‫‪.‬‬
‫נוח להביע את השדה המגנטי באמצעות הגודל חסר המימד‬
‫ניתן לשים לב ש‪ -‬הוא למעשה יחס בין שתי תדירויות )מה הן?(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אלקטרונים חסרי ספין‪.‬‬
‫לתוך הדגם מכניסים‬
‫רק פס )‪ (band‬לנדאו הראשון מאוכלס‪.‬‬
‫הראה שכל עוד‬
‫)לצורך קבלת תוצאה זו יש לעשות לא מעט אלגברה(‪.‬‬
‫הראה\י כיצד ניתן לקבל בקלות יחסית את התוצאה הנ"ל בקרובים של שדה מגנטי חזק מאוד ושל שדה מגנטי חלש מאוד‪.‬‬
‫)‪ (3630‬אלקטרונים בבור פוטנציאל סופי ‪ +‬שדה מגנטי‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ובעומק‬
‫נתון בור פוטנציאל דו מימדי בגודל‬
‫בתוך הבור‪ ,‬קירות מאוד גבוהים בהיקף הבור‪ ,‬וכן‬
‫זה אומר‬
‫בורחים החוצה‪.‬‬
‫כתוצאה מכך כל האלקטרונים עם אנרגיה‬
‫‪ ,‬ובעלי מטען‬
‫הנח שהאלקטרונים שנותרים בקופסא הם חסרי ספין‪ ,‬בעלי מסה‬
‫כמו כן ניתן להתעלם מתיקונים לאנרגיה שנובעים מתנאי השפה של הקופסא‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום את התנאי‬
‫להלן הנח‬
‫מחוץ לבור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לכך שיוכל להיות לפחות אלקטרון אחד בבור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את מספר האלקטרונים‬
‫שיכולים להיות בבור‪.‬‬
‫במאונך למישור שבו מצוי הבור‪.‬‬
‫יוצרים שדה מגנטי הומוגני‬
‫בסעיפים להלן ניתן להשתמש )ללא צורך בהוכחה( בתוצאות ידועות לגבי רמות לנדאו‪.‬‬
‫‪ .3‬רשום את התנאי‬
‫‪ .4‬חשב את מספר האלקטרונים‬
‫?‬
‫‪ .5‬למה שווה היחס‬
‫לכך שיוכלו להיות אלקטרונים בתוך הבור‪.‬‬
‫שיכולים להיות בבור כאשר‬
‫)מלמטה(‪.‬‬
‫)‪ (3640‬אלקטרונים בבור פוטנציאל סופי ‪ +‬שדה מגנטי ‪2005C3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ובעומק‬
‫נתון בור פוטנציאל דו מימדי בגודל‬
‫בתוך הבור‪ ,‬קירות מאוד גבוהים בהיקף הבור‪ ,‬וכן‬
‫זה אומר‬
‫בורחים החוצה‪.‬‬
‫כתוצאה מכך כל האלקטרונים עם אנרגיה‬
‫‪ ,‬ובעלי מטען‬
‫הנח שהאלקטרונים שנותרים בקופסא הם חסרי ספין‪ ,‬בעלי מסה‬
‫כמו כן ניתן להתעלם מתיקונים לאנרגיה שנובעים מתנאי השפה של הקופסא‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום את התנאי‬
‫להלן הנח‬
‫מחוץ לבור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לכך שיוכל להיות לפחות אלקטרון אחד בבור‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שיכולים להיות בבור‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את מספר האלקטרונים‬
‫במאונך למישור שבו מצוי הבור‪.‬‬
‫יוצרים שדה מגנטי הומוגני‬
‫בסעיפים להלן ניתן להשתמש )ללא צורך בהוכחה( בתוצאות ידועות לגבי רמות לנדאו‪.‬‬
‫כך שיש שתי רמות לנדאו מלאות בתוך הבור‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את השדה המקסימאלי‬
‫נסמן את מספר החלקיקים בסעיף )‪ (3‬בסימון‬
‫‪ .4‬למה שווה היחס‬
‫?‬
‫)‪ (3710‬אלקטרון בגאומטריה של אפקט הול‪ ,‬באר כפולה ‪2004A3‬‬
‫עם תנאי שפה מחזוריים‪,‬‬
‫נתון דגם מלבני דו מימדי באורך‬
‫עם תנאי שפה אפס‪.‬‬
‫וברוחב‬
‫‪.‬‬
‫הדגם מצוי בשדה מגנטי‬
‫הדגם מאכלס אלקטרונים חסרי ספין‪ ,‬בעלי מסה ומטען ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)א( רשום את ההמילטוניאן של אלקטרון בדגם זה‪.‬‬
‫בהנחת כיול לנדאו התנע‬
‫הוא קבוע תנועה בבעיה זו‪.‬‬
‫את פונקצית הגל ניתן לרשום בצורה‬
‫)ב( רשום את הפוטנציאל האפקטיבי‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שקובע את הפונקציות‬
‫( ושמתקיים‬
‫הנח שהשדה הוא הומוגני )‬
‫הנח שרק רמת לנדאו הנמוכה ביותר מאוכלסת באלקטרונים‪.‬‬
‫‪ ,‬והמרחק בין הרצועות הוא‬
‫כזכור כל מצב לנדאו תופס רצועה שרוחבה‬
‫ועבור התנאי‬
‫)ג( רשום ביטויים מפורשים עבור‬
‫האם השדה המגנטי צריך להיות חזק או חלש על מנת לקבל "הפרדה" טובה?‬
‫טיפ‪ :‬מצב היסוד של אוסצילטור הרמוני הוא גאוסיאן‬
‫כך שיש בו שלושה אלקטרונים‪.‬‬
‫)ד( הנח שרוחב הדגם הוא‬
‫רשום את פונקצית הגל של כל אחד מהם‪ .‬השתמש בסימון המתבקש‬
‫לצורך רישום התשובה‪.‬‬
‫ניתן להשתמש בסימונים‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הנח שהופכים את כיוון השדה המגנטי בחצי המישור התחתון )‬
‫)ה( צייר את‬
‫עבור‬
‫(‪.‬‬
‫‪ .‬זהירות!‬
‫)ו( רשום ביטויים מקורבים עבור פונקציות הגל של כל אחד מהאלקטרונים‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫השתמש בסימון המתבקש ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫)ז( נחש ביטוי מקורב עבור פיצול האנרגיה של המצבים‬
‫רמז‪ :‬מצא את גובה "המחסום"‪ ,‬ואת פקטור "החפיפה" של הגאוסיאנים שבסופרפוזיציה‪.‬‬
‫)‪ (4020‬הזזות ‪focus question‬‬
‫‪ .1‬רשום את הריאליזציה שמגדירה את האיברים של חבורת ההזזות‬
‫‪ .2‬הסבר מדוע הריאליזציה שמגדירה את חבורת ההזזות אינה מהווה "הצגה" של החבורה‬
‫‪ .3‬רשום את פעולת ההזזות מעל מרחב הפונקציות‪ .‬מדוע זאת "הצגה"?‬
‫הערה‪ :‬ההצגה הזאת מתפרקת לסכום של אינסוף הצגות חד‪-‬מימדיות‪.‬‬
‫‪ .4‬מצא\י את היצוג הדיפרנציאלי של היוצרים‬
‫‪ .5‬הוכח\י את יחסי הקומוטציה של היוצרים‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪ .6‬באר\י את המשמעות הגאומטרית של התוצאה‪.‬‬
‫)‪ (4030‬דיליטציות‪:‬‬
‫עבור הצגה זו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫באנלוגיה להגדרה של הזזות וסיבובים‪ ,‬ניתן גם להגדיר דיליטציות באמצעות הטרנספורמציה‬
‫‪.‬‬
‫שים לב שמתקיים‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.‬‬
‫הצע ראליזציה שומרת נירמול של דיליטציות מעל מרחב הפונקציות‬
‫כיצד נראית פעולת הדיליטציה בהצגת התנע?‬
‫הצע פרמטריזציה יותר נוחה כך שיתקיים‬
‫מצא יצוג דיפרנציאלי עבור היוצר של פעולת הדיליטציה )הצגה מרחבית(‬
‫באמצעות האופרטורים‬
‫רשום את‬
‫חשב את הקומוטטורים‬
‫הסבר את משמעות התוצאה האחרונה מבחינת האיפיון האלגברי של‬
‫)‪ (4050‬חבורת הסיבובים‬
‫‪focus question‬‬
‫‪ .1‬רשום את הריאליזציה שמגדירה את האיברים של חבורת הסיבובים‬
‫‪ .2‬הסבר מדוע זאת הצגה של חבורת הסיבובים )"ההצגה האוקלידית"(‪.‬‬
‫ההצגה האוקלידית משמשת לצורך הגדרת "טבלת הכפל" של חבורת הסיבובים‪.‬‬
‫הצגה זו היא הצגה נאמנה בלתי פריקה ממימד ‪.3‬‬
‫‪,‬‬
‫לעומת זאת ההצגה מעל מרחב הפונקציות מתפרקת בצורה‬
‫כך שהיא כוללת את כל ההצגות )הנאמנות( הבלתי פריקות של חבורת הסיבובים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ ,‬ומצא את היוצרים‬
‫רשום\רשמי את מטריצות הסיבוב האוקלידיות‬
‫‪.‬‬
‫הוכח\י את יחסי הקומוטציה של היוצרים‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫באר\י את המשמעות הגאומטרית של התוצאה )במונחים של סיבובים אינפיניטסימאליים(‪.‬‬
‫הסבר\י מדוע יחסי הקומוטציה שמצאת תופסים לגבי כל הצגה אחרת של חבורת הסיבובים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4070‬חבורת "הסיבובים"‬
‫‪.‬‬
‫יש את אותה "טבלת כפל" כמו לחבורה‬
‫עד כדי התאמה דו ערכית‪ ,‬לחבורה‬
‫בעלות דטרמיננטה‬
‫ההצגה המגדירה של חבורה זו כוללת את אוסף המטריצות האוניטריות‬
‫‪ .1‬הסבר מדוע כל מטריצה כזאת ניתן לרישום בצורה‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫בחר בצורה הפשוטה ביותר את היוצרים‪.‬‬
‫מה הם קבועי המבנה של החבורה?‬
‫מה יקרה לקבועי המבנה אם תבחר את היוצרים בצורה שונה?‬
‫מדוע אף פעם לא מדברים בספרים או בתרגילים על "החבורה‬
‫"‬
‫)‪ (4090‬החבורה‬
‫נתונות ההצגות הבאות של היוצרים של‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .1‬מדוע יש ‪ 8‬יוצרים?‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .2‬מצא\י את קבועי המבנה של החבורה‬
‫יש כאן הרבה אלגברה‪ .‬אפשר )רצוי( להשתמש במחשב‪.‬‬
‫)‪ (4220‬אופרטורי העלאה והורדה ‪focus question‬‬
‫‪ .1‬מתוך יחסי הקומוטציה הבסיסיים של יוצרי הסיבובים הוכח\י את התוצאה הבאה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫חייב להיות מספר טבעי‪.‬‬
‫‪ .1‬הסבר\י כיצד מתוצאה זו משתמע ש‬
‫‪ .2‬הסבר\י מדוע מספר זה הוא המימד של ההצגה‪.‬‬
‫‪ .3‬על ידי שימוש בתוצאה לעיל קבע\י את מקדם הנירמול ‪ c‬בנוסחא‪:‬‬
‫)‪ (4240‬בניית הצגות של חבורת הסיבובים‬
‫מצא את ההצגה הסטנדרטיות של היוצרים‬
‫עבור הצגות בעלות מימד‪:‬‬
‫הדרכה‪ :‬חשב את אלמנטי המטריצה של‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬מתוך אלו של‬
‫‪,‬‬
‫בנה את ההצגה‬
‫בנה את ההצגה‬
‫)‪ (4260‬חישוב מטריציות סיבוב ‪focus question‬‬
‫ברגע שיש לנו הצגה מפורשת של היוצרים‪ ,‬ניתן לחשב באמצעותם את ההצגה המטריצית של פעולת הסיבוב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הנח שציר הסיבוב נקבע על ידי וקטור יחידה שהכיוון שלו מוגדר על ידי הקואורדינטות הכדוריות‬
‫זוית הסיבוב היא‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫רשמו ביטוי מפורש עבור הוקטור‬
‫במקרה של הצגה ממימד ‪) 2‬ספין ‪(1/2‬‬
‫מצאו נוסחא לחישוב מטריצת הסיבוב‬
‫רישמו ביטוי מפורש עבור מטריצת הסיבוב‪.‬‬
‫במקרה של הצגה ממימד ‪) 3‬ספין ‪(1‬‬
‫מצאו נוסחא לחישוב מטריצת הסיבוב‬
‫חשבו במפורש את מטריצות הסיבוב כאשר ציר הסיבוב הוא ציר ‪ Y‬או ציר ‪Z‬‬
‫הסבירו מדוע בעזרת התוצאות של )‪ (5‬ניתן לחשב כל סיבוב!‬
‫)‪ (4320‬מצבי קיטוב )טהורים( של ספין ‪1/2‬‬
‫של ספין ‪ 1/2‬מוגדר בצורה הבאה‪:‬‬
‫מצב קיטוב טהור‬
‫מסובבים מצב ‪ up‬בזוית מסביב לציר ואח"כ מבצעים סיבוב בזוית‬
‫מסביב לציר‬
‫‪ .1‬רשום\רשמי את המצב המתקבל כסופרפוזיציה של מצבי ‪ up‬ו‪. down -‬‬
‫‪ .2‬הראה באופן מפורש שזה מצב עצמי של יוצר הסיבובים מסביב לציר‬
‫‪ .3‬ללא שום חישוב נוסף הסק את התוצאה הבאה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫באשר‬
‫הם שני כיווני קיטוב כלשהם‬
‫)‪ (4340‬מצבי קיטוב מעגליים ולינארים של חלקיקים בעלי ספין‪1‬‬
‫של ספין‪ 1‬מוגדר בצורה הבאה‪:‬‬
‫מצב קיטוב מעגלי‬
‫‪ ,‬ואח"כ מבצעים סיבוב בזוית‬
‫בזוית מסביב לציר‬
‫מסובבים מצב‬
‫רשום\רשמי את המצב המתקבל כסופרפוזיציה בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫מסביב לציר ‪. z‬‬
‫של ספין‪ 1‬מוגדר בצורה הבאה‪:‬‬
‫מצב קיטוב לינארי‬
‫‪ ,‬ואח"כ מבצעים סיבוב בזוית‬
‫בזוית מסביב לציר‬
‫מסובבים מצב‬
‫רשום\רשמי את המצב המתקבל כסופרפוזיציה בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫מסביב לציר ‪. z‬‬
‫)‪ (4350‬מצבי קיטוב של ספין‪ 1‬בהיבט אוקלידי‬
‫באנלוגיה לבעיה ‪ 4320‬מצא ביטוי עבור‬
‫הבחן בין המקרים הבאים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫במקרה של ספין‪.1‬‬
‫שני המצבים הם קיטוב מעגלי‬
‫שני המצבים הם קיטוב לינארי‬
‫מצב אחד הוא מעגלי והשני הוא לינארי‬
‫)‪ (4360‬הקשר בין ההצגה‬
‫להצגה האוקלידית‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום את היוצרים של חבורת הסיבובים בהצגה הסטנדרטית‬
‫כבסיס חדש להצגה‪.‬‬
‫‪ .2‬הגדר את מצבי הקיטוב הלינארי‬
‫‪ .3‬הראה שההצגה של היוצרים בבסיס החדש מתלכדת עם ההצגה האוקלידית‪.‬‬
‫ז"א שההצגה הסטנדרטית וההצגה האוקלידית הן שקולות‪.‬‬
‫)‪ (4420‬זיהוי מצב קיטוב של "ספין ‪"1/2‬‬
‫זהה\זהי בשתי דרכים את האורינטציה של המצב המקוטב‪:‬‬
‫‪ .1‬הדרך הראשונה היא על ידי קבלתו ממצב ‪ UP‬באמצעות מטריצות סיבוב )סביב ‪ Y‬ואח"כ סביב ‪.(Z‬‬
‫‪ .2‬הדרך השניה היא על ידי חישוב של וקטור הפולריזציה )ז"א חישוב ערכי תוחלת(‪.‬‬
‫)‪ (4430‬זיהוי סיבוב ‪ Hadamard‬של ספין ‪2005C2 1/2‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין חצי‪ .‬מגדירים את הפעולה הבאה )בבסיס הסטנדרטי(‪:‬‬
‫שאלות לחימום‪:‬‬
‫‪ .1‬מפעילים את‬
‫‪ .2‬מפעילים את‬
‫על מצב ‪ . UP‬מה יהיה כיוון הקיטוב?‬
‫על מצב ‪ . DOWN‬מה יהיה כיוון הקיטוב?‬
‫שאלת "מיליון הדולר"‪:‬‬
‫‪ .3‬מה זוית הסיבוב המיוצג על ידי‬
‫במעבדה עלי ידי הפעלת שדה לפרק זמן של‬
‫ניתן לממש את‬
‫ההמילטוניאן בעת הפעלת השדה הוא מהצורה‬
‫‪ .4‬קבע את הכיוון ואת הגודל של השדה המגנטי‬
‫‪ .5‬קבע את הערך של הקונסטנטה‬
‫)‪ (4440‬זיהוי סיבובים ‪2008A2‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין חצי‪ .‬מגדירים את מטריצות הסיבוב הבאות )בבסיס הסטנדרטי(‪:‬‬
‫)א( עבור כל אחת מהמטריצות הנתונות זהה את זוית הסיבוב‬
‫)ב( רשום מטריצת סיבוב ‪ 4x4‬אשר מבצעת את הפעולה‬
‫ואת ציר הסיבוב‬
‫על שני ספינים‪.‬‬
‫)‪ (4460‬יצוג מצבי ספין ‪.1/2‬‬
‫את המצב הקוונטי של ספין ‪ 1/2‬ניתן לקבוע באמצעות שלוש מדידות בלתי תלויות‪.‬‬
‫באשר ‪. j=1,2,3‬‬
‫הנח שמדדו את ערכי התוחלת‬
‫‪.‬‬
‫הבע את האלמנטים של מטריצת ההסתברות באמצעות רכיבי וקטור הפולריזציה‬
‫‪.‬‬
‫הראה שניתן לרשום את התוצאה בצורה‬
‫)‪ (4480‬דינמיקה במערכת שני אתרים‬
‫נתון חלקיק חסר ספין במערכת של שני אתרים‪.‬‬
‫היא‬
‫למצב‬
‫נתון שאמפליטודת המעבר ליחידת זמן בין המצב‬
‫בנוסף קיים שדה חשמלי כך שיש הפרש פוטנציאלים בין שני האתרים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫נתון שבזמן‬
‫הבעיה של דינמיקה במערכת שני אתרים זהה פורמאלית לבעית הפרסציה של ספין ‪: 1/2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫רשום\רשמי את ההמילטוניאן בצורה‬
‫למה שווה‬
‫הבע את תדירות הפרסציה באמצעות הנתונים‬
‫למצוא את החלקיק באתר הימני לאחר זמן‬
‫רשום ביטוי עבור ההסתברות‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫את הסעיף האחרון ניתן לפתור כמעט ללא "עבודה שחורה" על ידי שימוש בתמונת הפרסציה‪.‬‬
‫בכיוון ציר ‪.z‬‬
‫יש להביע באמצעות המגנטיזציה‬
‫את ההסתברות‬
‫)‪ (4510‬הפעלת מטריצות סיבוב על ספינים ‪2002A2‬‬
‫מצא את וקטור המצב‬
‫התיחס למקרים הבאים‪:‬‬
‫בבסיס הסטנדרטי עבור ספין המקוטב במישור ‪ XY‬בזוית‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬ספין חצי‬
‫‪ .2‬ספין ‪ 1‬עם קיטוב מעגלי‬
‫‪ .3‬ספין ‪ 1‬עם קיטוב לינארי‬
‫וכיו"ב‪.‬‬
‫את האלמנטים של וקטור המצב בתשובה הסופית יש לנסח באמצעות‬
‫על מנת למנוע אפס נקודות בגין שגיאה אלגברית נא לרשום את נוסחת החישוב ‪ +‬התוצאה הסופית‪.‬‬
‫)‪ (4520‬הפעלת מטריצות סיבוב על ספינים ‪2007B3‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון ספין חצי במצב‬
‫)‪ (1‬זהה את האורינטציה‬
‫)‪ (2‬רשום את‬
‫של מצב הקיטוב המיוצג על ידי‬
‫באמצעות מטריצות סיבוב‬
‫‪.‬‬
‫הפועלות על‬
‫)‪ (3‬רשום את נוסחת החישוב ‪ +‬ביטווים מפורשים עבור המטריצות‬
‫נתון ספין ‪ 1‬במצב של קיטוב מעגלי בכיוון ציר ‪Z‬‬
‫)‪ (4‬רשום את המצב המתקבל לאחר סיבוב באותן זויות כמו בסעיף ‪.1‬‬
‫)‪ (5‬רשום את ההסתברות למדוד מצב של קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪) Z‬לאחר הסיבוב הנ"ל(‪.‬‬
‫מותר להשתמש בתוצאות ידועות עבור היוצרים‪.‬‬
‫)‪ (4530‬הפעלת מטריצות סיבוב על ספינים ‪2004B2‬‬
‫)א( רשום את ההצגה הסטנדרטית של ספין ‪ 1‬עם קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪.z‬‬
‫)ב( חשב את ההצגה הסטנדרטית של ספין ‪ 1‬עם קיטוב מעגלי בכיוון ציר ‪.x‬‬
‫מודדים האם יש לספין קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪.y‬‬
‫)ג( מה ההסתברות לתוצאה חיובית עבור ההכנה של סעיף )א(?‬
‫)ד( מה ההסתברות לתוצאה חיובית עבור ההכנה של סעיף )ב(?‬
‫)‪ (4620‬סיבוב של פונקצית גל‬
‫חלקיק מתואר באמצעות פונקצית הגל‪:‬‬
‫סביב ציר ‪.‬‬
‫‪ ,‬ואחר כך בזווית של‬
‫סביב ציר‬
‫מסובבים את פונקצית הגל בזווית של‬
‫מה פונקצית הגל המתקבלת? פתור בשתי דרכים שונות‪:‬‬
‫הדרך הפשוטה היא לעבור לקואורדינטות קרטזיות‪ ,‬ולפעול עם מטריצת סיבוב אוקלידית )מרחבית( על הקואורדינטות‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫הדרך הארוכה היא לרשום את פונקצית הגל כסופרפוזיציה של פונקציות‬
‫ולהפעיל על וקטור המקדמים מטריצות סיבוב בהצגה הסטנדרטית‪.‬‬
‫)‪ (4640‬תנע זויתי של פונקצית גל ‪2009B‬‬
‫פונקצית הגל של חלקיק היא‬
‫‪ .1‬רשום את פונקצית הגל בהצגה‬
‫‪ .2‬רשום את פונקצית הגל בהצגה‬
‫נתון‬
‫מגדירים‬
‫כך שפונקצית הגל תהיה מנורמלת‪.‬‬
‫‪ .3‬רשום תנאי על‬
‫להלן נתון שמתקיים‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫(‬
‫מה היא ההסברות למצוא את החלקיק במצב "כדורי" )‬
‫מה הם הערכים האפשריים שניתן לקבל )בהסתברות<‪ (0‬במדידה של‬
‫כנ"ל אם מודדים את‬
‫( עם‬
‫מה היא ההסתברות למצוא את החלקיק במצב "פולרי" )‬
‫רמז לסעיף האחרון‪ :‬בחישוב מופיע פקטור‬
‫)‪ (4660‬בניית‬
‫‪.‬‬
‫עבור תנע זויתי מסילתי מגדירים‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫רכיבי התנע הזויתי המוגדרים בצורה כזאת מקיימים‪:‬‬
‫שלם או חצי שלם‪.‬‬
‫הם עם‬
‫מיחסי החילוף הנ"ל נובע שהע"ע של‬
‫מצד שני‪ ,‬אנו יודעים כי בהצגת המקום מתקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את‬
‫‪ .2‬מצא את שאר‬
‫מתוך הדרישה‬
‫ע"י הפעלת‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4700‬חלקיק על קליפה כדורית ‪focus question‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫שמוגבל לנוע על גבי קליפה כדורית בעלת רדיוס‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מה הם המצבים העצמיים‪ ,‬ומה הן האנרגיות העצמיות של החלקיק‪.‬‬
‫‪ .2‬מה הניוון של כל אחת מרמות האנרגיה?‬
‫בחר את מצב היסוד כרמת היחוס לאנרגיה‪.‬‬
‫)‪ (4710‬חלקיק על קליפה כדורית‪ ,‬דינמיקה ‪2005B2‬‬
‫ומטען ‪.‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס וחלקיק בעל מסה‬
‫בשאלה זו עליך להניח שניתן לעורר את החלקיק מרמת היסוד לרמת האנרגיה הראשונה‪,‬‬
‫אך לא מעבר לכך‪ .‬מכאן שמרחב המצבים הוא ארבע מימדי‪.‬‬
‫מכינים את החלקיק כך שהוא "מרוכז" ככל האפשר "בקוטב הצפוני" של הקליפה‪.‬‬
‫של החלקיק‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום את פונקצית הגל‬
‫הסעיף הזה דורש "חשיבה"‪ .‬התשובה היא פשוטה ואינה מצריכה "אלגברה"‪.‬‬
‫המצב שרשמתם אינו מצב סטציונרי‪.‬‬
‫החלקיק יבצע תנודות בין הקוטב הצפוני לבין הקוטב הדרומי‪.‬‬
‫‪ .2‬מה זמן המחזור של התנודות?‬
‫מגדירים את הקיטוב של המערכת בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ .3‬מצא את הקיטוב‬
‫כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (4720‬חלקיק על קליפה כדורית‪ ,‬פולס ‪2005A2‬‬
‫ומטען ‪.‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס וחלקיק בעל מסה‬
‫מניחים את החלקיק על פני הקליפה במצב האנרגיה הכי נמוך‪.‬‬
‫בזמן‬
‫מדליקים פולס של שדה חשמלי בכיוון ציר ‪ Z‬שגודלו‬
‫להלן הנח תקפות של תורת הפרעות סדר ראשון‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫רשום ביטוי מפורש עבור פוטנציאל ההפרעה‬
‫בין מצב היסוד למצבים המעוררים‪.‬‬
‫חשב את אלמנטי המטריצה של‬
‫מה הפרש האנרגיה של המעברים המותרים מרמת היסוד?‬
‫חשב את ההסתברות למצוא את החלקיק ברמה מעוררת לאחר שהפולס מסתיים‬
‫)זה אומר לאחר פרק זמן ארוך מאוד כשהשדה כבר שווה לאפס(‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (4730‬חלקיק על קליפה כדורית‪ ,‬דינמיקה ‪2007A2‬‬
‫ומטען ‪.‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס וחלקיק בעל מסה‬
‫שים לב שמשתני התצפית הסטנדרטיים שמתארים את מצב החלקיק הם‬
‫בשאלה זו עליך להניח שניתן לעורר את החלקיק מרמת היסוד לרמת האנרגיה הראשונה‪,‬‬
‫אך לא מעבר לכך‪ .‬מכאן שמרחב המצבים הוא ארבע מימדי‪.‬‬
‫סמן את מתבי הבסיס בסימון‬
‫)‪ (1‬מה האנרגיה של כל אחד ממצבי הבסיס‪ .‬הגדר את מצב היסוד כאנרגיה אפס‪.‬‬
‫מכינים את החלקיק כך שהוא "מרוכז" ככל האפשר "בקוטב הצפוני" של הקליפה‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשום את פונקצית הגל‬
‫של החלקיק‪.‬‬
‫המצב שרשמתם אינו מצב סטציונרי‪.‬‬
‫החלקיק יבצע תנודות בין הקוטב הצפוני לבין הקוטב הדרומי‪.‬‬
‫של התנודות?‬
‫)‪ (3‬מה זמן המחזור‬
‫מקרה ראשון‪ :‬מדליקים שדה חשמלי קבוע‬
‫בכיוון ציר‬
‫)‪ (4‬רשום באופן פורמאלי את איבר ההפרעה באמצעות משתני התצפית הסטנדרטיים‪.‬‬
‫)‪ (5‬מה זמן המחזור‬
‫של התנודות?‬
‫מקרה שני‪ :‬מדליקים שדה מגנטי קבוע‬
‫בכיוון ציר‬
‫)‪ (6‬רשום באופן פורמאלי את איבר ההפרעה באמצעות משתני התצפית הסטנדרטיים‪.‬‬
‫)‪ (7‬מצא ערך של‬
‫שגורם לכך שבזמן‬
‫החלקיק חוזר למצב התחילי‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫סעיפים )‪ (2‬ו‪ (7)-‬דורשים "חשיבה"‪ .‬התשובה היא פשוטה ואינה מצריכה "אלגברה"‪.‬‬
‫)‪ (4820‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½ ‪focus question‬‬
‫פרק את ההצגה הסטנדרטית של ספין ½ ‪ +‬ספין ½‪.‬‬
‫מהבסיס הישן לבסיס החדש‪.‬‬
‫רשום את מטריצת המעבר‬
‫)בסיס חדש = מצב סינגלט ‪ +‬מצבי טריפלט(‬
‫)‪ (4830‬מצבי סינגלט וטריפלט‬
‫הראה באופן מפורש שמצבי הסינגלט והטריפלט הם מצבים עצמייים של‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫טיפ‪ :‬בטא את‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (4840‬מצב של ספין שמהווה חלק מסינגלט או טריפלט‬
‫נתון שהכינו מערכת שכוללת שני ספינים במצב סינגלט או באחד ממצבי הטריפלט‪.‬‬
‫מודדים את המצב הקוונטי של אחד מהספינים‪.‬‬
‫מה המצב הקוונטי של הספין הנבחר בכל אחד מן ההכנות שהוגדרו לעיל?‬
‫הדרכה‪ :‬חשב את וקטור הפולריזציה של הספין הנבחר‪.‬‬
‫)‪ (4850‬מצב שזור של שני ספינים ‪2006B2‬‬
‫נתונים שני חלקיקים בעלי ספין חצי‪ .‬מצבי הספין של המערכת מיוצגים בבסיס הסטנדרטי‬
‫הכינו את המערכת במצב‬
‫שים לב שהמערכת הוכנה במצב סימטרי ביחס לפרמוטציה כך שלשני החלקיקים יש אותו מצב קיטוב‪.‬‬
‫)‪ (1‬מצא את היצוג של האופרטור‬
‫שמתאר את הספין של אחד החלקיקים כמטריצה בבסיס הסטנדרטי שהוגדר לעיל‪.‬‬
‫)‪ (2‬מצא את וקטור הפולריזציה‬
‫)‪ (3‬רשום את כיוון הקיטוב‬
‫שמתאר את מצב הקיטוב של כל אחד מהחלקיקים‪.‬‬
‫של המצב החד חלקיקי‪.‬‬
‫ואת מידת הקיטוב‬
‫)‪ (4‬מה הוא וקטור המצב בבסיס ‪ up / down‬שמתאר ספין יחיד עם קיטוב מלא בכיוון‬
‫)‪ (5‬מה יהיה מצב המערכת אם מכינים את שני החלקיקים במצב של קיטוב מלא בכיוון‬
‫‪.‬‬
‫בסעיף האחרון רשום את התשובה כוקטור עמודה בבסיס הסטנדרטי כפי שהוגדר בראשית השאלה‪.‬‬
‫כל התשובות צריכות להיות מוגמרות )אל תצפו שהבודק יבצע חישובים בשבילכם(‪.‬‬
‫)‪ (4860‬ספין ‪ + 1‬ספין ½‬
‫‪ .1‬פרק את ההצגה הסטנדרטית של "ספין ½" פלוס "ספין ‪."1‬‬
‫מהבסיס הישן לבסיס החדש‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום את מטריצת המעבר‬
‫בבסיס הישן‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את אלמנטי המטריצה של האופרטור‬
‫)‪ (4862‬שיקולי חיבור תנע זויתי בהתפרקות חלקיק ‪2010H‬‬
‫)‪ (1‬רשום בבסיס הסטנדרטי את מצבי‬
‫של מערכת הכוללת שני חלקיקים בעלי ספין ‪.1‬‬
‫)‪ (2‬חלקיק בעל ספין ‪ 0‬בחלל החופשי מתפרק לשני חלקיקים נייחים בעלי ספין ‪.1‬‬
‫מודדים את הקיטוב הלינארי שלהם‪ .‬מה ההסתברות שהם יהיו מקוטבים באותו כיוון‪.‬‬
‫בשאלות להלן פונקצית הגל נקבעת באופן יחיד על בסיס שלושה שיקולים‪:‬‬
‫פרמיונים‪/‬בוזונים; סימטריה לשיקוף; אינטראקצית ההתפרקות בראשית היא נקודתית‪.‬‬
‫)‪ (3‬חלקיק נקודתי בעל ספין ‪ 0‬מאולץ להתפרק לשני חלקיקים בעלי ספין ‪1/2‬‬
‫והשני נע למטה עם תנע הפוך‪.‬‬
‫כך שהאחד נע למעלה עם תנע‬
‫רשום בבסיס הסטנדרטי את המצב הקוונטי של שני הספינים‪.‬‬
‫)‪ (4‬חלקיק נקודתי בעל ספין ‪ 0‬מאולץ להתפרק לשני חלקיקים בעלי ספין ‪1‬‬
‫כך שהאחד נע למעלה והשני נע למטה‪.‬‬
‫רשום בבסיס הסטנדרטי את המצב הקוונטי של שני הספינים‪.‬‬
‫הנח שלשני הספינים אין קיטוב לינארי בכיוון תנועתם‪.‬‬
‫)‪ (5‬במקרה האחרון מה ההסתברות שהספין הכולל של התוצרים הוא אפס‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כיוון שיש בבעיה כיוון מועדף‪ ,‬הספין הכולל אינו קבוע תנועה‪ ,‬ולכן אינו חייב להיות אפס‪.‬‬
‫)‪ (4870‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½‬
‫פרק את ההצגה הסטנדרטית של ספין ½ ‪ +‬ספין ½ ‪ +‬ספין ½‪.‬‬
‫מהבסיס הישן לבסיס החדש‪.‬‬
‫רשום את מטריצת המעבר‬
‫)‪ (4890‬התפרקות של חלקיק עם ספין אפס‬
‫חלקיק בעל ספין ‪ 0‬נמצא במנוחה ומתפרק לשני חלקיקים בעלי ספין ‪ 1/2‬כל אחד‪.‬‬
‫מודדים את הספין בכיוון ‪ Z‬של כל אחד מהחלקיקים שנוצרו‪.‬‬
‫הגלאים מצויים בזוית ביחס לציר ‪.Z‬‬
‫את ההסתברות למצוא את שני החלקיקים במצב ‪.up‬‬
‫נסמן בסימון‬
‫‪.‬‬
‫את הספין הכולל של החלקיקים נסמן באות‬
‫את התנע הזויתי האורביטלי ההדדי של צמד החלקיקים נסמן באות‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫מה יכול להיות התנע הזויתי האורביטלי של החלקיקים לאחר ההתפרקות?‬
‫רשום באופן סכמטי את המצב של המערכת לאחר ההתפרקות בבסיס הנקבע על ידי‬
‫‪.‬‬
‫הסבר בשפה קלאסית מדוע‬
‫מצא ביטוי מפורש עבור היחס‬
‫)‪ (4900‬אוריינטציה של מצב סינגלט‬
‫שני אלקטרונים מאכלסים את אותו אורביטל‪ .‬מצא‪/‬י את וקטור הפולרזיציה עבור כל אחד מהם‪.‬‬
‫)‪ (4920‬אטום בשדה מגנטי הומוגני )אפקט זימן(‬
‫ההמילטוניאן המתאר רמת אנרגיה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫של אטום הוא‬
‫‪.‬‬
‫הסבר את המשמעות הפיסיקלית של המקדמים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫התייחס להלן למקרה‬
‫רשום את ההמילטוניאן בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫הראה שניתן לרשום תוצאה מדויקת‪ ,‬באופן מידי‪ ,‬עבור שתי אנרגיות עצמיות‪.‬‬
‫הראה שלצורך מציאת שאר האנרגיות העצמיות יש ללכסן שתי מטריצות ‪.2×2‬‬
‫)עליך לרשום מה הן המטריצות‪ ,‬אך אינך מתבקש לבצע את הליכסון בפועל(‪.‬‬
‫‪ .6‬מה הוא הפתרון המדויק לבעיה במקרה‬
‫?‬
‫)‪ (4940‬אפקט זימן‪ ,‬טיפול בתורת הפרעות ‪focus question‬‬
‫התייחס לבעיה הקודמת‪.‬‬
‫‪ .1‬עבור שדה חלש רשום ביטוי עם תיקון מסדר ראשון ב‪ -‬עבור האנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור שדה חזק רשום ביטוי עם תיקון מסדר ראשון ב‪ -‬עבור האנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫‪ .3‬שרטט שרטוט סכמאטי של האנרגיות כפונקציה של עוצמת השדה המגנטי עבור המקרה‬
‫)‪ (5020‬אופרטורים סקלרים ווקטורים ‪focus question‬‬
‫נתון כי‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫היא פעולת סיבוב‪ .‬נתון‬
‫מארז של אופרטורים‪.‬‬
‫לכך שהמארז הוא טנסור‪.‬‬
‫הגדר את הדרישה על‬
‫רשום\רשמי את הדרישה לעיל עבור סיבוב אינפיניטסימאלי‪.‬‬
‫מתוך כך קבע\י מה צריך להיות יחס הקומוטציה של עם מרכיבי התנע הזוויתי‪.‬‬
‫רשום\רשמי מספר דוגמאות לאופרטורים סקלריים ווקטוריים‪.‬‬
‫רשום\רשמי גם דוגמאות לאופרטורים שאינם כאלה )אינם חלק ממארז בעל אופי "טנסורי"(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (5040‬אופרטורי תצפית של תנע זויתי ‪focus question‬‬
‫בעצמו )ודא שאתה מבין טענה זו(‪.‬‬
‫הדוגמה הטריוויאלית לוקטור אופרטור הוא‬
‫הוא אופרטור עבור מדידת התנע הזוויתי בכיוון ציר ‪.‬‬
‫על פי הגדרה‬
‫‪.‬‬
‫רשום ונמק מה הוא אופרטור התצפית עבור מדידת תנע זויתי בכיוון‬
‫)‪ (5060‬דינמיקה במערכת שני אתרים ‪focus question‬‬
‫בבעיה זו אתם מתבקשים לתת הצדקה מתמטית מסודרת לתמונת הפרסציה של ספין ‪: 1/2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום\רשמי את ההמילטוניאן בצורה‬
‫באמצעות המצב התחילי‬
‫‪ .2‬הבע את מצב המערכת‬
‫מבצע פרסציה‪.‬‬
‫‪ .3‬הראה שוקטור הפולריזציה‬
‫)‪ (5150‬חישוב‬
‫באפקט זימן ‪focus question‬‬
‫יש ליישם את משפט וויגנר‪-‬אקרט‬
‫)‪ (5520‬טרנספורמציה של ההמילטוניאן ‪focus question‬‬
‫מעבר ממערכת יחוס נתונה )או בסיס נתון( למערכת יחוס אחרת )בסיס חדש(‬
‫‪.‬‬
‫גורמת לטרספורמציה של פונקצית הגל‬
‫במערכת היחוס הישנה‪.‬‬
‫במערכת היחוס החדשה באמצעות ההמילטוניאן‬
‫הבע את ההמילטוניאן‬
‫במקרים הבאים‪:‬‬
‫ועבור הטרנספורמציה‬
‫רשום ביטויים מפורשים עבור‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫הזזה‬
‫סיבוב‬
‫גלילאי‬
‫כיול‬
‫)‪ (5540‬אינוריאנטיות של ההמילטוניאן ‪focus question‬‬
‫הנח שההמילטוניאן הוא בעל הצורה הלא‪-‬רלטויסטית הרגילה‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫כך שניתן לרשום באופן סכמטי‬
‫הראה שההמילטוניאן הוא אינוריאנטי תחת הטרספורמציות שהוגדרו בבעיה הקודמת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫כך שמתקיים‬
‫זה אומר שעליך למצוא‬
‫במקרה של טרנספורמצית גלילאי הראה שמתקבלת התוצאה הקלאסית‪:‬‬
‫במקרה של מערכת מסתובבת הראה שמופיעים פוטנציאל צנטריפוגלי וכוח קוריוליס‪.‬‬
‫)‪ (5560‬חלקיק בקופסא נעה ‪ -‬דרך הפתרון האלגנטית‬
‫‪ .‬כלומר‬
‫חלקיק מצוי התוך קופסא הנעה במהירות‬
‫‪.‬‬
‫במערכת הקופסא החלקיק נמצא ברמת אנרגיה‬
‫רשום את פונקצית הגל של החלקיק במערכת המעבדה‪.‬‬
‫הסבר את האנלוגיה לפתרון הקלאסי )דיסטריבוציה במרחב הפאזות(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (5570‬חלקיק בקופסא מואצת ‪2008H3‬‬
‫הפוטנציאל שמחזיק חלקיק בקופסא חד מימדית הוא‬
‫מעבירים את הקופסא למערכת ייחוס שמאיצה בתאוצה ‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.‬‬
‫רשום את האופרטור שמגדיר טרנספורמצית הזזה )ללא בוסט( למערכת קואורדינטות שבה הקופסא מצויה במנוחה‪.‬‬
‫המתקבלים לאחר הטרנספורמציה‪.‬‬
‫מה הפוטנציאלים‬
‫רשום את האופרטור שמגדיר טרנספורמצית כיול שמאפשר להיפטר מהפוטנציאל הוקטורי‬
‫המתקבלים לאחר הטרנספורמציה‪.‬‬
‫מה הפוטנציאלים‬
‫)‪ (5580‬חלקיק בקופסה עם קיר זז ‪2006H3‬‬
‫חלקיק כלוא בתוך קופסא חד מימדית‬
‫הראה שבאמצעות ‪ dilation‬ניתן לבצע טרנספורציה שנותנת המילטוניאן עם קירות קבועים‪.‬‬
‫טיפ‪ :‬היוצר של ‪ dilation‬הוא‬
‫)‪ (1‬רשום את ההמילטוניאן שמתקבל‬
‫)‪ (2‬זהה את הפוטנציאל הוקטורי‬
‫)‪ (3‬זהה את הפוטנציאל הסקלארי‬
‫)‪ (4‬מה היא טרנספורמצית הכיול שדרושה על מנת להיפטר מהפוטנציאל הוקטורי‬
‫)‪ (5‬מה הביטוי עבור הפוטנציאל הסקלארי לאחר ביצוע הכיול?‬
‫)‪ (5620‬סימטריות ומשמעותם ‪focus question‬‬
‫להלן אנו מתיחסים להמילטוניאנים וטרנספורמציות שאינם תלויים בזמן‪.‬‬
‫אם‬
‫אנו אומרים שהמילטוניאן הוא סימטרי ביחס לטרספורמציה‬
‫‪.‬‬
‫מתחלף עם‬
‫מכאן נובע ש‪-‬‬
‫אם ההמילטוניאן סימטרי ביחס לחבורה של טרנספורמציות‪ ,‬אז הוא גם מתחלף עם היוצרים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתחלף עם אופרטור כלשהוא‬
‫הנח שההמילטוניאן‬
‫בסיס שבו הוא אלכסוני‪.‬‬
‫יהי‬
‫הסבר מדוע נובעות מכך הטענות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫אינו משתנה במהלך האבולוציה‪.‬‬
‫ערך התוחלת‬
‫‪.‬‬
‫הוא מצב עצמי של‬
‫‪ ,‬אז גם‬
‫הוא מצב עצמי של‬
‫אם‬
‫שבו הוא אלכסוני‪.‬‬
‫ההמילטוניאן הוא ‪ block-diagonal‬בבסיס‬
‫מתחלף עם יוצרים של חבורה לא קומוטטיבית‪.‬‬
‫נתון שאופרטור‬
‫באשר הוא אינקס הניוון‪.‬‬
‫המצבים העצמיים של‬
‫יהיו‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫הסבר מדוע כל תת‪-‬מרחב מנוון מהווה הצגה של החבורה‪.‬‬
‫הוכח בדרך השלילה את המשפט ההפוך‪ :‬תת‪-‬מרחב בלתי פריק חייב להיות מנוון באנרגיה‪.‬‬
‫כיצד קשור הניוון למימדים של ההצגות הבלתי פריקות?‬
‫‬
‫מדוע חייב להיות ניוון?‬
‫הסבר את הקביעה הבאה‪ :‬הניוון הוא "פיצוי" על כך שהסימטריה‬
‫של כל אחד מהמצבים המנוונים )בנפרד( היא נמוכה יותר מהסימטריה של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫)‪ (5650‬הפרדת משתנים ‪focus question‬‬
‫עם תנאי שפה מחזוריים בכיוון האורכי‪.‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬במלבן באורך‬
‫ההמילטוניאן של החלקיק הוא מהצורה‬
‫הוא קבוע תנועה עם ערכים עצמיים‬
‫התנע‬
‫הבסיס הסטנדרטי להצגת החלקיק הוא‬
‫הבסיס לצורך הפרדת משתנים הוא‬
‫אנו מחפשים את המצבים העצמיים‬
‫רשום מה הם הערכים האפשריים של‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ומה הן הפונקציות‬
‫‪.‬‬
‫על פי משפט הפרדת המשתנים‬
‫באשר‬
‫עם אנרגיות עצמיות‬
‫ופונקציות עצמיות‬
‫במקרה של גאומטרית הול‪.‬‬
‫רשום מה הן הפונקציות‬
‫מכאן נובע שהפונקציות העצמיות בהצגה הסטנדרטית הן‬
‫‪.‬‬
‫המוחזק על ידי פוטנציאל מרכזי‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫רשום את ההמילטוניאן של החלקיק‪ .‬המילטוניאן זה מתחלף עם חבורת הסיבובים‪.‬‬
‫עבור הפרדת משתנים‪.‬‬
‫הגדר את הבסיס‬
‫הסבר כיצד מתפרקת ההצגה של חבורת הסיבובים מעל מרחב הפונקציות בבסיס זה‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן בבסיס החדש‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫וודא שהוא בעל מבנה בלוקים‬
‫הסבר מדוע האינדקס אינו מופיע בהצגה המטריצית של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫הסבר את המשמעות מבחינת ניוונים‪.‬‬
‫)‪ (5662‬רמות לנדאו בגרפין ‪2010A‬‬
‫ההמילטוניאן האפקטיבי של אלקטרון בשכבה דו מימדית של גרפין הוא‬
‫ובאשר ‪ A‬הוא הוקטור פוטנציאל עבור שדה אנכי ‪ B‬בכיול לנדאו‪.‬‬
‫באשר‬
‫באשר‬
‫שים לב שהבסיס הסטנדרטי להצגת האלקטרון הוא‬
‫‪,‬‬
‫)‪ (1‬בהעדר שדה מגנטי‪ ,‬עבור תנע נתון‬
‫מה הן האנרגיות העצמיות של החלקיק?‬
‫הוא קבוע תנועה‪.‬‬
‫)‪ (2‬בכיול לנדאו האופרטור‬
‫שמתקבל לאחר הפרדת משתנים‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן‬
‫זה אופרטור הורדה‪,‬‬
‫כדאי לזכור שקומבינציה לינארית של קואורדינטות קנוניות‬
‫ולרשום את המטריצה המתקבלת בצורה האלטרנטיבית‬
‫)‪ (3‬הגדר את האופרטור‬
‫רשום מה הם הערכים העצמיים‬
‫שים לב שכל הערכים העצמיים למעט‬
‫של ‪C‬‬
‫הם מנוונים‪.‬‬
‫)‪ (4‬כיוון ש ‪ C‬הוא קבוע תנועה ניתן לבצע הפרדת משתנים נוספת‪.‬‬
‫רשום את המטריצה ‪ 2x2‬שמיצגת את‬
‫)‪ (5‬מצא את רמות האנרגיה‬
‫עבור‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (6‬מצא את המצבים העצמיים‪ ,‬ורשום אותם בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫שים לב שהמצב הקוונטי בבסיס הסטנדרטי מיוצג באמצעות‬
‫עבור הפונקציות העצמיות של אוסצילטור הרמוני חד מימדי‪.‬‬
‫ניתן להשתמש בסימון‬
‫)‪ (5664‬אינטראקצית ספין‪-‬מסילה ‪2008B1‬‬
‫ומטען מצוי בטבעת חד מימדית בעלת רדיוס ‪.‬‬
‫אלקטרון בעל מסה‬
‫הממוקם במרכז הטבעת‪.‬‬
‫לאלקטרון אינטראקצית ספין‪-‬מסילה עם השדה החשמלי שיוצר מטען‬
‫מומלץ להשתמש ביחידות‬
‫)א( רשום את ההמילטוניאן‬
‫של האלקטרון‬
‫)ב( מה הן האנרגיות העצמיות של האלקטרון?‬
‫)ג( מה המהירות של האלקטרון בכל אחד ממצבי האנרגיה?‬
‫)ד( איזה שטף מגנטי‬
‫דרך מרכז הטבעת יאפס את האפקט של‬
‫על אלקטרון בעל ספין ‪up‬‬
‫נא להביע את כל התשובות באמצעות הנתונים בלבד‪.‬‬
‫)‪ (5668‬פרסציה של ספין בגין אינטראקצית ספין מסילה ‪2010B‬‬
‫אלקטרון בעל מסה ‪ M‬מטען ‪ e‬וספין עם קבוע גירומגנטי ‪,g‬‬
‫משוגר עם אנרגיה ‪ E‬בתוך מוליך חד מימדי בכיוון ציר ‪.X‬‬
‫המוליך עובר דרך לוחות קבל שאורכו ‪.L‬‬
‫הקבל יוצר שדה חשמלי בכיוון ציר ‪.Y‬‬
‫כמו כן באותו איזור יש שדה מגנטי בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫כאשר האלקטרון נכנס לאיזור האינטראקציה הספין שלו מקוטב בכיוון התנועה‪.‬‬
‫בכל סעיפים להלן הנח שאפשר להתעלם מההסתברות לכך שהחלקיק יוחזר מאזור האינטראקציה‪.‬‬
‫בשני הסעיפים הראשונים בסס את הערכתך על המהירות של החלקיק‬
‫ועל זמן המעוף‪.‬‬
‫)‪ (1‬מה יהיה הכיוון‬
‫)‪ (2‬מה צריך להיות‬
‫של הספין ביציאה מאזור האינטראקציה‪.‬‬
‫על מנת שהספין לא יסתובב‪.‬‬
‫בסעיפים להלן עליך לתת תשובה מדויקת על סמך אנרגית השיגור של החלקיק‪.‬‬
‫בתור הקואורדינטה של נקודת הכניסה‪.‬‬
‫נוח לקבוע‬
‫באשר‬
‫)‪ (3‬רשום את מצב החלקיק באזור האינטראקציה בבסיס הסטנדרטי‬
‫)‪ (4‬תן את התשובה המדויקת לסעיף הראשון‪.‬‬
‫)‪ (6020‬איבר ההפרעה עבור קופסא ‪ +‬הזזת קיר ‪focus question‬‬
‫‪.‬‬
‫של הקיר‪.‬‬
‫)א( נתון בור פוטנציאל חד‪-‬מימדי‬
‫מצא את איבר "ההפרעה" עבור הזזה‬
‫איבר זה מוגדר על ידי הקירוב‬
‫‪.‬‬
‫הן האנרגיות של הבור באורך‬
‫באשר‬
‫קרוב זה תקף אם ההזזה של הקיר היא הרבה יותר קטנה מאורך הגל שלו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הדרכה לפתרון‪ :‬הנח שהקיר מתואר על ידי מדרגת פוטנציאל‬
‫על ידי שימוש בדרישת הרציפות של "הנגזרת הלוגריתמית"‬
‫והנגזרת שלה‬
‫קבע מה הוא היחס בין פונקצית הגל‬
‫גדול מאוד‪ ,‬ובסוף החישוב קח את הגבול‬
‫הנח ש‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)ב( מצא מה הוא התיקון מסדר ראשון לאנרגיות העצמיות של חלקיק‬
‫של הקיר‪.‬‬
‫‪ ,‬בגין הזזה‬
‫בבור פוטנציאל חד‪-‬מימדי‬
‫השתמש בתוצאה שלמעלה‪ ,‬והשווה לפתרון המדויק‪.‬‬
‫)‪ (6040‬קופסא דו מימדית עם קיר מוזז‪ ,‬תורת הפרעות ‪2010B‬‬
‫בעלת צלע ‪.a‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬בקופסא דו‪-‬מימדית ריבועית‬
‫ההזזה של הקיר השמאלי מתוארת על ידי הפונקציה‬
‫‪.‬‬
‫אילו הקופסא היתה חד מימדית איבר ההפרעה בהמילטוניאן היה‬
‫‪.‬‬
‫באשר אנו מניחים הזזה קטנה‪ ,‬והנגזרות מחושבות בנקודה‬
‫)‪ (1‬רשום את ההכללה הדו‪-‬מימדית של הנוסחא לעיל )דורש הבנה בלבד(‪.‬‬
‫הנח שהקיר מוטה בזוית קטנה כך שמתקיים‬
‫וכן‬
‫)‪ (2‬רשום את מטריצת ההמילטוניאן עבור שלושת המצבים הנמוכים ביותר )בבסיס הלא מופרע(‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשום את התיקון המוביל לאנרגית מצב היסוד‪.‬‬
‫)‪ (4‬רשום את התיקון המוביל לאנרגיות של המצבים המעוררים‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪ (6050‬חלקיק מופרע בקופסה ריבועית ‪2009A‬‬
‫נתון חלקיק חסר ספין בעל מסה‬
‫בקופסה ריבועית‬
‫בהמשך השאלה מוסיפים הפרעה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫של מצב היסוד הבלתי מופרע‬
‫רשום את פונקציות הגל‬
‫כנ"ל גם את ‪ 3‬המצבים המעוררים הנמוכים ביותר שמצומדים על ידי ההפרעה למצב היסוד‪.‬‬
‫בבסיס הנ"ל‬
‫כסכום של שתי מטריצות‬
‫רשום את ההמילטוניאן‬
‫רשום את המצבים העצמיים )כוקטורי עמודה( ואת האנרגיות העצמיות בסדר ראשון ב‪-‬‬
‫חשב את התיקון מסדר שני ב‪ -‬לאנרגית מצב היסוד‪.‬‬
‫)‪ (6060‬תורת הפרעות עבור טבעת ‪ +‬מפזר ‪ +‬שטף מגנטי ‪focus question‬‬
‫ומטען‬
‫הנח\הניחי חלקיק בעל מסה‬
‫‪.‬‬
‫השטף דרך הטבעת הוא‬
‫בנוסף יש בטבעת מפזר המתואר על ידי‬
‫‪.‬‬
‫בטבעת חד מימדית בעלת אורך‬
‫‪.‬‬
‫יש סימטריות ‪ /‬ניוונים בבעיה זו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הסבר עבור אלו ערכים של הפרמטרים‬
‫מה הבסיס שבו טבעי להשתמש אם‬
‫‪.‬‬
‫מה הבסיס שבו טבעי להשתמש אם‬
‫נתח את הסרת הניוונים במסגרת תורת הפרעות‪.‬‬
‫לאנרגית מצב היסוד כאשר‬
‫חשב את התיקון מסרר שני ב‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (6070‬חלקיק בטבעת ‪ +‬פוטנציאל‪ ,‬תורת הפרעות ‪2007B2‬‬
‫ומטען בטבעת חד מימדית בעלת רדיוס ‪.‬‬
‫נתונה חלקיק בעל מסה‬
‫בתור "הפרעה" יוצרים שדה חשמלי הומוגני במקביל למישור הטבעת‪.‬‬
‫‪ .1‬רשום את ההמילטוניאן‬
‫של המערכת‪.‬‬
‫‪ .2‬איזה סימטריות יש למערכת בלי‪/‬עם הפרעה‪.‬‬
‫‪ .3‬רשום את ההצגה המטריצית של ההמילטוניאן בבסיס המתאים לטיפול הפרעתי‪.‬‬
‫עד סדר שני בהפרעה‪.‬‬
‫‪ .4‬חשב את אנרגית מצב היסוד‬
‫‪ .5‬חשב את אנרגית המצבים המעוררים‬
‫עד סדר שני בהפרעה‪.‬‬
‫)‪ (6080‬חלקיק בעל ספין בקופסא ‪ +‬מפזר ‪2003B3‬‬
‫אלקטרון בעל ספין‬
‫ומסה‬
‫‪ ,‬מצוי בבור פוטנציאל חד מימדי‪.‬‬
‫הנח תנאי שפה אפס בקצות האינטרוול‬
‫ההמילטוניאן של המערכת הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)א( רשום את האנרגיות ואת המצבים העצמיים )בהצגה הסטנדרטית( כאשר‬
‫‪.‬‬
‫)ב( חשב את התיקון מסדר ראשון לאנרגיות העצמיות עבור‬
‫קטן‪ .‬האם נותר ניוון בספקטרום?‬
‫)ג( רשום את האנרגיות העצמיות של החלקיק כאשר‬
‫‪ .‬ציין והסבר את הניוון בספקטרום‪.‬‬
‫)ד( צייר )באופן איכותי( את האנרגיות של ‪ 8‬המצבים הנמוכים ביותר כפונקציה של‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (6120‬אוסצילטור הרמוני ‪ +‬הפרעה‬
‫‪.‬‬
‫נתון אוסצילטור הרמוני בעל תדירות‬
‫‪.‬‬
‫מוסיפים להמילטוניאן הפרעה מהצורה‬
‫מצא\י את האנרגיה של מצב היסוד עד סדר שני‪ ,‬על‪-‬פי תורת ההפרעות‪ ,‬וע"י פתרון מדויק‪.‬‬
‫השווה\השווי בין התוצאות‪.‬‬
‫במקום ההפרעה בסעיף הראשון מוסיפים הפרעה מהצורה‪:‬‬
‫עד סדר ראשון?‬
‫מהו התיקון ברמת האנרגיה ה‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (6140‬הפרעה שוברת סימטריה‪ ,‬הסרת ניוונים ‪2005A3‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין ‪ 2‬המתואר על ידי ההמילטוניאן‬
‫קל מאוד להיווכח שההמילטוניאן עם‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫הוא אלכסוני בבסיס הסטנדרטי‬
‫מה הן האנרגיות העצמיות )ללא הפרעה(?‬
‫שרטט דיאגרמה של רמות האנרגיה והמחש באמצעותה אילו מצבים ההפרעה מצמדת‪.‬‬
‫חשב את המצבים העצמיים ואת האנרגיות העצמיות של הרמה המעוררת הראשונה‪.‬‬
‫חשב עד סדר שני את ההיסט של הרמה התחתונה‪.‬‬
‫)‪ (6150‬הפרעה שוברת סימטריה ‪ ,‬הסרת ניוונים ‪2005B3‬‬
‫נתון חלקיק בעל ספין ‪ 1‬המתואר על ידי ההמילטוניאן‬
‫בשלושת הסעיפים הראשונים הנח‬
‫מגדירים את אופרטורי ההיטל‬
‫‪ .1‬על איזה מצב מתבצעת "ההטלה" של )לדוגמה( האופרטור‬
‫‪ .2‬מה הם המצבים העצמיים של ההמילטוניאן )רשום אותם בבסיס הסטנדרטי(?‬
‫‪ .3‬מה הן האנרגיות העצמיות?‬
‫בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫מוסיפים שדה מגנטי‬
‫לשם פשטות הרישום בלענו בתוך ההגדרה של‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫את כל המקדמים‪.‬‬
‫רשום את איבר האינטראקציה בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫רשום ההמילטוניאן )כולל איבר האינטראקציה( בבסיס של סעיף )‪.(2‬‬
‫מה הן האנרגיות העצמיות של ההמילטוניאן?‬
‫‪.‬‬
‫צייר ציור סכמטי של האנרגיות כפונקציה של השדה‬
‫הכינו את החלקיק במצב של קיטוב לינארי בכיוון ציר ‪.Z‬‬
‫‪.‬‬
‫הדליקו את השדה מגנטי בצורה אדיאבטית כך שבסופו של דבר‬
‫בגלל בעיות במעבדה השדה המגנטי היה מוטה במקצת ביחס לכיוון האנכי‪.‬‬
‫‪ .8‬מה המצב של הספין בסוף התהליך?‬
‫)‪ (6160‬תיקונים לאטום המימן עבור פרוטון בגודל סופי‪.‬‬
‫‪ ,‬והוא טעון בצורה אחידה‪.‬‬
‫נניח כי לפרוטון יש רדיוס‬
‫מהו התיקון מסדר ראשון לרמות האנרגיה של אטום המימן?‬
‫)‪ (6170‬משוואת ואן‪-‬דר‪-‬ואלס‬
‫נתונים שני אטומי מימן‪ ,‬כשהגרעינים נקראים ו‪ -‬והאלקטרונים נקראים‬
‫להמילטוניאנים של האטומים המבודדים נוספת האינטראקציה הקולומבית‪,‬‬
‫ו‪-‬‬
‫)בהתאמה(‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ ,‬והראו‬
‫א‪ .‬הנח‪/‬י כי המרחק בין שני הגרעינים קבוע‪ ,‬ופתח‪/‬י את המילטוניאן ההפרעה עד לסדר שני במרכיבי‬
‫כי זה נותן אינטראקציה דיפולית בין שני האטומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בקירוב הנ"ל‪ ,‬השתמש‪/‬י בבסיס הרגיל של מצבי כל אחד מאטומי המימן‪ ,‬ורשום‪/‬י ביטוי כללי לתיקון לרמת היסוד עד‬
‫באמצעות‬
‫‪ ,‬וזהה‪/‬י את המקדם‬
‫לסדר השני בהפרעה הנ"ל‪ .‬הראה‪/‬י כי תיקון זה ניתן לכתיבה בצורה‬
‫אלמנטי המטריצה של אטום המימן‪.‬‬
‫במכנה של הביטוי שהתקבל‪ ,‬והראה‪/‬י כי במקרה זה התיקון לאנרגיה הוא‬
‫ג‪ .‬השתמש‪/‬י בקירוב‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬השתמש‪/‬י בקירוב זה כדי להראות כי‬
‫)‪ (6180‬תורת הפרעות עבור אטום הליום‬
‫אטום ההליום הוא כולל שני אלקטרונים בעלי ספין ‪.1/2‬‬
‫בבעיב זו עליכם להתייחס אל האינטרקציה בין האלקטרונים כאל הפרעה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫בהנחה שהגרעין של אטום ההליום נקודתי וכבד מאוד‪ ,‬מהו ההמילטוניאן המתאר את האלקטרונים באטום ההליום?‬
‫מה הם המצבים הקשורים היציבים של האטום‪ ,‬בהזנחת האינטראקציה בין שני האלקטרונים?‬
‫מהי אנרגית היינון של אטום ההליום בסדר אפס בתורת הפרעות?‬
‫מהו התיקון מסדר ראשון לאנרגית היינון של אטום ההליום?‬
‫מה הוא התיקון המוביל לאנרגיה של המצבים הקשורים המעוררים?‬
‫בסעיף )‪ (4‬האינטגרל שמתקבל דומה לאינטגרלים שמתקבלים בבעיה אלקטרוסטטית‪.‬‬
‫בסעיף )‪ (5‬רשום ביטויים סגורים‪ ,‬אך אין צורך לחשב את האינטגראלים‪.‬‬
‫שים לב שבסעיף האחרון יש להבחין בין מצבי סינגלט לבין מצבי טריפלט‪.‬‬
‫)‪ (6210‬אפקט שטרק הלינארי‬
‫אטום מימן נמצא בשדה חשמלי קבוע בכיוון ציר ‪.‬‬
‫כתוצאה מכך חלק מהניוון ברמת האנרגיה הראשונה )תת מרחב ‪ 4‬מימדי( מוסר‪.‬‬
‫מהם רמות האנרגיה והמצבים העצמיים אם מתעלמים משאר הרמות?‬
‫רשום ביטוי עבור התיקון מסדר ראשון עבור אנרגית מצב היסוד‪.‬‬
‫)‪ (6220‬תורת הפרעות סדר שני עבור אטום בשדה חשמלי )אפקט שטרק קוודראטי(‬
‫הסבר מדוע באופן "גנרי" יש לפונקצית הגל העצמיות של אלקטרון באטום זוגיות מוגדרת‪.‬‬
‫הסבר מדוע נובע מכך שבשדה חשמלי התיקון מסדר ראשון לאנרגיות הוא אפס‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון אטום שניתן לתאר אותו כמערכת שתי רמות עם הפרש אנרגיה‬
‫על סמך האמור לעיל רשום את ההמילטוניאן של האטום בשדה חשמלי‪.‬‬
‫השתמש בסימון ‪ ε‬עבור חוזק ההפרעה‪ .‬ציין מה הוא הקשר של ‪ ε‬לעוצמת השדה החשמלי‪.‬‬
‫מצא באמצעות תורת הפרעות סדר שני את האנרגיה של האטום הנ"ל‬
‫כאשר הוא מצוי במצב היסוד באיזור שבו קיים שדה חשמלי‪.‬‬
‫השווה לפתרון המתקבל מליכסון מדויק של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫ודא שאתה מבין את ההערה הבאה‪:‬‬
‫עוצמת השדה החשמלי יכולה להיות שונה במקומות שונים במרחב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לכן האטום ירגיש פוטנציאל אפקטיבי‬
‫פוטנציאל זה מביא לכדי ביטוי את הירידה באנרגיה שנגרמת כתוצאה מהפולריזציה של האטום בתוך השדה החשמלי‪.‬‬
‫הגדר וחשב את הפולריזציה באמצעות תורת הפרעות‪.‬‬
‫)‪ (6510‬מציאת רמות אנרגיה בעזרת ‪WKB‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא בקרוב ‪ WKB‬את רמות האנרגיה בבעיה חד מימדית שבה הפוטנציאל הוא‬
‫יש רצפה?‬
‫עבור איזה ערכים של‬
‫בפרט דון במקרים‬
‫)‪ (7020‬משוואת שרדינגר בהצגת האינטראקציה ‪focus question‬‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫ההמילטוניאן של מערכת הוא‬
‫‪.‬‬
‫המצבים העצמיים של ההמילטוניאן הבלתי מופרע הם‬
‫מצב המערכת בבסיס הבלתי מופרע נרשם בצורה‬
‫היא פונקציה של הזמן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את המשוואה שמקימות האמפליטודות‬
‫בין רמות אנרגיה בלתי מופרעות‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום\י את הביטוי להסתברות המעבר‬
‫‪ .3‬הסבר\י באילו נסיבות הדינמיקה היא בעלת אופי "הפרעתי"‪.‬‬
‫)‪ (7040‬משוואת שרדינגר בהצגה האדיאבטית ‪focus question‬‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫ההמילטוניאן של מערכת הוא‬
‫המצבים העצמיים "הרגעיים" של ההמילטוניאן הם‬
‫מצב המערכת בבסיס האדיאבטי נרשם בצורה ‪.‬‬
‫הוא פרמטר התלוי בזמן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את המשוואה שמקימות האמפליטודות‬
‫בין רמות אנרגיה אדיאבטיות‪.‬‬
‫‪ .2‬רשום\י את הביטוי להסתברות המעבר‬
‫‪ .3‬מצא\י מה הוא התנאי לכך שהדינמיקה היא בעלת אופי "אדיאבטי"‪.‬‬
‫)‪ (7060‬אפקט של פולס‬
‫‪.‬‬
‫חזור לשאלה )‪ .(702‬הנח שמדובר בפולס המקיים‬
‫שמצאת בבעיה )‪(704‬‬
‫הראה שבמקרה כזה התוצאה עבור‬
‫מתלכדת עם התוצאה שמצאת בבעיה )‪.(702‬‬
‫שים לב שלצורך הוכחה זו עליך להניח שהאנרגיות ואלמנטי המטריצה בהצגה האדיאבאטית הם קבועים‪.‬‬
‫הנחה זו תקפה רק עבור הפרעה חלשה‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ :‬קיים תחום )הפרעה חלשה ואיטית( שבו גם תורת הפרעות וגם הפורמליזם האדיאבטי תקפים‪,‬‬
‫ואז מתקבלת בשתי הדרכים אותה התוצאה עבור הסתברות המעבר‪.‬‬
‫)‪ (7110‬הזזה פתאומית של קיר‬
‫במצב היסוד‪.‬‬
‫חלקיק נמצא בבור פוטנציאל‬
‫לפתע מזיזים את הקיר כך שרוחב הבור הוא‬
‫‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות‬
‫למצוא את החלקיק ברמת אנרגיה‬
‫)‪ (7120‬מעברים בין רמות בגין הזזת קיר ‪2010A‬‬
‫בעלת צלע ‪.a‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה ‪ M‬בקופסא חד מימדית‬
‫מכינים את החלקיק במצב היסוד של הקופסא‪.‬‬
‫בזמן‬
‫‪.‬‬
‫ההזזה של הקיר השמאלי מתוארת על ידי הפונקציה‬
‫נתונה המהירות שבה מזיזים את הקיר‬
‫להלן הנח שההזזה הכוללת היא קטנה כך שאיבר ההפרעה בהמילטוניאן הוא‬
‫באשר הנגזרות מחושבות בנקודה שבה מצוי הקיר ‪,‬‬
‫והסימן מינוס )פלוס( מתיחס למקרה של הגדלה )הקטנה(‪.‬‬
‫בזמן‬
‫)‪ (1‬מצא את ההסתברות‬
‫למצוא את החלקיק ברמה מעוררת ‪n‬‬
‫עבור ההזזה מאוד מהירה )פתאומית(‪.‬‬
‫)‪ (2‬מצא את ההסתברות‬
‫עבור הזזה במהירות סופית‪.‬‬
‫במסגרת תורת הפרעות סדר ראשון‪,‬‬
‫)‪ (3‬ענה שוב על הסעיף הקודם אם מזיזים את שני הקירות החוצה ביחד‪,‬‬
‫כך שהמיקום שלהם מתואר על ידי‬
‫)‪ (4‬הגדר שני תנאים שונים שיכולים להבטיח את תוקף החישוב של תורת הפרעות‪:‬‬
‫גדול(‪.‬‬
‫או שמזיזים רק קצת ) קטן(‪ ,‬או שמזיזים מספיק לאט )‬
‫על מנת שהתהליך יהיה אדיאבטי‪.‬‬
‫)‪ (5‬רשום את התנאי על‬
‫ציין האם במקרה שלפננו התחום האידאבטי מוכל בתחום התקפות של תורת הפרעות‪,‬‬
‫או מתלכד עם אחד התנאים‪ ,‬או מהווה תחום שונה‪/‬נוסף בבעיה‪.‬‬
‫)‪ (7130‬הזזה איטית של קיר ‪focus question‬‬
‫במצב היסוד‪ .‬מזיזים את הקיר הימני במהירות‬
‫חלקיק נמצא בבור פוטנציאל‬
‫‪ .1‬מה הוא התנאי לכך שהאפקט של הזזת הקיר יהיה אדיאבטי?‬
‫‪ .2‬מה קורה לתנאי האדיאבטיות אם החלקיק נמצא ברמת אנרגיה "גבוהה"?‬
‫‪ .3‬הגדר באופן איכותי למה אתה מצפה במקרה של קופסא תלת מימדית‪.‬‬
‫)‪ (7320‬חלקיק בבור פוטנציאל ‪ +‬פולס דלתה ‪2007A3‬‬
‫נתון בור פוטנציאל ברוחב‬
‫מכינים חלקיק בעל מסה‬
‫בזמן‬
‫עם תנאי שפה אפס בקצוות‪.‬‬
‫(‪.‬‬
‫בתוך הבור במצב היסוד )‬
‫)א( רשום את פונקצית הגל של החלקיק‪.‬‬
‫מדליקים הפרעה‬
‫)ב( חשב את ההסתברות‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫למצוא את החלקיק בסוף התהליך )‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫ברמות האנרגיה‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫בסעיפים הבאים הנח ש‪-‬‬
‫הוא מאוד גדול‪ ,‬אבל מאידך התהליך הוא אדיאבטי ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)ג( רשום את פונקצית הגל של החלקיק בזמן‬
‫)ד( רשום את התנאי לכך שהקרוב האדיאבטי תקף‪.‬‬
‫)‪ (7340‬חלקיק בבור פוטנציאל ‪ +‬פולס מדרגה‪.‬‬
‫נתון חלקיק בקופסא חד‪-‬מימדית באורך‬
‫‪ ,‬עם תנאי שפה אפס בקצות האינטרוול‬
‫הפוטנציאל הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪.‬‬
‫החלקיק הוכן במצב היסוד )‬
‫בזמן‬
‫חשב\י באמצעות תורת הפרעות )סדר ראשון( את ההסתברות‬
‫‪.‬‬
‫בזמן‬
‫למצוא את החלקיק ברמת האנרגיה‬
‫)‪ (7360‬תנודות של חלקיק בין שני אתרים‬
‫הוא נמצא באתר השמאלי‪.‬‬
‫חלקיק יכול להמצא באחד משני אתרים‪ .‬בזמן‬
‫שהוא ישאר באתר השמאלי‪.‬‬
‫יש לחשב את ההסתברות‬
‫נתון שההפרש בין אנרגיות הקשר לאתרים הוא ‪ ,‬ואמפליטודת המעבר בין האתרים היא‬
‫השווה את הפתרון המתקבל בסדר ראשון של תורת הפרעות לפתרון המדויק‪.‬‬
‫)את הפתרון המדויק ניתן למצוא בקלות מתוך תמונת הפרסציה(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (7380‬דינמיקה במערכת שני אתרים עם הינע חיצוני‬
‫מערכת יכולה להיות ב ‪ 2‬מצבים ללא הסתברות מעבר ביניהם‪.‬‬
‫האנרגיות המתאימות למצבים אלו שונות אחת מהשניה‪.‬‬
‫מוסיפים הפרעה תלויה בזמן‪:‬‬
‫בזמן‬
‫המערכת נמצאת במצב היסוד‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י את ההסתברות להיות במצב היסוד ובמצב השני‪ ,‬בסדר ראשון בתורת הפרעות‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא\י את ההסתברות להיות במצב היסוד ובמצב השני באופן מדויק‪.‬‬
‫)‪ (7620‬הזזה מחזורית של קיר )כלל הזהב(‬
‫של בור פוטנציאל שרוחבו‬
‫מכינים חלקיק ברמת אנרגיה מאוד גבוהה‬
‫‪.‬‬
‫מזיזים את הקיר באופן מחזורי‬
‫חשב\י באמצעות כלל הזהב את קצב המעבר לרמות אחרות‪.‬‬
‫המתקבל‪.‬‬
‫שרטט\י באופן סכמטי את פילוג הסתברות‬
‫הגדר\י את התנאי על הזמן כך שהחישוב יהיה תקף‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (7640‬קצב הדעיכה של מצב לתוך "רצף" וכלל הזהב של פרמי‬
‫חלקיק קשור בתוך אתר‪ .‬אמפליטודת המעבר מהאתר לתוך כל אחד מהמצבים של הקופסא גדולה היא‬
‫‪.‬‬
‫הסתברות המעבר בין מצבים שונים של הקופסא הגדולה היא אפס‪.‬‬
‫‪ ,‬באשר מרווח האנרגיה הממוצע‬
‫מצבי האנרגיה של הקופסא הגדולה הם בעלי צפיפות אחידה‬
‫את האפקט של האינטראקציה בין האתר לבין מצבי הקופסא ניתן לתאר כדעיכה לתוך "רצף"‪.‬‬
‫הוא קטן מאוד‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא\י פתרון מדויק עבור קבוע הדעיכה‬
‫‪ .2‬הראה\י שכלל הזהב של פרמי נותן את הפתרון המדויק בבעיה זו‪.‬‬
‫)‪ (7660‬נוסחת גאמוב וכלל הזהב של פרמי ‪focus question‬‬
‫‪.‬‬
‫חלקיק במימד אחד מוגבל מצד שמאל על ידי קיר אינסופי ומצד ימין על ידי פונקצית דלתה‪ .‬יש לחשב במדויק את‬
‫יש להראות שמתקבלת נוסחת גאמוב קובעת שקצב הדעיכה שווה לתדירות שבה מנסה החלקיק לעבור את המחסום כפול‬
‫העבירות של המחסום‪.‬‬
‫בהנחה שהתוצאה קונסיסטנטית עם כלל הזהב של פרמי הסק מה היא אמפליטודת המעבר מתוך הבור אל המרחב שבחוץ‪.‬‬
‫גדול מאוד(‪.‬‬
‫)הנח שהמרחב שבחוץ הוא בעל אורך‬
‫נניח שהחלקיק מצוי בבאר כפולה סימטרית‪ ,‬ושהחציצה בין הבורות היא באמצעות אותה דלתה‪.‬‬
‫על ידי שימוש בתוצאה שהסקת במקרה הקודם קבע מה התדירות של האוסצילציות הקוהרנטיות‪.‬‬
‫)‪ (7670‬דעיכת גאמוב ‪2006A3‬‬
‫כלוא בתוך התקן חד מימדי שאורכו‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫‪ .‬מכינים את החלקיק באחת מרמות האנרגיה‬
‫)‪ (1‬שאלה מקדימה‪ :‬רשום מה הן רמות האנרגיה‬
‫‪ .‬אל ההתקן החד מימדי ניתן להתיחס כאל "בור פוטנציאל"‬
‫‪.‬‬
‫ופונקציות הגל העצמיות‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫החלקיק יכול לברוח לחוט חד מימדי ארוך מאוד‪ .‬אופן הצימוד של ההתקן לשני קצות החוט מתואר בשרטוט‪ .‬מקדמי המעבר‬
‫‪ .‬בסעיף ‪ 3‬הנח‬
‫‪ .‬בסעיף ‪ 2‬הנח‬
‫) ‪ ( transmission‬של נקודת החיבור הם‬
‫‪.‬‬
‫להלן יש להביע את התשובות באמצעות‬
‫)‪ (2‬רשום ביטוי מפורש עבור אלמנטי המטריצה‬
‫)‪ (3‬מצא את קבוע הדעיכה‬
‫בין מצבי ההתקן לבין מצבי החוט )הנח‬
‫של כל אחד מהמצבים‪.‬‬
‫)‪ (4‬שאלת בונוס‪ :‬כיצד סטודנט עצלן יכול למצוא את התשובה הנכונה בלי לבצע שום חישוב? ]זהירות![‬
‫הדרכה ‪ +‬רמזים‪:‬‬
‫לצורך הפתרון ניתן להניח שאורך החוט הוא‬
‫)סופי( אך בתשובה נתון זה אמור "להצטמצם"‪.‬‬
‫(‬
‫על מנת לפתור את השאלה ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכחה(‪:‬‬
‫כאשר מצמדים חלש שני חוטים ניתן להתיחס אל נקודת החיבור כאל "מחסום דלתא"‬
‫‪ .‬אלמנטי‬
‫המטריצה בין המצבים של חוט אחד לבין המצבים של חוט שני הם‬
‫היא הניגזרת בכיוון הרדיאלי )הקואורדינטה מכוונת מהצומת כלפי חוץ(‪.‬‬
‫את התשובה הסופית יש להביע באמצעות‬
‫העבירות של מחסום דלתא גדול מאוד היא‬
‫באשר‬
‫‪ .‬ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכחה(‪:‬‬
‫)‪ (7680‬דעיכת גאמוב ‪2006B3‬‬
‫כלוא בתוך התקן חד מימדי שאורכו‬
‫חלקיק בעל מסה‬
‫‪ .‬מכינים את החלקיק באחת מרמות האנרגיה‬
‫)‪ (1‬שאלה מקדימה‪ :‬רשום מה הן רמות האנרגיה‬
‫‪ .‬אל ההתקן החד מימדי ניתן להתיחס כאל "בור פוטנציאל"‬
‫‪.‬‬
‫ופונקציות הגל העצמיות‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫החלקיק יכול לברוח לחוט חד מימדי ארוך מאוד‪.‬‬
‫בשלבי הביניים ניתן להניח שאורך החוט הוא )סופי( אך בתשובה הסופית נתון זה אמור "להצטמצם"‪.‬‬
‫אופן הצימוד של ההתקן לשני קצות החוט מתואר בשרטוט‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מקדמי המעבר ) ‪ ( transmission‬של נקודת החיבור הם‬
‫‪.‬‬
‫בסעיף ‪ 2‬הנח‬
‫בסעיף ‪ 3‬הנח‬
‫‪.‬‬
‫להלן יש להביע את התשובות באמצעות‬
‫)‪ (2‬רשום ביטוי מפורש עבור אלמנטי המטריצה‬
‫(‬
‫)‪ (3‬רשום ביטוי מפורש עבור צפיפות מצבי האנרגיה‬
‫)‪ (4‬מצא את קבוע הדעיכה‬
‫בין מצבי ההתקן לבין מצבי החוט )הנח‬
‫בתוך החוט הארוך‪.‬‬
‫של כל אחד מהמצבים‪.‬‬
‫)‪ (5‬שאלת בונוס‪ :‬הסבר כיצד סטודנט עצלן יכול למצוא את התשובה הנכונה בלי לבצע שום חישוב?‬
‫]זהירות![‬
‫הדרכה ‪ +‬רמזים‪:‬‬
‫על מנת לפתור את השאלה ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך בהוכחה(‪ :‬כאשר מצמדים חלש שני חוטים ניתן‬
‫‪ .‬אלמנטי המטריצה בין המצבים של חוט אחד לבין‬
‫להתיחס אל נקודת החיבור כאל "מחסום דלתא"‬
‫באשר‬
‫המצבים של חוט שני הם‬
‫מכוונת מהצומת כלפי חוץ(‪ .‬את התשובה הסופית יש להביע באמצעות‬
‫בהוכחה(‪ :‬העבירות של מחסום דלתא גדול מאוד היא‬
‫היא הניגזרת בכיוון הרדיאלי )הקואורדינטה‬
‫‪ .‬ניתן להשתמש בקביעה הבאה )ללא צורך‬
‫)‪ (7820‬קרוב בורן לחתך הפעולה‪ :‬נוסחאות שימושיות ‪focus question‬‬
‫נתון פוטנציאל מפזר‬
‫בעל סימטריה כדורית‪ .‬תהי התמרת פוריה שלו‬
‫כאינטגרל חד מימדי על ‪.‬‬
‫‪ .1‬הבע את הנוסחא עבור‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות‬
‫‪ .2‬רשום\רשמי את הביטוי עבור חתך הפעולה‬
‫‪ .3‬הבע\הביעי את הביטוי עבור חתך הפעולה הכולל כאינטגרל חד מימדי על‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (7840‬ביטוי אופציונלי לחתך הפעולה הכולל‬
‫הראה\י כי החתך פעולה הכולל לפיזור הוא בקרוב‪:‬‬
‫)‪ (7850‬חישוב חתך פעולה עבור פוטנציאל גאוסי‬
‫מצא את חתך הפעולה הדיפרנציאלי ואת חתך הפעולה הכולל בקרוב בורן‬
‫‪.‬‬
‫עבור פוטנציל גאוסי‬
‫הגדר\י את התנאים לכך שקרוב בורן יהיה תקף‪.‬‬
‫)‪ (7860‬חישוב חתך פעולה עבור פוטנציאל יוקאווה )רתרפורד מקרה פרטי(‬
‫מצא את חתך הפעולה הדיפרנציאלי ואת חתך הפעולה הכולל בקרוב בורן‬
‫‪.‬‬
‫עבור פוטנציאל יוקאווה‬
‫הגדר\י את התנאים לכך שקרוב בורן יהיה תקף‪.‬‬
‫שים לב שפיזור רתרפורד הוא גבול מיוחד של יוקווה‪.‬‬
‫)‪ (7870‬חישוב חתך פעולה על מטרה קולונית "מרוחה"‬
‫‪.‬‬
‫רשום את נוסחת בורן עבור חתך הפעולה בהנתן מטרה אלקטרוסטטית עם צפיפות מטען‬
‫הבע את התוצאה באמצעות ה‪ form factor-‬אשר מוגדר בתור התמרת פוריה של צפיפות המטען‪.‬‬
‫)‪ (8110‬פרופגטור של חלקיק חופשי ‪focus question‬‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (8130‬פרופגטור של אוסצילטור הרמוני‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (8150‬פרופוגטור של חלקיק חופשי ‪ +‬קיר מחזיר‬
‫מצא את הפרופוגטור של חלקיק בבעיה חד מימדית עם קיר מחזיר‪.‬‬
‫)‪ (8160‬פרופוגטור של חלקיק חופשי בנוכחות קיר רך ‪2008H1‬‬
‫בנוכחות‬
‫במשך זמן‬
‫עבור תנועה של חלקיק בעל מסה‬
‫חשב את הפרופוגטור‬
‫‪.‬‬
‫הפוטנציאל‬
‫העזר בנוסחת ון‪-‬ולק ורשום בצורה ברורה מה ה‪ action-‬ומהו מורס אינדקס עבור כל איבר‪.‬‬
‫‪ ,‬וארגן את תשובתך על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫לשם פשטות התיחס למקרה‬
‫‪ .1‬הפרופוגטור עבור זמן קצר‬
‫‪ .2‬הגדר את המושג זמן קצר‬
‫‪ .3‬הפרופגטור עבור זמן ארוך‬
‫)‪ (8210‬מציאת ‪ LDOS‬מתוך פונקציות גרין ‪focus question‬‬
‫הבע את פונקצית צפיפות המצבים הלוקאלית בנקודה‬
‫אמצעות פונקצית גרין‪.‬‬
‫)‪ (8230‬מציאת פונקצית גל של מצב עצמי מתוך הרזולבנט‬
‫הבע את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כאינטגרלים של הרזולבנט במישור הקומפלקסי‬
‫)‪ (8310‬פונקצית גרין של חלקיק חופשי‬
‫ראה תקצירי הרצאה‬
‫)‪ (8330‬יישומים של משפט גרין‬
‫בתחום )‬
‫‪ .‬מדליקים פוטנציאל חלש‬
‫ופונקציות עצמיות‬
‫לחלקיק בקופסא יש אנרגיות עצמיות‬
‫‪ (domain‬מסוים של הקופסא‪ .‬בשאר הקופסא הפוטנציאל הוא אפס‪ .‬על מנת לחשב את האנרגיות המופרעות אנו זקוקים‬
‫‪ .‬הראה שניתן לחשב את את אלמנטי המטריצה באמצעות אינטגרל על הגבול )‪ (boundary‬של‬
‫לאלמנטי המטריצה‬
‫התחום‪.‬‬
‫)‪ (8360‬רזולבנט של חלקיק בטבעת ‪2009H‬‬
‫בשאלה זו עליך למצוא ביטוי סגור עבור הסכום‬
‫לשם כך הנח שיש חלקיק חופשי כל גבי טבעת שרדיוסה‬
‫על מנת שהקטבים של הרזולבנט יהיו באנרגיות‬
‫‪ .1‬מה צריך להיות ההמילטוניאן‬
‫על ידי פתרון משוואה דיפרנציאלית‪.‬‬
‫באנרגיה ממשית‬
‫‪ .2‬מצא את הרזולבנט‬
‫‪ .3‬השתמש בתוצאה של הסעיף הקודם על מנת למצוא ביטוי סגור עבור‬
‫)‪ (8370‬הרזולבנט עבור חלקיק בקופסא‬
‫)‪ (1‬מצא את הרזולבנט עבור חלקיק בתוך בור פוטנציאל חד מימדי בעל עומק אינסופי‪.‬‬
‫)‪ (2‬מתוך כך מצא את האנרגיות העצמיות ואת פונקציות הגל העצמיות‪.‬‬
‫)‪ (3‬הראה שבגבול של קופסא אינסופית הרזולבנט מקיים בחצי המישור העליון תנאי שפה של גלים יוצאים‪.‬‬
‫)‪ (8390‬קטבים קומפלקסיים של הרזולבנט ונוסחת גאמוב ‪focus question‬‬
‫‪ .‬הבור מוגבל מצד שמאל על ידי קיר אינסופי ומצד‬
‫חלקיק במימד אחד נמצא בבור פוטנציאל שעומקו‬
‫‪ .‬חשב את מיקום הקטבים של הרזולבנט ובדוק באילו תנאים מתקבלת‬
‫ימין על ידי פונקצית דלתה‬
‫‪ .‬הגדר תנאים המאפשרים להשתמש בקירובים סבירים‪ .‬תזכורת‪ :‬נוסחת גאמוב קובעת שקצב‬
‫נוסחת גאמוב עבור‬
‫הדעיכה שווה לתדירות שבה מנסה החלקיק לעבור את המחסום כפול העבירות של המחסום‪.‬‬
‫)‪ (8510‬דעיכה של מצב דיסקרטי לתוך "רצף"‬
‫ראה תקצירי הרצאות‬
‫)‪ (8520‬דעיכה לרצף ממערכת שתי רמות ‪2005H1‬‬
‫במערכת המתוארת בשרטוט‪.‬‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫‪.‬‬
‫ואורך הקטע הארוך הוא‬
‫אורך כל קשת הוא‬
‫להלן הנח שמכינים את החלקיק עם אנרגיה‬
‫באיזור הקשתות‪.‬‬
‫כאשר החלקיק בורח "החוצה" המהירות שלו היא‬
‫אמפליטודת הקפיצה ליחידת זמן בין שתי הקשתות היא‬
‫אמפליטודת הקפיצה ליחידת זמן מכל אחת מהקשתות אל הקטע הארוך היא‬
‫באשר‬
‫‪ .1‬רשום את ההמילטוניאן של המערכת בבסיס‬
‫את הרזולבנט של איזור הקשתות )מטריצה‬
‫( נרשום בצורה‪:‬‬
‫‪ .2‬רשום את ההמילטוניאן האפקטיבי בביטוי עבור הרזולבנט‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את "המצבים העצמיים" של ההמילטוניאן האפקטיבי‪.‬‬
‫‪ .4‬מה קבוע הדעיכה של כל אחד מהמצבים שמצאת?‬
‫מותר בסעיף )‪ (2‬להתעלם מההיסט הממשי של רמות האנרגיה‪.‬‬
‫)‪ (8530‬דעיכה מתוך טבעת ‪2006H1‬‬
‫יוצרים על מצע זהב שכבת תחמוצת ומעליה מנדפים שכבת זהב "דו מימדית"‪ .‬מצבי האנרגיה הבלתי מופרעים של אלקטרון‬
‫‪ .‬מצבי המקום של החלקיק בתוך השכבה הדו מימדית הם‬
‫‪ .‬הצפיפות שלהם במרחב האנרגיה היא‬
‫בתוך המצע הם‬
‫‪ .‬אלקטרון בשכבה הדו מימדית יכול לברוח אל המצע‪ .‬אלמנט המטריצה הוא‬
‫)‪ (1‬רשום בהצגה מרחבית את החלק הדימיוני של ההמילטוניאן האפקטיבי של החלקיק בשכבה הדו מימדית‪.‬‬
‫חורצים על פני השכבה הדו מימדית טבעת "חד מימדית" שאורכה‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשום את החלק הדימיוני של ההמילטוניאן שמצאת בהצגת התנע של הטבעת‪.‬‬
‫לצורך המעבר להצגת התנע הנח שהטבעת מורכבת ממספר גדול מאוד‬
‫של אתרים‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשום את האנרגיות ואת קבועי הדעיכה של "המצבים העצמיים" של החלקיק בטבעת‪.‬‬
‫ומסת האלקטרון‬
‫בטא את התשובות באמצעות הנתונים‬
‫)‪ (8540‬דעיכה מתוך שלושה אתרים ‪2007H1‬‬
‫חלקיק ספוח )אנרגית קשר‬
‫( יכול לדעוך לתוך פס של מצבים‬
‫צפיפות המצבים בפס היא אחידה ושווה ל‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אמפליטודת המעבר ליחידת זמן אל כל אחד ממצבי הפס היא‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1‬חשב את התיקון לאנרגית הקשר בגין הצימוד לפס‪.‬‬
‫)‪ (2‬חשב את קבוע הדעיכה‪.‬‬
‫הנח שיש שלושה אתרי ספיחה שכולם מצומדים לאותו פס של מצבים‪.‬‬
‫אמפליטודת הקפיצה של החלקיק מאתר לאתר היא‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (3‬רשום את ההמילטוניאן הקומפלקסי האפקטיבי של המערכת כמטריצה ‪3x3‬‬
‫הנח שבזמן‬
‫שמים חלקיק באחד מן האתרים‪.‬‬
‫)‪ (4‬חשב את ההסתברות‬
‫למצוא את החלקיק באותו מקום לאחר פרק זמן‬
‫)‪ (5‬מה התשובה שמתקבלת בסעיף האחרון עבור‬
‫)‪ (8610‬אינטראקציה אפקטיבית‬
‫הנח שניתו לסווג את מצבי האנרגיה של חלקיק לשתי קבוצות‪ :‬פס של מצבים נמוכים )מרחב ( עם אנרגיות‬
‫‪ .‬נניח‬
‫‪ .‬ההמילטוניאן של החלקיק הוא מהצורה‬
‫( עם אנרגיות‬
‫ופס של מצבים מעוררים )מרחב‬
‫שאנו מעונינים בדינמיקה באנרגיות נמוכות כך שאין סיכוי למצוא את החלקיק במצב מעורר‪ .‬הקרוב הגס ביותר הוא לחתוך‬
‫מתוך ההמילטוניאן‪ .‬קרוב טוב יותר הוא להשתמש בתורת הפרעות סדר שני על מנת לרשום‬
‫את מרחב המצבים‬
‫‪ .‬רשום את הביטוי המפורש‪.‬‬
‫פוטנציאל אינטראקציה אפקטיבי בתוך המרחב‬
‫ישום אלמנטרי של הנוסחא שקיבלת הוא לרישום הפוטציאל האפקטיבי שחלקיק "רואה" בגין פולריזציה )ראה בעיה ‪263‬‬
‫על אפקט שטרק(‪ .‬דוגמה מענינת יותר‪ :‬האינטראקציה האפקטיבית בין אלקטרונים במתכת בגין חילוף פוטונים וירטואליים‬
‫בתאורית ‪.BCS‬‬
‫)‪ (8710‬הכללת כלל הזהב של פרמי‬
‫באמצעות‬
‫רשום את הביטוי הפורמאלי להסתברות המעבר‬
‫כלל הזהב של פרמי ובאיזה תנאים וכיצד ניתן להכליל את כלל זה לסדרים גבוהים יותר‪.‬‬
‫‪ .‬הסבר כיצד מתקבל‬
‫)‪ (9010‬יישום קרוב בורן לבעית פיזור על סריג קובי‬
‫חשב בקרוב בורן סדר ראשון את אמפליטודת הפיזור ואת חתך הפעולה עבור חלקיק המפוזר על סריג קובי‪.‬‬
‫)‪ (9020‬פיזור על יד ‪inverse cosh‬‬
‫פיזור על יד ‪inverse cosh‬‬
‫)‪ (9030‬פיזור על דלתה בתורת הפרעות ‪2007H2‬‬
‫בשאלה זו עליך לחשב במדויק את חתך הפעולה בפיזור של חלקיק על פונקצית דלתה במימד אחד‪.‬‬
‫הנח חלקיק בעל מסה‬
‫‪.‬‬
‫שנע בתוך פס הולכה עם אנרגיה‬
‫צפיפות המצבים ליחידת אורך בפס ההולכה היא אחידה ושווה ל‪-‬‬
‫הפוטנציאל המפזר הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשום את הביטוי עבור אמפליטודת ההחזרה במסגרת ‪) T-matrix‬סדר ראשון(‪.‬‬
‫)‪ (2‬רשום את הביטוי עבור האיבר מסדר שני בפיתוח‪.‬‬
‫)‪ (3‬קבל את התוצאה המדויקת על ידי סיכום טור אינסופי )הנח התכנסות(‪.‬‬
‫)‪ (9040‬יישום קרוב בורן סדר שני )הקדמה לקונדו(‬
‫המאופינים להלן‪ .‬החלקיק נע במהירות‬
‫חלקיק נע בפס אנרגיה ומתפזר על פוטנציאל‬
‫‪.‬‬
‫בורן סדר שני על מנת למצוא את התלות של חתך הפעולה באנרגית החלקיק‬
‫מצבי התנע של החלקיק יוצרים פס אנרגיה‬
‫המטריצה של הפוטנציאל המפזר הם‬
‫‪ .‬יש להשתמש בקרוב‬
‫‪ .‬אלמנטי‬
‫‪ .‬צפיפות המצבים בתוך הפס היא‬
‫‪ ,‬אחרת הם שווים אפס‪.‬‬
‫עבור‬
‫הדרכה‪ :‬בשלב ראשון רשום את נוסחת בורן סדר ראשון עבור חתך הפעולה הכולל‪ .‬הגישה הפשוטה ביותר היא באמצעות‬
‫כלל הזהב של פרמי )ראה תקצירי הרצאה(‪ .‬עליך להמנע מהנחה מפורשת לגבי המימד הגאומטרי או לגבי יחס הדיספרסיה‪.‬‬
‫ולבצע את החישוב עד סדר שני‪.‬‬
‫במטריצת הפיזור‬
‫בשלב שני יש להחליף את‬
‫)‪ (9050‬פיזור על דלתה בתורת הפרעות ‪2006H2‬‬
‫בשאלה זו עליך לחשב במדויק את חתך הפעולה בפיזור של חלקיק על ‪ . regolarized delta function‬על פי הגדרה‬
‫‪ .‬אחרת אלמנט המטריצה שווה‬
‫הוא‬
‫בין כל שני מצבי תנע המקימים‬
‫אלמנט המטריצה של‬
‫לאפס‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשום את הביטוי עבור חתך הפעולה במסגרת קרוב בורן )סדר ראשון(‬
‫)‪ (2‬רשום את הביטוי עבור האיבר מסדר שני בפיתוח של‬
‫)‪ (3‬קבל עבור‬
‫את התוצאה המדויקת על ידי סיכום כל הסדרים‬
‫בשאלה זו אין "עבודה שחורה" ואתם מתבקשים להעזר בסימון הבא‪:‬‬
‫)‪ (9080‬פיזור רזונטיבי דרך שתי פונקציות דלתא ‪2008H2‬‬
‫‪.‬‬
‫הנח ש ‪ QuantumDot‬כוללת מצב קשור יחיד בעל אנרגיה‬
‫עם צפיפות‬
‫( כולל רצף מצבים‬
‫מחברים אליה שני ‪ leads‬שכל אחד מהם )‬
‫‪.‬‬
‫הצימודים בין המצב של ה‪ dot-‬למצבי ה‪ lead-‬הם‬
‫בשאלה זו עליך למצוא את הסתברות המעבר של החלקיק דרך המערכת )‪(transmission‬‬
‫ארגן את תשובתך על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫של הרמה‬
‫מה הוא קבוע הדעיכה‬
‫של ה‪dot-‬‬
‫מה הרזולבנט‬
‫באמצעות הרזולבנט‪ ,‬הצימודים‪ ,‬ומהירות פרמי‪.‬‬
‫בטא את מטריצת הפיזור‬
‫רשום ביטוי מפורש עבור הסתברות המעבר‬
‫מה הסתברות המעבר המכסימלית )ז"א בפיזור רזונטיבי(‬
‫האם יכול להיות שהסתברות המעבר תהיה ‪100%‬‬
‫)‪ (9090‬רזוננס בפיזור בגין צימוד של דוט למוליך חד מימדי ‪2010H‬‬
‫בבעיה פיזור סמי חד מימדית‬
‫בבעיה זו נדרש למצוא את היסט הפאזה‬
‫חלקיק בעל מסה ‪ M‬נשלח מהאינסוף עם אנרגיה נתונה ‪ E‬וחוזר עם היסט פזה‬
‫‪ .‬ההמילטוניאן הוא‬
‫שנובע מנוכחות של דוט קוונטי )אתר( בסמיכות לנקודה‬
‫ההצגה הסטנדרטית של פונקצית הגל בבסיס המקום היא‬
‫עם קונבנצית נירמול‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (1‬רשום בהצגה הסטנדרטית את‬
‫)‪ (2‬רשום בהצגה הסטנדרטית את‬
‫רשום את מערכת המשוואות‬
‫רשום משוואה סגורה עבור‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬על ידי חילוץ‬
‫עם פוטנציאל אפקטיבי‬
‫)‪ (3‬רשום את הביטוי עבור הפוטנציאל האפקטיבי‪.‬‬
‫)‪ (4‬מצא ביטוי סגור עבור היסט הפאזה‬
‫)‪ (5‬רשום את הביטוי עבור קבוע הדעיכה‬
‫‪.‬‬
‫מתוך הדוט‪ ,‬תוך שימוש בכלל הזהב של פרמי‪.‬‬
‫)‪ (6‬ע"ס הסעיף הקודם רשום את ביטוי עבור היסט הפאזה‬
‫בקרוב של רזוננס וויגנר‪.‬‬
‫)‪ (7‬מה הפרמטר הקטן שבו יש לפתח על מנת להראות קונסיסטנטיות של קרוב וויגנר‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (9130‬דריבציה של קרוב בורן עבור היסט הפאזה‬
‫‪ .‬בבעיה זו עליך לקבל את נוסחת בורן עבור היסטי הפאזה מתוך קרוב בורן‬
‫קימות מספר דריבציות של קרוב בורן עבור‬
‫‪ .‬הדרכה‪ :‬נסה למצוא את מקדמי הפיתוח הטורי של אמפליטודת הפיזור בפולינומים של לזנדר‪.‬‬
‫לאמפליטודת הפיזור‬
‫)‪ (9150‬יישום קרוב בורן לבעית פיזור על קליפה כדורית‬
‫חשב את אמפליטודת הפיזור ואת היסטי הפאזה בקרוב בורן עבור חלקיק המפוזר על קליפה כדורית‪.‬‬
‫)‪ (9170‬רזוננסים בפיזור כתוצאה מקטבים של הרזולבנט‬
‫בבעית פיזור על מטרה כדורית הנח שלרזולבנט יש קוטב בחצי המישור התחתון‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא את התרומה של הקוטב לחתך הפעולה החלקי‬
‫הסבר את המשמעות‪ ,‬את הניסוח המתמטי‪ ,‬והסבר את התנאי לכך שיתקיים המשפט האופטי‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬שים לב שפרוצדורת הפתרון היא הכללה של דריבצית נוסחת בורן‪.‬‬
‫)‪ (9520‬הפורמאלים של פוק עבור אתר יחיד עם אלקטרונים‬
‫השתמש בפרוצדורה שנלמדה בהרצאה על מנת לרשום בקוונטיזציה שניה )באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה(‬
‫‪.‬‬
‫עבור מערכת עם אתר יחיד‪ .‬מצא גם ביטוי עבור‬
‫את‬
‫‪.‬‬
‫ודא שהביטויים שמצאת מקיימים את יחס החילוף‬
‫הכלל את הביטויים למקרה שיש יותר מאתר אחד‪.‬‬
‫)‪ (9550‬ההמילטוניאן בכתיב של קוונטיזציה שנייה ‪focus question‬‬
‫השתמש בפרוצדורה שנלמדה בהרצאה על מנת לרשום בקוונטיזציה שניה‪ ,‬באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה במרחב‬
‫עם אינטרקציה דו‪-‬גופית‬
‫התנע‪ ,‬ביטוי כללי להמילטוניאן של מערכת חלקיקים חסרי ספין בשדה‬
‫)‪ (9610‬מודל בוז‪-‬הבדר עם שני אתרים‪ ,‬אבולוציה של אופרטורי שדה‬
‫רשום בקוונטיזציה שניה )באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה( את ההמילטוניאן הכללי ביותר של חלקיקים חסרי ספין‬
‫במערכת של שני אתרים‪ .‬נא לקחת בחשבון את היכולת של החלקיקים לעבור בין שני האתרים וגם את האינטרקציה הדו‪-‬‬
‫גופית ביניהם‪ .‬כמה פרמטרים נדרשים לצורך רישום ההמילטוניאן הכללי אם נתון שהמערכת היא סימטרית לשיקוף? רשום‬
‫את משוואת התנועה עבור אופרטורי השדה‪ .‬הסבר מה הוא הפתרון של המשוואות אם אין אינטראקציה בין שני החלקיקים‪.‬‬
‫)‪ (9630‬מודל בוז‪-‬הברד עם שני אתרים‪ ,‬רדוקציה לבעית ספין‬
‫התיחס למערכת סימטרית עם שני אתרים של השאלה הקודמת‪ .‬הנח שאמפליטודת התנודות של חלקיק יחיד במערכת היא‬
‫חלקיקים נמצאים באותו אתר אז אנרגית האינטראקציה היא‬
‫‪ .‬בנוסף הנח שאם‬
‫‪) .‬הסבר כיצד יש לתקן את‬
‫של‬
‫הביטוי הריבועי כך שיהיה תקף גם עבור מעט חלקיקים(‪ .‬רשום את ההמילטוניאן‪ .‬בהנחה שיש מספר כולל‬
‫נתון מה המימד של מרחב‬
‫חלקיקים הראה שאנרגית האינטראציה תלויה בפרש האיכלוס של שני האתרים‪ .‬עבור‬
‫הילברט?‬
‫שמעביר חלקיק מאתר אחד לאתר שני‪ .‬באמצעותו הגדר סט של אופרטורים‬
‫הגדר את אופרטור סולם‬
‫והראה שהם מקימים את יחסי הקומוטציה הצפויים‪ .‬רשום את ההמילטוניאן באמצעות אופרטורים אלה‪ .‬רשום גם את‬
‫משוואות התנועה של האופרטורים שהגדרת‪ .‬הסבר את ההבדל באופיה של הדינמיקה בגבולות של אינטרקציה חלשה ‪/‬‬
‫חזקה‪.‬‬
‫)‪ (9710‬מערכת שני חלקיקים בשני אתרים עם אינטראקציה‬
‫הנח מערכת שני חלקיקים חסרי ספין בשני אתרים במסגרת התאור של קוונטיזציה ראשונה‪.‬‬
‫החלקיקים הם זהים בתכונותיהם אך מובחנים אחד מהשני‪ ,‬כך שמרחב הילברט הוא ממימד ‪.4‬‬
‫שים לב שפורמאלית הבעיה זהה למערכת של שני ספינים או שני ‪.qbits‬‬
‫נתונים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫הפרש האנרגיה הפוטנציאלית בין שני האתרים‬
‫אמפליטודת הקפיצה ליחידת זמן‬
‫האינטראקציה בין החלקיקים אם הם באותו אתר‬
‫לצורך הניתוח הנח‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן של המערכת בבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן האפקטיבי עבור שני המצבים הכמעט מנוונים על ידי שימוש ב‪PQ‬‬
‫מה הם המצבים העצמיים במסגרת קרוב זה?‬
‫מה הפיצול בין המצבים במסגרת קרוב זה?‬
‫עכשיו נאמץ אסטרטגיה שונה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.‬‬
‫בהעדר אינטראקציה הגדר בסיס של אורביטלים חד חלקיקיים‬
‫חשב בבסיס זה את אלמנטי המטריצה ‪ K,J‬של האינטראקציה‪.‬‬
‫הסבר את המשפט הבא‪ :‬באינטראקצית מגע ‪ K,J‬הם שווים‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן‪.‬‬
‫חשב את הפיצול של המצבים הכמעט מנוונים תוך שימוש בסדר שני של תורת הפרעות‪.‬‬
‫שים לב שבחלק הראשון הפיצול הוא לינארי באינטראקציה‪ ,‬ובחלק השני הוא ריבועי באמפליטודת הקפיצה‪.‬‬
‫הסבר מה התנאים לתקפות הביטויים ומתי הם מתלכדים‪.‬‬
‫)‪ (9720‬מודל הברד עם שני אתרים‬
‫הנח מערכת אלקטרונית הכוללת שני אתרים‪ .‬מרחב פוק הוא ממימד ‪.6‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן תוך שימוש בסימונים של בעיה ‪.9710‬‬
‫הסבר מדוע החלק הלא טריוויאלי של ההמילטוניאן הוא בלוק ממימד ‪. 4‬‬
‫הסבר מדוע בלוק ההמילטוניאן ממימד ‪ 4‬זהה לזה של בעיה ‪.9710‬‬
‫זהה את מצבי הטריפלט ומצבי הסינגלט של המערכת )סה"כ ‪ 6‬מצבים(‪.‬‬
‫רשום את המצבים בשפה של קוונטיזציה ראשונה‪.‬‬
‫רשום את המצבים בשפה של קוונטיזציה שניה‪.‬‬
‫שים לב‪ :‬בבעיה זו אין עבודה אלגברית בהנחה שכבר פתרת את בעיה ‪9710‬‬
‫)‪ (9730‬מודל אנדרסון‪ :‬אתר זיהום ופס הולכה‬
‫( או רמת זיהום מתחת לאנרגית פרמי )‬
‫במודל אנדרסון אלקטרון יכול לאכלס רמות מעל אנרגית פרמי )‬
‫‪ .‬גם להשארת את רמת‬
‫(‪ .‬אם שני אלקטרונים מאכלסים את רמת הזיהום יש לכך מחיר אנרגטי גבוה‬
‫‪ .‬הסבר מדוע מודל אנדרסון מתלכד פורמאלית עם מודל הברד‬
‫הזיהום ריקה יש מחיר אנרגטי גבוה‬
‫אם פס ההולכה כולל רמה אחת בלבד‪ .‬להלן הנח שיש מעל אנרגית פרמי מספר כלשהוא )"פס"( של רמות אנרגיה )לא רק‬
‫רמה אחת(‪ .‬מצא באמצעות הפורמאליזם ‪ PQ‬את פוטנציאל הפיזור האפקטיבי )סדר שני( של אלקטרון בתוך "הפס"‪ .‬מתוך‬
‫בהמילטוניאן האפקטיבי של קונדו‪:‬‬
‫כך קבע את ערכו של‬
‫רשום את ההמילטוניאן של קונדו בצורה מפורשת באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה ‪.‬‬
‫)‪ (9740‬בעית הפיזור של קונדו‬
‫‪ .‬נניח יחס הדיספרסיה לינארי ולא ריבועי‪,‬‬
‫נתיחס לבעיה של פיזור חד חלקיקי עם המילטוניאן‬
‫‪ .‬בטיפול החד‪-‬חלקיקי חתך הפעולה מתבדר כאשר אנרגית הפיזור קרובה לרצפה‪ .‬לעומת זאת אם קימות‬
‫עם רצפה‬
‫אז בטיפול הרב‪-‬חלקיקי ההתבדרות מתקזזת‪.‬‬
‫רמות מלאות מתחת לאנרגיה‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫הוכח את טענה זו באמצעות חישוב בפורמאליזם רב‪-‬חלקיקי‪.‬‬
‫הסבר מדוע עם ההמילטוניאן של קונדו ההתבדרות מופיעה שוב )אין התקזזות(‪ .‬אפקט זה נקרא "קונדו רזוננס"‪.‬‬
‫כנ"ל עבור בעית פיזור אינאלסטי של חלקיק חסר ספין על ‪two level atom‬‬
‫בסעיף האחרון נתונה אנרגית העירור‬
‫של האטום‪.‬‬
‫)‪ (9750‬איכלוס שני אורביטלים באלקטרונים‪exchange ,‬‬
‫נתונות פונקציות הגל של שני אורביטלים מרחביים‪.‬‬
‫הגדר את ‪ K,J‬עבור אינטראקציה קולונית‪.‬‬
‫הנח ששמים אלקטרון אחד בכל אורביטל‪ ,‬כך שמרחב המצבים הוא ממימד ‪.4‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫רשום את ההמילטוניאן של המערכת‪.‬‬
‫רשום את המצבים העצמיים והאנרגיות העצמיות‪.‬‬
‫רשום את מצב הסינגלט בשפה של קוונטיזציה ראשונה‪.‬‬
‫רשום את מצב הסינגלט בשפה של קוונטיזציה שנייה‪.‬‬
‫הסבר מדוע ההמילטוניאן האפקטיבי ניתן לרישום בצורה‬
‫)‪ (9760‬איכלוס שני אורביטלים באלקטרונים‪ ,‬כללי הונד‬
‫הסבר את שלושת כללי הונד‪.‬‬
‫קבע את מצב היסוד בכל אחד מהמקרים הבאים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫שני אלקטרונים ברמה ‪p‬‬
‫שני אלקטרונים ברמה ‪d‬‬
‫)‪ (9810‬ההמילטוניאן של אטום בשדה אלקטרומגנטי‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫רשום את ההמילטוניאן החלקי של אלקטרונים )מרחב פוק( בשדה אלקטרומגנטי קלאסי‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן המלא של אלקטרונים )מרחב פוק( בשדה אלקטרומגנטי קוונטי‪.‬‬
‫רשום את ההמילטוניאן של אלקטרון יחיד )קוונטיזציה ראשונה( בשדה אלקטרומגנטי קוונטי‪.‬‬
‫עבור איבר האינטראקציה‪.‬‬
‫הסבר כיצד מתקבל הקרוב הדיפולי‬
‫באמצעות אלו של‬
‫על מנת להביע את אלמטי המטריצה של‬
‫השתמש בקשר‬
‫עבור האלקטרונים השתמש באופרטורי היצירה‬
‫עבור הפוטונים השתמש באופרטורי היצירה‬
‫ולחילופין‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שים לב‪:‬‬
‫)‪ (9820‬פליטה אלקטרומגנטית של אטום בעל שתי רמות‬
‫בשאלה זו נגדיר אטום מלאכותי שמורכב משני אתרים עם אלקטרון יחיד חסר ספין‪.‬‬
‫‪ ,‬ולמערכת יש סימטריה לשיקוף‪.‬‬
‫שני האתרים ממוקמים לאורך ציר ‪ Z‬בנקודות‬
‫אמפליטודת הקפיצה בין שני האתרים היא‬
‫‪.‬‬
‫רשום את אלמנטי המטריצה של האופרטור‬
‫אלה נקראים "אלמנטי מטריצה דיפוליים"‪.‬‬
‫הבע את אלמנטי המטריצה של המהירות‬
‫באמצעות התוצאה שמצאת עבור אלמנטי המטריצה הדיפוליים‪.‬‬
‫מצא את אלמנט המטריצה ליצירת פוטון‬
‫ומתוך כך חשב את‬
‫‪,‬‬
‫מכינים את האטום במצב מעורר‪.‬‬
‫השתמש בכלל הזהב של פרמי על מנת לקבל את קצב הקרינה‪.‬‬
‫שים לב שהתשובה תלויה בזוית עם ציר ‪.Z‬‬
‫על ידי אינטגרציה מצא את קצב הקרינה הכולל‬
‫)‪ (9830‬פליטה אלקטרומגנטית של אטומים ‪superradiance‬‬
‫אטומים באותו מקום בשדה‪.‬‬
‫בהמשך לשאלה ‪ 9820‬הנח שיש‬
‫פורמאלית כל ‪ two leve atom‬הוא כמו ספין ‪.1/2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫הוא קבוע תנועה של המילטוניאן‪.‬‬
‫הסבר מדוע‬
‫כמה מולטיפלטים יש עם‬
‫כמה מולטיפלטים יש עם‬
‫כמה מולטיפלטים יש עם‬
‫כל האטומים מצויים במצב מעורר‪.‬‬
‫הנח שבזמן‬
‫הראה שהקצב התחילי של הקרון הוא‬
‫הראה שלאחר פרק זמן מסוים מתקבל קצב מכסימאלי‬