('ב דעומ) תיטילנא הקינכמ ןוסדוד ןרהא 'פורפ

‫מכניקה אנליטית )מועד ב'(‬
‫• ענה על שלוש מתוך ארבע השאלות‪.‬‬
‫• אין להשתמש בחומר עזר; דף נוסחאות מצורף‪.‬‬
‫תאריך‪29.3.2009 :‬‬
‫מרצה‪ :‬פרופ' אהרן דודסון‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שני חלקיקים בעלי מסות ‪ m1,2‬בהתאמה‪ ,‬מחוברים בקפיץ אידיאלי בעל קבוע ‪ ,k‬שארכו הרפוי מתאפס‪.‬‬
‫החלקיק הראשון מאולץ לנוע במישור ‪ ,XZ‬ואילו החלקיק השני מאולץ לנוע במישור ‪.YZ‬‬
‫• מהו הכוח המאלץ את החלקיק הראשון להישאר במישור ‪?XZ‬‬
‫• חשב את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה המתאימים‪.‬‬
‫בשלב השני מסובבים את המערכת במהירות זויתית קבועה ‪ Ω‬סביב ציר ‪.Z‬‬
‫• מהו הכוח המאלץ עתה את החלקיק הראשון להישאר במישור ‪?XZ‬‬
‫• כיצד משתנות התדירויות העצמיות כפונקציה של ‪?Ω‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫)‬
‫חלקיק נקודתי שמסתו ‪ m‬מתפזר בהשפעתו של הפוטנציאל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪|z‬‬
‫‪x +y‬‬
‫(‬
‫‪ .V (x, y, z) = k‬בהיותו‬
‫בנקודה )‪ ⃗x0 = (0, h, H‬היתה מהירותו ̂‪.v0 x‬‬
‫• מצא את קבועי התנועה של הבעיה‪ ,‬ואת ערכם‪.‬‬
‫• עבור ‪ ,k > 0‬חשב את מהירותו הסופית של החלקיק‪.‬‬
‫• חשב את זוית הפיזור‪.‬‬
‫• מה ישתנה עבור ‪ ,k < 0‬וכיצד תלויים השינויים בערכיהם של ‪?v0 , k‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫מערכת מתוארת ע''י ההמילטוניאן )‪ .H(q, p, t‬הקואורדינטה ‪ p‬עוברת טרנספורמציה )‪.p → P = ψ(p, t‬‬
‫• מצא את הטרנספורמציה הכללית ביותר )‪ ,q → Q(q, p, t‬כך ש‪ (q, p) → (Q, P ) -‬תהיה קנונית‪.‬‬
‫• בחר את הפונקציה היוצרת המתאימה )נמק את בחירתך(‪ ,‬וחשב אותה‪.‬‬
‫• נתון כי ההמילטוניאן החדש ‪ .H′ = 0‬הוכח כי עבור )‪ ψ(p + ωt‬יכול ההמילטוניאן המקורי להכתב‬
‫בצורה ‪.H = ωq‬‬
‫• כיצד תראה הפונקציה )‪ Q(q, p, t‬במקרה זה?‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫חישוק גדול )רדיוס ‪ ,R‬מסה ‪ (M‬יכול לנוע ללא החלקה על דיסקה קטנה קבועה )רדיוס ‪ ,r‬מסה ‪ ,(m‬כמתואר‬
‫בתרשים‪ .‬תאוצת הכובד ‪ g‬נתונה‪.‬‬
‫• בטא את מיקומו של מרכז המסה של החישוק‪ ,‬ואת זוית הסיבוב שלו‪ ,‬כפונקציה של הזוית ‪ .α‬בנה את‬
‫הלגרנג'יאן )̇‪.L(α, α‬‬
‫• עתה מאפשרים גם לדיסקה להסתובב סביב צירה‪ .‬בטא את מיקומו של מרכז המסה של החישוק‪,‬‬
‫ואת זוית הסיבוב שלו‪ ,‬כפונקציה של הזויות ‪ ,α, β‬כאשר ‪ β‬היא זוית הסיבוב של הדיסקה‪ .‬בנה את‬
‫הלגרנג'יאן )̇‪.L(α, α̇, β, β‬‬
‫• מהו קצב שינוי האנרגיה במקרה בו מסובבים את הדיסקה במהירות זויתית קבועה ‪?ω‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪1‬‬
2