Funzioni elementari

Funzioni elementari
Proporzionalità diretta e inversa
Retta, funzione identità e funzione costante
Parabola, funzione quadratica e cubica
Funzione omografica
Funzione esponenziale e logaritmica
Funzioni goniometriche :
seno, coseno, tangente
Tutorial di Barberis Paola - agg 2013 grafici con GEOGebra - software open source
FUNZIONI MATEMATICHE y=f(x)
La funzione è una legge tale che per ogni valore di x
corrisponde uno ed un sol valore di y .
SE tale legame è di tipo matematico si ha una funzione matematica.
Possono presentarsi in : F(x,y)=0 FORMA IMPLICITA o y=f(x) FORMA ESPLICITA
Esempio: 2x-y+6=0 forma implicita: per esplicitare ricavo la y
y= 2x+6
Si chiama GRAFICO la rappresentazione nel piano cartesiano delle
coppie (x,y) che soddisfano la funzione.
Per tracciare il grafico ricavo la forma esplicita y=f(x)
assegno valori arbitrari alla x ( appartenenti al Dominio)
calcolo le y corrispondenti ( Codominio o insieme delle immagini )
rappresento le coppie in un sistema di assi cartesiani
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FUNZIONI algebriche
Proporzionalita’ diretta y=mx
raddoppiando / triplicando x , raddoppia / triplica anche la y.
3
2
6
3
9
4
12
y
=3
x
y = 3x
RETTA PASSANTE
PER L’ORIGINE
2x
1
Il rapporto fra y e x è COSTANTE
y=
y=
x y
x
0
y=
.5 x
Y=0
y=
y=
y=-
-x
-0 .
5x
Dominio: ∀x∈R
m si chiama
COEFFICIENTE ANGOLARE :
Modificando m
cambia
la “pendenza” della retta
2x
FUNZIONI algebriche: formula esplicita generica della retta
RETTA generica
y=mx+q
Dominio: ∀x∈R
1
Y = x+5
2
x
y
0
5
8
9
Y
x +5
2
/
=1
1
Y=
5
m= 1/2 COEFFICIENTE ANGOLARE
q=5
determina la pendenza
TERMINE NOTO
Se m>0 la retta cresce
INTERCETTA CON
Se m<0 la retta decresce
L’ASSE DELLE Y
se m=0 retta y=q orizzontale
Se q=0 ottengo y=mx retta passante per l’origine. Es: y =
1
x
2
Se q=0 e m=1 ottengo la FUNZIONE IDENTITA’: y = x
Se m=0 ottengo la FUNZIONE COSTANTE y=q .Es: y = 5
/2 x
FUNZIONI algebriche: RETTE PARTICOLARI
Funzione identità y=x
y
y=x
x y
1
2
3
1
2
3
4
4
La funzione
identità y=x si
chiama anche
retta bisettrice
del primo e
terzo quadrante
x
Funzione costante y=k (y=q)
esempio
y=3
x y
1
2
3
4
3
3
3
3
Variando la x,
la y è sempre costante:
In particolare l’asse delle x ha equazione: y=0
y
3
y=3
X (y=0)
FUNZIONI algebriche : parabola generica
PARABOLA y=ax2+bx+c
Dominio: ∀x∈R
x
y
2 -3
1
0
0
5
a determina la concavità
- se a>0 concava verso l’alto
- se a<0 concava verso il basso
y=x2-6x+5
b
!6
Xvertice = ! = ! = +3
2a
2
(b 2 ! 4ac) (36 ! 20)
Yvertice = !
=!
= !4
4a
4
V=(+3,-4)
asse di simmetria: x=3
AMPIEZZA DI UNA PARABOLA
Dipende dal valore di a
SE a=1 AMPIEZZA REGOLARE della funzione quadratica fondamentale y=x2
y=x2
y=0.5x2
y=2x2
y=0.1x2
FUNZIONI algebriche : parabole incomplete
Funzione quadratica y=ax2
Dominio: ∀x∈R
Esempio
con a=1
y=x2
V=(0,0)
x
y
1 1
2 4
3 9
asse di simmetria: x=0
Parabola “pura” e “spuria”
Il vertice si trova
sull’asse y
V=(0;c)
Passa sempre
per l ‘origine ( 0;0)
FUNZIONI algebriche :
Funzione cubica y=ax3
x
y
0 0
1 1
2 8
3 27
y=x3
Dominio: ∀x∈R
-1 -1
-2 -8
-3 -27
L’ORIGINE (0 ; 0)
E’ CENTRO
di simmetria
FUNZIONI algebriche
Proporzionalità inversa y=k/x
Moltiplicando la x per due/tre/ecc, --> la y si divide per due/tre/ecc.
x y
1
2
2
1
3
2/3
4
1/2
Il prodotto fra y e x
è COSTANTE
yix = 2
2
y=
x
IPERBOLE EQUILATERA
riferita ai propri ASINTOTI
Dominio: x≠0
L’asse delle x (la retta y=0 ) è asintoto orizzontale
L’asse delle y (la retta x=0 ) è asintoto verticale
Con k<0 negativo,
i rami si trovano nel II e IV quadrante
FUNZIONI algebriche
FUNZIONE OMOGRAFICA
ax + b
y=
cx + d
" d a%
C = $! ; '
# c c&
4x ! 2
y=
5x + 15
Centro di simmetria
" 4%
C = $!3; '
# 5&
D: 5x+15≠ 0 ; x≠ -3
C
(-∞,-3)U(-3,+∞)
ASINTOTO VERTICALE
y=4/5 ASINTOTO ORIZZONTALE
X= -3
x=-3
Y=4/5
FUNZIONI trascendenti (non algebriche)
FUNZIONE ESPONENZIALE
x
y=a
a>0, a≠ 1
y=(1/2)x
y=2x
Dominio: ∀x∈R
Codominio: y>0
Se la base a>1 , la funzione CRESCE. Es: y=2x
Se la base 0<a<1, la funzione DECRESCE. Es: y=(1/2)x
L’asse delle x (y=0) è un asintoto orizzontale.
Se la base è il numero e (circa 2,71… ) si ha la funzione: y=ex
FUNZIONI trascendenti
FUNZIONE LOGARITMICA
N.B: La funzione logaritmica è
inversa di quella esponenziale
y=logax a>0,a≠ 1
y=log2x
Dominio : x>0
Codominio: ∀y∈R
Se a>1 la funzione CRESCE: y=log2x
y=log1/2x
Se 0<a<1 la funzione DECRESCE: y=log1/2x
L’asse y (cioè la retta x=0) è ASINTOTO VERTICALE
SE base=e (~2,71 ) si ha la funzione y=lnx logaritmo naturale
FUNZIONI trascendenti goniometriche
FUNZIONE SENO
y=senx
DOMINIO: ∀x є R
Codominio: -1≤y≤+1
Grafico nell’intervallo: [ 0, 2π]
K
P
π
O
H
2π
π~3,14
Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il seno dell’angolo α
è l’ordinata del punto P estremo del raggio vettore: senα=OK
FUNZIONI trascendenti goniometriche
FUNZIONE COSENO
DOMINIO: ∀x є R
Codominio: -1≤y≤+1
Grafico nell’intervallo: [ 0, 2π]
y=cosx
K
P
π
O
H
2π
π~3,14
Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il COSENO di un angolo α
è l’ascissa del punto P , estremo del raggio vettore. cosα=OH
FUNZIONI trascendenti goniometriche
FUNZIONE TANGENTE
y=tgx
DOMINIO: ∀x∈R con x≠π/2+kπ
Codominio: ∀y∈R
Grafico nell’intervallo:(-π/2,+π/2)
T
A
tg(x) = AT
Ricordo che , si definisce TANGENTE
dell’angolo α l’ordinata del punto T
-π/2
π
+π/2