Icanali di Marte, con varianti.

30 - giochi e curiosita’
I canali di Marte, con varianti.
A
fianco una mappa dei canali di Marte
che collegano numerose grotte. Ogni grotta
è contrassegnata da una lettera dell’alfabeto. Parti dalla grotta che si trova al polo
Sud, contrassegnata con la lettera “N”.
Saresti capace di percorrere i canali visitando tutte le grotte una volta sola in modo da
formare una frase completa con le lettere
che trovi in ciascuna grotta, nello stesso
ordine?
Quando questo indovinello comparve per la
prima volta in una rivista, più di 50.000 lettori risposero: “Non c’é alcuna soluzione”.
Invece il quesito è molto facile!
Il topolino in trappola.
Un topolino si è perso in una soffitta. Partendo dall’angolo
in basso a sinistra indicato con la lettera “V”, fallo uscire
formulando una frase.
Un piccolo suggerimento: che cosa starà pensando il povero topolino?
Ha perso la password!
Matteo ha dimenticato la password per accedere al suo
computer.
Vuoi aiutarlo a ricordarla?
Se parti dalla A posta nel quadro centrale e percorri
il labirinto nel modo giusto raccogliendo nell’ordine
tutte le lettere che incontri, troverai la parola cercata.
Un piccolo suggerimento: tutte le volte che Matteo
pensa alla password gli viene in mente la bandiera
della pace.
Ora tocca a te!
Inventa un gioco simile a questo.
Attenzione: la struttura deve essere simile ma il disegno e la situazione devono essere completamente
diversi!
(pagina tratta da: “Base cinque - appunti di matematica ricreativa” http://utenti.quipo.it/base5/)
giochi e curiosita’ - 31
Il T-puzzle e le sue sorprese.
1. Il T-puzzle.
Utilizzando i quattro pezzi a sinistra
nella figura qui a fianco, sapresti
ottenere la T che si trova a destra?
Ricopia il disegno su un foglio a quadretti, ritaglia i pezzi e costruisci la
lettera T.
2. Altre figure col T-puzzle.
Con i 4 pezzi del T-puzzle si possono
ottenere molte altre insospettabili figure, come queste.
Ricopia, ritaglia e utilizza i pezzi a
destra.
Nota bene: uno dei pezzi è stato leggermente modificato. Sai
dire qual è e quale modifica è stata apportata?
Tutte le figure che hai costruito con i pezzi del T-puzzle sono equivalenti ed equiscomponibili.
3. Costruisci il tuo puzzle.
Scegli una lettera dell’alfabeto e prepara un puzzle simile al T-puzzle.
Il tuo puzzle deve essere INTELLIGENTE ma non COMPLICATO, perciò deve avere le seguenti caratteristiche:
• la lettera deve essere disegnata in stampatello
maiuscolo
semplice e lineare, come quelle
dell’esempio
riportato sopra;
• la lettera deve essere divisa e ritagliata in 4 parti,
non di più.
A destra una versione ingrandita dei
pezzi del T-puzzle.
Le risposte nella pagina seguente.
32 - giochi e curiosita’
Risposte & riflessioni
1. Il T-Puzzle
La difficoltà maggiore del T-puzzle
è trovare la giusta
collocazione
del
pezzo trasversale
colorato in giallo
nella figura qui sotto.
2. Altre figure
col T-puzzle
A che cosa è dovuta
questa difficoltà?
Al fatto che dobbiamo superare un
blocco
mentale:
tendiamo irresistibilmente a disporre
i pezzi in posizione verticale oppure
Costruzioni tratte dal sito: http://www.
orizzontale perché
hitoyoshi.net/tokumasa/kyouzai/tanci facciamo influenzare dalla forma gram.gif (2003)
della lettera T. La nostra mente evita la
disposizione obliqua.
A rendere più difficile il gioco si aggiungono due elementi:
* la quadrettatura del foglio;
* la larghezza della striscia gialla che
è uguale alla larghezza delle striscie
che compongono la lettera T.
4. Il segreto del T-Puzzle
Nella figura sono indicate le misure
esatte per ottenere una striscia trasversale (gialla) larga come le striscie della
T.
Per calcolare le misure esatte si applica
il teorema di Pitagora.
Un metodo più semplice e pratico con- (tratto da: “Base cinque - appunti di matemasiste nel ritagliare una striscia di carta tica ricreativa” http://utenti.quipo.it/base5/)
larga come le strisce della T e sovrapporla alla T stessa, inclinata di 45°.
Dopo averla disposta nella posizione
esatta, la si utilizza come riga per tracciare le due linee trasversali e si ritaglia
la T.
risoluzione problemi - 33
Come affrontare un problema.
N
ella tabella seguente sono elencate le fasi del metodo da applicare per risolvere un
problema, il cui testo va scritto nella prima riga. Nelle pagine seguenti ci sono quattro
problemi, e per ognuno viene mostrato come li hanno affrontati quattro ragazzi. Alla
fine non ti diciamo subito se il loro ragionamento è giusto o sbagliato, prima prova anche
tu a risolverli applicando il metodo, e poi guarda la soluzione nella pagina indicata.
Testo di un problema.
Le FASI del METODO.
Cercare di capire
il problema:
DOMANDE
DA PORGERSI.
Passi da compiere!
In caso di difficoltà...
• Conosci il significato di
tutte le parole del testo?
• Se non sei sicuro, cerca nel
vocabolario.
• Cosa chiede il problema?
• Cerca di rendere il testo
concreto.
• Quali sono i dati?
• Dai un nome o simbolo ad
• È possibile fare un disegno
ogni parte del problema.
per rappresentare il problema?
• Schematizza con una figura o uno schema.
• Quali operazioni, formule
o proprietà,….pensi serva- • Ti sembra un problema
no per trovare la risposta?
di….
• Pensa ad un problema
simile già risolto.
• Riporta tutti i dati ordinatamente.
• Cerca di capire cosa devi
trovare, se hai la sensa• Fai uno schema o un disezione di aver sbagliato….
gno.
ricomincia.
Piano di azione:
COSE DA FARE.
• Scrivi le formule che pensi
possano essere utili.
• Svolgi le operazioni necessarie.
• Verifica passo passo tutte
le operazioni svolte.
• Verifica il risultato.
• Cerca nel tuo libro…se
non ti ricordi le formule, le
proprietà o i teoremi.
• Spiega con semplici frasi i
vari passaggi per renderti
conto di eventuali errori.
• Rileggi il testo del problema per accertarti di aver
risposto bene a tutto.
34 - risoluzione problemi
1 - Come ha affrontato un problema Mattia:
Testo del problema:
Ho 65 caramelle. Ne mangio una e distribuisco in parti uguali le altre tra tutti i miei
compagni di squadra. Ogni compagno riceve un numero di caramelle uguale al
numero dei miei compagni.
In quanti siamo in squadra?
Quali passi ha compiuto
Come ha risolto le difficoltà
Le FASI del METODO.
Mattia.
incontrate Mattia.
Ha cercato di capire
il problema:
Ha applicato un piano
di azione:
• Ha letto attentamente il
• Conosceva tutte le parole
testo.
del testo, e ha capito che
• Ha verificato la conoscendoveva trovare da quante
za del significato di tutte le
persone era formata la
parole del testo.
sua squadra.
• Ha cercato di capire che
cosa chiedeva di trovare il • Ha cercato nel vocaboproblema.
lario le parole di cui non
conosceva il significato, o
• Ha cercato di identificare
di cui non era sicuro.
nel testo i dati.
• Ha pensato ad uno schema che potesse fargli capi- • Ha capito che doveva trovare il modo di distribuire
re meglio il problema.
64 caramelle (65 – 1 che
• Ha pensato a quali operaaveva tenuto per se).
zioni, formule o proprietà
servono per trovare la
risposta.
• Ha riportato tutti i dati
ordinatamente.
• Ha fatto uno schema.
• Ha fatto le operazioni.
• Ha pensato ad una tabella
come questa e ha capito
che doveva pensare alla
divisione e alla moltiplicazione:
Compa- CaraTotale
gni
melle
1
64
64
2
32
64
3
/
...
...
8
8
64
Mattia ha trovato questa risposta: In squadra siamo 8.
RISPOSTA:
Sei d’accordo con la risposta di Mattia o pensi abbia sbagliato qualcosa? Controlla a pag. 42.
risoluzione problemi - 35
Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 1.
36 - risoluzione problemi
2 - Come ha affrontato un problema Alice:
Testo del problema:
In un rombo la somma delle diagonali è cm. 34 e la maggiore supera la minore di
cm. 14. Trova il perimetro.
Le FASI del
Come ha risolto le difficoltà
Quali passi ha compiuto Alice.
METODO.
incontrate Alice.
Ha cercato di
capire
il problema:
• Ha letto attentamente il testo. • Conosceva tutte le parole del
• Ha verificato la conoscenza
testo, e ha capito che per trodel significato di tutte le parovare la misura del perimetro
le del testo.
del rombo doveva trovare la
• Ha cercato di capire che cosa
misura del lato.
chiedeva di trovare il proble• Ha dato “un nome”, con un
ma.
simbolo, alle diagonali, al
• Ha cercato di identificare nel
lato ed al perimetro e ha fattesto i dati.
to il disegno del rombo ripor• Ha rappresentato con un disetando anche i simboli.
gno il problema per cercare
• Ha capito che si trattava di
di capirlo meglio
un problema sul rombo e sui
• Ha pensato a quali operaziotriangoli e ha cercato sul libro
ni, formule o proprietà potei teoremi e le formule che le
vano servirle per trovare la
servivano.
risposta.
• Utilizzando i dati del problema ha scritto la relazione
che lega le due diagonali,
aiutandosi con i disegni:
A
• Ha scritto le formule che gli
sembrava potessero essere
utili.
Ha applicato un
piano di azione:
• Ha fatto un disegno.
B
C
D
A
H
B
C
D
• Ha svolto le operazioni neces- • Ha ricavato il valore delle
due diagonali.
sarie.
• Ha verificato passo passo
tutte le operazioni svolte.
• Ha pensato ad un teorema
sui triangoli che potesse
aiutarla per trovare il valore
del lato.
• Ha fatto i calcoli per trovare
la misura del lato.
• Ha calcolato il perimetro.
RISPOSTA:
Trovi la soluzione a pagina 43.
risoluzione problemi - 37
Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 2.
38 - risoluzione problemi
3 - Come ha affrontato un problema Riccardo:
Testo del problema:
Con 60 metri di rete, il signor Pastorelli ha costruito un recinto per le pecore di forma rettangolare; le misure dei lati sono espresse in metri da numeri interi.
Poiché ora ha comprato altre pecore, il signor Pastorelli acquista altri 6 m di rete
per ingrandire il recinto e con i 60 metri del suo primo recinto, ne costruisce uno
nuovo ancora di forma rettangolare.
Egli osserva che una delle dimensioni del nuovo rettangolo misura 6 metri di più del
primo e che l’altra dimensione è diminuita di 3 metri, mentre l’area è aumentata di
90 m2.
Quanto misurano i lati del primo recinto rettangolare?
Spiegate come avete trovato le vostre risposte.
Le FASI del
Quali passi ha compiuto RiccarCome ha risolto le difficoltà
METODO.
do.
incontrate Riccardo.
• Ha capito che doveva trovare
• Ha letto attentamente il testo.
i lati del primo recinto costrui• Ha verificato la conoscenza
to dal signore.
del significato di tutte le paro- • Non era sicuro che la parola
le del testo.
recinto si riferisse al perimetro
• Ha cercato di capire che cosa
e ha cercato nel vocabolario
chiedeva di trovare il probleil significato delle due parole.
ma.
Ha cercato di
• Ha pensato di dare un nome
•
Ha
cercato
di
identificare
nel
capire
o un simbolo ai lati e all’area
testo
i
dati.
il problema:
del vecchio recinto.
• Ha rappresentato con un dise• Ha pensato di fare il disegno
gno il problema per cercare
sia del vecchio che del nuovo
di capirlo meglio.
recinto.
• Ha pensato a quali operazio• Ha pensato che fosse un proni, formule o proprietà poteblema di geometria dove non
vano servirgli per trovare la
bastava applicare una formurisposta..
la ma bisognava “ragionare”.
• Ha riportato tutti i dati ordina- • Ha disegnato i due rettangoli.
tamente.
• Ha scritto le relazioni che
intercorrono tra i lati dei due
Ha applicato un • Ha svolto le operazioni necesrettangoli e tra le loro aree.
piano di azione:
sarie.
• Ha ricavato il valore dei lati
• Ha fatto un disegno.
• Ha verificato passo passo
tutte le operazioni svolte.
• Ha verificato il risultato.
RISPOSTA:
Trovi la soluzione a pagina 44 e 45.
del primo recinto pensando
ad un problema simile già
risolto con una tabella dove
aveva inserito dati e calcoli.
risoluzione problemi - 39
Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 3.
40 - risoluzione problemi
4 - Come ha affrontato un problema Giulia:
Testo del problema:
100 alunni sono riuniti in assemblea. Non tutti hanno il cellulare, ma si sa che comunque se ne scelgano 2, almeno uno dei 2 lo ha.
Quanti sono gli alunni con il cellulare?
Le FASI del
METODO.
Quali passi ha compiuto Giulia.
Come ha risolto le difficoltà
incontrate Giulia.
• Ha letto attentamente il testo.
• Ha verificato la conoscenza
del significato di tutte le parole del testo.
Ha cercato di
capire
il problema:
• Conosceva tutte le parole del
testo, e ha capito che doveva
trovare quanti alunni hanno il
• Ha cercato di capire che cosa
cellulare.
chiedeva di trovare il problema.
• Ha pensato a quale potesse
essere il significato di “alme• Ha cercato di identificare nel
no” nel testo
testo i dati.
• Ha pensato a quali operazio- • Ha pensato che fosse un problema di logica.
ni, formule o proprietà potevano servirgli per trovare la
risposta..
• Inizialmente ha diviso il
numero totale degli alunni
per 2, non tenendo in considerazione il significato della
• Ha riportato tutti i dati ordinaparola “almeno”.
tamente.
• Si è resa conto che qualcosa
non andava e si è soffermaHa applicato un • Ha svolto le operazioni.
ta sulla parola “almeno”.
piano di azione: • Ha verificato passo passo
tutte le operazioni svolte.
• Ha iniziato a ragionare utilizzando prima 4 alunni, poi
• Ha verificato il risultato.
8,...
• Analizzando i risultati ottenuti è arrivata alla soluzione.
RISPOSTA:
Trovi la soluzione a pagina 46.
risoluzione problemi - 41
Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 4.
42 - risoluzione problemi
Ed ora vediamo le soluzioni:
Problema 1:
Ho 65 caramelle. Ne mangio una e distribuisco in parti uguali le altre
tra tutti i miei compagni di squadra. Ogni compagno riceve un numero di
caramelle uguale al numero dei miei compagni.
In quanti siamo in squadra?
Dati:
65 = numero caramelle
Numero compagni di squadra = numero caramelle per ciascuno
Soluzione:
Abbiamo 65 caramelle, una la mangio io e quindi ne restano 64.
Queste 64 le devo dividere in parti uguali tra i miei compagni.
Proviamo cercando tutti i modi per dividere 64 in modo da avere come
resto zero:
Se i compagni di squadra fossero 2.
In questo caso dividendo le 64 caramelle per due troverei 32. Quindi ad
ogni compagno di squadra spetterebbero 32 caramelle.
Il numero di caramelle per ognuno (32) non coincide col numero di
compagni di squadra (2). Siamo molto... lontani dalla soluzione.
Se i compagni fossero 4.
Dividendo avremo: 64 : 4 = 16.
Anche in questo caso il numero di caramelle per ognuno (16) non
coincide col numero di compagni di squadra (4). Ci siamo però avvicinati.
Se fossero 8.
Avremo: 64 : 8 = 8.
In questo caso il numero di caramelle per ognuno (8) coincide col numero
di compagni di squadra (8).
Ho risolto il problema?
Rileggiamo bene il testo: “mi chiede in quanti siamo in squadra” .
Quindi a questi 8 devo aggiungere me stesso.
La soluzione è quindi 9.
Mattia ha sbagliato perchè non ha verificato la sua risposta rileggendo il
testo.
risoluzione problemi - 43
Problema 2:
In un rombo la somma delle diagonali è cm. 34 e la maggiore supera
la minore di cm. 14. Trova il perimetro. In un rombo la somma delle
diagonali è cm. 34 e la maggiore supera la minore di cm. 14.
Trova il perimetro.
Dati:
D + d = 34
D = d + 14
D = diagonale maggiore
d = diagonale minore
Soluzione:
A
B
C
O
D
A
H
B
C
D
Consideriamo i segmenti che rappresentano le diagonali del rombo AD e
BC del disegno.
Sappiamo che AD supera BC di 14 cm e quindi possiamo disegnare il
punto H e capire anche dal disegno che HD è uguale a 14cm.
Ma allora la somma di AH e BC dovrà essere uguale a 20 cm perché la
somma delle diagonali deve essere uguale a 34 cm. (AH + HD + BC = 34
cm)
Quindi siccome AH e BC sono uguali e si conclude che AH = BC = 10 cm.
Quindi la diagonale maggiore misura 24 cm e quella minore 10 cm
A
Consideriamo ora il triangolo AOC (quarta parte
del rombo) e notiamo che si tratta di un triangolo
rettangolo di cui si conoscono i due cateti AO e
OC (metà delle diagonali).
AO = 12 cm e OC = 5 cm.
O
C
Applichiamo ora il teorema di Pitagora: l’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui
cateti.
In questo caso quindi:
AC2 = AO2 + OC2
oppure AC = .
In questo caso quindi:
AC = 
=
= 13.
Il lato obliquo del rombo misura quindi 13 cm.
Il perimetro, avendo il rombo tutti e quattro i lati uguali, sarà uguale a
quattro volte AC.
Quindi: P = 4 ∙13 cm = 52 cm
44 - risoluzione problemi
Problema 3:
Con 60 metri di rete, il signor Pastorelli ha costruito un recinto per le
pecore di forma rettangolare; le misure dei lati sono espresse in metri da
numeri interi.
Poiché ora ha comprato altre pecore, il signor Pastorelli acquista altri 6 m
di rete per ingrandire il recinto e con i 60 metri del suo primo recinto, ne
costruisce uno nuovo ancora di forma rettangolare.
Egli osserva che una delle dimensioni del nuovo rettangolo misura 6 metri
di più del primo e che l’altra dimensione è diminuita di 3 metri, mentre
l’area è aumentata di 90 m2.
Quanto misurano i lati del primo recinto rettangolare?
Dati:
60 m = perimetro vecchio recinto
6 m = metri di rete acquistati
6m = aumento dell’altezza o della base del nuovo recinto
3m = diminuzione dell’altezza o della base del nuovo recinto
90 m2 = aumento dell’area del nuovo recinto
Soluzione:
POSSIBILI NUOVI RECINTI
VECCHIO RECINTO
A
C
B
AI
BI
D
CI
AII
BII
CII
DII
DI
Leggendo attentamente il testo mi rendo conto che probabilmente posso
trovare due soluzioni, una nel caso ingrandisca l’altezza e diminuisca la
base e l’altra nel caso aumenti la base e diminuisca l’altezza.
Mi costruisco una tabella per rappresentare le misure dei lati e dell’area
dei tre rettangoli considerando tutti i casi di rettangoli che hanno il
risoluzione problemi - 45
perimetro di 60 cm, partendo dai possibili valori dei lati (in quanti modi
possibili posso ottenere 30 sommando due numeri che corrispondono ai
valori dei lati dei rettangoli?).
Escludo subito i casi di rettangolo come i primi tre perché non posso
ottenere il secondo rettangolo o perché capisco che non posso ottenere
90 come differenza delle due aree :
Area
nuovo
1
Area
nuovo
2
29
182
Imp.
Imp.
56
200
Imp.
33
Imp.
81
216
Imp.
10
32
1
104
230
32
22
11
31
2
125
242
62
6
21
12
30
3
144
252
90
23
7
20
13
29
4
161
260
116
22
8
19
14
28
5
176
266
140
21
9
18
15
27
6
189
270
162
20
10
17
16
26
7
200
272
182
19
11
16
17
25
8
209
272
200
18
12
15
18
24
9
216
270
216
17
13
14
19
23
10
221
266
230
16
14
13
20
22
11
224
260
242
15
15
12
21
21
12
225
252
252
Vecchio recinto
Nuovo recinto
Nuovo recinto
Base
Altezza
Base
Altezza
Base
29
1
26
7
35
Imp.
28
2
25
8
34
27
3
24
9
26
4
23
25
5
24
Area
Altezza Vecchio
Dall’analisi della tabella si vede che l’unico caso possibile è quello di:
AB = 22 m e AC = 8 m per il vecchio recinto e AIBI = 19 m e AICI = 14 m.
Infatti:
S: 22 X 8 = 176
e
SI: 19 X 14 = 266.
Per cui SI supera S di 90 m2 come richiedeva il testo.
46 - risoluzione problemi
Problema 4:
100 alunni sono riuniti in assemblea. Non tutti hanno il cellulare, ma si sa
che comunque se ne scelgano 2, almeno uno dei 2 lo ha.
Quanti sono gli alunni con il cellulare?
Dati:
100 = numero alunni 2 = numero degli alunni che vengono scelti a caso
Soluzione:
È fondamentale leggere bene il testo e capire bene il significato di almeno.
Con una lettura superficiale del testo saremo tentati di fare 100 : 2 e
scrivere come soluzione 50. Ma in questo caso, riflettendoci un pò, notiamo
subito che si possono scegliere parecchie coppie di alunni senza cellulare e
che quindi stiamo completamente sbagliando il ragionamento.
Procediamo cercando di partire da alcuni casi particolari diminuendo il
numero totale degli alunni.
Proviamo a risolvere il problema supponendo di considerare 4 alunni.
Chiamiamo gli alunni Piero, Sara, Riccardo e Cinzia e supponiamo che
abbiano il cellulare solo Piero e Cinzia. Vediamo subito che in questo caso
è possibile sceglier due alunni (Sara e Riccardo) che non hanno il cellulare.
È necessario quindi che tre alunni abbiano il cellulare affinché almeno uno
tra due alunni qualunque lo abbia. La risposta è 3: uno in meno di 4 che è
il numero di alunni considerato.
Proviamo ora a considerarne 8.
Facendo anche in questo caso alcuni tentativi ci si rende conto che devono
essere 7 gli alunni ad avere il cellulare. Uno in meno di 8 (numero di alunni
considerato).
Sembrerebbe quindi che sia sufficiente togliere uno dal totale degli alunni
considerati.
Facciamo un’altra prova per esserne più sicuri, consideriamo 16 alunni.
Con alcuni tentativi ci rendiamo conto che devono essere 15 gli alunni ad
avere il cellulare. Sempre uno in meno del totale considerato.
Quindi, se facciamo la congettura che questa sia la regola generale, nel
caso di 100 alunni gli alunni a possedere il cellulare devono essere 99.
Non possiamo “dimostrare” che questa è la risposta corretta, ma solo
verificare che lo è... In tanti altri casi usando questa regola “numero alunni
che hanno il cellulare (nc) = numero totale alunni (n) meno uno (nc= n -1)”
possiamo trovare la soluzione.
Questa formula somiglia a quelle che incontrerai alla scuola superiore e
che... ti aiuteranno a trovare la risposta a tanti problemi.
esercizi di applicazione - 47
1. Tra le seguenti lunghezze, una sola non equivale a 21,63 cm. Quale?:
a. 2,163 dm
b. 0,2163 m
c. 0,002163 dam
d. 216,3 mm
_____________________
2. Osservando il triangolo
ABC della figura, possiamo dire che i segmenti
CH, AK e BS sono, rispettivamente:
a. CH l’altezza, AK la
bisettrice, BS la bisettrice.
b. CH l’altezza, AK la
mediana, BS la bisettrice.
c. CH l’altezza, AK l’altezza, BS la bisettrice.
d. CH l’altezza, AK la
mediana, BS la mediana.
_____________________
3. In un rombo la somma
delle diagonali è cm. 34
e la maggiore supera la
minore di cm. 14. Trova
il perimetro.
a. 13
b. 52
c. 26
d. 34
_____________________
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
Test di valutazione.
4. Dato un trapezio isoscele, conoscendo la misura
delle due basi AB=18 cm
e CD=6, la misura del
segmento AH, dove H è
il piede dell’altezza relativa alla base maggiore AB, è:
a. 6
b. 18
c. 12
d. 24
_____________________
5. In una circonferenza di
raggio 10 cm è inscritto
un esagono regolare.
Qual è la lunghezza del
lato dell’esagono?
a. 5 cm
b. 10 cm
c. 60 cm
d. 15 cm
_____________________
6. Considera la proporzione 6 : x = 3 : 2. Quale,
fra le seguenti, non è una
proporzione equivalente
a quella data?
a. 6:3=x:2
b. 2:x=3:6
c. (6+x):x=5:2
d. x:6=3:2
_____________________
7. Se x è un numero compreso tra 4 e 10, allora
il numero (x+3) fra quali
numeri è compreso?
a. 1 e 9
b. 6 e 12
c. 7 e 13
d. 12 e 30
_____________________
48 - esercizi di applicazione
9. L’equazione 2x = 3 ha
come soluzione:
a. x = 6
b. x = 2/3
c. x = 3/2
d. x = 5
_____________________
10. Matteo, il fratellino di
Davide sta costruendo
delle casette utilizzando
le costruzioni come indicato nelle figure:
Vuole continuare la sequenza e chiede a Davide quante costruzioni gli
serviranno per la decima
casetta, Davide risponde correttamente:
a. 30
b. 33
c. 36
d. 42
_____________________
11. Il grafico seguente mostra il numero dei CD dei
diversi generi musicali
preferiti dai giovani contenuti in uno scaffale.
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
8. Un rettangolo ha la base
che supera di 5 cm il
doppio dell’altezza. Indicando con x la misura
dell’altezza, individua
quali fra i seguenti polinomi esprime la misura
del perimetro del rettangolo.
a. 3x+5
b. 6x+5
c. 6x+10
d. 3x+10
_____________________
Prendendo un CD a
caso, qual è la probabilità di scegliere un CD di
musica Pop?
6
a. ----14
6
b. ----40
6
c. ----34
1
d. ----4
_____________________
12. Joseph si sta preparando per una gara e non
può prendere più di 150
g di cioccolato al giorno;
avendo a disposizione
delle barrette da 0,6 kg
ciascuna, quante barrette può mangiare?
a. Un quarto di barretta
b. Una barretta
c. Due barrette e mezzo
d. Quattro barrette
_____________________
esercizi di applicazione - 49
Numero
bibite
Numero
alunni
0
9
1
53
2
21
3
15
4
0
5
2
Qual è la media delle bibite consumate in una giornata?
a. 100
b. 20
c. 1,5
d. 10,6
_____________________
14. Secondo un indagine
sul numero di regali ricevuti a Natale sono state
intervistate 100 persone. La seguente tabella
registra le risposte.
Numero regali
ricevuti
Numero
persone
0
9
1
50
2
31
3
8
4
2
5
0
Quanti intervistati hanno ricevuto almeno due
regali?
a. 8
b. 10
c. 41
d. 31
_____________________
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
13. In un’indagine sul consumo
di bibite fra i giovani, in una
giornata sono stati intervistati 100 alunni di una scuola superiore. La seguente
tabella registra le risposte:
15. Se al numero 0,999 si
aggiunge 1 centesimo,
che cosa si ottiene?
a. 1
b. 1,009
c. 1,099
d. 1,999
_____________________
16. Fra quali interi consecutivi si trova il numero
7
----- ?
8
a. Fra 7 e 8
b. Fra 0 e 1
c. Fra 6 e 9
d. Fra 1 e 2
_____________________
17. In una palestra gli istruttori sono così suddivisi in
base alle discipline insegnate:
Disciplina
Numero
istruttori
body building
?
spinning
4
karate
8
judo
2

Qual è il numero degli
insegnanti di Body Building?
a. 6
b. 5
c. 4
d. 7
_____________________
18. Ho 26 ingressi gratuiti
per la discoteca. Uno lo
utilizzo io, gli altri li distribuisco in parti uguali
tra tutti i miei amici del
gruppo. Ogni amico
riceve un numero di ingressi uguale al numero
dei miei amici. In quanti
siamo nel gruppo?
a. 26
b. 25
c. 5
d. 6
_____________________
19. Cinque amici di cui
una ragazza e quattro
ragazzi si dividono la
cifra vinta al Fantacalcio in questo modo: alla
ragazza spetta 1/3 dell’intera somma, e il rimanente viene diviso in
parti uguali tra i ragazzi. Quale frazione della
somma spetta a ognuno
dei quattro ragazzi?
a. 1/2
b. 1/3
c. 1/4
d. 1/6
_____________________
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
50 - esercizi di applicazione
Soluzioni:
20. Si considerino i seguenti numeri:
4/6 ; 1/2 ; 5/4 ; 7/7 ; 4
; 3,20 ; 2 ; 3,3 ; 0,45
Li si vuol disporre in ordine crescente, quale delle
seguenti è corretta?
a. 0,45 ; 4/6 ; 1/2 ; 7/7 ;
5/4 ; 2 ; 3,20 ; 3,3 ; 4
b. 0,45 ; 4/6 ; 1/2 ; 5/4 ;
7/7 ; 2 ; 3,20 ; 3,3 ; 4
c. 0,45 ; 4/6 ; 1/2 ; 5/4 ;
7/7 ; 2 ; 3,3 ; 3,20 ; 4
d. 0,45 ; 1/2 ; 4/6 ; 7/7 ;
5/4 ; 2 ; 3,20 ; 3,3 ; 4
_____________________
Valutazione:
16-20 - Complimenti,
hai affrontato i quesiti senza difficoltà sei socio
onorario del gruppo Ralm.
15-10 - Hai affrontato i
quesiti con qualche difficoltà però possiedi conoscenze e competenze sufficienti per andare avanti, sei
socio ordinario del gruppo
Ralm.
9-5 - Hai affrontato
i quesiti con diverse
difficoltà devi ripassare gli
argomenti ed esercitarti
maggiormente sei socio sostenitore del gruppo Ralm.
4-0 - Hai affrontato i
quesiti con parecchie
difficoltà, devi studiare gli
argomenti ed esercitarti
con costanza ed impegno;
sei un simpatizzante Ralm,
potrai essere dei nostri.
1. = c
2. = b
3. = b
4. = a
5. = b
6. = b
7. = c
8. = c
9. = c
10.= b
11.= d
12.= a
13.= c
14.= c
15.= b
16.= b
17.= a
18.= d
19.= d
20.= d
giochi e curiosita’ - 51
Filastrocche matematiche.
I sette gatti di Ahmes.
soltanto
le
seguenti
Uno dei più antichi documenti matematici Presenta
conosciuti è un rotolo egizio lungo circa informazioni:
5 m e alto circa 30 cm. Lo scrisse Ahmes
nel 1650 a.C. ricopiandolo in parte da case
7
testi di tre secoli prima. L’egittologo
gatti
49
scozzese Henry Rhind lo acquistò a
343
1 2801
Luxor, sul Nilo, nel 1858. Per questo topi
2 5602
si chiama Papiro di Rhindo o Papiro di spighe di grano 2301
Ahmes. Attualmente è conservato al heqat di grano 16807 4 11204
British Museum.
totale
19607
19607
Ahmes, il figlio della luna, è il primo
matematico che scrisse il proprio nome
su un documento giunto fino a noi.
Una interessante citazione del testo del
papiro, come riportata nel libro di A. B.
Chase “Rhind Mathematical Papyrus”
(Reston Va. 1967), è la frase:
“Accurate reckoning: the entrance into
knowledge of all existing things and all
obscure secrets.” ossia “Calcolo esatto:
l’accesso alla conoscenza di tutte le cose
esistenti e di tutti gli oscuri misteri.”
Nel Papiro di Ahmes c’è anche il
Problema 79, che in forma di filastrocca
risulta essere:
In una proprietà ci sono 7 case.
In ogni casa ci sono 7 gatti.
Ogni gatto acchiappa 7 topi.
Ogni topo mangia 7 spighe.
Ogni spiga dà 7 heqat di grano.
Quante cose ci sono in tutto in questa
storia?
Nota: l’heqat era misura di capacità
pari a circa 4,785 litri.
Che cosa poteva significare questa
scrittura misteriosa?
E per di più, c’è un errore! Dov’è?
Esistono poi delle varianti:
Sette vecchie in viaggio per Roma
Ci sono sette vecchie in viaggio per
Roma
Ognuna di esse ha sette muli
Ogni mulo porta sette sacchi
Ogni sacco contiene sette pagnotte
In ogni pagnotta ci sono sette coltelli
Ogni coltello è in sette foderi
Donne, muli, sacchi, pagnotte,
foderi,
in quanti viaggiano per Roma?
(Fibonacci, 1202)
L’enigma di St. Ives
Mentre andavo a St. Ives
Incontrai un uomo con sette mogli.
Ogni moglie aveva sette sacchi,
Ogni sacco aveva sette gatti,
Ogni gatto aveva sette mici;
Mici, gatti, sacchi e mogli,
In quanti andavano a St. Ives?
In realtà, il problema 79 del Papiro di
Rhind è più misterioso e più complesso Ragionaci, poi vai alla pagina seguente
della nota filastrocca.
per conoscere le risposte.
52 - giochi e curiosita’
2801 * 7 = 19607
1
2801
2
5602
4
11204
totale
19607
Infatti, siccome 7 = 1 + 2 + 4, per
moltiplicare un qualsiasi numero per 7 si
possono addizionare il numero stesso, il
suo doppio e il suo quadruplo (ovvero il
doppio del doppio).
Quindi la terza e la quarta colonna
Ma ora esaminiamo meglio questa tabella potrebbero rappresentare una verifica
(nella quarta riga, seconda colonna, il del calcolo eseguito nella prima colonna
o addirittura una formula per il calcolo
numero esatto è 2401):
della somma di una serie geometrica.
case
7
I sette gatti di Ahmes
Case 71 = 7
Gatti 72 = 49
Topi 73 = 343
Spighe 74 = 2.401
Heqat 75 = 16.807
Totale = 19.607
Qualcuno potrebbe obiettare che
all’inizio si parla anche di una proprietà,
perciò le cose di cui si parla in questa
storia sarebbero: 19.607+1 = 19.608.
gatti
topi
spighe di grano
heqat di grano
totale
49
343
2301
16807
19607
Sette vecchie in viaggio per Roma
Se vogliamo calcolare il totale di tutte le
cose di cui si parla, allora la soluzione
è:
71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 = 134.456
Se invece facciamo attenzione alla
Nella seconda colonna c’è la sequenza domanda, che chiede il totale dei “muli,
delle prime 5 potenze di 7. Si tratta di sacchi, pagnotte, foderi”, non dobbiamo
una progressione geometrica di ragione contare i coltelli, perciò la soluzione è:
7. In fondo è scritto il totale.
71 + 72 + 73 + 74 + 76 = 117.649
Qual è la formula che usiamo oggi per
calcolare la somma dei primi n termini di L’enigma di St. Ives
una progressione geometrica di ragione r? Attenzione, questo è un indovinello col
S = r + r2 + ... + rn = r(rn-1)/(r-1)
trucco! La risposta è 1.
La storia comincia così: “Mentre
Nel nostro caso r=7, n=5 quindi:
ANDAVO a St. Ives, incontrai un uomo...”
S = 7(75-1)/(7-1) = 19607
Solo io andavo a St.Ives perché gli altri
Possiamo scrivere la somma anche così: li incontrai, quindi loro VENIVANO
7 + 72 + 73 + 74 + 75 = 7(1 + 7 + 72 + da St.Ives. Ma esistono altre risposte
73+74) = 7(1 + 7 + 49 + 343 + 2401) = altrettanto valide: una, ad esempio,
7 * 2801
potrebbe essere 2802.
Potete trovare altre informazioni sul
Ma che cosa significano i numeri scritti St.Ives Riddle in questo sito: http://utenti.
nella terza e nella quarta colonna?
quipo.it/base5/penslate/stives.htm
Ora, se osserviamo attentamente la
seconda parte del testo di Ahmes (queste due pagine sono tratte da: “Base
ci rendiamo conto che è proprio la cinque - appunti di matematica ricreativa”
moltiplicazione di 2801 per 7, eseguita http://utenti.quipo.it/base5/)
col metodo egizio.
1
2
4
2801
5602
11204
19607
giochi e curiosita’ - 53
Scacchi.
Incontro n.1
Incontro n.2
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
A
B
C
D
E
F
G
A
H
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
B
C
D
E
F
G
H
Incontro n.4
Incontro n.3
A
B
Il bianco muove e matta in due mosse
Il bianco muove e matta in due mosse
C
D
E
F
G
A
H
B
C
D
E
F
G
H
Il bianco muove e matta in due mosse
Il bianco muove e matta in due mosse
soluzioni:
Incontro n.1:
1. Cf5, d5
2. e:d5 matto
Incontro n.2:
1. Cf6+, g:f6
2. D:h7 matto
Incontro n.3:
1. Tg7, R muove in
e8 oppure in c8
2. Th8 matto
Incontro n.4:
1. D:g7+, D:g7
2. Cf7 matto
54 - giochi e curiosita’
Sai che la matematica a volte puo’ essere interessante come un film
giallo? Se non ci credi, seguici mentre ti raccontiamo la storia del più
famoso teorema della matematica, quello di Fermat.
Ricordi il teorema di Pitagora?
Questo è un triangolo rettangolo di lati 3, 4, e 5 cm.
Ma l’uguaglianza che vedi sopra è vera per tutti i triangoli rettangoli,
anche se i lati misurano per esempio 5, 12, 13 (se non ci credi... fai ora
il calcolo!).
Sapevi che il teorema
di Pitagora si può
“dimostrare” come in un
gioco simile al tangram?
Guarda la figura a fianco.
E di terne di numeri che rispettano questa uguaglianza ne esistono
davvero tante.
Chi ha ricostruito la storia della matematica non crede che ad
“inventare” questo teorema sia stato proprio Pitagora, che visse
nel 400 a.C., perché in alcuni papiri egiziani già ci sono indizi che
ci dicono che anche loro sapevano dell’esistenza di tante terne di
numeri, come 3, 4, e 5, così “particolari” (prova a fare il calcolo
scegliendo tre numeri naturali a caso per renderti conto di quanto
le “terne pitagoriche” siano “speciali”).
Nel 1600, Pierre de Fermat (1601 - 1665) che non era un matematico di
professione ma faceva il magistrato, ebbe una idea.
Pensò: questa particolarità di terne di numeri sarà vera anche se
considero il cubo anziché il quadrato?
Guarda le figure per capire meglio (chissà se anche Fermat, che era un
appassionato di Matematica, ha immaginato questa idea cosi’):
giochi e curiosita’ - 55
Per il quadrato è facile trovare tante terne Pitagoriche. Ma per il cubo
non è così, come mostra l’immagine seguente.
Di certo si sa che, mentre studiava l’opera di Diofanto di Alessandria, un
matematico vissuto tra il 212 d.C. e il 298 d.C., Fermat scrisse in latino,
in una nota del libro, l’enunciato del suo teorema, aggiungendo che non
aveva abbastanza spazio per scrivere la dimostrazione...
“È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta
in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di
due come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa
dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel
margine troppo stretto della pagina”
Tanti matematici, da allora, cercarono di dimostrare il teorema ma non ci
riuscirono o commisero errori nella dimostrazione (anche loro sbagliano
e fanno errori! Cercano però sempre di correggerli e capire perché li
hanno fatti...).
Quando tu eri piccolissimo, un matematico che si chiama Andrew Wiles
ha finalmente, dopo più di tre secoli, dimostrato che Fermat aveva
ragione.
Se vuoi saperne di più, chiedi aiuto a mamma e papà, a tuo fratello o
alla tua sorella maggiore, al tuo insegnante di inglese, a un tuo amico o
amica e vai a curiosare su questo sito, dove troverai filmati e curiosità sul
teorema piu’ famoso della storia:
http://www.simonsingh.com/The_TV_Film.html