Capitolo 4 TRAVE AD ASSE CURVILINEO (prof. Elio Sacco)

Capitolo 4
TRAVE AD ASSE CURVILINEO
(prof. Elio Sacco)
4.1
Le equazioni dell’arco
4.1.1
Equazioni di equilibrio
Si consideri una trave ad asse curvilineo. Per determinare le equazioni di equilibrio si
consideri il tratto di trave, di lunghezza infinitesima, riportato in figura 4.1.
Imponendo l’equilibrio si determinano le seguenti equazioni:
• equilibrio alla traslazione verticale
−T cos
dθ
dθ
dθ
dθ
+ N sin
+ p∗ ds + (T + dT ) cos
+ (N + dN) sin
=0
2
2
2
2
(4.1)
• equilibrio alla traslazione orizzontale
−N cos
dθ
dθ
dθ
dθ
− T sin
+ q ∗ ds + (N + dN) cos
− (T + dT ) sin
=0
2
2
2
2
(4.2)
• equilibrio alla rotazione
dθ
−M −T R tan +q∗ ds
2
Ã
!
dθ
R
− R −(T + dT ) R tan +M +dM +m ds = 0 (4.3)
dθ
2
cos 2
55
56
CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO)
p*
B
T
q*
A
M+dM
M
T+dT
N
N+dN
dθ
O
Figura 4.1: Tratto infinitesimo di trave ad asse cuvilineo.
avendo indicato con q ∗ il carico distribuito agente lungo la tangente alla trave, con p∗ il
carico distribuito radiale alla trave curva e con m le coppie distribuite. Poiché il tratto
è di lunghezza infinitesima, si può porre:
cos
dθ
≈1
2
sin
dθ
dθ
dθ
≈ tan
≈
2
2
2
(4.4)
per cui le equazioni (4.1), (4.2) e (4.3) diventano:
−T + N
dθ
dθ
+ p∗ ds + (T + dT ) + (N + dN)
=0
2
2
dθ
dθ
+ q∗ ds + N + dN − (T + dT )
=0
2
2
dθ
dθ
−M − T R + q ∗ ds (R − R) − (T + dT ) R + M + dM + m ds = 0
2
2
Semplificando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, si ottiene:
−N − T
(4.5)
(4.6)
(4.7)
N dθ + p∗ ds + dT = 0
(4.8)
−T dθ + q ∗ ds + dN = 0
(4.9)
−T Rdθ + dM + m Rdθ = 0
(4.10)
4.1. LE EQUAZIONI DELL’ARCO
57
Dividendo tutto per ds e ricordando che ds = R dθ, si ottengono le equazioni indefinite
di equilibrio della trave ad asse curvilineo:
dT
1
+ N + p∗ = 0
ds
R
(4.11)
dN
1
− T + q∗ = 0
ds
R
(4.12)
dM
−T +m=0
ds
(4.13)
∆ Q + f∗ = 0
(4.14)
che in forma matriciale diventano:
con
⎡
∆=⎣
d
ds
− R1
−1
1
R
d
ds
0
⎤
0
0 ⎦
d
ds
⎧
⎫
⎨ T ⎬
N
Q=
⎩
⎭
M
⎧ ∗ ⎫
⎨ p ⎬
∗
q∗
f =
⎭
⎩
m
(4.15)
dove ∆ rappresenta l’operatore differenziale matriciale, Q il vettore delle caratteristiche
della sollecitazione ed f ∗ il vettore delle forze nel sistema di riferimento locale.
Si evidenzia che le forze esterne hanno direzione radiale e tangente la curva, che
cambiano da sezione a sezione lungo l’ascissa curvilinea della trave. Per scrivere le
equazioni di equilibrio facendo riferimento a forze espresse rispetto ad un riferimento
globale e fisso, si considera la tipica sezione della trave ad asse curvilineo rappresentata
in figura 4.2 e si trasformano le componenti delle forze lette nel riferimento locale
(y ∗ , z ∗ ) in componenti nel riferimento globale (y, z).
Con riferimento alla figura 4.2 si ricava:
p∗y = p∗ cos θ
qy∗ = q ∗ sin θ
p∗z = −p∗ sin θ
qz∗ = q∗ cos θ
(4.16)
e quindi
⎫ ⎧
⎫ ⎡
⎫
⎧
⎫ ⎧
⎤⎧
cos θ sin θ 0 ⎨ p∗ ⎬
⎨ p ⎬ ⎨ p∗y + qy∗ ⎬ ⎨ p∗ cos θ + q ∗ sin θ ⎬
−p∗ sin θ + q ∗ cos θ
q
p∗ + qz∗
=
= ⎣ − sin θ cos θ 0 ⎦ q ∗
=
⎭ ⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭ ⎩ z
m
0
0
1
m
m
m
(4.17)
ovvero
⎡
⎤
cos θ − sin θ 0
f∗ = R f
R = ⎣ sin θ cos θ 0 ⎦
(4.18)
0
0
1
58
CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO)
q*
p
p*
q
z
y*
θ
y*
z*
qz*
y
z
pz*
z
θ
qy*
q*
y
z*
p*
θ
py*
y
Figura 4.2: Decomposizione delle forze nel sistema di riferimento globale.
A titolo di esempio in figura 4.3 illustrato un arco soggetto a carico circonferenziale q ∗
e radiale p∗ , determinando i valori di q e p per diversi valori dell’anomalia θ:
⎫
⎫ ⎧
⎫ ⎡
⎧ ∗
⎤⎧
1 0 0 ⎨ p(0) ⎬ ⎨ p(0) ⎬
⎨ p (0) ⎬
q(0)
q(0)
q ∗ (0)
=
=⎣ 0 1 0 ⎦
⎭
⎩
⎭ ⎩
⎭
⎩
m(0) ⎧
0 ⎡0 1
m(0)
⎧ m(0)
⎫
⎫
⎧
⎫
⎤
1 −1 0 ⎨ p(45) ⎬ √ ⎨ p(45) − q(45) ⎬
⎨ p∗ (45) ⎬ √
q ∗ (45)
p(45) + q(45)
q(45)
= 22 ⎣ 1 1 0 ⎦
= 22
(4.19)
⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
m(45)
0 0 ⎤1⎧
m(45)
⎧ m(45)
⎫ ⎡
⎫ ⎧
⎫
∗
p
0
−1
0
p(90)
−q(90)
(90)
⎨
⎬
⎨
⎬ ⎨
⎬
q(90)
p(90)
q ∗ (90)
=⎣ 1 0 0 ⎦
=
⎩
⎭
⎩
⎭ ⎩
⎭
m(90)
0 0 1
m(90)
m(90)
In definitiva, l’equazione di equilibrio (4.14) riscritta nel riferimento globale dei
carichi assume la forma:
∆Q + Rf = 0
(4.20)
4.1.2
Cinematica
Per quanto riguarda la cinematica della trave ad asse curvilineo, si assume che la generica sezione retta resti piana a deformazione avvenuta e subisca una traslazione lungo
la tangente, una traslazione lungo la normale alla curva della trave ed una rotazione,
come illustrato schematicamente in figura 4.4.
4.1. LE EQUAZIONI DELL’ARCO
59
p*(0)
q*(0)
p*(45)
q*(45)
p*(90)
z
q*(90)
y
Figura 4.3: Carichi circonferenziali e radiali agenti su un arco circolare a tutto sesto.
p*
q
z*
t
ϕ*
v*
n
y*
Figura 4.4: Cinematica della trave.
w0*
60
CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO)
Il campo di spostamenti nel sistema di riferimento locale (y ∗ , z ∗ ) assume la forma:
u∗2 = v ∗ (s)
u∗3 = w0∗ (s) + y ∗ ϕ (s)
(4.21)
u∗ = v ∗ (s) n (s) + [w0∗ (s) + y ∗ ϕ (s)] t (s)
(4.22)
ovvero in forma vettoriale:
Indicando con s0 l’ascissa curvilinea della fibra a distanza y ∗ dall’asse della trave
curvilinea, la derivata del campo di spostamenti rispetto a s0 vale:
u∗,s0 = v,s∗ 0 n + v ∗ n,s0 + [w0∗ + y ∗ ϕ],s0 t + [w0∗ + y ∗ ϕ] t,s0
(4.23)
Tenendo conto delle formule di Frenet1 :
n,s0 = −
1
t
R − y∗
t,s0 =
1
n
R − y∗
(4.24)
l’equazione (4.23) diventa:
u∗,s0
½
¾
1
∗
∗
∗
= v,s0 +
[w + y ϕ] n
R − y∗ 0
½
¾
1
∗
∗
∗
+ −
v + [w0 + y ϕ],s0 t
R − y∗
(4.25)
La deformazione si determina allora come:
∂u∗3
1
=−
v∗ + w0∗ ,s0 + y ∗ ϕ,s0
0
∂s
R − y∗
1
∂u∗ ∂u∗
[w0∗ + y ∗ ϕ] + ϕ
γ = 20 + ∗3 = v,s∗ 0 +
∗
∂s
∂y
R−y
ε=
(4.26)
Tenendo conto della relazione:
R ∂
∂
=
∂s0
R − y ∗ ∂s
1
(4.27)
Frenet, Jean (Périgueux 1816 - Périgueux 1900), etrato nella Scuola Normale Superiore nel 1840,
ha studiato successivamente a Tolosa, dove scrisse la sua tesi di dottorato nel 1847. Parte della tesi
contiene la teoria delle curve nello spazio e le formule ben note come Formule di Frenet. Frenet in
realtà fornì solo 6 delle 9 formule; infatti Serret successivamente ha determinato le altre 3. Frenet ha
pubblicato parte della tesi in Journal de Mathématiques Pures et Appliques nel 1852.
Frenet diventò professore a Tolosa, quindi nel 1848 si trasferì a Lione come professore di matematica,
dove è stato direttore dell’osservatorio astronomico, conducendo studi anche sulla meteorologia.
4.1. LE EQUAZIONI DELL’ARCO
la (4.26) diventa:
61
£ ∗
¤
1
R
∗
∗
ε = − R−y
∗ v + R−y ∗ w0 ,s + y ϕ,s
R
1
∗
∗
∗
γ = R−y
∗ v,s + R−y ∗ [w0 + y ϕ] + ϕ
(4.28)
Nel caso di trave ad asse rettilineo in cui il raggio di curvatura sia molto maggiore
della dimensione della sezione retta, i.e. R À y ∗ , le equazioni di congruenza (4.28)
forniscono:
1
ε = − v∗ + w0∗ ,s + y ∗ ϕ,s
R
1
∗
γ = v,s + w0∗ + ϕ
R
(4.29)
La deformazione assiale, la curvatura e lo scorrimento angolare in definitiva valgono:
1
ε0 = − v ∗ + w0∗ ,s
R
c = ϕ∗,s
γ = v,s∗ +
1 ∗
w +ϕ
R 0
(4.30)
che in forma matriciale diventano:
con
⎡
e =⎣
∆
d
ds
− R1
0
1
R
d
ds
0
⎤
1
0 ⎦
d
ds
e η∗ = d
∆
⎧ ∗ ⎫
⎨ v ⎬
∗
w0∗
η =
⎩
⎭
ϕ
(4.31)
⎧
⎫
⎨ γ ⎬
ε0
d=
⎩
⎭
c
(4.32)
Introducendo il vettore degli spostamenti η, letti nel sistema di riferimento globale,
come il ruotato tramite la matrice R del vettore η ∗ , si ha:
η∗ = R η
(4.33)
e Rη = d
∆
(4.34)
per cui l’equazione (4.31) diventa
4.1.3
Legame costitutivo
Le relazioni tra gli enti deformazione della trave (γ, ε0 , c) e le caratteristiche della
sollecitazione (T, N, M) sono:
T = G As γ
N = E A ε0
(4.35)
M =EIc
ovvero in forma matriciale:
Q = Cd
(4.36)
62
CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO)
con
⎡
⎤
G As 0
0
EA 0 ⎦
C=⎣ 0
(4.37)
0
0
EI
essendo E il modulo elastico, G il modulo a taglio, A l’area della sezione retta, I il
momento d’inerzia della sezione retta e As l’area efficace a taglio.
4.1.4
Problema dell’equilibrio elastico
Il problema dell’equilibrio elastico è definito dalle equazioni derivate, riportate per
maggiore chiarezza nel seguito.
• Equazioni di equilibrio (4.20)
∆Q + Rf = 0
(4.38)
• Equazioni di congruenza (4.34)
• Equazioni di legame (4.36)
e Rη = d
∆
(4.39)
Q = Cd
(4.40)
L’equazione della linea elastica per la trave ad asse curvilineo si ottiene sostituendo la
(4.39) nella (4.40) ed il risultato nella (4.38), premoltiplicata per RT :
4.1.5
Esempio 1
e Rη + f = 0
RT ∆ C ∆
(4.41)
Si considera un arco circolare a tutto sesto incastrato e soggetto ad una forza concentrata F in chiave, come illustrato in figura 4.5. Vista la simmetria della struttura è
possibile studiare solo la metà dell’arco come mostrato in figura 4.5.
Si risolve il sistema di equazioni differenziali (4.41) ponendo f = 0. Le costanti di
integrazione si determinano imponendo le condizioni al contorno:
T (0)
w(0)
ϕ(0)
v(π/2)
w(π/2)
ϕ(π/2)
=
=
=
=
=
=
−F/2
0
0
0
0
0
4.1. LE EQUAZIONI DELL’ARCO
63
F/2
F
z
z
y
y
Figura 4.5: Arco corcolare a tutto sesto incastrato.
Si considerano i seguenti dati geometrici, del materiale e di carico:
• sezione rettangolare b = 100 mm, h = 100 mm;
arco circolare R = 865 mm;
• moduli elastici: E = 1500 MPa, ν = 0.2;
• forza applicata: F = 5000 N.
In figura 4.6 sono riportati i diagrammi del taglio, dello sforzo normale e del momento flettente per l’arco incastrato, ottenuti come soluzione del problema dell’equilibrio
elastico. Analogamente in figura riportati i diagrammi degli spostamenti orizzontali e
verticali dell’arco.
4.1.6
Esempio 2
Si considera un arco circolare a tutto sesto incernierato agli estremi e con una cerniera
anche in chiave. Tale schema è comunemente detto arco a tre cerniere. La struttura è
soggetta anche in questo caso ad una forza concentrata F in chiave, come illustrato in
figura 4.8. Come per il caso precedente, vista la simmetria della struttura è possibile
studiare solo la metà dell’arco come mostrato in figura 4.8.
Poichè la struttura è isostatica è possibile risolvere il problema statico indipendentemente dalla cinematica. La soluzione delle equazioni differeziali di equilibrio (4.8),
64
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taglio
sforzo normale
momento flettente
Figura 4.6: Diagrammi del taglio, dello sforzo normale e del momento flettente per
l’arco incastrato.
s p o s ta m e n to ve rtic a le
s p o s ta m e n to o riz z o n ta le
Figura 4.7: Diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticali dell’arco.
4.1. LE EQUAZIONI DELL’ARCO
65
F/2
F
z
z
y
y
Figura 4.8: Arco a tre cerniere soggetto ad una forza concentrata in chiave.
(4.9) e (4.10), assume la forma:
1
F (cos θ + sin θ)
2
1
F (cos θ − sin θ)
T =
2
1
T =
F R (cos θ + sin θ − 1)
2
N =
In figura sono riportati di diagrammi del taglio, dello sforzo normale e del momento
flettente per R = 865 mm e F = 5000 N,
66
CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO)
taglio
sforzo normale
momento flettente
Figura 4.9: Taglio, sforzo normale e momento flettente per un’arco circolare a tre
cerniere.