Equazione dei tre momenti: dimostrazione

12 Travi iperstatiche
12.2 Travi continue
1
12.2.2 Il procedimento di calcolo
Equazione dei tre momenti: dimostrazione
La rotazione a una estremità di una trave soggetta a carichi
esterni e a momenti di estremità può essere determinata come
somma algebrica della rotazione dovuta ai carichi e di quella
dovuta ai momenti applicati alle estremità, pertanto considerando la trave di figura a si ha:
β3 =
D*1
l3
+
⋅(M C + 2 ⋅ M D )
E3 ⋅ I3 6 ⋅ E3 ⋅ I3
D*2
l4
α4 =
+
⋅(2 ⋅ M D + M E )
E4 ⋅ I4 6 ⋅ E4 ⋅ I4
[1]
dove:
■ D*
1 e D*
2 rappresentano le reazioni fittizie in corrispondenza
dell’appoggio D rispettivamente delle campate CD e DE,
considerate semplicemente appoggiate agli estremi e soggette ai soli carichi esterni;
■
■
0
D*2
D*1
sono le rotazioni in D, dovute ai soli carie
E3 ⋅ I3 E 4 ⋅ I 4
chi esterni agenti sulla trave appoggiata;
l4
l3
⋅(M C + 2 ⋅ M D ) e
⋅(2 ⋅ M D + M E ) sono le
6 ⋅ E3 ⋅ I3
6 ⋅ E4 ⋅ I4
rotazioni in D, dovute ai momenti di appoggio agenti sulla
trave appoggiata considerata scarica.
Sostituendo le [1] nell’equazione generale di elasticità,
β3 = − α4, si ottiene:
MC ⋅
D *2 ⎞
⎛ D*1
= − 6⋅⎜
+
⎟
⎝ E3 ⋅ I3 E 4 ⋅ I 4 ⎠
[2]
L’equazione dei tre momenti di Clapeyron è valida per una
trave eterogenea e a sezione variabile, nella quale i termini
al primo membro contengono i momenti su tre appoggi consecutivi generici; in essa figurano inoltre i termini E3, E4 e I3, I4
che rappresentano rispettivamente i moduli elastici relativi ai
materiali con i quali saranno realizzate le campate CD e DE e
i momenti di inerzia relativi alle sezioni delle campate stesse.
Se la trave è a sezione variabile ma è omogenea, in quanto
eseguita con un solo materiale, per cui il modulo elastico E
è uguale e costante per tutte le campate, risulta E3 = E4 = E;
perciò moltiplicando per E entrambi i membri della [2] si ottiene:
MC ⋅
l3
l ⎞
l
⎛l
+ 2⋅M D ⋅⎜ 3 + 4 ⎟ + M E ⋅ 4 =
⎝ I3 I4 ⎠
I3
I4
⎛ D* D* ⎞
= − 6⋅⎜ 1 + 2 ⎟
⎝ I3
I4 ⎠
[3]
Se la trave è omogenea e presenta la stessa sezione in tutte
le campate, il momento d’inerzia è costante e quindi la [4]
diventa:
M C ⋅ l3 + 2 ⋅ M D ⋅ ( l3 + l 4 ) + M E ⋅ l 4 = − 6 ⋅(D *1 + D *)
2
[4]
l3
l ⎞
l
⎛ l
+ 2 ⋅ MD ⋅⎜ 3 + 4 ⎟ + ME ⋅ 4 =
⎝ E3 ⋅ I3 E 4 ⋅ I 4 ⎠
E3 ⋅ I3
E4 ⋅ I4
a
© SEI - 2012