Stabilità dell`equilibrio* I problemi di stabilità dell`equilibrio

Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
Stabilità dell'equilibrio*
I problemi di stabilità dell'equilibrio sono di tipo fondamentalmente diverso dai
problemi di equilibrio, sia in campo elastico, sia in campo elasto-plastico.
Fig. 1.
Elemento essenziale dei problemi di stabilità è l'influenza dello stato di
deformazione sullo stato di tensione; in altri termini, quando si tratta un qualsiasi altro
problema, come ad esempio la determinazione del momento flettente nella trave di
figura 1, nella sezione generica avremo:
z
∫
M = Rz − p( z )zdz
(1)
a
indipendentemente dal fatto che la trave sia deformata. Tutte le distanze sono
calcolate nella configurazione iniziale indeformata; invece, tenendo conto della
deformazione della trave, tutti i bracci di leva risulterebbero alterati dalla deformazione
della trave, come, a rigore, si dovrebbe tenere conto in quanto le caratteristiche di
sollecitazione sono conseguenti all'applicazione dei carichi e quindi si riferiscono alla
configurazione deformata e non a quella iniziale.
Però in questi problemi confondere le due configurazioni, e questo è giustificato
dall’osservazione che le deformazioni sono molto piccole, infinitesime nelle nostre
usuali ipotesi, inciderà sulla determinazione delle caratteristiche di sollecitazione in
misura trascurabile.
Nei problemi usuali della Scienza delle Costruzioni normalmente si prescinde
dall'influenza della deformazione nel valutare lo stato di tensione; vi sono però dei casi
in cui il trascurare l'influenza dello stato di deformazione non ha un carattere
puramente quantitativo, bensì essenziale ed è proprio questa influenza che dà
significato al problema. A tale situazione complessa appartengono appunto i problemi
di stabilità ed altri, sui quali non insistiamo nei quali si vuole giudicare il tipo di
equilibrio; in altri termini, oltre a stabilire se il sistema è equilibrato o meno, si vuole
valutare anche come è equilibrato, e precisamente se l'equilibrio è stabile, instabile o
*
Tratto da: R.F. Baldacci, Complementi di Scienza delle Costruzioni, §9, in “Problemi di base
delle strutture metalliche”, Istituto di Scienza delle Costruzioni, Genova, 1969, Tamburini ed.
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Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
indifferente.
Per esaminare il lato concettuale del problema ci riferiremo a sistemi ad elasticità
concentrata, in modo da poter svolgere l'analisi necessaria in modo elementare.
Instabilità per diramazione
Consideriamo come primo esempio la trave incastrata ad un estremo e caricata
assialmente di figura 2 in cui si suppone la trave rigida e l'incastro cedevole
elasticamente con rigidezza K. Pertanto la trave non si deforma mentre l'incastro
permetta una rotazione di tipo elastico, proporzionale al momento reattivo :
MR = Kα
(2)
dove la costante elastica K ha dimensioni [Nm/rad] .
l
Fig. 2.
Fig. 3.
La trave è equilibrata purché la reazione del vincolo sia eguale al carico P. Per
valutare che tipo di configurazione di equilibrio si tratti si deve esaminare cosa accade
in configurazioni variate, ottenute dalla configurazione fondamentale imprimendo una
deformazione che, in questo caso, consiste in una rotazione rigida. Consideriamo
allora una configurazione diversa da quella fondamentale di una quantità finita α e
scriviamo l'equilibrio per questa configurazione variata, figura 3.
L'equilibrio alla traslazione verticale non è cambiato e si ha ancora:
R=P.
(3)
In seguito alla rotazione α nasce il momento attivo
M A = P l sen(α )
(4)
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Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
e l'equilibrio sussiste se MR = MA. Questa condizione di equilibrio comporta:
P=
Kα
l sen(α)
,
(5)
e quindi la configurazione variata è in equilibrio se P ha il valore dato dall’equazione
(5).
Per discutere la stabilità dell’equilibrio si diagrammi la funzione P(α), il cui
andamento si ricava immediatamente, figura 4.
Fig. 4.
Si osserva che il valore PK = K/l è il valore del carico per α →0, per cui, quando
P<PK il momento reattivo MR è sempre maggiore del momento attivo MA. Per un
qualsiasi valore di P compreso tra 0 e K/l, si imponga alla trave una rotazione che la
porti in una configurazione variata diversa da quella iniziale e dalla quale la si rilascia
istantaneamente: la trave ritorna nella posizione iniziale, ovvero, in altri termini, i carichi
P inferiori a PK caratterizzano un equilibrio evidentemente stabile.
Per carichi P superiori a PK accade che, se una qualsiasi perturbazione sposta la
trave dalla posizione verticale, essa continua a ruotare fino a raggiungere un angolo α
per cui s’instauri una situazione di equilibrio per MR=MA. Ma queste situazioni,
rappresentate dai punti dell'asse P al di sopra di PK, caratterizzano configurazioni di
equilibrio instabile per la trave diritta, mentre sono di equilibrio stabile per la trave
ruotata.
Per P = PK l'equilibrio è poi indifferente, cioè sono possibili variazioni infinitesime
dalla posizione diritta nel rispetto dell'equilibrio. Il carico PK che segna, allora, il limite
tra posizioni di equilibrio stabile e configurazioni di equilibrio instabile per la trave
diritta, e prende il nome di carico critico; esso è tipico della situazione di indifferenza.
In PK si dice che l'equilibrio si dirama in quanto esiste la possibilità che sussistano
configurazioni diritte instabili e di configurazioni ruotate stabili: il punto PK prende il
nome di punto di biforcazione dell’equilibrio.
L'esempio discusso mostra il significato concettuale del carico critico. Se si
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Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
considera la trave caricata di punta rimuovendo l’ipotesi di elasticità concentrata e
supponendola distribuita lungo tutto l’asse, cioè quando si consideri la classica trave di
Eulero, la trattazione ordinaria si limita a studiarne il comportamento in corrispondenza
del carico critico. Come noto, si ritrova che la trave è in equilibrio sotto il carico critico
ed i suoi multipli quadrupli; tuttavia, i carichi critici superiori al primo corrispondono a
situazioni instabili di equilibrio e quindi non hanno significato. In altre parole, in una
trave caricata di punta, i carichi superiori al primo carico critico euleriano non
interessano in quanto corrispondenti a situazioni di equilibrio instabile.
Fig. 5.a
Fig. 5.b
Un altro esempio, egualmente semplice ma dai risvolti inaspettati, è quello della
trave appoggiata. Analogamente a quanto fatto in precedenza, supponiamo la trave
rigida e dotata di un appoggio elastico, come indicato in figura 5, e si voglia anche qui
valutare, in condizioni di equilibrio, quale tipo di equilibrio sussista.
Consideriamo ancora una configurazione ruotata, e scriviamo la condizione di
equilibrio alla rotazione. Essendo i momenti attivo e reattivo :
M A = Pl sen(α )
(6)
M R = K l sen(α ) l cos (α ) ,
(7)
tale condizione diviene semplicemente :
M A = MR
⇔
P = K l cos (α ) ,
(8)
In analogia con l’esempio precedente si riporti l'andamento della funzione P(α)
come indicato in figura 6. Si osserva allora che nella configurazione diramata
l'equilibrio sussiste per carichi inferiori a quello critico PK = K/l, corrispondente al valore
α →0.
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Fig.6.
Supponiamo di avere raggiunto il carico critico e di fare ruotare la trave: la
rotazione porta la trave al di fuori della sua configurazione originaria e, una volta
attivata, continua ad ampliarsi indefinitamente. In altri termini, il momento reattivo
diminuisce con α, cioè all'aumentare della rotazione α si verifica una diminuzione della
reazione del vincolo. Questo tipo d’instabilità è indubbiamente più pericoloso del
precedente, perché qui addirittura, raggiungendo il carico critico l'equilibrio non
sussiste più in nessuna configurazione variata.
Instabilità senza diramazione
Vediamo ora un altro tipo di instabilità, apparentemente più semplice, dove non
esiste diramazione. E ciò per mostrare come, nella trattazione dei problemi di stabilità,
le sole teorie di biforcazione risultare limitative in quanto conducono ad escludere una
classe importante di fenomeni, nei quali si perviene a situazioni di instabilità senza
biforcazione dell'equilibrio.
Prendiamo dunque in esame il problema dell'arco a tre cerniere, figura 7.
Fig. 7.
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Al crescere del carico P le aste, compresse, si accorciano finché, per un dato
valore del carico P il sistema scatta verso il basso con violenza, liberando l'energia di
deformazione, accumulata durante la compressione delle aste.
Iniziamo a studiare il problema con i metodi usuali della Scienza delle Costruzioni,
e precisamente determiniamo l'abbassamento f della cerniera superiore con il Teorema
dei Lavori Virtuali (il sistema di forze virtuali consiste in una forza esplorativa unitaria
posta nel punto di cui si chiede lo spostamento e nella direzione di quello spostamento.
Il sistema virtuale, allora, coincide con quello reale a patto di considerare la forza P di
valore unitario). Abbiamo così:
1* f = 2 *
S * S1
EA
=
2
1
P
,
EA 2 sen(α ) 2 sen(α )
(9)
essendo S1=1/2 senα lo sforzo normale nei puntoni generato dalla forza verticale
unitaria applicata nella cerniera centrale, S lo sforzo normale prodotto dalla forza P.
In definitiva:
P
,
(10)
f =
2EA sen 2 (α )
ovvero:
P = 2EA f sen 2 (α ) ,
(11)
Tracciamo la curva P(α): essa avrà un andamento del tipo indicato in figura 8.
La relazione (11) non mette in evidenza alcun fenomeno nuovo, in quanto dedotta
partendo dalla configurazione iniziale senza tenere conto dell'influenza della
deformazione nell'analisi dello stato di tensione, cioè del fatto che le sollecitazioni nelle
aste variano al variare di α.
P
α
Fig. 8.
Ripetiamo dunque la trattazione lasciando ad α il suo significato, cioè di parametro
cinematico che descrive la configurazione iniziale, ma teniamo conto che esso varia
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Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
con la deformazione e indichiamone con ~
α il valore corrente. La forza normale S nelle
aste sarà allora data da :
P
,
(12)
S=
2 sen (~
α)
e si avrà poi:
h−f
sen (~
α) = ~ ,
(13)
l
dove, indicando con ε il coefficiente di dilatazione lineare:
~
l =l
l = l (1 − ε ) .
(14)
[l (1 − ε)] 2 = a 2 + (h − f )2 ,
(15)
−ε
Possiamo inoltre scrivere che:
da cui sviluppando:
ε = 1−
1
l
l 2 + f 2 − 2hf
,
(16)
e in definitiva, sostituendo nella (12), si ottiene:
P = 2S sen(~
α ) = 2S
h−f
l 2 + f 2 − 2hf
.
(17)
Assumendo per il modello costitutivo assiale un legame elastico lineare del tipo
S = σA = EAε ,
(18)
per sostituzione nella (17) si ottiene:
P=
2EA (h − f )
l
2
1

1 −
l
+ f − 2hf 
2
l 2 + f 2 − 2hf  .

(19)
Questa relazione permette di descrivere interamente il fenomeno, cioè di tracciare
la curva P(f) come risulta dal grafico di figura 9.
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Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
Fig. 9.
Il carico cresce fino ad un valore massimo e poi decresce, si annulla per f = h,
diventa negativo fino a che si annulla nuovamente al raggiungimento della freccia f =
2h; questa circostanza corrisponde alla situazione in cui le aste, dopo essere passate
al di sotto dell’orizzontale, si sono completamente scaricate (posizione simmetrica
inferiore). Ora, per deformarle dobbiamo nuovamente aumentare il carico: da questo
punto in poi non vi è più instabilità in quanto le aste sono tese e possono allungarsi fino
a completo snervamento. Nelle strutture reali questa configurazione simmetrica
inferiore, nuovamente di equilibrio, difficilmente viene raggiunta in quanto intervengono
altri fenomeni, come l’instabilità flesso-torsionale al di fuori del piano dell’arco, che
conducono al collasso della struttura.
Consideriamo più attentamente il ramo di curva tratteggiato: i suoi punti
corrispondono a configurazioni di equilibrio instabile. Supponiamo infatti di essere nella
posizione A; in essa le aste sono ancora compresse sebbene parzialmente scaricate:
la configurazione A non può quindi essere stabile ed il sistema tenderà a raggiungere
la configurazione B.
Il valore critico Pk del carico si ottiene infine osservando che in corrispondenza di
questo la tangente alla curva P(α) è orizzontale. Dalla relazione:


1
dP
a
 cos (~
 =0.
2
)
=
EA
α
−
2 ~ 

l
d~
α
cos
(
α
)


si ottiene:
( )
a
cos 3 ~
αk = ,
l
(20)
(21)
e sostituendo nella (12) si determina infine il valore critico del carico:
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Introduzione alla stabilità dell’equilibrio
( )
Pk = 2EA sen 3 ~
αk .
(22)
Gli esempi discussi hanno notevole importanza per comprendere quale sia
l'essenza dei fenomeni d’instabilità dell'equilibrio elastico nei suoi vari aspetti. Quando
ci si riferisca a strutture ad elasticità diffusa, cioè a sistemi elastici continui, ci troviamo
di fronte a difficoltà analitiche spesso insormontabili: da un punto di vista concettuale,
però, non esiste differenza alcuna rispetto ai semplici casi sopra esposti.
Si osserva che nelle strutture reali il problema della stabilità dell’equilibrio può
intervenire con un materiale che manifesta una risposta non lineare. Ci si riferisce in
questo caso all’instabilità dell’equilibrio in fase elasto-plastica. Per approfondimenti si
faccia riferimento a: A. Brencich, Stabilità dell’equilibrio elasto-plastico, Capitolo 5, e
Stabilità delle strutture intelaiate, Capitolo 6 di “Analisi non lineare delle Strutture”, a
cura di A. Carpinteri, Pitagora, Bologna, 1998.
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