Trave appoggiata a un estremo e incastrata all`altro

12 Travi iperstatiche
1
12.1 Travi iperstatiche a una campata
12.1.3 Trave appoggiata a un estremo e incastrata all’altro, gravata di un carico concentrato
Trave appoggiata a un estremo e incastrata all’altro,
con carico ripartito triangolare
La trave [fig. a] è 1 volta iperstatica.
abbassamento fq dovuta al carico ripartito [fig. b] e della freccia di innalzamento fa provocata dal carico concentrato RA corrispondente alla reazione [fig. c] deve essere nulla, per cui
l’equazione di congruenza risulta:
q
qx
MB
HB
A
X
x
f q + fa = 0
B
q
VB
x
VA
fq
l
Fig. b
fa
y
T
Y
0
0
RA
Fig. c
y = 0,447 ◊ l
Poiché:
q ⋅ l4
30 ⋅ E ⋅ I
R ⋅ l3
fa = A
3⋅E⋅I
fq =
Sostituendo e riducendo si ottiene:
q ⋅ l 4 − 10 ⋅ RA ⋅ l 3 = 0
che risolta fornisce:
RA =
MB
z = 0,775 ◊ l
M
0
RB =
MAB
Fig. a
S Px = 0
q⋅l q⋅l
−
2
10
ossia:
RB =
1. Calcolo delle reazioni vincolari
2
⋅q⋅l
5
[3]
2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio
Nella sezione generica X a distanza x da A lo sforzo di taglio
vale:
HB = 0
S Py = 0
q⋅l
=0
2
q⋅l
RA + RB =
2
[2]
e per la [1]:
Z
0
q⋅l
10
VX = RA −
RA + RB −
[1]
Poiché l’estremo A della trave non deve essere soggetto a traslazione verticale, nella trave a mensola che si ottiene sopprimendo l’appoggio A la somma algebrica della freccia di
qx ⋅ x
2
[4]
dove:
qx = q ⋅
Per x = 0:
x
l
VAs = 0
VAd = RA =
q⋅l
10
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12 Travi iperstatiche
2
12.1 Travi iperstatiche a una campata
12.1.3 Trave appoggiata a un estremo e incastrata all’altro, gravata di un carico concentrato
Per x = l:
VBs =
q⋅l q⋅l
2
−
= − ⋅ q ⋅ l = RB
10
2
5
5. Calcolo della freccia in mezzeria
Con le indicazioni della figura d risulta:
Uguagliando a zero l’equazione del taglio si ricava l’ascissa
della sezione ove si ha V = 0:
y=
l
≈ 0,4472 ⋅ l
兹5苴
Per x = 0:
Per x =
2
ed essendo:
fq =
3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente
In una sezione generica X il momento flettente è dato da:
MX = RA ⋅ x −
f l = f q + fm
qx ⋅ x x q ⋅ l
q ⋅x
⋅ =
⋅x − x
2 3
10
6⋅l
5 q ⋅ l4
⋅
768 E ⋅ I
fm =
MB ⋅ l 2
q ⋅ l4
=−
16 ⋅ E ⋅ I
240 ⋅ E ⋅ I
sostituendo si ottiene:
fl =
3
[5]
2
3 q ⋅ l4
⋅
1280 E ⋅ I
[9]
MA = 0
q
l
:
兹5苴
MAB = M +max =
q ⋅ l2
15 ⋅ 兹5苴
[6]
q ⋅ l2
15
[7]
A
α fl
B
2
Per x = l:
MB = M −max = −
Uguagliando a zero la [5] si ricava la posizione della sezione
Z di momento nullo, che fornisce il valore z ≈ 0,775 ⋅ l.
q
MB
A
4. Calcolo della rotazione
Si applica il principio di sovrapposizione degli effetti, sopprimendo l’incastro in B e sostituendolo con il momento d’incastro MB [fig. d], per cui la rotazione α in A è data dalla
somma algebrica della rotazione αq dovuta al carico ripartito
gravante sulla trave considerata appoggiata, e dalla rotazione
αm dovuta al momento MB agente in B sulla trave considerata
scarica, ossia:
q
α = αq + αm
A
7 q ⋅ l3
⋅
360 E ⋅ I
B
αq
ed essendo:
αq =
B
f
αm =
fq
MB ⋅ l
q ⋅ l3
=−
6⋅E⋅I
90 ⋅ E ⋅ I
sostituendo e risolvendo si ottiene:
α=
q ⋅ l3
120 ⋅ E ⋅ I
αm
[8]
Fig. d
A
MB
fm
B
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