La ripartizione trasversale dei carichi

modulo D
I ponti
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Unità 1 La progettazione dei ponti
La ripartizione trasversale dei carichi
La disposizione dei carichi da considerare nei calcoli della struttura deve essere quella più gravosa, ossia
quella che determina i massimi valori delle sollecitazioni.
Tale aspetto investe due problemi:
– determinazione della massima sollecitazione tagliante in una sezione e individuazione della sezione ove
si verifica il massimo dei momenti flettenti, studio sommariamente effettuato nel testo limitatamente a
travi appoggiate agli estremi;
– disposizione trasversale più gravosa dei carichi con determinazione delle quote di questi che competono
alle varie travi principali, ossia la ripartizione trasversale dei carichi, tenendo conto che i carichi percorrenti un ponte si trovano normalmente in posizione eccentrica rispetto all’asse longitudinale della struttura.
fig. 1
fig. 2
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011
Quest’ultimo problema può essere risolto applicando l’ipotesi semplificata di Albenga-Courbon, in base
alla quale la sovrastruttura si considera costituita di travi longitudinali fra loro collegate da traversi infinitamente rigidi, per cui tutto l’impalcato si comporta come un elemento perfettamente rigido e quindi
non può inflettersi nel piano trasversale verticale.
Il metodo di Albenga-Courbon è approssimato, però presenta il vantaggio di un’applicazione abbastanza
semplice; può essere applicato solo per impalcati a pianta rettangolare allungata.
Al fine di capire il criterio posto alla base dell’ipotesi di Courbon, prendiamo per primo in considerazione
un ponte con traversi di limitata sezione, e pertanto particolarmente flessibili, e supponiamo che il carico sia
disposto vicino al bordo del marciapiede laterale [fig. 1]; a causa della notevole flessibilità dei traversi, questi e la soletta si deformano trasversalmente e il carico si distribuisce in modo differente fra le varie travi, e
precisamente le travi A e B sopportano la maggior parte del carico, mentre la trave D è quasi scarica.
Courbon considera invece i traversi con una rigidezza elevata, perfettamente solidali con le travi principali, e le due serie di travi presentano una rigidezza flessionale pressoché uguale. Con tale situazione il
complesso di impalcato, costituito di travi principali, traversi e soletta, non può flettersi trasversalmente
come prima per effetto del carico, che provoca invece una rotazione rigida dell’impalcato in senso trasversale [fig. 2], determinando una ripartizione lineare dei carichi.
Poiché il carico considerato percorre di norma il ponte in posizione eccentrica, la risultante P di tale carico presenta un’eccentricità e rispetto all’asse longitudinale, per cui la situazione è analoga a quella che si
ha nella presso-flessione, riferita però a un sistema discontinuo formato dalle n travi principali.
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Applicando il teorema del trasporto, la situazione anzidetta è uguale a quella che si ha applicando la forza
P sull’asse longitudinale e aggiungendo il momento M = P ⋅ e [fig. 3]. Poiché il carico P può assumere
infinite posizioni, occorre determinare, in funzione di ogni valore dell’eccentricità e, la quota parte di P
che viene a gravare su una determinata trave. Prendiamo quindi in esame una soletta di impalcato e immaginiamo di sostituire le travi principali, che supponiamo di uguale rigidezza, ossia con uguale momento
d’inerzia, omogenee, con le stesse caratteristiche geometriche di sezione e uguale interasse, con altrettante molle anch’esse tutte con le medesime caratteristiche.
La forza P [fig. 4a] applicata sull’asse longitudinale del ponte determina uno spostamento δ uguale di tutte
le molle, dipendente dall’intensità della P, ognuna delle quali ha una reazione r con intensità:
P
n
essendo n il numero delle molle, ossia delle
travi principali.
Il momento P ⋅ e, applicato in corrispondenza dell’asse della carreggiata [fig. 4b], provoca una rotazione rigida α dell’impalcato
intorno al punto O con spostamenti δ tutti
differenti, ma proporzionali alla distanza d
delle molle, ossia delle travi, dall’asse, che
reagiscono con reazioni r⬘ diverse in quanto
diverse sono le aliquote del carico P che
ogni molla deve sopportare e che determinano il loro spostamento.
Generalizzando, la reazione r⬘i di una generica molla i risulta [fig. 4c]:
r=
r⬘i = δi = α ⋅ di
[1]
[2]
fig. 3
e quindi:
α=
r⬘i
di
[3]
a)
essendo δi il suo spostamento e d i la sua
distanza dal punto O.
Per l’equilibrio alla rotazione dell’impalcato, al momento M = P ⋅ e devono opporsi i
momenti delle reazioni r⬘ di tutte le molle,
sempre rispetto al punto O, e quindi deve
essere:
i=n
P ⋅ e = ∑ r⬘i ⋅ di
b)
Sostituendo la [2]:
i=n
i=n
i=1
i=1
P ⋅ e = ∑ α ⋅ d2i = α ⋅ ∑ d 2i
e per la [3]:
c)
r⬘ i=n
P ⋅ e = i ⋅ ∑ d 2i
di i=1
da cui:
r⬘i =
P ⋅ e ⋅ di
i=n
∑ di2
i=1
fig. 4
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i=1
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Per il principio di sovrapposizione degli effetti l’aliquota Pi che compete alla trave i è uguale alla somma
delle reazioni r ed r⬘ dovute rispettivamente al carico P e al momento M, ossia:
Pi = r + r⬘i =
P P ⋅ e ⋅ di
± i=n
n
∑ d 2i
i=1
La quota Pi del carico P che agisce sulla trave generica i è quindi data da:
⎛1 e⋅d
⎞
Pi = P ⋅ ⎜ ± i=n i = P ⋅ ki⎟
⎜n
⎟
∑ d 2i
⎝
⎠
[4]
i=1
Il fattore:
1 e⋅d
ki = ± i=n i
n
∑ d 2i
[5]
i=1
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è detto coefficiente di ripartizione del carico P per la trave i considerata.
Nella [4] il segno positivo si assume per le travi che, rispetto all’asse dell’impalcato, si trovano dalla stessa parte del carico P o della risultante dei carichi.
La trave più sollecitata è sempre quella più lontana dall’asse, detta trave di riva, per cui i calcoli di progetto e le verifiche di sicurezza vengono sviluppati solo per questa trave, dato che di norma tutte le travi
dell’impalcato sono uguali.
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ESERCIZIO
S V O LTO
Calcolare i coefficienti di ripartizione del carico P = 70 kN gravante su un impalcato da ponte
costituito di 6 travi poste a un interasse costante i = 2,00 m [fig. a] e relativi alla trave di riva.
a
b
1 di riva e ricaviamo il
Supponiamo dapprima che il carico P venga a coincidere con la trave 䊊
relativo coefficiente k1(1) e quello k1(6) della trave simmetrica; si ha quindi:
e=
5
⋅ i = 5,00 m
2
d1 = − d6 = 5,00 m
d2 = − d5 = 3,00 m
d3 = − d4 = 1,00 m
k1 =
1 e ⋅ di 1
5,00 × 5,00
1
± i=n = ±
= ± 0,3571
2
2
2
n
6 2 × 5,00 + 2 × 3,00 + 2 × 1,00 6
∑ d 2i
i=1
e quindi i coefficienti di ripartizione relativi alle travi 䊊
1 e䊊
6 , quest’ultima simmetrica alla 䊊
1,
risultano rispettivamente:
1
+ 0,3571 ≈ 0,5238
6
1
k1(6) = − 0,3571 ≈ − 0,1904
6
k1(1) =
Riportando su una fondamentale i due valori calcolati si ottiene il diagramma in figura b.
Per calcolare i coefficienti di ripartizione delle altre travi si considera il carico P gravante prima
2 e si ricava il coefficiente k1(2) e quello k1(5) della trave simmetrica 䊊
5 , e quindi sulla
sulla trave 䊊
3 per i coefficienti k1(3) e k1(4), applicando sempre la [5].
trave 䊊
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Sostituendo nella [5] si ha:
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Più semplicemente i valori di questi coefficienti si possono ottenere considerando la proporzionalità fra i lati dei triangoli simili, individuando prima la distanza d0 dal punto O:
0,5238 : 7,33 = k1(2) : 5,33
k1(2) ≈ 0,3809
0,5238 : 7,33 = k1(3) : 3,33
k1(3) ≈ 0,2380
0,5238 : 7,33 = k1(4) : 1,33
k1(4) ≈ 0,0950
0,1904 : 2,67 = k1(5) : 0,67
k1(5) ≈ 0,0478
Per una qualunque posizione del carico P, l’ordinata, letta sul diagramma in figura b in corrispondenza del suo punto di applicazione C, fornisce il valore del coefficiente k per il quale si deve
1.
moltiplicare l’intensità di P per ottenere la quota di carico che grava sulla trave 䊊
Sul Manuale sono riportati i coefficiente di ripartizione per la sola trave di riva relativi a impalcati da
due a sette travi. Considerando la condizione più gravosa per carichi mobili, vengono trascurati i
coefficienti negativi, in quanto comportano una riduzione dei carichi che agiscono sulla trave di riva.
1 , in funzione della posiPertanto, con i valori calcolati, le quote del carico P gravanti sulla trave 䊊
zione del carico stesso, hanno le seguenti intensità:
1:
– il carico P è applicato sulla trave 䊊
P⬘1(1) = k1(1) ⋅ P = 0,5238 × 70 ≈ 36,67 kN
– il carico P è applicato sulla trave 䊊
2:
P⬘1(2) = k1(2) ⋅ P = 0,3809 × 70 ≈ 26,66 kN
– il carico P è applicato sulla trave 䊊
3:
P⬘1(3) = k1(3) ⋅ P = 0,2380 × 70 = 16,66 kN
– il carico P è applicato sulla trave 䊊
4:
P⬘1(4) = k1(4) ⋅ P = 0,0950 × 70 = 6,65 kN
– il carico P è applicato sulla trave 䊊
5:
P⬘1(5) = k1(5) ⋅ P = − 0,0478 × 70 = − 3,35 kN
– il carico P è applicato sulla trave 䊊
6:
Il segno negativo indica che le travi 䊊
5 e䊊
6 sono soggette a un carico diretto verso l’alto.
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P⬘1(6) = k1(6) ⋅ P = − 0,1904 × 70 = − 13,33 kN
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VERIFICA
Calcolare i coefficienti di ripartizione del carico concentrato P = 10 kN per le travi dell’impalcato
in figura e per la posizione C del carico.
0,50
C
1
2
3
1,50
1,50
1,00
3,00
1,00
- 0,167
0,833
0,333
0,4998
1,00
0,50
[vedi figura]
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2,50