I coefficienti fondamentali

18 - I coefficienti fondamentali
ü [A.a. 2012 - 2013 : ultima revisione 21 aprile 2013]
Sia nel calcolo di spostamenti attraverso il metodo di composizione, sia nella scrittura diretta delle equazioni
di congruenza, si fa frequentemente uso di rotazioni e spostamenti relativi a semplici schemi isostatici:
disponendo quindi di una opportuna "libreria" di risultati, il compito risultera' facilitato e sveltito. In questo
notebook si vogliono fornire i cosiddetti "risultati fondamentali", relativi agli schemi di trave a mensola e di
trave semplicemente appoggiata, soggette alle piu' comuni condizioni di carico.
Si tenga preliminarmente conto che banali considerazioni dimensionali portano ad esprimere le rotazioni
come:
ML
φ = α1
φ = α2
φ = α3
EI
FL2
(1)
EI
qL3
EI
rispettivamente in presenza di coppie applicate, di forze applicate, o di carichi distribuiti. Analogamente, gli
spostamenti si scriveranno come:
ML2
u2 = β1
u2 = β2
u2 = β3
EI
FL3
(2)
EI
qL4
EI
I coefficienti nondimensionali ai e bi dipenderanno dalle condizioni di vincolo. I casi di fondamentale
interesse sono:
1. - Trave a mensola: rotazione ed abbassamento all'estremo libero dovuti ad una coppia concentrata
nell'estremo libero
2. - Trave a mensola: rotazione ed abbassamento all'estremo libero dovuti ad una forza concentrata
nell'estremo libero
3. - Trave a mensola: rotazione ed abbassamento all'estremo libero dovuti ad un carico distribuito su tutta la
luce
4. - Trave appoggiata: rotazioni agli estremi dovute ad una coppia applicata in un estremo
5. - Trave appoggiata: rotazioni agli estremi dovute ad una forza concentrata in mezzeria
6. - Trave appoggiata: rotazioni agli estremi dovute ad un carico distribuito su tutta la luce
Questi dodici coefficienti possono dedursi utilizzando il metodo della doppia integrazione, oppure - piu'
semplicemente - il metodo delle analogie di Mohr.
18 - I coefficienti fondamentali .nb
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La trave a mensola
à Caso 1. - La mensola soggetta a coppia concentrata
Il primo caso e' illustrato in Figura 1. Il diagramma del momento e' immediato, in quanto e' costante, e pari
alla coppia applicata.
A
B
M
L
Figura 1 - Lo schema 1: trave a mensola con coppia all'estremo
La trave ausiliaria e' costituita da una mensola libera a sinistra ed incastrata a destra, e per essa bisogna
calcolare il momento (fittizio) ed il taglio (fittizio) in B. Le reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due
equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 2:
M
EI
A
B
L
Figura 2 - La trave ausiliaria per lo schema 1
R∗B +
MB∗
+
ML
=0
EI
M L2
(3)
=0
EI 2
da cui taglio e momento fittizio:
T∗ HLL = R∗B = −
M HLL =
∗
MB∗
=−
ML
EI
M L2
(4)
2 EI
e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, mentre l'abbassamento e' pari al momento
fittizio, puo' concludersi:
18 - I coefficienti fondamentali .nb
φ HLL =
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ML
EI
u2 HLL = −
(5)
M L2
2 EI
à Caso 2. La mensola soggetta a forza concentrata
Il secondo caso e' illustrato in Figura 3. Il diagramma del momento e' lineare, si annulla in corrispondenza
della forza, e puo' esprimersi come:
M Hx3 L = −F HL − x3 L
(6)
F
A
B
L
Figura 3 - Lo schema 2: trave a mensola con forza all'estremo
La trave ausiliaria e' costituita da una mensola libera a sinistra ed incastrata a destra, e per essa bisogna
calcolare il momento (fittizio) ed il taglio (fittizio) in B. Le reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due
equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 4:
FL
EI
A
B
L
Figura 4 - La trave ausiliaria per lo schema 2
R∗B −
1 FL
L=0
2 EI
1 FL 2
MB∗ −
L L=0
2 EI 3
da cui taglio e momento fittizio:
(7)
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354
FL2
T∗ HLL = R∗B =
2 EI
M∗ HLL = MB∗ =
(8)
FL3
3 EI
e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, mentre l'abbassamento e' pari al momento
fittizio, puo' concludersi:
φ HLL = −
u2 HLL =
FL2
2 EI
(9)
FL3
3 EI
à Caso 3. La mensola soggetta a carico distribuito
Il terzo caso e' illustrato in Figura 5. Il diagramma del momento e' quadratico, si annulla - insieme alla sua
derivata - in corrispondenza dell'estremo, e puo' esprimersi come:
M Hx3 L = −
q
2
HL − x3 L2
(10)
q
A
B
L
Figura 5 - Lo schema 3: trave a mensola con forza all'estremo
La trave ausiliaria e' costituita da una mensola libera a sinistra ed incastrata a destra, e per essa bisogna
calcolare il momento (fittizio) ed il taglio (fittizio) in B dovuto al carico fittizio:
q∗ Hx3 L = −
HL − x3 L2
2 EI
Le due equazioni di equilibrio permettono di scrivere, sullo schema di Figura 6:
q
(11)
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355
qL2
EI
A
B
L
Figura 6 - La trave ausiliaria per lo schema 3
L
R∗B + ‡ q∗ Hx3 L dx3 = 0
0
(12)
L
MB∗
+ ‡ q Hx3 L HL − x3 L dx3 = 0
∗
0
Gli integrali non presentano problemi, e quindi puo' scriversi:
T∗ HLL = R∗B =
M HLL =
∗
MB∗
qL3
6 EI
=
(13)
qL4
8 EI
e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, mentre l'abbassamento e' pari al momento
fittizio, puo' concludersi:
φ HLL = −
u2 HLL =
qL3
6 EI
(14)
qL4
8 EI
In definitiva, i coefficienti fondamentali per la trave a mensola sono sintetizzabili come in Tabella 1:
Rotazioni Spostamenti
Coppia concentrata
1
Forza concentrata
−2
Carico distribuito
−6
1
1
1
−2
1
3
1
8
Tabella 1 - I coefficienti fondamentali per la trave a mensola
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La trave appoggiata
à Caso 4. - La trave appoggiata soggetta a coppia concentrata in un estremo
Il quarto caso e' illustrato in Figura 7. Il diagramma del momento e' immediato, in quanto e' lineare, e pari
alla coppia applicata a destra, annullandosi a sinistra.
M
A
B
L
Figura 7 - Lo schema 4: trave appoggiata con coppia all'estremo
La trave ausiliaria e' costituita ancora da una trave appoggiata agli estremi, e per essa bisogna calcolare i
tagli (fittizio) agli estremi. Le reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo
schema di Figura 8:
M
EI
A
B
L
Figura 8 - La trave ausiliaria per lo schema 4
R∗A + R∗B +
R∗A
L+
1 ML
2 EI
1 ML L
=0
(15)
=0
2 EI 3
da cui subito:
T∗ H0L = −R∗A =
T∗ HLL = R∗B = −
ML
6 EI
ML
3 EI
e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, puo' concludersi:
(16)
18 - I coefficienti fondamentali .nb
φ H0L = −
φ HLL =
357
ML
6 EI
ML
3 EI
Il caso gemello, in cui la coppia agisce sull' estremo di sinistra, puo' essere trattato identicamente, e porta alle
rotazioni:
φ H0L =
ML
3 EI
ML
φ HLL = −
6 EI
(18)
à Caso 5. - La trave appoggiata soggetta a forza in mezzeria
Il quinto caso e' illustrato in Figura 9. Il diagramma del momento e' immediato, in quanto e' lineare a tratti,
si annulla agli estremi, e vale
FL
in
4
mezzeria:
F
A
B
L
Figura 9 - Lo schema 5: trave appoggiata con forza in mezzeria
La trave ausiliaria e' costituita ancora da una trave appoggiata agli estremi, e per essa bisogna calcolare i
tagli (fittizio) agli estremi. Le reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo
schema di Figura 10:
FL
4 EI
A
B
L
Figura 10 - La trave ausiliaria per lo schema 5
R∗A + R∗B + 2 ×
R∗A
L+
1
1
FL
L=0
2 4 EI
FL L L
2 4 EI 2
2
+
1 L
3 2
+
1
FL
L 2 L
2 4 EI 2 3 2
(19)
=0
18 - I coefficienti fondamentali .nb
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da cui subito:
T∗ H0L = −R∗A =
T∗ HLL = R∗B = −
F L2
16 EI
(20)
F L2
16 EI
e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, puo' concludersi:
F L2
φ H0L = −
16 EI
(21)
F L2
φ HLL =
16 EI
à Caso 6. - La trave appoggiata soggetta a carico distribuito
Il sesto ed ultimo caso e' illustrato in Figura 11. Il diagramma del momento e' parabolico, si annulla agli
estremi, e vale
qL2
8
in mezzeria, dove presenta tangente orizzontale:
M Hx3 L =
q
2
x3 HL − x3 L
(22)
q
A
B
L
Figura 11 - Lo schema 6: trave appoggiata con carico distribuito
La trave ausiliaria e' costituita ancora da una trave appoggiata agli estremi, e per essa bisogna calcolare i
tagli (fittizio) agli estremi. Le reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo
schema di Figura 12:
qL2
8 EI
A
B
L
Figura 12 - La trave ausiliaria per lo schema 6
18 - I coefficienti fondamentali .nb
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L
R∗A + R∗B + ‡ q∗ Hx3 L dx3 = 0
0
L
R∗A L + ‡ q∗ Hx3 L HL − x3 L dx3 = 0
0
e svolgendo gli integrali :
R∗A + R∗B +
R∗A L +
qL3
=0
12 EI
qL4
(24)
=0
24 EI
Puo' quindi scriversi:
T∗ H0L = −R∗A =
T∗ HLL = R∗B = −
qL3
24 EI
(25)
qL3
24 EI
e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, puo' concludersi:
φ H0L = −
φ HLL =
qL3
24 EI
(26)
qL3
24 EI
In definitiva, i coefficienti fondamentali per la trave appoggiata sono sintetizzabili come in Tabella 2:
Rotazioni a sinistra Rotazioni a destra
1
Coppia concentrata
−6
Forza concentrata
− 16
Carico distribuito
− 24
1
1
Tabella 1 - I coefficienti fondamentali per la trave appoggiata
Figure
Vincoli
1
3
1
16
1
24