Esercizio su sforzi tangenziali indotti da taglio T in

Esercizio su sforzi tangenziali indotti da taglio T in trave inflessa
h = 175 mm
Si consideri la sezione
rappresentata in figura (sezione
di trave inflessa) sulla quale
agisca un taglio verticale
T = 27 kN (lungo l’asse di
simmetria).
d = 25 mm
Determinare la massima tensione
tangenziale verticale indotta sulla
sezione (usando la formula di
Jourawsky).
t = 15 mm
b = 250 mm
Determinazione del baricentro G
Introducendo un sistema di riferimento x,y con asse x coincidente con il bordo inferiore della
sezione e asse y coincidente con l’asse verticale di simmetria della sezione (asse y positivo verso
l’alto), si ha:
d
h
S x = momento statico dell’intera sezione rispetto all’asse x = (bd ) + (th ) (d + ) (avendo
2
2
decomposto la sezione nei due rettangoli di dimensioni b,d e t,h ); numericamente si ottiene:
S x = 25 ⋅ 250 ⋅ 12.5 mm 3 + 15 ⋅ 175 ⋅ 112.5 mm3 = 373 ⋅437.5 mm 3 .
Inoltre si ha: A = area intera sezione =b ⋅ d + t ⋅ h = 8⋅875 mm 2 .
S x 373 ⋅437.5 mm3
=
= 42.07 mm ≅ 42 mm
A
8⋅875 mm 2
Nei calcoli che seguono si utilizza il valore approssimato di yG dato da yG = 42 mm .
La coordinata yG del baricentro è data da:
yG =
Determinazione del momento d’inerzia dell’intera sezione rispetto all’asse baricentrico
Anche per questo calcolo la sezione viene decomposta nei due rettangoli di dimensioni b,d e t,h;
detto I1 il momento di inerzia del primo rettangolo (costituente l’ala inferiore della sezione) e I 2 il
momento d’inerzia del secondo rettangolo ( I1 e I 2 sono riferiti all’asse orizzontale passante per il
baricentro G dell’intera sezione), si ha (adoperando il teorema di trasposizione per i momenti di
inerzia):
1
250 ⋅ 253
I1 = bd 3 + bd ( yG − d / 2)2 =
mm 4 + 250 ⋅ 25 ⋅ (42 − 12.5)2 mm 4 = 5 ⋅764 ⋅583 mm 4
12
12
1
15 ⋅ (175)3
I 2 = th 3 + th (d + h / 2 − yG )2 =
mm 4 + 15 ⋅ 175 ⋅ (70.5)2 mm 4 = 19 ⋅746⋅125 mm 4
12
12
I = momento d'inerzia dell'intera sezione =
= I1 + I 2 = 25⋅510⋅708 mm 4
t = 15 mm
h = 175 mm
G
Calcolo della massima tensione
tangenziale (in direz. verticale)
sulla sezione retta
yG = 42 mm
d = 25 mm
b = 250 mm
Il valore massimo della τ si realizza
in corrispondenza della corda orizzontale
passante per il baricentro G.
Si tratta di applicare la formula di Jourawsky:
τ=
T S*
It
con: T = taglio, S * = momento statico (valutato rispetto all’asse neutro della flessione) della
porzione di sezione trasversale posta al di sopra o al di sotto della corda orizzontale in
corrispondenza della quale si valuta la τ , I = momento d’inerzia dell’intera sezione,
t = lunghezza della corda orizzontale di valutazione della τ .
Indicando con τ G la τ in corrispondenza della corda baricentro e con S *G il corrispondente
momento statico si ha:
τG =
T S *G
, dove S *G (valutato come momento statico della porzione rettangolare di sezione che
It
sta sopra la corda baricentrica) è dato da S *G = t
( h + d − yG ) 2
(158) 2
mm 3 = 187 ⋅ 230 mm 3 .
= 15 ⋅
2
2
Dunque:
(27 ⋅000 N ) ⋅ (187 ⋅ 230 mm 3 )
N
τG =
= 13.4
= 13.4 MPa
4
⋅
⋅
(25 510 708 mm ) ⋅ (15mm )
mm 2
τ
[ N/mm2 ]
Diagramma della tensione
tangenziale τ lungo l’altezza
della sezione.
ascissa lungo altezza sezione [ mm ]
Esercizio su trave composta (elementi incollati).
50 mm
50 mm
50 mm
Si consideri una trave composta ottenuta
incollando 3 elementi in legno identici, ciascuno
con sezione trasversale di dimensioni 100 mm
x 50 mm;
La colla presente sulle due interfacce è
caratterizzata da una tensione tangenziale
colla
ammissibile τ amm = 0.35 MPa .
La trave composta sopra descritta viene utilizzata
per realizzare una mensola
(estremo B incastrato ed estremo C libero).
P
100 mm
C
B
=1 m
Il carico P all’estremo libero è posto nel piano verticale di simmetria della trave.
Assumendo che il materiale legno si comporti in modo elastico lineare, determinare il valore
massimo del carico P ( Pmax ) che può essere applicato garantendo che la trave si comporti in modo
monolitico, compatibilmente con la resistenza della colla impiegata.
Determinare inoltre il massimo sforzo normale longitudinale σ max che insorge nella trave a
mensola soggetta a Pmax .
Soluzione
y
75
mm
x
d
G
d
75
Occorre valutare gli sforzi tangenziali sui piani orizzontali
mm
longitudinali corrispondenti alle interfacce ipotizzando un
comportamento “monolitico” della trave (ipotizzando cioè che la
trave sia costituita da un unico blocco di materiale elastico lineare,
z
omogeneo ed isotropo).
Con riferimento agli assi x,y,z baricentrici evidenziati nella figura a fianco, lungo la corda d-d
(posta in corrispondenza di una delle interfacce incollate) si hanno tensioni tangenziali τ xz sulla
sezione retta e τ zx sul piano longitudinale (parallelo al piano xy) contenente la corda d-d : lungo la
corda risulta τ xz = τ zx in virtù della simmetria del tensore degli sforzi.
Il valore di tali tensioni tangenziali (assunte costanti lungo la corda d-d ) si ricava dalla formula di
Jourawsky (si omettono gli indici xz o zx, per semplicità):
τ=
T S*
Ib
dove: T = taglio, S * = momento statico valutato rispetto all’asse y (asse neutro della flessione)
della porzione di sezione trasversale posta al di sotto della corda d-d , I = momento d’inerzia
dell’intera sezione, b = lunghezza della corda orizzontale (= larghezza della sezione della trave).
Occorre garantire che gli sforzi tangenziali τ relativi alla corda d-d (calcolati mediante la formula
di Jourawsky) siano inferiori alla tensione ammissibile della colla; se questa condizione non fosse
rispettata si manifesterebbero spostamenti relativi tra gli elementi lignei lungo le superfici di
contatto e il sistema non funzionerebbe più come una trave unica (“monolitica”).
Tenendo conto che il taglio T nella mensola in esame è costante e pari a P (carico applicato), la
disuguaglianza da imporre è quindi la seguente:
τ=
P S*
colla
≤ τ am
Ib
Affinchè essa sia soddisfatta dovrà essere
colla
P ≤ (τ am
)
Ib
.
S*
1
(100 mm ) ⋅ (150 mm )3 = 28125 ⋅ 103 mm 4
12
b = 100 mm
Si ha:
I=
S * = [(100 mm ) ⋅ (50 mm )] ⋅ (50 mm ) = 25 ⋅ 104 mm 3
Dunque la disuguaglianza precedente diventa:
P ≤ (0.35
N (28125 ⋅ 103 mm 4 ) ⋅ (100 mm )
)
= 3937.5 N
mm 2
25 ⋅ 104 mm 3
Quindi il valore massimo che può assumere il carico P è dato da Pmax = 3.94 kN circa.
Massimo sforzo normale longitudinale nella trave, sotto il carico Pmax .
Esso si realizza al lembo superiore / inferiore della sezione d’incastro; in tale sezione si ha infatti il
momento flettente massimo pari a Pmax ⋅ = 3940 ⋅ 1000 N ⋅ mm .
Applicando la formula della flessione risulta:
σ max
(3940 ⋅ 103 N ⋅ mm )
N
=
⋅ (75 mm ) = 10.5
.
3
4
28125 ⋅ 10 mm
mm 2
Esercizio su sforzi tangenziali indotti da taglio T
in trave inflessa con sezione cruciforme
50 cm
y
x
20 cm
G
z
50 cm
20 cm
50 cm
Si consideri la sezione rappresentata in
figura (sezione di una trave inflessa) sulla
quale agisca (lungo l’asse di simmetria un
taglio verticale T = 100 kN .
Determinare la distribuzione delle tensioni
tangenziali τ xz (assumendo τ xz cost.
lungo la generica corda orizzontale) lungo
l’altezza della sezione.
In particolate valutare il massimo relativo
e assoluto della τ xz , in kPa.
50 cm
Soluzione:
Il massimo relativo della τ xz si ha
in corrispondenza del baricentro
della corda posta a livello
baricentrico e vale
τ xz
kPa
τ xz (G ) = 115.9 kPa ;
il massimo assoluto vale
(τ xz ) max = 593.89 kPa ;
il minimo vale
(τ xz ) min = 98.98 kPa .
ascissa lungo altezza sezione
Esercizio su sforzi tangenziali indotti da taglio T in trave inflessa
20
40
20
Si consideri la sezione rappresentata in
figura (sezione di una trave inflessa) sulla
quale agisca (lungo l’asse di simmetria)
un taglio verticale T = 100 kN .
40
Determinare la distribuzione delle tensioni
tangenziali verticali τ agenti sulla sezione
retta al variare della posizione della corda
(si assume che la τ sia costante lungo la
generica corda orizzontale).
40
In particolate valutare il valore massimo
della τ (in MPa).
80
Le dimensioni sono in centimetri.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Soluzione.
Si determina la posizione del baricentro G della sezione; detta ηG la sua distanza dal lembo
ηG = 33.33 cm .
inferiore della sezione si ha:
20
40
x
20
G
ηG
x
Indicato con x-x l’asse neutro (baricentrico)
della flessione, occorre calcolare il momento
d’inerzia I x dell’intera sezione rispetto a tale
40 asse.
Si decompone la sezione nei 3 rettangoli R1, R2
ed R3: R1 ed R2 sono i due rettangoli uguali di
dimensioni 20x40 cm che costituiscono la parte
40 alta della sezione; R3 costituisce la parte bassa
della sezione e ha dimensioni 80x40.
Risulta:
80
1
20 ⋅ 403 + (20 ⋅ 40) ⋅ (26.67) 2 =
12
= 675698 cm 4
I xR1 = I xR 2 =
I xR 3 =
I x = 2 I xR1 + I xR 3 = 2⋅346⋅667 cm 4
1
80 ⋅ 403 + (80 ⋅ 40) ⋅ (13.33)2 = 995271 cm 4
12
Calcolo della τ in corrispondenza della corda (a) con formula di Jourawsky
20
40
τ
20
corda (a)
40
x
G
ηG
x
40
80
e quindi:
τ (a )
(a )
T S ( a )*
=
b Ix
in cui: T= taglio; S ( a )* = momento statico
della parte di sezione evidenziata, rispetto
all’asse x-x; b = lunghezza della corda;
I x = momento d’inerzia.
Si ha:
S ( a )* = (20 ⋅ 40) ⋅ (60 − 33.33) = 21⋅336 cm3
b = 20 cm ;
(100 ⋅ 103 N ) (21⋅336 cm 3 )
N
=
= 45.46 2 =
4
⋅
⋅
(20 cm ) (2 346 667 cm )
cm
= 0.4546 MPa
Procedendo in modo analogo con riferimento alla corda orizzontale passante per il baricentro G,
corda(b), si ottiene:
τ (b) =
(100 ⋅ 103 N ) (44 ⋅436 cm 3 )
N
= 23.67 2 = 0.2367 MPa
4
⋅
⋅
cm
(80 cm ) (2 346 667 cm )
L’andamento della τ lungo l’altezza della sezione è quindi il seguente:
τ
N
cm 2
Il valore massimo
è dato da
τ ( a ) = 0.45 MPa .
ascissa lungo altezza sezione
(dall’alto verso il basso)