Trasferimento di calore Lezione I

Trasferimento di calore
Lezione I
Gaetano Festa
Perché è importante il calore ?
Il comportamento reologico della Terra dipende dalle scale temporali alle
quali si guardano i fenomeni di interesse.
Fenomeni sismici (da secondi a ore) : Il comportamento della Terra è
quello di un solido elastico
Su scale geologiche molto più lunghe (movimento delle placche,
riempimento delle camere magmatiche dei vulcani, rimbalzo postglaciale ... Da migliaia a milioni di anni) il comportamento della Terra è
principalmente viscoso e resta definito dalle condizioni termiche.
Il comportamento della litosfera è elastico anche su scale geologiche
molto più lunghe. Il comportamento del mantello e del nucleo della Terra
è fortemente influenzato dalla temperatura.
La geodinamica dipende fortemente dalle condizioni termiche
Trasferimento di calore
I meccanismi con cui si trasmette il calore sono:
• Conduzione : Trasferimento di calore per interazione molecolare
(trasferimento di energia cinetica attraverso urti). Avviene in corpi in
cui la temperatura varia spazialmente.
• Convezione : Trasferimento di calore attraverso trasporto di materia.
Caratteristico dei fluidi
• Irraggiamento : Trasferimento di calore attraverso la radiazione
elettromagnetica. Fenomeno caratteristico del sole.
• Advezione : Forma speciale di convezione, in cui il calore risale con le
rocce a causa di eventi tettonici, erosione o rimbalzo post-glaciale.
Sia la convezione (e advezione) che la conduzione sono importanti
meccanismi di trasferimento di calore all’Interno della Terra.
Grandezze caratteristiche
• Calore : Se due corpi a temperature diverse T1 e T2 costituiscono un
sistema chiuso, la temperatura di equilibrio del sistema è Tf tale che:
m1c1 (T f − T1 ) = m2 c2 (T2 − T f )
dove m e c sono rispettivamente massa e calore specifico dei corpi. Il
prodotto
Q = mc∆T
è la quantità di calore che si viene scambiata dal singolo corpo.
Legge di Fourier
Si consideri un corpo di spessore d e due
pareti (le cui dimensioni sono molto
maggiori di d) mantenute a temperatura
costante, all’interno del corpo la
temperatura varia in maniera costante tra
T1 e T2 (gradiente di temperatura).
Legge di Fourier: la quantità di calore che
passa attraverso il corpo nel tempo (0,t) è:
T1
T2
d
T2 − T1
Q = kS
t
d
Conducibilità termica
Gradiente della temperatura
Area delle pareti
Legge di Fourier
Nel limite di uno spessore infinitesimo :
dQ
dT
= −kS
dt
dx
Sia q il calore per unità di superficie
q=
Q dq
dT
;
= −k
S dt
dx
Generalizzazione della legge di Fourier
Consideriamo un corpo C in cui la temperatura è funzione della posizione T(x)
ed una superficie interna S, frontiera di un volume V
C
S
Il flusso di calore attraverso un elemento dS, nell’unità
di tempo è (Legge di Fourier)
∂T
dQ = −kdSdt
∂n
Integrando si ha:
∂Q
∂T
= − ∫ k dS = − ∫ k ∇T ⋅ ndS = − ∫ ∇ ⋅ (k ∇T )dV
∂t
∂n
S
S
V
Il segno – (meno) : Se T aumenta dall’interno verso l’esterno il calore
fluisce nella direzione opposta!
Generalizzazione della legge di Fourier
Tale variazione di calore nell’unità di tempo viene utilizzata per riscaldare
(raffreddare) il volume V. Per un elemento infinitesimo si ha
C
S
dQ = − ρ cdTdV
Da cui, derivando rispetto al tempo e integrando sul
volume:
∂Q
dT
= −∫ ρ c
dV
∂t
dt
V
Eguagliando le due equazioni, data l’arbitrarietà di V si ha
dT
dT
dV = ∫ ∇ ⋅ (k ∇T )dV
ρc
= ∇ ⋅ ( k ∇T )
dt
dt
V
V
dT
ρc
= ∇ ⋅ ( k ∇T ) + A
In presenza di sorgenti :
Calore nell’unità di
dt
∫ ρc
tempo e di volume
Come si misura il flusso di calore (1)
Per la misura del flusso di calore è necessario conoscere il gradiente termico e la
conducibilità delle rocce.
Misure in aree continentali :
• Il gradiente termico è stato misurato nelle miniere a partire dall’800. La
temperatura aumenta con la profondità con un gradiente di 20-30 K/km.
• Misure più accurate in prossimità della superficie della Terra richiedono pozzi
profondi (ca 300 m) per eliminare gli effetti associati alle variazioni climatiche
• La misura nei pozzi è particolarmente complessa perché è necessario che il
sistema sia in equilibrio con il mezzo circostante. La misura può essere effettuata
contestualmente allo scavo oppure in condizioni di equilibrio (ca 1-2 anni dopo la
costruzione del pozzo). Bisogna però evitare che l’acqua fluisca in acquiferi
attraversati dal pozzo.
• La conducibilità termica si misura in laboratorio sui campioni prelevati dal pozzo
Misure di laboratorio
TH
l
T2
d
T1
l
Acqua calda
Ottone, k0 noto
qup = k0
Campione di roccia
k?
Ottone, k0 noto
Tc
Flusso di calore dall’alto
Flusso di calore dal basso
qdown = k
Acqua fredda
qup = qdown ⇒
TH − T2
l
k d TH − T2
=
k0 l T2 − T1
Miglior precisione si ottiene massimizzando TH
T2 − T1
d
Conducibilità termica
Materiale
Conducibilità termica (W/(m K))
Arenaria
1.5-4.2
Calcari
2-3.4
Dolomie
3.2-5
Marmi
2.5-3
Basalto
1.3-2.9
Granito
2.4-3.8
Peridotite
3.7-4.6
Ghiaccio
2.2
Come si misura il flusso di calore (2)
Misure in aree oceaniche:
• Il fondale oceanico è coperto di sedimenti debolmente compattati
• Una sonda con termostati viene fatta scendere da una nave. La sonda è grande
ca 3m.
• Non sono necessarie troppe misure perché la temperatura del fondale è fissa (12 °C) e corrisponde alla temperatura alla quale la densità dell’acqua ha massimo.
La variazione dipende dalla salinità.
• La conducibilità termica viene direttamente misurata attraverso la sonda grazie
ad un riscaldatore. La misura del flusso di calore e del gradiente termico fornisce
una stima della conducibilità.
Dove si misura il flusso
La distribuzione attuale delle misure del flusso di calore è costituita dal 75%
di misure effettuate nelle aree oceaniche e dal 25% di misure effettuate in
aree continentali (ca 10000 punti di misura)
Flusso di calore in superficie
Continenti:
qc = 65 mW / m
2
Oceani:
qo = 101 mW / m 2
Nei continenti il flusso di calore è principalmente dovuto al decadimento degli
isotopi radioattivi in prossimità della superficie.
Negli oceani tale contributo è molto piccolo (ca 2%) è principalmente dovuto al
raffreddamento della litosfera oceanica.
La corrispondente quantità di calore è
Qc = 1.3 1013W
La potenza sismica è dell’ordine di 1011 W.
Qo = 3.13 1013W
Mappa globale
Cause del flusso di calore
A che cosa è dovuto il flusso di calore proveniente dall’interno della Terra ?
Raffreddamento della Terra
Calore radiogenico
• Calcoliamo il limite superiore del calore per unità di massa dovuto al
decadimento radioattivo nella Terra:
H=
Q
M
Q = 4.43 ⋅1013W
M = M Earth = 5.97 1024 Kg
H = 7.42 ⋅10−12 W / Kg
M = M Mantle = 4.0 1024 Kg
H M = 11⋅10−12 W / Kg
Crosta o mantello ?
Nelle aree continentali una frazione significativa del flusso di calore proviene dal
calore radiogenico prodotto nella crosta.
65mW / m 2
37mW / m 2
crosta
28mW / m 2
Portati alla base della crosta
dalla convezione del mantello
Il calore radiogenico prodotto nella crosta è
QC = 7.4 ⋅1012 W ≈ 17% Q
Il calore per unità di massa associato al mantello diventa
H M = 9.22 ⋅10−12 W / kg
Raffreddamento secolare
Solo una frazione del calore prodotto nel mantello è associato al decadimento
attuale di isotopi. Un’altra parte, invece, corrisponde al raffreddamento secolare
della Terra.
Poiché gli isotopi radioattivi si convertono in isotopi stabili, la concentrazione di
isotopi radioattivi diminuisce nel tempo
tempo
Concentrazione di isotopi radioattivi diminuisce
Il calore generato è minore
Il vigore della convezione del mantello diminuisce
Qradio ≈ 80% Q
Qcool ≈ 20% Q
H M = 7.38 ⋅10−12 W / kg
Concentrazioni nel mantello
H M = (CU HU + CTh H Th + CK H K ) =


CTh
CK
CU  HU +
H Th +
HK 
CU
CU


CTh
C
= 4; K = 104
CU
CU
CU = 31 ppb
τ1/2 (yr)
C (ppb)
9.46 10-5
4.47 109
30.8
5.69 10-4
7.04 108
0.22
Isotopo(ppb)
Percentuale H (W /kg)
238U
99.28
235U
0.71
9.81 10-5
U
31
232Th
100
2.64 10-5
1.40 1010
124
40K
0.012
2.92 10-5
1.25 109
36.9
K
3.48 10-9
310000
Legge di decadimento
C = C0 e− t /τ
1
Rappresentazione poco utile!
e
Tempo di dimezzamento
t = τ ; C = C0 ⋅
C0
τ 1/2 : C (τ 1/2 ) =
2
1
= e −τ1/2 /τ
2
τ 1/2
= log 2
τ
C = C0 e− t log 2/τ1/2
τ=
τ 1/2
log 2
Andando nel passato….
t0
passato
futuro
Per studiare la concentrazione degli isotopi nel passato
Bisogna rimpiazzare t con –t (tempi negativi)
C = C0 et log 2/τ1/2
Andamento degli isotopi nel tempo
Legge di Fourier 1D-Stazionaria
Non ci sono variazioni nel tempo della temperatura:
d 2T
k 2 +A=0
dz
∂T
ρc
= k ∇ 2T + A
∂t
Condizioni al contorno
T ( z = 0) = T0 ; q ( z = 0) = −q0
z
d 2T
A
=−
2
dz
k
dT
A
= − z + c0
dz
k
T =−
A 2 q0
z + z + T0
2k
k
q0
dT
k
( z = 0) = q0 ⇒ c0 =
dz
k
Modello conduttivo per il mantello
T0 = 0
q0 = 70 mW / m 2
H = 7.38 10−12 W / kg
ρ = 3300 kg / m3
A = ρ H = 2.43 10−8 W / m3
k = 4W / (m ⋅ K )
Turcotte & Schubert, fig.4-8
Fallisce
Modello conduttivo per la crosta
continentale
I modelli conduttivi funzionano nel descrivere le geoterme nella crosta (e
nella litosfera) continentale.
Data l’elevata età della crosta continentale, le variazioni rispetto al tempo
possono essere trascurate.
H = 9.6 10−10 W / kg
ρ = 2700 kg / m3
A = 2.6 10−6 W / m3
h = 35 km
Assumendo che non c’è scambio di calore
alla base della crosta si ha :
dT
( z = h) = 0 ⇒ − Ah + q0 = 0
dz
k = 4W / (m ⋅ K )
qo = 91 mW / m 2
Modello conduttivo per la crosta
continentale
Un modello più accurato è quello per cui la concentrazione degli isotopi non
è costante all’interno della crosta ma decresce con la profondità.
Assumendo una diminuzione esponenziale
A = A0 e
− z / hr
A0 − z / hr
d 2T
=
−
e
2
dz
k
A0 hr − z / hr
dT
= c1 +
e
dz
k
q0
A grandi profondità:
q = qm z → ∞;
Surface
z
qm
c1 =
& q = −qm − A0 hr e − z / hr
k
qm
Decadimento esponenziale
In superficie si ha:
q0 = − q = qm + A0 hr
L’ordine di grandezza per hr = 10 km,
combinando misure effettuate in diverse
aree continentali stabili.
dT qm A0 hr − z / hr
=
+
e
dz
k
k
qm
A0 hr2
T = T0 +
z+
(1 − e − z / hr )
k
k
Fenomeni di conduzione dipendenti
dal tempo
Eq. 1D del calore, dipendente dal tempo
dT
d 2T
ρc
=k 2
dt
dz
∂T
ρc
= k ∇ 2T + A
∂t
La produzione volumetrica di calore gioca un ruolo secondario, assumiamo A=0.
Posto
κ =
k
ρc
2
dT
d T
=κ 2
dt
dz
Avente dimensioni
l2
[κ ] =
t
Da cui se τ è una scala di tempo caratteristica:
κτ = L
È una lunghezza caratteristica di diffusività termica: skin depth
Variazioni giorno-notte
τ = 1 giorno = 8.64 104 s
k = 2.5W / (m ⋅ K )
κ = 0.9310−6 m 2 / s
ρ = 2700 kg / m3
κτ = 0.3 m
c = 1 kJ / (kg ⋅ K )
La skin-depth è inversamente proporzionale alla frequenza: più rapido è il
fenomeno, minore è la sua capacità di penetrare all’interno della Terra.
Le variazioni annuali hanno una capacità di penetrazione pari a
τ = 1 anno = 3.15107 s
κτ = 6 m
Raffreddamento/riscaldamento
istantaneo
Diversi fenomeni nella litosfera/crosta possono essere descritti da questo tipo di
modello :
Flusso di magma attraverso fratture preesistenti
Struttura della litosfera oceanica
Problema monodimensionale, dipendente dal tempo:
dT
d 2T
=κ 2
dt
dz
Condizioni iniziali e al contorno:
T = T0 z > 0, t = 0
T = T1 z = 0, ∀t
T = T0 z → ∞, ∀t
Semplificazioni
La soluzione non può che dipendere dalla differenza relativa di temperatura e non
dalla temperatura assoluta:
θ=
T − T0
T1 − T0
2
dθ
dθ
=κ 2
dt
dz
θ = 0 z > 0, t = 0
θ = 1 z = 0, ∀t
θ = 0 z → ∞, ∀t
L’unica grandezza caratteristica è la skin depth, dunque la soluzione deve essere
autosimilare (self-similar) nella variabile
η=
z
2 κt
La lunghezza di diffusività termica è quella distanza alla quale l’effetto di una
sorgente istantanea localizzata viene risentito, dopo un tempo t.
Trasformazione dell’equazione
η=
∂η
z
η
=−
=−
∂t
2t
4t κ t
z
2 κt
∂η
1
=
∂z 2 κ t
∂θ ∂θ ∂η
η ∂θ
=
=−
∂t ∂η ∂t
2t ∂η
∂ 2θ ∂  ∂θ ∂η 
1 ∂  ∂θ 
1 ∂ 2θ ∂η
1 ∂ 2θ
= 
=
=

=
2
2
∂z
∂z  ∂η ∂z  2 κ t ∂z  ∂η  2 κ t ∂η ∂z 4κ t ∂η 2
∂θ
∂ 2θ
η ∂θ 1 ∂ 2θ
=κ 2 ⇒ −
=
∂t
∂z
2t ∂η 4t ∂η 2
∂θ ∂ 2θ
−2η
= 2
∂η ∂η
Condizioni al contorno
η=
z
2 κt
θ ( z > 0, t = 0) = 0 
 ⇒ θ (η → ∞) = 0
θ ( z → ∞, t > 0) = 0 
θ ( z = 0, t > 0) = 1 ⇒ θ (η = 0) = 1
Equazione differenziale del prim’ordine
dθ d 2θ
−2η
= 2
dη dη
dθ
ψ=
dη
dψ
= −2ηψ
dη
Per separazione di variabili
dψ
ψ
= −2η dη ⇒ logψ = −η 2 + c
ψ = Ce
−η 2
Soluzione
η
dθ
−η 2
−η '2
= Ce ⇒ θ (η ) = ∫ Ce dη '+ D
dη
0
θ (0) = 1 ⇒ D = 1
∞
per η → ∞ ⇒ θ (η ) = C ∫ e
−η '2
dη '+ 1
C
0
θ (η ) = 1 −
2
π
η
∫e
−η '2
dη ' = 1 − erf (η ) = erfc(η )
0
T − T0
 z 
= erfc 

T1 − T0
 2 κt 
 z 
T = T0 + (T1 − T0 )erfc 

2
κ
t


π
2
+1 = 0
C=−
2
π
Strato termico
κ =10−6 m 2 / s
t ∼ 103 − 104 anni
t ∼ 104 − 105 anni
t ∼ 105 − 106 anni
Le variazioni maggiori avvengono in prossimità della superficie, nel “thermal
boundary layer”, che viene definito come lo spessore per il quale θ=0.1
ηT = erfc −1 0.1 1.16
z = 2.32 κ t
Espressione per il calore
 z 
T = T0 + (T1 − T0 )erfc 

 2 κt 
∂T k (T1 − T0 ) − z 2 /(4κ t )
=
q = −k
e
∂z
πκ t
• Per t=0 il calore diverge nell’origine, ma resta finito altrove (e nullo). Questo in
virtù del fatto che esiste una singolarità (del primo tipo) nelle condizioni iniziali.
• Nell’origine, q decresce con il tempo come una funzione radice
• Il flusso di calore per unità di superficie fino al tempo t in z=0 è
q=
k (T1 − T0 )
πκ
t
∫
0
2k (T1 − T0 )
1
dt ' =
t
t'
πκ
Ipotesi di Kelvin : la terra si raffredda per conduzione
q  ∂T 
=
 = 25K / km
k  ∂z  z =0
κ = 10−6 m 2 / s
(T1 − T0 ) = 2000 K
t Earth = 65 ⋅106 anni
Litosfera oceanica
• La litosfera oceanica viene generata al ridge, dove il mantello
affiora
• La superficie superiore della litosfera si allontana dal ridge a
velocità costante
• La litosfera è elastica: la base della litosfera è definita dalla
condizione di transizione tra un solido elastico ed uno viscoso.
Questa condizione dipende dalla temperatura, così che la base
della litosfera è un’isoterma
• Tale temperatura di transizione reologica è dell’ordine di 1600 K
per le rocce silicatiche del mantello
Raffreddamento della litosfera
oceanica
u
Ridge
Litosfera
q
T − Tm Tm − T
z
=
= erfc(
)
To − Tm Tm − To
2 κt
• Flusso di calore verticale
• La litosfera si muove a velocità costante u.
• Al ridge la roccia del mantello passa
istantaneamente ad una temperatura più fredda
• L’effetto del tempo lo si vede alla distanza x=ut
Tm − To + To − T
T − To
z
= 1−
= erfc(
)
Tm − To
Tm − To
2 κt
T − To
z
= erf (
)
Tm − To
2 κt
•Per una parte della litosfera a distanza x :
x
t=
u
Geoterma per la litosfera
• Lo spessore della litosfera oceanica, come strato termico di bordo è
zo = 2.32
• Il calore in superficie è
qo =
k (Tm − To )
πκ t
κ = 10−6 m2 / s
k = 3.3W / (mK )
Tm − To = 1300K
κx
κ = 10−6 m2 / s
u
x / u = 80 Myr
zo = 116km
Calore in superficie
•Il valor medio del calore oceanico, per una placca di età t* è
t*
t*
2k (Tm − To )
1
1 k (Tm − To )
q0 = ∫ q0 (t )dt = ∫
dt =
t* 0
t* 0
πκ t
πκ t *
t* = 120Myr; q0 = 79mW / m2