ESERCIZI su percentuali e propagazione degli errori:SOLUZIONI

MATEMATICA E STATISTICA CORSO A
SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI
ESERCIZI PER LA PRIMA PROVA IN ITINERE DI RECUPERO
ARGOMENTO: PERCENTUALI
1-Se in un anno in una popolazione i nuovi nati sono l’1,2% della
popolazione e i morti l’1,7% della popolazione, di quanto è cresciuta o
calata percentualmente la popolazione in un anno?
RISPOSTA: 1,2%-1,7% =-0,5%, la popolazione è calata dello 0,5% in un
anno.
2-I prezzi in un supermercato vengono aumentati dell’1,2% il lunedi. Il
venerdi della stessa settimana i prezzi vengono abbassati dell’1,7%. Di
quanto sono aumentati o diminuiti i prezzi rispetto alla settimana
precedente?
RISPOSTA:Se p0 è il prezzo iniziale, il lunedi il prezzo aumentato
diventa p1 = p0 + 1,2%p0 ; il venerdi il prezzo p1 viene ribassato
dell’1,7%, diventando p2 = p1 – 1,7%p1 = p0 + 1,2%p0 – 1,7%( p0 +
1,2%p0 )= p0 + 1,2%p0 – 1,7% p0 – 1,7%1,2%p0 = p0 – 0,5%p0 –
1,7%1,2% p0 ; perciò rispetto al prezzo iniziale si ha una diminuzione
complessiva di 0,5% + (1,7%)(1,2%). Questo spiega il differente risultato
rispetto all’es1. (vd. domanda es3)
3-I dati degli esercizi precedenti sembrano uguali. I risultati sono diversi.
Perché?
4-In commercio si possono acquistare due soluzioni A e B del medesimo
soluto nel medesimo solvente a diversa concentrazione. La soluzione di
tipo A è al 7% mentre la soluzione del tipo B è al 50%.
In quali proporzioni vanno miscelate le due soluzioni, se si vuole ottenere
una terza soluzione C, concentrata al 15%?
Avvertenza: Per definizione, la concentrazione di una soluzione è data dal
rapporto:
Quantità del soluto/ Quantità della soluzione
RISPOSTA:k7% +(1-k)50%=15%, da cui k=35/43 , quindi il rapporto tra
la I e la II soluzione è 35/8
5-Si dispone di 1,9 kg di soluzione (di un certo soluto in un certo solvente
concentrata al 45%. Calcolate la quantità di solvente che si deve
aggiungere per ottenere una nuova soluzione, concentrata al 25%.
RISPOSTA: Indicando con x il soluto, si ha x/1,9 =45/100, da cui la
quantità di soluto x=0,855 kg; aggiungiamo y solvente in modo che
0,855/(1,9 + y)= 25/100, da cui y=1,52 kg
6-Si dispone di 2,3 kg di soluzione ( di un certo soluto in un certo
solvente) concentrata al 42%. Calcolare la quantità di solvente che si deve
aggiungere alla soluzione per ottenere una nuova soluzione, concentrata
al 28%.
RISPOSTA:(vedi es.prec.) la quantità di solvente da aggiungere è 1,15 kg
7-Per preparare della frutta sciroppata ho predisposto 600g di sciroppo al
20%. Poi leggo sul ricettario che lo sciroppo deve essere preparato al
30%. Quanto zucchero devo aggiungere?
RISPOSTA: Dalla relazione x/600 = 20/100 si ricava che la quantità di
zucchero iniziale è x= 120 g; aggiungiamo z di zucchero per arrivare al
30%, si ha (z+120)/(600+z) = 30/100 da cui z=600/7 ≈ 86 g
8- Il giorno 10/08/07 al distributore di benzina vicino casa di Paolo il
costo della benzina era di 1,310 euro/litro.
a) il 25/08/07 lo stesso distributore forniva benzina al prezzo di
1,290 euro/litro, di quanto era calato percentualmente il
prezzo?
b) il 9/11/07, allo stesso distributore, Paolo registrò un aumento
del 4,5% del prezzo rilevato il 10/08/07; quanto costava la
benzina?
SOLUZIONI:a) 1,310 – p%1,310 = 1,290 , da cui p=1- 1,290/1,310 ≈
1,5%; b) 1,310 + 4,5%1,310 =1,36895 euro/litro
9- Il peso alla nascita di Paolo risultò 3,350 Kg.
a) dopo una settimana Paolo pesava 3,180 Kg, di quanto era calato
percentualmente il peso?
b) a un mese dalla nascita il peso di Paolo aumentò del 20% rispetto
al peso iniziale, quanto pesava Paolo?
SOLUZIONI: a) 3,350-3,180 = 0,170 da cui 0,170/3,350 ≈ 5%, il peso è
calato del 5%; b) 3,350 + 3,350(20/100) ≈ 4 kg.
10-Il giorno 7 gennaio Francesca riscontrò un aumento di peso del 10%
rispetto al suo peso prima delle vacanze di Natale. Dopo un mese di dieta
il peso di Francesca diminuì del 10% rispetto al peso del 7 gennaio. Il
peso di Francesca è aumentato, diminuito o rimasto costante rispetto al
suo peso prima delle vacanze? Perché?
SOLUZIONE: Sia p0 il peso di Francesca prima delle vacanze, il 7
gennaio il suo peso divenne p1 = p0 + 10% p0 ; dopo un mese di dieta il
peso divenne p2 = p1 – 10% p1 = (p0 + 10% p0 ) - 10%( p0 + 10% p0 )= p0
– (10%)(10%) p0 , dunque il peso di Francesca è diminuito di circa l’1%
rispetto al peso prima delle vacanze.
11- Un corso universitario è frequentato da 150 studenti. Alla prima
sessione di esami si presentano tutti gli studenti del corso e ne viene
promosso il 60%. Alla seconda sessione si presentano tutti gli studenti
che non erano stati promossi alla precedente sessione, e ne viene
promosso il 40%. Alla terza sessione si presentano tutti gli studenti che
non erano stati promossi alle due sessioni precedenti, e ne viene
promosso il 30%. Calcolare la percentruale complessiva degli studenti
che risultano promossi al termine delle tre sessioni.
SOLUZIONE: 60%150= 90 numero di studenti promossi alla prima
sessione; gli studenti che si presentano alla seconda sessione sono 60 di
questi viene promosso il 40%, dunque 40%60= 24 numero studenti
promossi alla seconda sessione; alla terza sessione si presentano 36
studenti di questi viene promosso il 30%, dunque 30%36 =10.8; totale
promossi 90+24+10.8 = 124.8, da cui 124.8/150 =0,832 viene promosso
l’83,2%
ARGOMENTO: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI
1- Per due grandezze x ed y sono note le seguenti limitazioni
3.25<x<5.74
1.14<y<2.78
Quali limitazioni si hanno per x-y?
RISPOSTA: -2.78<-y<-1.14, da cui 3.25-2.78<x-y<5.74-1.14, dunque
0.47<x-y<4.6
2- Tre grandezze a, b, c sono legate tra loro dalla relazione
1
1
1
=
a
b
c
Sapendo che
0,16< a < 0,20 e che 0,25 < b < 0,40
cosa si può dire del valore di c?
RISPOSTA:100/20<1/a<100/16, dunque 5<1/a<6.25;
100/40<1/b<100/25 , dunque 2.5<1/b<4, per cui –4<-1/b<-2.5, perciò
5-4<1/a-1/b<6.25-2.5, quindi 1<1/c<3.75, ed infine 100/375<c<1
4/15<c<1
3- Sapendo che 89 < x < 91 , 8 < y< 10 determinare valore stimato,
errore assoluto ed errore relativo di y/x.
RISPOSTA: x=90 ± 1 , y=9±1 , sebbene l’errore relativo di y sia
leggermente superiore a 1/10, approssimiamo comunque il valore stimato
al rapporto dei valori stimati quindi 9/90 =1/10 = 0.1; l’errore relativo di
y/x è dato dalla somma degli errori relativi 1/90 +1/9 =11/90; l’errore
assoluto è circa (1/10)(11/90)≈1,2%
4- Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i
seguenti valori:
2.98 < x < 3.02 e 1.95 < y < 2.05
Calcolare il valore stimato e l’errore assoluto del prodotto xy.
RISPOSTA: Si ha x=3±0.02, y=2±0.05, il valore stimato di xy è 6,
l’errore relativo è dato dalla somma degli errori relativi 2/300 + 5/200
=19/600, dunque l’errore assoluto di xy è 6(19/600) =19/100
5-Quattro grandezze a, b, c, d sono legate tra loro dalla relazione
(1-a)(1-b)=(1-c)(1-d)
Sapendo che 0.50<a<0.55
0.70<b<0.75
0.9<c<0.95
Cosa si può dire del valore di d?
SOLUZIONE: dalla relazione assegnata sappiamo che
d=1 – [(1-a)(1-b)]/(1-c)
-0.55<-a<-0.50, dunque 0.45<1-a< 0.50
-0.75<-b<-0.70, dunque 0.25 <1-b< 0.30
-0.95<-c<-0.9, dunque 0.05<1-c<0.1, da cui 10<1/(1-c)<20
Perciò ( 0.45)(0.25)10 <[(1-a)(1-b)]/(1-c)< (0.50)(0.30)20, vale a dire
1.125<[(1-a)(1-b)]/(1-c)<3, quindi –3< -[(1-a)(1-b)]/(1-c)<-1.125, ed
infine 1-3<d<1-1.125, dunque –2<d<0.125.
6- E’ noto che i lati di un rettangolo misurano, in cm, rispettivamente
x=6±0.03 ed y=8±0.02. Calcolare valore assoluto, errore relativo ed
errore assoluto dell’area del rettangolo.
SOLUZIONE: Valore stimato area: 48; errore relativo area 3/600 + 2/800
=3/400; errore assoluto area 48(3/400)=36/100 =36%
7- E’ noto che i lati di un parallelepipedo, a base quadrata, misurano, in
cm, rispettivamente x=6±0.03,lato della base, ed y=8±0.02, altezza
parallelepipedo. Calcolare valore assoluto, errore relativo ed errore
assoluto della superficie e del volume del parallelepipedo.
SOLUZIONI:La superficie S del parallelepipedo è data da S= 4xy + 2 x2
Il valore stimato di S è dunque 4(6)(8) + 2(6)(6) =192 + 72 =264 cm2 ;
errore relativo di S = 4(3/600 + 2/800) +2(2(3/600))= 3/100 +2/100=
5/100; errore assoluto di S= 264(5/100)=13.2 cm2 ;
il volume V del parallelepipedo è dato da V= x2y, il valore stimato di V è
dunque (6)(6)(8)=288 cm3 ; l’errore relativo di V è dato da 2(3/600) +
2/800 = 1/100+1/400= 5/400 =1/80; l’errore assoluto di V è 288(1/80)
=3.6 cm3 .
8-In un triangolo è noto che il lato b misura 6±0.03 cm, l’area misura
24 ± 0.18 cm2, calcolare valore stimato, errore relativo ed errore
assoluto dell’altezza del triangolo relativa al lato b.
SOLUZIONE: Poiché l’area del rettangolo è A=bh/2, si ha che h=2A/b,
dunque il valore stimato di h è 48/6 = 8 cm, l’errore relativo è 3/600 +
2(18/2400) = 1/200 + 3/200 = 4/200= 2/100=0.02; l’errore assoluto è
8(0.02) = 0.16 cm