ÜBUNG 5 Die entsprechenden Themen: Aufgaben:

ÜBUNG 5
Die entsprechenden Themen:
1.
2.
Eigenfunktionen und Eigenwerte
Hermitesche Operatore
Aufgaben:
1. Bestimmen Sie in jedem der folgenden Fälle, ob die Funktion in der ersten Spalte eine
Eigenfunktion des Operators in der zweiten Spalte ist. Wenn ja, wie lautet der
entsprechende Eigenwert?
a. e
b.
i (3 x  2 y )
x2  y2
c. sin( ) cos( )
2
x 2
(1 / x)( x 2  y 2 )
sin( )
d
d

x
d 

2
 sin( )
  6 sin 
d 

2. Finden Sie die Eigenwerte und die Eigenfunktionen des Operators des Impulses in xRichtung.
3. Definieren Sie die kartesischen Koordinaten x, y, z als Funktion der Kugelkoordinaten r, θ,
ϕ und berechnen Sie r, θ, ϕ als Funktion von x, y, z.
4. Betrachten Sie zwei lineare Operatoren  und B̂ , die kommutieren. Sie besitzen einen
gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen, Âf n  an f n und B̂f m  bm f m . Welche
Eigenfunktionen und Eigenwerte besitzen dann   2B̂ , bzw. ÂB̂ ?
ˆ z  i /  . Zeigen
5. Die z-Komponente des Drehimpulses in Kugelkoordinaten ist: L
Sie, dass  (  )  Ceia eine Eigenfunktion des Operators L̂ z ist. Ausgehend aus der
zyklischen Randbedingungen für die Wellenfunktion finden Sie, welche Werte kann der
Parameter a annehmen. Berechnen Sie den zugehörigen Eigenwert. Bestimmen Sie die
Normierungskonstante C. Ist () eine Eigenfunktion von L̂ x , L̂ y und L̂2 ? Begründen
Sie die Antwort.
6. Welche der Operatoren: xˆ, pˆ x und d / dx sind hermitesch? Kann der d / dx Operator eine
Observable beschreiben?
7. Beweisen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell sind.
8. Finden Sie einen hermiteschen Operator, deren Eigenwert
5.45  2i ist.
9. Beweisen Sie, dass die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators zu verschiedenen
Eigenwerten ortogonal sind.
1/ 4
2
2
10. Die normierte Wellenfunktion sei gegeben:  ( x )    e  x . Berechnen Sie die
 
2
folgende Erwartungswerte: (i)  x̂  , (ii)  x̂  , (iii)  p̂ x  , (iv)  p̂ x2  .
Welchen Wert hat x p x ? Hinweis:


0
e y dy 
2
1 
;
2


0
y 2 e y dy 
2
1 
.
4