ÜBUNG 4 Aufgaben: 1. Eigenfunktionen und Eigenwerte

ÜBUNG 4
1. Eigenfunktionen und Eigenwerte
2. Erwartungswerte
3. Hermitesche Operatoren und Observablen
Aufgaben:
1. Welche der folgenden Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators d/dx: (a) eikx, (b)
2
cos kx, (c) k, (d) kx und (e) e-ax ? Geben Sie jeweils den Eigenwert an.
2. Welche der folgenden Funktionen sind Eigenfunktionen des Inversionsoperators Î : (der
überall x durch –x ersetzt): (a) x3-kx, (b) cos (kx) und (c) x2+3x-1? Wie lautet jeweils der
Eigenwert?
3. Bestimmen Sie in jedem der folgenden Fälle, ob die Funktion in der ersten Spalte eine
Eigenfunktion des Operators in der zweiten Spalte ist. Wenn ja, wie lautet der
entsprechende Eigenwert?
2
a. e
i (3 x 2 y )
b.
x2
x2
y2
c. sin( ) cos( )
(1 / x)( x 2
sin( )
y2 )
x
d
d
sin( )
d
d
6 sin 2
4. Finden Sie die Eigenwerte und die Eigenfunktionen des Operators der kinetischen
Energie.
5. Wann kann man eine Größe scharf messen?
6. Betrachten Sie zwei lineare Operatoren  und B̂ , die kommutieren. Sie besitzen einen
gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen, Âf n a n f n und B̂f m bm f m . Welche
Eigenfunktionen und Eigenwerte besitzen dann  2B̂ , bzw. ÂB̂ ?
7. Wie lautet die stationäre Schrödingergleichung? Wie lautet die zeitabhängige Schrödingergleichung? Wann kann man die stationäre Schrödingergleichung benutzen? Wie hängt
in diesem Fall die stationäre Schrödingergleichung mit der zeitabhängigen Schrödingergleichung zusammen?
8. Betrachten Sie die zeitabhängige Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen in einer
Dimension, y. Zeigen Sie, dass ( y) e i ( ky t ) eine Lösung ist, und stellen Sie eine
Beziehung zwischen k und
her.
9. Erklären Sie den Begriff „Orthonormalität“. Sind die Eigenfunktionen eines quantenmechanischen Operators orthogonal? Sind sie auch normiert? Kann man eine beliebige
Funktion (x) normieren? Wenn „ja“ – wie?
10. Erklären Sie den Begriff „vollständiger Satz von Funktionen“. Bilden die Eigenfunktionen eines quantenmechanischen Operators ein „vollständiges“ System?
11. Normieren
Sie
0 r
, 0
die
Funktion
über
das
Intervall
Ne r
(i) Das Volumenelement im
und 0
2 . Hinweis:
dreidimensionalen Raum ist dV
r 2 dr sin d d
und (ii)
0
xne
ax
dx
n! / a n 1 .
12. Betrachten sie ein Teilchen (Masse m) in zwei Dimensionen. Die Grundzustands( x, y) A exp[ x ( x a x ) 2
a y ) 2 ]. Bestimmen Sie den
eigenfunktion sei
y (y
Erwartungswert für xy. Hinweis:
0
e
y2
dy
1
2
/ .
13. Welche der Operatoren: xˆ, pˆ x und d / dx sind hermitesch? Kann der d / dx Operator eine
Observable beschreiben?
14. Beweisen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell sind.
15. Finden Sie einen hermiteschen Operator, deren Eigenwert
5.45 2i ist.
16. Beweisen Sie, dass die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators zu verschiedenen
Eigenwerten ortogonal sind.
17. Wie rechnet man den Erwartungswert einer Observablen mit dem Operator ˆ für ein
System im Zustand ? Kann man die Formel beweisen?
18. Ist der Erwartungswert für einen hermiteschen Operator ˆ immer reell? Beweisen Sie
die Antwort. Warum wurden zu den Observablen gerade hermitische Operatoren
zugeordnet? Begründen Sie Ihre Gedanken.