Fatica - Costruzione di Macchine - Università Politecnica delle Marche

Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Come affrontare il progetto di un componente sollecitato contemporaneamente
da un carico statico e da una sollecitazione ciclica?
1
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Le prove di fatica, come si è detto, vengono effettuate in genere con cicli a media nulla (R= –1).
Nella pratica costruttiva accade molto di frequente che le sollecitazioni cicliche siano
caratterizzate da una tensione media, non nulla, di trazione o di compressione.
È molto importante, quindi, valutare l’effetto sulla durata di una tensione costante sovrapposta ad
una sollecitazione di fatica alterna simmetrica, per la quale sia disponibile la curva di Wöhler.
I dati riportati nella figura
rappresentano una serie di prove
effettuate con diversi valori della
tensione media.
Tra i dati sono riportati
solo quelli per i quali la
rottura è avvenuta ad
un particolare numero
di cicli, uguale per tutti.
Come si vede la σa
decresce all’aumentare
della tensione media di
trazione.
Quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σm
prima di sentirne l’effetto e diminuire.
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli
che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
Si consideri la parte riguardante
la tensione media di trazione.
a
a
N
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
N
N = costante
 R  S
Relazione lineare di Goodman:
S R
log N
m
a m

1
N R
2
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli
che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
Si consideri la parte riguardante
la tensione media di trazione.
a
N
N = costante
 R  S
Relazione lineare di Soderberg:
S R
m
a m

1
N S
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli
che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
Si consideri la parte riguardante
la tensione media di trazione.
a
N
N = costante
 R  S
S R
m
2
Relazione parabolica di Gerber:
a m 
 1

 N   R 
3
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli
che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
Si consideri la parte riguardante
la tensione media di trazione.
a
N
N = costante
 R  S
Relazione ellittica:
S R
 a

 N
2
m
2
 m 
  
  1
 R 
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Gerber
Dati sperimentali relativi
a due diversi materiali
sovrapposti ai modelli
di Goodman e di Gerber.
Goodman
Acciaio
Alluminio
Gerber
Goodman
4
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Tra i modelli descritti, si utilizza quello lineare di Goodman
perché rappresenta in modo sufficientemente accurato la realtà
ed è di semplice applicazione.
a m

1
N R
È anche utilizzato il modello lineare di Soderberg
che ha il vantaggio di essere più conservativo
rispetto a quello di Goodman.
a m

1
 N Curva
 S di Wöhler
In accordo con l’evidenza sperimentale
non c’è riduzione della σa in caso di
tensione statica di compressione.
a
N
1
m
R
S 1
R
R
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith
σmax
a
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
log N
log N
Area di sopravvivenza
ad N cicli (Soderberg)
Area di sopravvivenza
ad N cicli (Goodman)
1   S
N
(R= –1)
N
a
N
N cicli
σR
σN
σR
σmedio
σ
-σN
t
σmin
5
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
σmax
a
N
Il diagramma di Goodman Smith
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
log N
N cicli
σR
σmax
σN
σmedio
σmin
σR
σmedio
σ
-σN
t
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
σmax
a
N
Il diagramma di Goodman Smith
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
log N
N cicli
σR
σmax
σN
σmedio
σmin
σR
σmedio
σ
-σN
t
σmin
6
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
σmax
a
N
Il diagramma di Goodman Smith
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
log N
N cicli
σR
σmax
σN
σmedio
σmin
σR
σmedio
σ
-σN
t
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
σmax
a
N
Il diagramma di Goodman Smith
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
log N
N cicli
σR
σmax
σN
σmedio
σmin
σR
σmedio
σ
-σN
t
σmin
7
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
σmax
a
N
Il diagramma di Goodman Smith
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
log N
N cicli
σR
σmax
σN
σmedio
σmin
σR
σmedio
σ
-σN
t
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Costruzione del diagramma di Goodman
Smith per un numero N di cicli.
Sulla linea di bordo:
vita di N cicli
Il diagramma di Goodman Smith
σmax
N cicli
σR
σS
σN
All’esterno dell’area:
vita inferiore ad N cicli
-σS
σS σR
-σN
σmedio
All’interno dell’area di sopravvivenza:
vita superiore ad N cicli
-σS
σmin
8
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Costruendo il diagramma
per un numero maggiore di cicli N
si avrà una tensione σN minore.
Il diagramma di Goodman Smith
σmax
N cicli
σR
σS
σN
σN
-σS
σS σR
σmedio
-σN
-N
-σS
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Costruendo il diagramma
per un numero minore di cicli N
si avrà una tensione σN maggiore.
Il diagramma di Goodman Smith
σmax
N cicli
σR
σS
σN
-σS
σS σR
σmedio
-σN
-σS
σmin
9
Il diagramma di Goodman Smith
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith può
espresso in forma analitica per un uso
agevole nel calcolo a fatica.
σmax
N cicli
σR
σS
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e d
secondo il valore della tensione media.
σN
d
c
σmedio
-σS
σS σR
b
Nel punto indicato dal cerchio giallo
il valore della tensione media vale:
a
 m   S    N    N   S
-σN
quindi:
45°
σmedio -σS
σmin
  S   m   N  S
zona b)
 N  S   m  0
Il diagramma di Goodman Smith
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith può
espresso in forma analitica per un uso
agevole nel calcolo a fatica.
zona a)
σmax
N cicli
σR
σS
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e d
secondo il valore della tensione media.
σN
d
c
σmedio
-σS
σS σR
b
a
-σN
45°
σmedio -σS
σmin
Nelle zone a) e b), relative ad uno
stato di compressione media, il valore
della tensione minima di picco può
essere espresso come segue:
zona a)
zona b)
 min   S
 min   N    m 
 min   m   N
10
Il diagramma di Goodman Smith
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith può
espresso in forma analitica per un uso
agevole nel calcolo a fatica.
σmax
N cicli
σR
σmedio
σS
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e d
secondo il valore della tensione media.
Nel punto indicato dal cerchio giallo il
valore di σmedio può essere ottenuto
dall’equazione della retta passante per
i punti:
σN
d
c
σmedio
-σS
x1  0
y1   N
x2   R
y2   R
x m  ?
σS σR
b
m  R
a
-σN
y S
r
45°
-σS
  N
 S  N
 S
1 r
 R  N
N
R
σmin
Il diagramma di Goodman Smith
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith può
espresso in forma analitica per un uso
agevole nel calcolo a fatica.
σmax
N cicli
σR
σmedio
σS
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e d
secondo il valore della tensione media.
Nel punto indicato dal cerchio giallo il
valore di σmedio può essere ottenuto
dall’equazione della retta passante per
i punti:
σN
d
c
σmedio
-σS
x1  0
y1   N
x2   R
y2   R
x m  ?
y S
σS σR
b
Nelle zone c) e d) il campo di validità
della tensione media è dato da:
a
-σN
zona c)
-σS
zona d)
45°
σmin
0 m 
 S  N
1 r
 S  N
1 r
m S
11
Il diagramma di Goodman Smith
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith può
espresso in forma analitica per un uso
agevole nel calcolo a fatica.
σmax
N cicli
σR
σmedio
σS
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e d
secondo il valore della tensione media.
Nel punto indicato dal cerchio giallo il
valore di σmedio può essere ottenuto
dall’equazione della retta passante per
i punti:
σN
d
c
σmedio
-σS
x1  0
y1   N
x2   R
y2   R
x m  ?
σS σR
b
Il valore della tensione massima
di picco è dato da:
a
-σN
y S
zona c)
 max
45°
-σS
σmin
zona d)
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
 R  N
R
  N  1  r   m
 max   N   m
 max   S
Il diagramma di Goodman Smith
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità della
tensione media
Tensione massima / minima
zona a)
  S   m   N  S
 min   S
zona b)
 N  S   m  0
 min   m   N
zona c)
0 m 
zona d)
 S  N
1 r
 S  N
 max   N  1  r   m
1 r
 max   S
m S
Ricordando la definizione di tensione media:
m 
 max   min
2
è possibile riscrivere
le due prime relazioni in termini di tensione massima, invece che di tensione minima.
 min  2 m   max
12
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità della
tensione media
Tensione massima
zona a)
  S   m   N  S
 max  2 m   S
zona b)
 N  S   m  0
 max   m   N
zona c)
0 m 
zona d)
 S  N
1 r
 S  N
 max   N  1  r   m
1 r
 max   S
m S
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il diagramma di Goodman Smith
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità della
tensione media
Condizione di danneggiamento:
zona a)
  S   m   N  S
 max  2 m   S
zona b)
 N  S   m  0
 max   m   N
zona c)
0 m 
zona d)
 S  N
1 r
 S  N
1 r
m S
 max   N  1  r   m
 max   S
13
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
I diagrammi Master (di Weyrauch e Kommerell)
Una diversa forma di presentazione dell’interazione tra resistenza ad una
sollecitazione ciclica e ad un carico statico è quella dei cosiddetti “diagrammi Master”.
A=∞
R = -1
A=1
R=0
R = -0.5
A=0
R=1
R = 0.5
σmassima
σR
 max   min
N1
N2
σN1
σN2
 max   min
N1 < N2
σminima
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
I diagrammi Master
14
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
I diagrammi Master
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
I diagrammi Master
15
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il piano di Soderberg
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
a
 N1
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
a
 N1
Curva di Wöhler
(R= –1)
N1
R
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
log N
m
Il piano di Soderberg
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
a
 N1
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
a
 N1
N2
Curva di Wöhler
(R= –1)
N2
N1 N 2
R
log N
m
16
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il piano di Soderberg
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
a
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
a
 N1
N2
 N3
 N1
N2
Curva di Wöhler
(R= –1)
 N3
N1 N 2 N 3
R
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
log N
m
Il piano di Soderberg
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
a
S
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
Per un qualsiasi punto P sul segmento  N
la  a si può esprimere come segue:
a N 
 N1
N2
N
m
R
In modo analogo a quanto è stato fatto sul
diagramma di Goodman Smith si evita di
superare la tensione di snervamento del
materiale.
 N3
a
R
P
La linea rossa rappresenta il limite elastico.
m
 S  N
S
R
m
1 r
17
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Il piano di Soderberg
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
Per un qualsiasi punto P sul segmento  N
la  a si può esprimere come segue:
a
a N 
Sulla linea blu la vita
è esattamente N
N
m
R
R
a N 
N
m
S
N
a
Limitando l’area con un segmento σN σS si
restringe ulteriormente il campo di progetto,
andando a favore della sicurezza, e la relazione
precedente può essere modificata.
P
All’esterno della linea blu
la vita è inferiore ad N
Nell’area verde il
componente ha una vita
superiore ad N
m
 S  N  S
R
m
1 r
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
La stessa semplificazione può essere
rappresentata sul diagramma di
Goodmann Smith:
σmax
N cicli
σR
σS
σN
-σS
σS σR
σmedio
-σN
-σS
σmin
18
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionale
che diventa, localmente, triassiale.
F
F
n 
F
A
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionale
che diventa, localmente, triassiale.
F
F
Zona di
concentrazione
delle tensioni
F
n 
F
A
F
 locale  k   n
k
dipende dalla forma dell’intaglio
19
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Nella zona di intaglio nasce uno stato di tensione triassiale
Per capire meglio come si
sviluppa lo stato triassiale lo
stato di tensione nell’intorno
dellìintaglio immaginiamo ora
di rendere trasparente la
lamiera.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Nella zona di intaglio nasce uno stato di tensione triassiale
La curva rappresenta l’andamento dello stato
di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Per capire meglio come si
sviluppa lo stato triassiale lo
stato di tensione nell’intorno
dell’intaglio immaginiamo ora
di rendere trasparente la
lamiera.
Per l’effetto Poisson questa zona tenderebbe a contrarsi, ma
non può farlo per congruenza con il materiale circostante.
20
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
Per comprendere come
nasce la triassialità si
immagini ora di rimuovere la
congruenza nell’intorno
dell’intaglio e considerare il
materiale come una serie di
parallelepipedi contigui
caricati da forze assiali.
La curva rappresenta l’andamento dello stato
di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
Per comprendere come
nasce la triassialità si
immagini ora di rimuovere la
congruenza nell’intorno
dell’intaglio e considerare il
materiale come una serie di
parallelepipedi contigui
caricati da forze assiali.
La curva rappresenta l’andamento dello stato
di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Nella vista dall’alto la contrazione laterale
dei parallelepipedi appare evidente
Prima dell’applicazione del carico
Dopo applicazione del carico
Imponendo la congruenza
21
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
Per effetto della contrazione
laterale impedita nascono le
componenti trasversali dello
stato di tensione.
La curva rappresenta l’andamento dello stato
di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Il cilindro rappresenta la zona
nella quale si manifesta la
triassialità.
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
Per effetto della contrazione
laterale impedita nascono le
componenti trasversali dello
stato di tensione.
La curva rappresenta l’andamento dello stato
di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Il cilindro rappresenta la zona
nella quale si manifesta la
triassialità.
Effetto dell’intaglio sullo stato di tensione.
22
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Molti organi meccanici hanno, per
motivi funzionali, una forma che
provoca effetti locali di intaglio.
Naturalmente si cerca di ridurre al
massimo la severità dell’intaglio con
raggi di raccordo ampi, per quanto
possibile.
Tuttavia, come mostrano gli schizzi in
figura, spesso non è possibile evitare
le brusche variazioni di forma
e la tensione locale può raggiungere
valori pari ad oltre 3÷4 volte la
tensione nominale.
Fattore di intaglio teorico
Kt 
 max
n
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.
Tensione nominale
y
y
y
x
y
x
x
23
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.
Nel caso di foro circolare
(di piccole dimensioni rispetto a quelle della piastra)
il fattore di intaglio vale 3.
4
 max
3
n
3
Kt 
 max
Tensione nominale
2
1
R
y
x
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Nel caso più generale di lastra piana con un foro ellittico il massimo valore della tensione
dipende dal raggio di curvatura minimo dell’ellisse.


a
b
 max   n 1  2 
Il raggio di curvatura minimo dell’ellisse è

b2
a
per cui si ha:

 max   n 1  2

a

 
Il fattore di intaglio quindi vale:

a

K t  1  2
 

24
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Il comportamento plastico
del materiale può ridurre il
fattore di concentrazione
della tensione.
K P  1  K t  1
Es
E
K  1 2
Es
E
(foro circolare)
Es = modulo secante
Ne risulta, tuttavia,
incrementato il fattore di
concentrazione della
deformazione.

Es
E

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Nei casi più complessi
si ricorre a diagrammi
che forniscono il fattore
di intaglio in base al tipo
di carico applicato ed
alle caratteristiche
geometriche salienti.
Kt 
 max
n
25
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Kt 
Fattore di intaglio
 max
n
D
 1 .5
d
D
 1 .2
d
K t  1.7
K t  1.5
r
 0.14
d
r
 0.16
d
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Kt 
Fattore di intaglio
 max
n
D
 1 .2
d
K t  1 .2
r
 0.16
d
26
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattori di intaglio
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattori di intaglio per un albero sede di una cava per chiavette o linguette
Condizione del
materiale dell'albero
Tipo di chiavetta o linguetta
Incastrata
Torsione
Ricotto
Temprato
1,3
1,6
Dritta
Flessione Torsione
1,6
2,0
1,3
1,6
Americana
Flessione Torsione
1,3
1,6
1,6
2,4
Flessione
2,0
3,0
Fattori di intaglio per un albero
sede di collegamento forzato
Torsione
Flessione
1,4
1,7
27
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Nel progetto di un componente che sarà sollecitato a fatica è necessario curare il disegno
in modo tale che, pur assicurando la funzionalità, sia minimo il fattore di intaglio.
L’intensificazione locale della
tensione è maggiore dove le
linee isostatiche sono
maggiormente addensate.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Miglioramento
Curare il disegno
per rendere
minimo il fattore
di intaglio.
28
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Effetto dei fori ausiliari sul fattore di intaglio.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
29
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
30
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Curare il disegno
per rendere
minimo il fattore
di intaglio.
31
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La sensibilità all’intaglio.
I materiali metallici sono più o meno sensibili alla presenza di un intaglio.
Può essere definito un fattore di sensibilità all’intaglio, definito come segue:
q
Ke 1
Kt 1
dove Ke rappresenta il fattore effettivo di intaglio,
mentre Kt indica, come sempre, il fattore teorico di intaglio.
Il fattore
1
q può essere calcolato come segue: q 
1
Dove

è una caratteristica del materiale ed
r

(Neuber)
r
è il raggio di raccordo
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Andamento del parametro

La sensibilità all’intaglio.
in funzione della tensione di rottura del materiale
32
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Per elementi cilindrici a sezione circolare
 può essere dato dalla relazione:
dove
d
La sensibilità all’intaglio.
3
    1.27 
  5.081  S  1 

d 
 R  
valida in mm
è il diametro del componente.
Il fattore q si trova in letteratura espresso anche da una relazione
leggermente differente:
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
q
1
1

r
La sensibilità all’intaglio.
Un’altra espressione di q è quella di Haywood:
dove:
1
q
1
Tipo di materiale
a
br
a
(mm)^0.5
Acciai al C
0,328
Acciai legati
0,151
Leghe di Rame
0,353
Leghe di
Alluminio
0,453
Leghe di
Magnesio
0,222
a è una costante funzione del materiale
b dipende dal tipo di intaglio
r è il raggio di raccordo
M
M
b =1
M
M
b =0.35
M
M
b =0.26
33
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La sensibilità all’intaglio.
Valore di q in funzione del raggio di raccordo r
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La sensibilità all’intaglio.
Valore di q in funzione del raggio di raccordo r
34
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La sensibilità all’intaglio.
Il fattore effettivo di intaglio può dunque essere espresso dalla relazione:
K e  1  q  K t  1
Il fattore effettivo di intaglio è applicabile ai materiali duttili
nel caso di sollecitazione ciclica
Per i materiali fragili si applicherà sempre il valore teorico
del fattore di intaglio:
Kt
Ciò equivale a considerare, per tali materiali la massima
sensibilità all’intaglio: q = 1
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Valore del fattore di intaglio applicabile
Sollecitazione
statica
Sollecitazione
ciclica
Materiali duttili
1
Ke
Materiali fragili
Kt
Kt
35
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Fattore di intaglio
Nel caso di materiali duttili, il fattore di intaglio effettivo
andrà applicato solo alla parte alterna della sollecitazione.
a
m

intaglio
intaglio
m
a
  a  Ke
  m 1
intaglio
m
 max   m  K e   a
 max
K e a
t
Sollecitazione reale
applicata al componente
con intaglio.
Sollecitazione amplificata
applicata ad un componente
privo di intaglio.
Effetto delle dimensioni sulla vita a fatica
Fattore di correzione b1
σN reale= b1 * σN
D
Diametro (mm)
36
Effetto della finitura superficiale
sulla vita a fatica
σN reale= b2 * σN
Considerando anche il coefficiente
relativo alle dimensioni si ha:
σN reale= b1* b2 * σN
Fattore di correzione b2
a = lucidatura fine
Ra ≈1 μm
b = lucidatura media Ra ≈1.5÷2 μm
c = rettifica fine
Ra ≈2.5÷6 μm
d = rettifica media
Ra ≈6÷16 μm
e = sgrossatura buona Ra ≈100÷160 μm
f = sgrossatura normale
g = grezzo di laminazione
h = con corrosione in acqua dolce
i =con corrosione in acqua di mare
In generale si può scrivere:
σ N reale   bi  σ N
i
Carico di rottura (kgf / mm2 )
Il coefficiente di sicurezza
N cicli
a
Si consideri il comportamento a fatica rappresentato sul piano di Soderberg:
è possibile definire il limite di danneggiamento e la relativa area di
sopravvivenza.
N
a
a N 
Ricordando l’espressione della σa in funzione della σm :
N
m
R
Si può calcolare la tensione massima di ciclo σmax :
P
 max   a   m   N 
N
m m
R


 Limite   N   1 
m
R
N 

 R  m
m
37
Il coefficiente di sicurezza
Un qualsiasi punto P all’interno dell’area sottesa dal segmento
N cicli
a m
può giungere al limite tramite un incremento di  m
oppure tramite un incremento di  a
a
N
a
N R
che è rappresentato da una coppia di valori
oppure variando entrambi i valori.
P
m
R
m
Il coefficiente di sicurezza
N cicli
a
Stabilire un coefficiente di sicurezza, in questo caso, equivale a tracciare un secondo
segmento, interno all’area di sopravvivenza, che stabilisca il confine “ammissibile”
della sollecitazione a fatica con media non nulla.
Per fare ciò possono essere definiti due coefficienti di sicurezza,
XF per la parte ciclica e XS per la parte statica della sollecitazione
che stabiliscano i rispettivi valori ammissibili per le sollecitazioni.
N
Nel progetto di un organo meccanico si impone che il punto P
si trovi sul segmento individuato dalle tensioni ammissibili.
N
XF
a
Nella verifica il punto P dovrà trovarsi
all’interno dell’area in verde.
P
a
P
m m
R
R
m
XS
0 
F
N
XF
0 
S
R
XS
38
Il coefficiente di sicurezza
N cicli
In base al valore limite della tensione massima di ciclo,
calcolato prima:


 Limite   N   1 
a
N
N 

 R  m
è possibile definire il valore ammissibile della tensione
massima di ciclo:
0 
N
XF
N 
 X 
  1 N S   m
XF  XF R 
Per semplicità di calcolo, si assume in genere lo
stesso valore per i due coefficienti di sicurezza:
XS  XF  X
m
R
R
XS
Il coefficiente di sicurezza
N cicli
In base al valore limite della tensione massima di ciclo,
calcolato prima:


 Limite   N   1 
a
N
N 

 R  m
è possibile definire il valore ammissibile della tensione
massima di ciclo:
0 
N
XF
N 
 X 
  1 N S   m
XF  XF R 
Per semplicità di calcolo, si assume in genere lo
stesso valore per i due coefficienti di sicurezza:
XS  XF  X
R
R
m
XS
La tensione ammissibile può dunque essere riscritta:
0 
N 
 
  1 N   m
X  R
39
La relazione di progetto
Ricordando la definizione di r :
N cicli
a
N
N
XF
0 
N 
 
  1 N   m
X  R
0 
N
X
r
 1 r   m
N
R
Per tenere conto delle reali condizioni del componente da
progettare è necessario introdurre i vari coefficienti di
riduzione delle prestazioni del materiale,
quali ad esempio b1 che tiene conto delle dimensioni
e b2 che tiene conto della finitura superficiale:
0 
R
R
b1b2 N  b1b2 N 
  1

X
 R  m

m
XS
Nel caso di progetto a vita infinita la
relazione può essere riscritta come segue:
0 
b1b2 LF
 1 b1b2 r   m
X
La relazione di progetto
N cicli
a
N
Nel caso in cui sia concentrazione
di tensione, dovuta ad un intaglio,
la tensione massima vale:
 max   m  K e   a
La tensione ammissibile vale:
0 
b1b2 N 

 1  b1b2 N
X
R


  m

Dal confronto tra la tensione massima applicata e la tensione
ammissibile, ne deriva una semplice relazione di progetto:
N
 m  K e a 
XF
b N 
 
  1 b N   m
X 
R
dove si è indicato
sinteticamente:
R
R
b   bi
m
XS
La relazione di progetto può essere
ulteriormente semplificata nel caso
di vita infinita (r = σLF / σR ) :
i
K e a  br m 
b LF
X
40
La relazione di progetto
N cicli
a
N
La relazione di progetto può
essere scritta anche in base
al modello di Soderberg, più
conservativo, sostituendo
alla σR la σS :
 m  K e a 
 
b N 
  1 b N   m
X 
R
 m  K e a 
b N 
 
  1 b N   m
X 
S 
N
XF
S R
S
R
m
XS XS
La relazione di progetto
Rappresentazione grafica della relazione di progetto (Soderberg)
N cicli
a
 a  f  m 
 m  K e a 
N
 
b N 
  1 b N   m
X 
S 
N
XF
Progetto
a
Soluzione progettuale
Verifica
m
S
XS
S
m
X
b N
K e a  b
N

R m
41
La relazione di progetto
Rappresentazione grafica di una procedura di calcolo della durata
a
N cicli
a
Curva di Wöhler
(R= –1)
N
N
N
N
log N
Durata
XF
a
N 
Soluzione progettuale (d, F)
m
m
R
R
K e a
b

b m
R
X
XS
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Il supporto è soggetto ad un carico F
variabile nel tempo ciclicamente.
r
Fmax = 6 kN
Fmin = -2 kN
H2
H1
F
Fmax
L2
L1
Fmin
B
t
Specifica:
Coefficiente di sicurezza minimo: XS = 1.4
Dimensioni:
B
H1
H2
L1
L2
r
= 20 mm
= 60 mm
= 72 mm
= 200 mm
= 50 mm
= 4.8 mm
Durata: illimitata
Materiale: Acciaio C40
σR = 710 MPa
σS = 500 MPa
σLF = 280 MPa
Condizione di finitura della superficie del supporto: rettifica media
42
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Calcolo delle tensioni
r
Sezione di incastro A
H2
A
H1
L2
 f max 
 f min 
L1
f 
Mf
Wf

6 F  L1  L2 
2
B  H2
B
6 Fmax  L1  L2  6  6000  0.2  0.05

 86.8MPa
2
0.02  0.072 2
B  H2
6 Fmin  L1  L2 
6  2000  0.2  0.05

 28.9 MPa
2
0.02  0.072 2
B  H2
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Calcolo delle tensioni
r
Sezione B
H2
A
B
L2
H1
L1
B
43
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Calcolo delle tensioni
r
Sezione B
A
B
H2
H1
L2
L1
In questa vista è più evidente la posizione della Sezione B
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Calcolo delle tensioni
r
Sezione B
H2
A
B
L2
H1
L1
f 
Mf
Wf

6 F  L1
2
B  H1
B
 f max 
6 Fmax  L1 6  6000  0.2

 100MPa
2
0.02  0.06 2
B  H1
La sezione B è la più sollecitata,
anche senza tenere conto del
fattore di intaglio.
 f min 
6 Fmin  L1
6  2000  0.2

 33.3MPa
2
0.02  0.06 2
B  H1
Quindi per la verifica sarà
considerata solo la sezione B.
44
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Determinazione del fattore di intaglio teorico:
r
H2
H1
L2
L1
H1 = 60 mm
H2 = 72 mm
r = 4.8 mm
r / H1 = 0.08
H2 / H1 = 1.20
B
Esempio di calcolo
K t = 1.8
H2 / H1 = 1.20
r / H1 = 0.08
0.08
45
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
F
Determinazione del fattore di intaglio teorico:
r
H2
H1 = 60 mm
H2 = 72 mm
r = 4.8 mm
H1
L2
L1
K t = 1.8
B
Fattore di sensibilità all’intaglio:
1
q
1

r

r / H1 = 0.08
H2 / H1 = 1.20
1
 0.86
0.1287
1
4.8
Questa relazione non è valida per le sezioni non circolari
ma, in prima approssimazione, possiamo accettarla:
3
    1.27 

  5.08  1  S   1 
H1 
 R  
3
 500   1.27 
  5.08  1 
  1 
  0.1287
60 
 710  
K e  1  q  K t  1
Calcolo del fattore di intaglio effettivo:
K e  1  0.86  1.8  1  1.688  1.7
Esempio di calcolo
Determinazione dei fattori b1(dimensioni) e b2 (finitura superficiale)
H1 = 60 mm
b1 = 0.74
60
46
Esempio di calcolo
b2 = 0.88
finitura della superficie:
rettifica media
curva d
R = 710 MPa
710
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
F
r
K e = 1.7
H2
H1
L2
L1
b1 = 0.74
b2 = 0.88
σmax = 100 MPa
σmin = – 33.3 MPa
B
È necessario ancora calcolare σa e σm :
a 
m 
 max   min
2
 max   min
2

100   33.3
 66.7 MPa
2

100   33.3
 33.3MPa
2
47
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
F
r
K e = 1.7
H2
b1 = 0.74
b2 = 0.88
H1
L2
L1
σLF = 280 MPa
B
A questo punto è possibile utilizzare la relazione
K e a  br m 
X
σmax = 100 MPa
σmin = – 33.3 MPa
σm = 33.3 MPa
σa = 66.7 MPa
dove:
b LF
X
b = b1· b2 = 0.74 ·0.88 = 0.6512
r = σLF / σR = 280 / 710 = 0.3944
b N
K e a  br m
Essendo richiesto
dalla specifica
0.6512  280
182.3

 1.49
X
1.7  66.7  0.6512  0.3944  33.3 121.9
XS ≥ 1.4
il componente rispetta
la specifica
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
F
r
K e = 1.7
H2
b1 = 0.74
b2 = 0.88
H1
L2
L1
σLF = 280 MPa
B
A questo punto è possibile utilizzare la relazione
b LF
K e a  br m 
X
b N
X
K e a  br m
0.6512  280
X
1.7  66.7  0.6512  0.56  33.3
σmax = 100 MPa
σmin = – 33.3 MPa
σm = 33.3 MPa
σa = 66.7 MPa
Se si utilizza la retta di Soderberg il
rapporto r sarà calcolato diversamente:
r = σLF / σS = 280 / 500 = 0.56
di conseguenza il coefficiente di
sicurezza risulterà modificato.
182.3

 1.45
125.5
Il componente è
ancora in specifica
48
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
È molto frequente nelle costruzioni meccaniche
che la sollecitazione di fatica si sviluppi in uno
stato piano di tensione.
Ipotesi.
Componenti di tensione non nulle: σ e τ
Nel caso monoassiale la verifica di resistenza è data dal confronto tra le quantità:
 max   m  K e   a
Tensione massima
di lavoro
0 

b N 
 1  b N
S
X


  m

Tensione ammissibile
Nel caso di tensione piana la tensione di lavoro deve essere espressa da una quantità scalare
equivalente, la quale possa essere confrontata con la tensione ammissibile monoassiale.
Ammettendo valido il criterio di Tresca, la tensione equivalente, nel caso siano presenti solo le
componenti σ e τ del tensore tensione, assume la forma:
2
2
 e    4
Le componenti di tensione, essendo la
sollecitazione di fatica, possono essere
espresse in termini di valore medio ed alterno.
Inoltre deve essere considerato l’effetto del
fattore di intaglio.
 m  K e   a 2
 m  K e  a 2
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
L’esperienza ha dimostrato che nel caso di sollecitazione di fatica il rapporto tra le
tensioni limite σL e τL è diverso da quello osservato nel caso statico.
Il valore teorico di tale rapporto previsto dalla teoria di Tresca vale:
L 
   2
  L T
Nel caso della fatica il rapporto tra le tensioni limite può essere
determinato sperimentalmente e risulta:
L 
   2
  L S
Può essere introdotto un coefficiente in modo tale da porre
l’eguaglianza:
L 
 
    0  L 
  L S
  L T
σ0 che è noto come “coefficiente di Bach”
può quindi essere definito come:
E se si considera applicabile il criterio di
Tresca si ha:
L 
 

1  
 0   L  S   L 
2   L S
L 
 
  L T
49
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
I valori sperimentali delle tensioni limite, ottenuti per un numero di cicli N oppure a vita
infinita, se il materiale presenta limite di fatica, sono dati dalle seguenti espressioni:
L 
L 
b N 

 1  b N
Ke 
K e S

  m

b N 

 1  b N
K e 
K e S

  m

 
b N 
 1  b N   m
K e S 
1 Ke 
0 
2 b N 
 
 1  b N   m

Ke 
K e S 
quindi σ0 è
calcolato
dal rapporto
Può dunque essere calcolata la tensione equivalente, intesa come valore massimo di una
tensione ciclica monoassiale la quale crea nel componente in esame lo stesso danno della
sollecitazione reale, in un numero stabilito di cicli N.
 max 
 m  K e   a 2  4 0   m  K e  a 2
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
La relazione di progetto o di verifica a fatica nel caso di stato di tensione piano è la seguente
 max 
 m  K e   a 2  4 0   m  K e  a 
0 
2
Tensione equivalente massima di lavoro
 m  K e   a 2  4 0   m  K e  a 

b N 
 1  b N
S
X


  m

Tensione ammissibile
2

b N  b N
 1 
S
X


 m

Relazione di progetto
50
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
Come procedere nel caso più generale
di stato triassiale di tensione?
1  2  3
Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione
Caso in cui le tensioni principali abbiano media nulla:
0 
 a   12a   22a   32a   1a 2 a   2 a 3a   1a 3a
eqv
Tensione equivalente alterna di lavoro
Tensione alterna ammissibile
Caso in cui lo stato di tensione non sia a media nulla:
x 
x
Metodo di Sines:
eqv

1
2
  ya
xa
  
2
ya
  za
  
2
za
  xa

2
max
  xmin
2
a
a 
b N
X

2
 6  xy2 a   yz
  xz2 a
a

Tensione equivalente alterna di lavoro
m   x  y  z
eqv
m
m
m
Tensione equivalente media di lavoro
Le tensioni medie di taglio non
influenzano la resistenza a fatica
51
Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione
Metodo di von Mises:

1
2
a 
eqv
xa
  ya
  
2
ya
  za
  
2
za
  xa

2

2
 6  xy2 a   yz
  xz2 a
a

Tensione equivalente alterna di lavoro
1
2
m 
eqv

xm
  ym
  
2
ym
  zm
  
2
zm
  xm
  6 
2
2
xym
2
2
  yz
  xz
m
m

Tensione equivalente media di lavoro
Metodo SEQA:
SEQA 

3
3
9
1  Q2  1  Q2 cos 2  Q4
4
2
16
2

Q2

σ =Tensione normale alterna dovuta alla flessione
τ =Tensione tangenziale alterna dovuta alla torsione
φ =angolo di fase tra i valori massimi di flessione e torsione
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