esercizi trigonometria

ESERCIZI . TRIGONOMETRIA
Completa la seguente tabella scrivendo la misura mancante, in gradi o in radianti.
1
Gradi
Radianti
2
45°
Gradi
Radianti
60°

0
120°
135°

6

2
270°
360°
5

6
3

2
3
Sapendo che sen  
3 
e     , calcola cos  .
5
2
4
Sapendo che cos  
3 3
e     2 , calcola sen  .
4 2
1

4
5

6
 4
  5 
 7


 4 
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
5
6
3cos90  2sen 0  2sen 30  4cos60  cos30  3sen 60  cos0
3cos90  2cos0  4cos30  4sen 60  cos60  5sen 30  2sen 0
 




  cos  sen   4cos sen
3 
4
4
6
3
7
cos
8
2sen
 




  cos  sen   4cos sen
3 
4
4
6
3
2 3 


 5
 2

 3

 2

 6  3


Semplifica l’espressione.
9
 sen   2a cos  
2
 4a sen   cos  +a sen    3sen 2 
10
 2a sen   cos  
2
 4a cos  1  a cos  +sen    cos2 
 4  a 2  sen 2  


 4a  a  cos  
3. LA FUNZIONE TANGENTE
Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.
11
12
13
14
15
3
 ;  ; 120; 315 .
4
2
 ; 0; 135; 240 .
3
Sapendo che sen  
tg  .
15
e che 90    180 , calcola il valore di
17
Sapendo che cos   
tg  .
15 

 tg    8 
12
e che 90    180 , calcola il valore di
13
Calcola il coseno dell’angolo che la retta di equazione y 
5

 tg    12 
3
x  2 forma con
4
4
 5 
1
x  5 forma con
3
1
 2 
l’asse x.
16
Calcola il seno dell’angolo che la retta di equazione y  
l’asse x.
8. LE FORMULE GONIOMETRICHE
Le formule di addizione e sottrazione
Applicando le formule di addizione o di sottrazione, calcola il valore delle seguenti funzioni
goniometriche.
17
sen105 ; cos195 ; tg 75 .
18
sen195 ; cos105 ; cotg195 .
 6 2  2 6

;
; 2  3

4
4


 2 6
;

4


2 6
; 2  3
4

Le formule di duplicazione
Calcola il valore della seguente espressione.
19
1  cos 2
1
cotg   cos 2    sen 2

sen 2
2
1
20
1  cos 2  1

2
 tg   2cos    sen 2
sen 2  2

1

 2  2 cotg  
Sapendo che cos   
determinare .
15
e che 180    270 , calcola la seguente funzione goniometrica senza
17
21
sen 2
 240 
 289 
22
cos 2
 161 
 289 
Le formule di prostaferesi
Trasforma in prodotti le seguenti somme utilizzando le formule di prostaferesi.
 2sen 5 cos 2 
 2cos5 sen 2 
23
sen 7  sen 3
24
sen 7  sen 3
25




sen      sen    
6
3





 2 sen  12    



26




sen      sen    
3

6




 2 cos  12    



Le formule di Werner
Trasforma in somme i seguenti prodotti utilizzando le formule di Werner.
27
sen  cos3
1
1

 2 sen 4  2 sen 2 
28
cos  sen 3
1
1

 2 sen 4  2 sen 2 
29
  

sen  a   cos  a  
4
4


1
1
 2 sen 2a  2 
30
  

cos  a   sen  a  
3
3


1
3
 sen 2a 

4 
2
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari.
31
sen x  cos x 
1  2cos x
2

5


 x  6  2k ; x  6   2k , k  Z 
32
sen x  cos x 
2sen x  1
2
4


 x   3   2k , k  Z 
33A
sen x  cos x 
1 5  2sen x

2
2
impossibile
1 7  2sen x

 cos x
2
2
Risolvi il seguente sistema di equazioni goniometriche.
impossibile
34
sen x 
35
 sen x  sen y  1
 2
2
sen x  sen y  1




x

k

,
y


2
k

;
x

 2k , y  k1 , k , k1  Z 
1

2
2

36
 sen x  sen y  1
 2
2
sen x  sen y  1

3


 x  k , y  2  2k1 ; x  2   2k , y  k1 , k , k1  Z 
4. LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Risolvi in R le seguenti disequazioni goniometriche elementari.
37
2sen x  3  0
5
4

 3   2k  x  3   2k , k  Z 
38
2sen x  2  0
7
5

 4   2k  x  4   2k , k  Z 
2cos x  2  0
3
 3

  4   2k  x  4   2k , k  Z 
40
2cos x  1  0
2
 2

  3   2k  x  3   2k , k  Z 
41
3tg x  2
 tg x  1
2



 k  x  2  k , k  Z 
42
2 tg x  3
 tg x  1
3
 

  2  k  x  k , k  Z 
39
3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
Di un triangolo qualunque sono noti i seguenti elementi (espressi rispettando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
43
a  14; b  12;   50; determina sen  .
44
a  20; b  22;   40; determina sen  .
45
a  8; c  23;   65; determina b .
46
b  12; c  16;   100; determina a .
sen   0,893
sen   0,707
b  20,91
 a  21,60
Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.
47
   70

  33
 AC  20 cm

34,5 cm; 35,77 cm; 77
48
  38

   80
 BC  30 cm

43,02 cm; 47,98 cm; 62