Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con

Equazioni lineari del secondo
ordine a coefficienti costanti con
termine noto definito a tratti
Consideriamo il seguente problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea
 00
x + a1 x0 + a0 x = f (t)



(1.1)
x(t0 ) = x0


 0
x (t0 ) = x1 ,
con f : I → R continua su I ⊆ R intervallo, t0 ∈ I, a0 , a1 , x0 , x1 ∈ R.
Poiché f è continua su I, per il teorema di esistenza e unicità globale, questo problema di Cauchy ammette un’unica soluzione massimale definita su I.
Supponiamo ora che la funzione f sia definita a tratti. Per semplictà espositiva
supponiamo che I = R e che f sia cosı̀ definita:
(
f (t) =
f1 (t) se t < t1
f2 (t) se t ≥ t1 ,
dove t1 ∈ R e, dovendo essere f continua, si ha che f1 : (−∞, t1 ) → R e f2 : [t1 , +∞) → R
sono continue e tali che
lim f1 (t) = f2 (t1 ).
t→t−
1
Siamo interessati a determinare l’unica soluzione del problema di Cauchy (1.1).
Seguiamo il procedimento usuale per determinare la soluzione. Prima di tutto determiniamo l’integrale generale dell’equazione differenziale x00 + a1 x0 + a0 x = f (t) e poi
imponiamo la condizione iniziale.
Sappiamo che l’integrale generale dell’equazione differenziale non omogenea x00 +
a1 x0 + a0 x = f (t) è dato da x = xo + xp , dove xo è l’integrale generale dell’equazione
differenziale omogenea x00 + a1 x0 + a0 x = 0, e xp è un integrale particolare dell’equazione
differenziale non omogenea x00 + a1 x0 + a0 x = f (t).
1
2 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto definito a
tratti
Poiché f è definita a tratti, procediamo in questo modo:
1) determiniamo separatamente l’integrale generale dell’equazione non omogenea sugli
intervalli aperti (−∞, t1 ) e (t1 , +∞);
2) definiamo l’integrale generale su R imponendo che nel punto di raccordo fra i due
intervalli, ossia in t1 , questa funzione sia continua e derivabile.
Determinato l’integrale generale si impone la condizione iniziale e si individua l’unica
soluzione del problema di Cauchy.
Vediamo un esempio.
(1.2) Esempio Determinare la soluzione del problema di Cauchy
 00
x − 6x0 + 5x = f (t)



x(π) = 0


 0
x (π) = 0,
dove il termine noto f è definito da
(
f (t) =
1 − cos t
se t < 0
sin t
se t ≥ 0.
Poiché f è continua su R, per il teorema di esistenza e unicità globale, questo problema
di Cauchy ammette un’unica soluzione massimale definita su R.
Procediamo come indicato precedentemente.
1) Determinamo l’integrale generale dell’equazione non omogenea x00 −6x0 +5x = f (t)
sull’intervallo (−∞, 0), cioè
x00 − 6x0 + 5x = 1 − cos t.
Consideriamo inizialmente l’equazione omogenea associata x00 − 6x0 + 5x = 0. Ad
essa si associa l’equazione caratteristica λ2 − 6λ + 5 = 0 che ha soluzioni λ1 = 1 e
λ2 = 5. Quindi un integrale generale dell’equazione omogenea x00 − 6x0 + 5x = 0
sull’intervallo (−∞, 0) è
xo (t) = c1 et + c2 e5t ,
c1 , c2 ∈ R,
∀t < 0.
Ora determiniamo un integrale particolare xp dell’equazione non omogenea x00 −
6x0 + 5x = 1 − cos t sull’intervallo (−∞, 0).
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto definito a
tratti
3
Il termine noto f (t) = 1 − cos t è somma di due contributi, b1 (t) = 1 e b2 (t) =
− cos t. Per il Principio della sovrapposizione degli effetti, si ha che un integrale
particolare xp è dato da xp = xp1 + xp2 , dove xp1 è una soluzione dell’equazione
non omogenea in cui il termine noto è solamente b1 , cioè
x00 − 6x0 + 5x = 1,
e xp2 è una soluzione dell’equazione non omogenea in cui il termine noto è solamente
b2 , cioè
x00 − 6x0 + 5x = − cos t.
Essendo b1 (t) = 1, allora un integrale particolare xp1 è della forma xp1 (t) = A,
dove A ∈ R. Sostituendolo nell’equazione non omogenea x00 − 6x0 + 5x = 1 si
ottiene A = 51 . Quindi xp1 (t) = 15 .
Essendo b2 (t) = − cos t, allora un integrale particolare xp2 è della forma xp2 (t) =
A cos t + B sin t, dove A, B ∈ R. Sostituendolo nell’equazione non omogenea x00 −
1
6x0 + 5x = − cos t si ottiene A = − 13
,B=
3
26 .
1
3
Quindi xp2 (t) = − 13
cos t + 26
sin t.
Ne segue che un integrale particolare xp dell’equazione non omogenea x00 − 6x0 +
5x = 1 − cos t sull’intervallo (−∞, 0) è
xp (t) = xp1 (t) + xp2 (t) =
1
1
3
−
cos t +
sin t,
5 13
26
∀t < 0.
Quindi l’integrale generale dell’equazione non omogenea x00 − 6x0 + 5x = 1 − cos t
sull’intervallo (−∞, 0) è
1 1
3
x(t) = xo (t)+xp (t) = c1 et +c2 e5t + − cos t+ sin t,
5 13
26
c1 , c2 ∈ R,
∀t < 0.
Determinamo ora l’integrale generale dell’equazione non omogenea x00 − 6x0 + 5x =
f (t) sull’intervallo aperto (0, +∞), cioè
x00 − 6x0 + 5x = sin t.
Consideriamo inizialmente l’equazione omogenea associata x00 − 6x0 + 5x = 0.
L’equazione omogenea è la stessa del caso precedente, quindi anche l’integrale
generale è della stessa forma. Essendo però su un intervallo diverso, conviene
chiamare in modo diverso le costanti. Quindi un integrale generale dell’equazione
omogenea x00 − 6x0 + 5x = 0 sull’intervallo (0, +∞) è
xo (t) = c3 et + c4 e5t ,
c3 , c4 ∈ R,
∀t > 0.
4 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto definito a
tratti
Ora determiniamo un integrale particolare xp dell’equazione non omogenea x00 −
6x0 + 5x = sin t sull’intervallo aperto (0, +∞).
Essendo il termine noto f (t) = sin t, allora un integrale particolare xp è della
forma xp (t) = A cos t + B sin t, dove A, B ∈ R. Sostituendolo nell’equazione non
omogenea x00 − 6x0 + 5x = sin t si ottiene A =
3
26
cos t +
1
13
3
26 ,
B =
1
13 .
Quindi xp (t) =
sin t, per ogni t > 0.
Quindi l’integrale generale dell’equazione non omogenea x00 − 6x0 + 5x = sin t
sull’intervallo (0, +∞) è
3
1
cos t +
sin t,
26
13
x(t) = xo (t) + xp (t) = c3 et + c4 e5t +
c3 , c4 ∈ R,
∀t > 0.
2) Imponiamo ora che l’integrale generale determinato sugli intervalli (−∞, 0) e (0, +∞)
sia definito, continuo e derivabile nel punto di raccordo fra i due intervalli t = 0.
Quindi deve essere
lim x(t) = lim x(t),
t→0−
t→0+
lim x0 (t) = lim x0 (t).
t→0−
t→0+
Si ha che
8
65
t→0−
3
lim x(t) = c3 + c4 +
26
t→0+
lim x(t) = c1 + c2 +




=⇒



c1 + c2 +
3
8
= c3 + c4 + .
65
26
Inoltre, essendo
x0 (t) =

3
1
t
5t


sin t +
cos t
 c1 e + 5c2 e +
se t < 0
13
26


 c3 et + 5c4 e5t − 3 sin t + 1 cos t se t > 0,
26
13
si ha che
3
−
26
t→0
1
lim x0 (t) = c3 + 5c4 +
+
13
t→0
lim x0 (t) = c1 + 5c2 +




=⇒



c1 + 5c2 +
Risolvendo il sistema

3
8


= c3 + c4 +
 c1 + c2 +
65
26


 c1 + 5c2 + 3 = c3 + 5c4 + 1
26
13
1
3
= c3 + 5c4 + .
26
13
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto definito a
tratti
5
si ottiene c1 = c3 e c2 = c4 −
1
130 .
Posto c3 = k1 , c4 = k2 e x(0) il comune valore
dei limiti laterali in 0, si ha che l’integrale generale dell’equazione non omogenea è
µ
¶

1
3
1
1
t
5t


 k1 e + k2 − 130 e + 5 − 13 cos t + 26 sin t
x(t) =


 k et + k e5t + 3 cos t + 1 sin t
1
2
26
se t < 0
k1 , k2 ∈ R.
se t ≥ 0,
13
Imponendo la condizione iniziale x(π) = 0 e x0 (π) = 0 si ha che

3
π
5π


cos t = 0
 k1 e + k2 e −

1 −π


 k1 = e
26
=⇒


 k1 eπ + 5k2 e5π − 3 cos t = 0
26
8


 k2 = − 1 e−5π .
104
Quindi la soluzione del problema di Cauchy è
µ
¶
1
1 −5π
1
1
1
3
t−π


e
−
e
+
e5t + −
cos t +
sin t
8
104
130
5 13
26
x(t) =


 1 et−π − 1 e5(t−π) + 3 cos t + 1 sin t
8
104
26
13
se t < 0
se t ≥ 0.
Verichiamo la correttezza della soluzione. Si ha che
lim x(t) = x(0) =
t→0−
1 −π
1 −5π
3
e −
e
+
8
104
26
=⇒
x è continua in 0.
Inoltre si ha che
µ
¶
1
1 −5π
1
1
3
t−π


−5
e
+
e5t +
sin t +
cos t
8e
104
130
13
26
0
x (t) =


 1 et−π − 5 e5(t−π) − 3 sin t + 1 cos t
8
104
26
13
e
lim x0 (t) = lim x0 (t) =
t→0−
t→0+
1
t−π


−5
8e
se t > 0
1 −π
5 −5π
1
e −
e
+
8
104
13
da cui segue che x è derivabile in 0 con x0 (0) =
µ
se t < 0
1
8
e−π −
5
104
e−5π +
1
13 .
Quindi
¶
1 −5π
1
1
3
e
+
e5t +
sin t +
cos t
104
130
13
26
0
x (t) =


 1 et−π − 5 e5(t−π) − 3 sin t + 1 cos t
8
104
26
13
se t < 0
se t ≥ 0.
Controlliamo che x verifichi l’equazione non omogenea. Si ha che
µ
¶
1
1 −5π
1
1
3
t−π


e
−
25
e
+
e5t +
cos t −
sin t
8
104
130
13
26
00
x (t) =
1

 et−π − 25 e5(t−π) − 3 cos t − 1 sin t
8
104
26
13
se t < 0
se t > 0
6 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto definito a
tratti
e
lim x00 (t) = lim x00 (t) =
t→0−
t→0+
1 −π
25 −5π
3
e −
e
−
8
104
26
da cui segue che x è derivabile due volte in 0 con x00 (0) =
1
8
e−π −
25
104
e−5π −
µ
¶
1
1 −5π
1
1
3
t−π


e
−
25
e
+
e5t +
cos t −
sin t
8
104
130
13
26
00
x (t) =
1

 et−π − 25 e5(t−π) − 3 cos t − 1 sin t
8
104
26
13
3
26 .
Quindi
se t < 0
se t ≥ 0.
Si ha che
(
00
0
x (t)−6x (t)+5x(t) =
1 − cos t
se t < 0
sin t
se t ≥ 0
=⇒
x00 (t)−6x0 (t)+5x(t) = f (t) ∀t ∈ R,
da cui segue che x risolve l’equazione non omogenea.
Infine, essendo x(π) = x0 (π) = 0 risulta che x verifica anche la condizione iniziale e
quindi è la soluzione del problema di Cauchy.