I cerchi di Archimede (Classe V - primaria Martellago, E. Piccolo)

ANNO SCOLASTICO 2009-2010
CLASSE 5 B
A questo punto dell’anno scolastico il lavoro di
laboratorio può esserci utile per iniziare a studiare il
cerchio,
imparare a disegnare poligoni inscritti e circoscritti
e per prendere confidenza con l’uso di riga e
compasso
perciò...
Si continua con la
lettura del libro “I
MAGNIFICI DIECI”.
Nel capitolo intitolato
“I guardiani di pi greco”
il nonno e Filo preparano
una torta da cuocere in
una teglia rotonda e
intanto discutono del
grande Archimede e di
come fece a scoprire
questo misterioso “pi
greco”...
Nel corso della lettura si dice anche che
“π ha infinite cifre dopo la virgola e, a qualunque di esse noi scegliamo di fermarci,
abbiamo sempre un’approssimazione del suo vero valore. La circonferenza e il suo
diametro sono incommensurabili, come il lato del quadrato e la sua diagonale.”
Ci si sofferma quindi sull’idea di “incommensurabilità” e si fa l’esempio con il
quadrato di lato 1 la cui diagonale può essere espressa solo come “radice di
2”.
Alla fine si da spazio alle domande...
Cos’è il pi greco?
Come fai a trovare, a
mettere e disegnare i
due esagoni?
I lati devono essere
sempre 96?
Si può andare
avanti di 3,141?
La figura dentro
il cerchio che
cos’è?
Non c’è nessun
modo per calcolare
le diagonali di un
quadrato?
Su π ci sono tante cose interessanti da sapere...
La “corsa” per trovare il maggior numero possibile di decimali di “pi greco” ha inizio già nella più remota
antichità. I risultati più significativi di questo periodo sono i seguenti:
• TSU CH’UNG CHI (430-501 a.C.) 355/113
• TOLOMEO
(150 circa) 3,1416
• AL JWARIZMI
(800 circa) 3,1416
• AL-KASHI
(1430 circa) 14 cifre
• VIETE
(1540-1603) 9 cifre
•VAN ROOMEN
(1561-1615) 17 cifre
•VAN CEULEN
(1600 circa) 35 cifre
Nel giugno del 1949, il matematico e informatico ungherese von Neumann e i suoi
collaboratori idearono un programma per il calcolo di π a cui avrebbe lavorato l’ENIAC,
uno dei primi computer della storia. La macchina impiegò 70 ore per calcolare 2.037 cifre.
Questo fatto inaugurò l’epoca in cui algoritmi e computer si sarebbero avvicendati nel
calcolo di π .Via via che la potenza dei computer aumentò, gli algoritmi di implementazione
divennero sempre più sofisticati. Di cifre esatte di π se ne contavano ormai a centinaia,
migliaia o centinaia di migliaia. Oggi si conoscono già con precisione 1.241.100.000.000
cifre decimali, trovate grazie al lavoro, durato più di 600 ore, di un supercomputer Hitachi
SR8000. Queste cifre sarebbero sufficienti a riempire un libro di spessore pari a 135 volte
l’altezza della torre Eiffel: a un ritmo normale, si impiegherebbero 40.000 anni per recitarle
tutte.
Esistono organizzazioni matematiche dedite esclusivamente allo studio del π.
Il fascino e talvolta l’ossessione per questo numero hanno portato a cercare testi che
in qualche modo ne criptassero la sequenza di cifre .
Un esempio si trova in questa frase:
“AVE O ROMA, O MADRE GAGLIARDA DI LATINE VIRTU’, CHE TANTO LUMINOSO
SPLENDORE PRODIGA SPARGESTI CON LA TUA SAGGEZZA”
Qui il numero di lettere di ogni parola corrisponde esattamente alle prime 19 cifre di
π
3,141592653589793238
Ci proviamo anche noi...
“PER I CANI E GATTI CUCINIAMO LE PATATE MISTE CON PASTA...
C’è perfino chi ha deciso di imparare a memoria questa successione,
come Simon Plouffe, che nel 1977 entrò nel Guinness dei Primati per essere stato
capace di memorizzare le prime 4.096 cifre di π
Oggi il record è di circa 42.000 cifre.
A questo punto si chiede ai bambini di dire ciò che hanno capito e
imparato fino a questo momento su π.
Le diverse osservazioni vengono raccolte in una mappa.
E’ un’occasione per discutere e chiarire ulteriormente i diversi
concetti.
Durante la lezione di matematica si riprende a parlare di
CIRCONFERENZA specificando che con questo termine si intende
parlare di una linea chiusa
e di CERCHIO che è la porzione di superficie piana racchiusa dalla
circonferenza, cioè la sua regione interna.
Si comincia quindi a prendere confidenza con il compasso disegnando
tante circonferenze,
poi mettendo in evidenza e dando la definizione di diametro, raggio ,
corda, arco.
Riprendendo il discorso sul calcolo della circonferenza ci
accorgiamo che per molti bambini l’idea di un numero
fisso che indica un rapporto, pur essendo stata tanto
discussa, non è stata ancora compresa.
Gli esempi portati dagli insegnanti non sono sufficienti a
convincere qualcuno che resta perplesso...(“ma se la
misura del diametro diventa più grande, come fa 3,14 a
rimanere sempre uguale?”)
COMPITO PER CASA:
Trova almeno cinque oggetti di forma circolare,
misurane il diametro e la circonferenza rettificata.
Prendiamo in esame un oggetto per
ciascun bambino della classe
Nel frattempo all’interno del laboratorio si inizia a studiare
DISEGNO TECNICO
Ogni bambino dovrà avere una matita dura ed una morbida, gomma,
temperino, riga e compasso. Si spiegano le caratteristiche e l’uso dei
due diversi tipi di matita, l’eventuale uso della gomma pane e si insiste
sulla necessita’ di lavorare con estrema precisione a partire dalla
scrittura del nome e dalla squadratura del foglio.
Quindi si procede con il primo disegno:
Diversi bambini hanno
bisogno di essere aiutati e
molti compagni sono
contenti di farlo
Il risultato è una figura che sembra in 3D
Il secondo disegno (tavola n.2)
Anche con questo disegno si
ottiene un effetto
tridimensionale ed un
effetto di curvatura delle
linee
Poi viene proposto ai bambini di cimentarsi con il
disegno di un cerchio senza usare il compasso...
Si tracciano tante linee ai due
lati di un righello mantenendo il
centro sempre nello stesso
punto...
SI PROCEDE PROPONENDO
SCHEDE NELLE QUALI
VIENE DESCRITTA LA
PROCEDURA DA SEGUIRE
Si invitano i bambini a leggere
attentamente, ascoltare la
spiegazione dell’insegnante,
immaginare le azioni da compiere,
porre eventuali domande e, solo
dopo, procedere, il più possibile
autonomamente, all’esecuzione del
disegno.
(accanto alla spiegazione vi è il disegno.
Nello spazio sottostante, dove sarà il
bambino a mettersi alla prova, è tracciato
solo il segmento AB)
Questa scheda fornisce l’occasione
per rivedere il significato di
SEGMENTO
RETTA
ASSE
ARCO
Questa scheda fornisce
l’occasione per rivedere il
significato di
PERPENDICOLARITA’
INTERSEZIONE
La difficoltà per qualche
bambino consiste nel fatto
che, data la posizione del
punto P, il disegno risulterà
speculare a quello dato
Questa scheda fornisce l’occasione
per rivedere il significato di
SEMIRETTA
Questa scheda fornisce
l’occasione per rivedere il
significato di
ANGOLO
LATI
VERTICE
e per apprendere il significato
di
BISETTRICE
In questa scheda l’unico
segmento già tracciato è VA.
Viene richiesto quindi di
tracciare la perpendicolare
all’estremità del segmento.
I bambini dovranno rifarsi alla
tavola n.6 e disegnare
l’angolo retto prima di poter
procedere con il disegno
delle semirette che lo
dividono.
PER POTER
COMPRENDERE COME
CALCOLARE L’AREA
DEL CERCHIO
ABBIAMO BISOGNO
DI CONOSCERE I
POLIGONI
REGOLARI...
Prima di disegnare il quadrato
procediamo alla
SQUADRATURA DEL FOGLIO
bianco per trovarne il centro
Il lavoro a questo punto è
facile!
Ecco due modi diversi per
disegnare il quadrato
POI PROCEDIAMO CON GLI ALTRI POLIGONI
I ragazzi cercano di lavorare in autonomia seguendo
le istruzioni della scheda
IL TRIANGOLO EQUILATERO
L’ESAGONO REGOLARE
L’OTTAGONO
IL PENTAGONO
Il procedimento relativo a questa figura è
piuttosto complesso perciò viene prima
illustrato alla lavagna dall’insegnante.
Solo dopo i bambini si mettono all’opera...
A questo punto del percorso osserviamo che molti bambini sono in grado di operare
con precisione mostrando di saper usare con sicurezza gli strumenti.
Alcuni, all’inizio particolarmente incerti, mostrano di avere comunque fatto notevoli
progressi e, consapevoli di ciò, lavorano con piacere ritenendo importante mettersi
alla prova in autonomia.
Questa attività inoltre mette in luce i modi di lavorare di ciascuno:
c’è chi è particolarmente puntiglioso e risulta estremamente preciso ma molto lento,
c’è chi non fa mai la punta alla matita e fa dei segni che non si cancellano più,
c’è chi potrebbe riuscire molto bene ma ha fretta e traccia le bisettrici ad occhio...
IMPARIAMO A CALCOLARE L’AREA
DEI POLIGONI REGOLARI
Intanto scopriamo cos’è l’APOTEMA e come calcolarlo partendo dalla misura del
lato ed usando il NUMERO FISSO.
Anche questo numero fisso indica un rapporto, proprio come π, solo che questa
volta il numero indica quante volte la misura del lato sta in quella
dell’apotema.
Quindi ritagliamo il nostro poligono in tanti triangoli congruenti e sistemiamo i
triangoli in modo da ottenere un PARALLELOGRAMMA.
Di questa figura conosciamo bene
la formula per calcolare l’area:
Base x altezza
Ma la base del parallelogramma corrisponde a metà perimetro dell’esagono
e l’altezza all’apotema perciò la formula per calcolare l’area dei poligoni
regolari si può esprimere con
META’ PERIMETRO PER
APOTEMA
e quindi
P:2xa
PASSIAMO A CALCOLARE L’AREA DEL
CERCHIO
Dalla formula dei
poligoni...
P:2xa
a quella del cerchio...
C:2xr
Le indicazioni di queste schede prevedono che certe abilità
siano ormai state acquisite...
E’ ARRIVATO IL
MOMENTO DI
DIVENTARE CREATIVI
Il momento di verifica ha richiesto a ciascun alunno una autovalutazione rispetto a
• capacità di comprendere e rispettare la procedura indicata
• capacità di usare gli strumenti (qualità del segno)
Gli insegnanti hanno fornito quindi la loro valutazione di ciascuno prendendo in esame
tutti gli elaborati
Al termine del percorso si può dire che i ragazzi
• hanno lavorato con interesse e con impegno
• hanno consolidato ed ampliato la conoscenza
del linguaggio della geometria
• hanno acquisito una sufficiente padronanza
nell’uso degli strumenti (matita, riga, compasso)
• hanno lavorato con sempre maggior autonomia
rispetto alle indicazioni fornite dalle schede
SCHEDE DISEGNO
TECNICO
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