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Le equazioni con i valori assoluti
Anno 3 Equazioni con i valori assoluti 1 Introduzione In questa lezione affronteremo un particolare tipo di equazioni: le equazioni con il valore assoluto. Imparerai a distinguere i vari casi in cui si presentano e a risolverle senza difficoltà. Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere le equazioni con valori assoluti risolvere le equazioni con valori assoluti In questa lezione affronteremo un particolare tipo di equazioni: le equazioni con il valore assoluto. Imparerai a distinguere le varie forme in cui si presentano e a risolverle senza difficoltà. Al termine della lezione sarai pertanto in grado di descrivere e risolvere le equazioni con valori assoluti. 2 Il valore assoluto Cos’è il valore assoluto di un numero? Cos’è il valore assoluto di un’espressione? Il valore assoluto o modulo di un numero x si indica con |x| e coincide col numero stesso se questo è positivo, altrimenti coincide col suo opposto. In simboli: x x x se x 0 se x 0 Esempi: Se il valore assoluto riguarda un numero: 5 5; 6 ( 6) 6. Se nel valore assoluto c’è un’espressione: 2 x 1, 2x 1 2 x 1, 1 x ; 2 1 x . 2 Ricordi cos’è il valore assoluto di un numero? Sapresti estendere questo concetto al caso in cui nel valore assoluto ci siano delle espressioni letterali? Il valore assoluto, o modulo, di un numero x,indicato con |x|, coincide col numero stesso se questo è positivo, altrimenti coincide col suo opposto. x In simboli scriveremo: | x | x x0 x0 Facciamo alcuni esempi: il modulo di 5 è 5, perché 5 è già positivo, invece il modulo di –6 è –(–6), cioè 6. Se invece nel valore assoluto è presente un’espressione, per esempio 2x–1, esso sarà uguale a 2x–1 se l’argomento è non negativo, cioè se x≥1/2, se invece x<1/2 dobbiamo cambiare di segno l’espressione, ottenendo -2x+1. 3 Equazioni con incognita solo nel valore assoluto Il caso più semplice è quello in cui l’incognita compare solo nel modulo e, di conseguenza, all’esterno c’è solo un coefficiente numerico. Le equazioni con incognita solo nel modulo si riconducono al tipo f ( x) k ; esse presentano due possibili casi: • se k 0 allora si risolvono ponendo f ( x) k • se k 0 allora sono impossibili Esempi: Se k 0 : 2x 5 3 0 Se k 0 : 6 x 2 13 0 2 x 5 3 2 x 5 3 x 53 x 1 x 4 2 6 x 2 13 impossibile Il caso più semplice è quello in cui l’incognita compare solo nel modulo e, di conseguenza, all’esterno c’e solo un coefficiente numerico. Le equazioni con incognita solo nel modulo si riconducono al tipo |f(x)|=k, con k valore numerico. Esse presentano due possibili casi: se k≥0 allora si risolvono ponendo f(x)=±k; se k<0 allora sono impossibili. Vediamo due esempi. Nell’equazione |2x-5|-3=0 k è un valore positivo, infatti vale 3. In questo caso si risolvono le equazioni 2x-5=3 e 2x-5=-3, ottenendo le due soluzioni x=1 e x=4. Nel secondo caso abbiamo l’equazione |6x-2|+13=0 in cui k vale -13 e l’equazione risulta quindi impossibile, perché il valore assoluto non può assumere valori negativi. 4 Equazioni con incognita fuori dal valore assoluto Incognita fuori dal valore assoluto non conosciamo il segno né di ciò che è compreso nel valore assoluto né di ciò che non è compreso. Per risolvere un’equazione in cui l’incognita compare anche fuori dal valore assoluto bisogna risolvere due sistemi. • Argomento del valore assoluto maggiore uguale a zero: si risolve l’equazione come se non ci fosse il valore assoluto • Argomento del valore assoluto minore di zero e, nel togliere il valore assoluto, si cambierà di segno l’argomento f ( x) g ( x) f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x ) Più complesso è il caso in cui l’incognita compare anche fuori dal valore assoluto. In questa situazione, infatti, non conosciamo il segno né di ciò che è compreso nel valore assoluto né di ciò che non è compreso. Dovremo quindi distinguere due casi. Per risolvere un’equazione in cui l’incognita compare anche fuori dal valore assoluto bisogna risolvere due sistemi: nel primo si porrà l’argomento del valore assoluto maggiore uguale a zero e si risolverà l’equazione come se non ci fosse il valore assoluto; nel secondo si porrà l’argomento del valore assoluto minore di zero e, nel togliere il valore assoluto, si cambierà di segno l’argomento. Quindi se l’equazione è |f(x)|=g(x) risolviamo i due sistemi f ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x) 0 f ( x ) g ( x ) che ci forniranno le soluzioni dell’equazione. 5 Esempio di equazione con valore assoluto Esempio: 2 x 5 3x 1 2 x 5 0 2 x 5 0 2 x 5 3 x 1 2 x 5 3 x 1 5 5 x x 2 2 2 x 5 3 x 1 2 x 3 x 5 1 5 5 x x 2 2 5 x 4 x 6 5 x 2 x 6 5 x 2 x 4 5 x 4 4 S:x 5 5 Un esempio ci farà capire meglio come comportarci nel caso appena descritto. Consideriamo l’equazione |2x-5|=3x+1. Se l’argomento del modulo è maggiore o uguale a zero, prima condizione del primo sistema, la seconda equazione corrisponde all’equazione iniziale privata del valore assoluto. Se 2x-5 è minore di zero, prima condizione del secondo sistema, nel togliere il valore assoluto all’equazione iniziale dobbiamo premettere un segno meno al suo argomento. In questo modo otterremo la seconda equazione del secondo sistema. In ogni sistema si risolve l’equazione e si verifica che le soluzioni trovate verifichino anche la disequazione. Se ciò non accade, come nel primo sistema, la soluzione non può essere accettata. La soluzione finale sarà data dall’unione delle soluzioni ottenute. 6 Equazioni con più valori assoluti Il concetto che ci ha fatto risolvere le equazioni con l’incognita fuori dal valore assoluto ci aiuta anche nel caso delle equazioni con più valori assoluti. Dobbiamo dividere l’insieme dei numeri reali in tanti settori quanti ne occorrono per considerare tutte le possibili combinazioni di segno delle espressioni nei valori assoluti. • Studiare il segno di ogni espressione nei valori assoluti • Realizzare uno schema che ci aiuti a capire quanti casi effettivamente differenti dobbiamo considerare • Risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli da esaminare, ponendo la condizione che ci si trovi nell’intervallo voluto e togliendo tutti i valori assoluti dall’equazione, facendo attenzione a cambiare di segno gli argomenti che risultano negativi nell’intervallo esaminato La procedura che ci ha fatto risolvere le equazioni con l’incognita fuori dal valore assoluto ci aiuta anche nel caso delle equazioni con più valori assoluti. In questo caso, dobbiamo dividere l’insieme dei numeri reali in tanti intervalli quanti ne occorrono per considerare tutte le possibili combinazioni di segno delle espressioni nei valori assoluti. Per risolvere un’equazione in cui compaiono più espressioni nei valori assoluti bisogna: studiare il segno di ogni espressione nei valori assoluti; realizzare uno schema che ci aiuti a capire quanti casi effettivamente differenti dobbiamo considerare; risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli da esaminare, ponendo la condizione che ci si trovi nell’intervallo voluto e togliendo tutti i valori assoluti dall’equazione, facendo attenzione a cambiare di segno quelli che risultano negativi nell’intervallo esaminato. 7 Esempio di equazione con più valori assoluti Esempio: 3x 2 5 x x 7 0 2 ; 3 B: 5 x 0 x 5. A: 3x 2 0 x 2 2 x x S I : x 10 3 3 3 x 2 5 x x 7 0 x 10 x 10 2 3 I: 2 x5 II: 3 3x 2 5 x x 7 0 2 x5 14 3 S II : x 5 5 x 14 x 14 5 5 x 5 x III: 4 3x 2 5 x x 7 0 3 x 4 x 3 A: B: 5 I II III S III : 14 S S I S II S III 10, 5 Facciamo un esempio di equazione con più valori assoluti: |3x-2|-|5-x|+x-7=0. Nel testo proposto sono presenti due valori assoluti, i cui argomenti indichiamo con A e B. Procediamo per passi. Preliminarmente studiamo le zone in cui ogni argomento dei valori assoluti è positivo o negativo, risolvendo le due disequazioni 3x-2≥0 e 5-x≥0. Realizziamo poi un grafico in cui riportiamo i segni di A e B. In questo modo riusciamo a individuare tre settori differenti: il primo settore in cui A è negativo e B positivo, il secondo settore in cui sia A che B sono positivi, il terzo settore in cui A è positivo e B negativo. Per ogni intervallo impostiamo un sistema tra una disequazione, che indica l’intervallo considerato, e l’equazione ottenuta togliendo i valori assoluti, cambiando segno all’argomento se questo è negativo nell’intervallo in questione. Notiamo che nello scrivere le disequazioni, per comodità, includiamo solo i valori a sinistra dell’intervallo ed escludiamo quelli a destra; così il valore 2/3 sarà incluso solo nel secondo sistema, perché è a sinistra e il valore 5 sarà incluso solo nel terzo sistema per lo stesso motivo. Infine risolviamo normalmente i sistemi ottenendo tre soluzioni parziali che saranno unite tra loro per dare la soluzione finale. 8 Conclusione Definizione di valore assoluto Incognita solo nel valore assoluto Equazioni con Valore Assoluto Equazioni con più valori assoluti Incognita fuori dal valore assoluto Ricapitoliamo quanto visto in questa lezione sulle equazioni con valore assoluto. Per prima cosa abbiamo ricordato la definizione di valore assoluto estendendola al caso in cui l’argomento sia letterale. Poi abbiamo esaminato il caso semplice in cui l’incognita compare solo nel valore assoluto, mentre all’esterno abbiamo esclusivamente una parte numerica. Un po’ più complesso è il secondo caso affrontato, quello in cui l’incognita compare fuori dal valore assoluto. In questo caso bisogna risolvere due sistemi. Infine, generalizzando il metodo sperimentato nel caso precedente, abbiamo considerato equazioni con più valori assoluti, che si risolvono scrivendo un opportuno numero di sistemi. 9