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Le equazioni con i valori assoluti

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Le equazioni con i valori assoluti
Anno 3
Equazioni con i valori
assoluti
1
Introduzione
In questa lezione affronteremo un particolare tipo di equazioni: le equazioni con il valore assoluto.
Imparerai a distinguere i vari casi in cui si presentano e a risolverle senza difficoltà.
Al termine della lezione sarai in grado di:

descrivere le equazioni con valori assoluti

risolvere le equazioni con valori assoluti
In questa lezione affronteremo un particolare tipo di equazioni: le equazioni con il valore
assoluto. Imparerai a distinguere le varie forme in cui si presentano e a risolverle senza
difficoltà.
Al termine della lezione sarai pertanto in grado di descrivere e risolvere le equazioni con
valori assoluti.
2
Il valore assoluto
Cos’è il valore assoluto di un numero? Cos’è il valore assoluto di un’espressione?
Il valore assoluto o modulo di un numero x si indica con |x| e coincide col numero
stesso se questo è positivo, altrimenti coincide col suo opposto. In simboli:
x
x 
 x
se x  0
se x  0
Esempi:
Se il valore assoluto riguarda un numero:
5  5;
 6   (  6)  6.
Se nel valore assoluto c’è un’espressione:

2 x  1,
2x 1  
 2 x  1,

1
x ;
2
1
x .
2
Ricordi cos’è il valore assoluto di un numero? Sapresti estendere questo concetto al caso
in cui nel valore assoluto ci siano delle espressioni letterali?
Il valore assoluto, o modulo, di un numero x,indicato con |x|, coincide col numero stesso
se questo è positivo, altrimenti coincide col suo opposto.
 x
In simboli scriveremo: | x | 
 x
x0
x0
Facciamo alcuni esempi: il modulo di 5 è 5, perché 5 è già positivo, invece il modulo di –6
è –(–6), cioè 6.
Se invece nel valore assoluto è presente un’espressione, per esempio 2x–1, esso sarà
uguale a 2x–1 se l’argomento è non negativo, cioè se x≥1/2, se invece x<1/2 dobbiamo
cambiare di segno l’espressione, ottenendo -2x+1.
3
Equazioni con incognita solo nel valore assoluto
Il caso più semplice è quello in cui l’incognita compare solo nel modulo e, di conseguenza,
all’esterno c’è solo un coefficiente numerico.
Le equazioni con incognita solo nel modulo si riconducono al tipo f ( x)  k ; esse
presentano due possibili casi:
• se k  0 allora si risolvono ponendo f ( x)   k
• se k  0 allora sono impossibili
Esempi:
Se k  0 :
2x  5  3  0 
Se k  0 :
6 x  2  13  0 
2 x  5  3  2 x  5  3  x 
53
 x  1 x  4
2
6 x  2  13 impossibile
Il caso più semplice è quello in cui l’incognita compare solo nel modulo e, di conseguenza,
all’esterno c’e solo un coefficiente numerico.
Le equazioni con incognita solo nel modulo si riconducono al tipo |f(x)|=k, con k valore
numerico.
Esse presentano due possibili casi:

se k≥0 allora si risolvono ponendo f(x)=±k;

se k<0 allora sono impossibili.
Vediamo due esempi.
Nell’equazione |2x-5|-3=0 k è un valore positivo, infatti vale 3. In questo caso si risolvono
le equazioni 2x-5=3 e 2x-5=-3, ottenendo le due soluzioni x=1 e x=4.
Nel secondo caso abbiamo l’equazione |6x-2|+13=0 in cui k vale -13 e l’equazione risulta
quindi impossibile, perché il valore assoluto non può assumere valori negativi.
4
Equazioni con incognita fuori dal valore assoluto
Incognita fuori dal valore assoluto
non conosciamo il segno né di ciò che è compreso nel
valore assoluto né di ciò che non è compreso.
Per risolvere un’equazione in cui l’incognita compare anche fuori dal valore assoluto bisogna
risolvere due sistemi.
• Argomento del valore assoluto maggiore uguale a zero: si risolve l’equazione come
se non ci fosse il valore assoluto
• Argomento del valore assoluto minore di zero e, nel togliere il valore assoluto, si
cambierà di segno l’argomento
f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0
 f ( x)  0
 

 f ( x)  g ( x)
 f ( x )  g ( x )
Più complesso è il caso in cui l’incognita compare anche fuori dal valore assoluto. In
questa situazione, infatti, non conosciamo il segno né di ciò che è compreso nel valore
assoluto né di ciò che non è compreso. Dovremo quindi distinguere due casi.
Per risolvere un’equazione in cui l’incognita compare anche fuori dal valore assoluto
bisogna risolvere due sistemi:

nel primo si porrà l’argomento del valore assoluto maggiore uguale a zero e si
risolverà l’equazione come se non ci fosse il valore assoluto;

nel secondo si porrà l’argomento del valore assoluto minore di zero e, nel togliere il
valore assoluto, si cambierà di segno l’argomento.
Quindi se l’equazione è |f(x)|=g(x) risolviamo i due sistemi
 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  0

 f ( x )  g ( x )
che ci forniranno le soluzioni dell’equazione.
5
Esempio di equazione con valore assoluto
Esempio:
2 x  5  3x  1
2 x  5  0
2 x  5  0
 

2
x

5

3
x

1

 2 x  5  3 x  1
5
5


x 
x 
 
2
2

 2 x  5  3 x  1
2 x  3 x  5  1
5
5


x 
x 
 
2
2

 5 x  4
 x  6
5

x 
2

 x  6
5

x

2
 
x  4
5

  x
4
4
 S:x
5
5
Un esempio ci farà capire meglio come comportarci nel caso appena descritto.
Consideriamo l’equazione |2x-5|=3x+1.
Se l’argomento del modulo è maggiore o uguale a zero, prima condizione del primo
sistema, la seconda equazione corrisponde all’equazione iniziale privata del valore
assoluto.
Se 2x-5 è minore di zero, prima condizione del secondo sistema, nel togliere il valore
assoluto all’equazione iniziale dobbiamo premettere un segno meno al suo argomento. In
questo modo otterremo la seconda equazione del secondo sistema.
In ogni sistema si risolve l’equazione e si verifica che le soluzioni trovate verifichino anche
la disequazione. Se ciò non accade, come nel primo sistema, la soluzione non può essere
accettata.
La soluzione finale sarà data dall’unione delle soluzioni ottenute.
6
Equazioni con più valori assoluti
Il concetto che ci ha fatto risolvere le equazioni con l’incognita fuori dal valore assoluto ci aiuta
anche nel caso delle equazioni con più valori assoluti.
Dobbiamo dividere l’insieme dei numeri reali in tanti settori quanti ne occorrono per considerare
tutte le possibili combinazioni di segno delle espressioni nei valori assoluti.
• Studiare il segno di ogni espressione nei valori assoluti
• Realizzare uno schema che ci aiuti a capire quanti casi effettivamente differenti
dobbiamo considerare
• Risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli da esaminare, ponendo la condizione
che ci si trovi nell’intervallo voluto e togliendo tutti i valori assoluti dall’equazione,
facendo attenzione a cambiare di segno gli argomenti che risultano negativi
nell’intervallo esaminato
La procedura che ci ha fatto risolvere le equazioni con l’incognita fuori dal valore assoluto
ci aiuta anche nel caso delle equazioni con più valori assoluti.
In questo caso, dobbiamo dividere l’insieme dei numeri reali in tanti intervalli quanti ne
occorrono per considerare tutte le possibili combinazioni di segno delle espressioni nei
valori assoluti.
Per risolvere un’equazione in cui compaiono più espressioni nei valori assoluti bisogna:

studiare il segno di ogni espressione nei valori assoluti;

realizzare uno schema che ci aiuti a capire quanti casi effettivamente differenti
dobbiamo considerare;

risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli da esaminare, ponendo la condizione
che ci si trovi nell’intervallo voluto e togliendo tutti i valori assoluti dall’equazione,
facendo attenzione a cambiare di segno quelli che risultano negativi nell’intervallo
esaminato.
7
Esempio di equazione con più valori assoluti
Esempio:
3x  2  5  x  x  7  0
2
;
3
B: 5  x  0  x  5.
A: 3x  2  0  x 
2
2


x 
x 

 S I : x  10
3
3
 3 x  2  5  x  x  7  0  x  10  x  10
2
3
I: 
2
  x5
II:  3
3x  2  5  x  x  7  0
2
 x5
14
 3

 S II : x 
5
5 x  14  x  14
5

5  x
5  x


III: 
4
3x  2  5  x  x  7  0
3 x  4  x  3
A:
B:
5






I
II
III
 S III : 
14 

S  S I  S II  S III   10, 
5

Facciamo un esempio di equazione con più valori assoluti: |3x-2|-|5-x|+x-7=0.
Nel testo proposto sono presenti due valori assoluti, i cui argomenti indichiamo con A e B.
Procediamo per passi. Preliminarmente studiamo le zone in cui ogni argomento dei valori
assoluti è positivo o negativo, risolvendo le due disequazioni 3x-2≥0 e 5-x≥0.
Realizziamo poi un grafico in cui riportiamo i segni di A e B.
In questo modo riusciamo a individuare tre settori differenti: il primo settore in cui A è
negativo e B positivo, il secondo settore in cui sia A che B sono positivi, il terzo settore in
cui A è positivo e B negativo.
Per ogni intervallo impostiamo un sistema tra una disequazione, che indica l’intervallo
considerato, e l’equazione ottenuta togliendo i valori assoluti, cambiando segno
all’argomento se questo è negativo nell’intervallo in questione.
Notiamo che nello scrivere le disequazioni, per comodità, includiamo solo i valori a sinistra
dell’intervallo ed escludiamo quelli a destra; così il valore 2/3 sarà incluso solo nel
secondo sistema, perché è a sinistra e il valore 5 sarà incluso solo nel terzo sistema per lo
stesso motivo.
Infine risolviamo normalmente i sistemi ottenendo tre soluzioni parziali che saranno unite
tra loro per dare la soluzione finale.
8
Conclusione
Definizione di valore
assoluto
Incognita solo nel
valore assoluto
Equazioni con
Valore Assoluto
Equazioni con più
valori assoluti
Incognita fuori dal
valore assoluto
Ricapitoliamo quanto visto in questa lezione sulle equazioni con valore assoluto.
Per prima cosa abbiamo ricordato la definizione di valore assoluto estendendola al caso in
cui l’argomento sia letterale.
Poi abbiamo esaminato il caso semplice in cui l’incognita compare solo nel valore
assoluto, mentre all’esterno abbiamo esclusivamente una parte numerica.
Un po’ più complesso è il secondo caso affrontato, quello in cui l’incognita compare fuori
dal valore assoluto. In questo caso bisogna risolvere due sistemi.
Infine, generalizzando il metodo sperimentato nel caso precedente, abbiamo considerato
equazioni con più valori assoluti, che si risolvono scrivendo un opportuno numero di
sistemi.
9
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