equaz. di grado superiore al secondo

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di Enzo Zanghì
pag.1
Equazioni di grado superiore al secondo scomponibili in fattori
Uno dei metodi che permette di risolvere un’equazione E ( x ) = 0 , di grado superiore al secondo, è
quello di scomporla nel prodotto di equazioni di primo e secondo grado in modo da poter avere
un’equazione del tipo
A( x) ⋅ B( x ) ⋅K ⋅ P( x) = 0
che, per la legge di annullamento del prodotto, si risolve uguagliando a zero ciascuno dei suoi
fattori.
L’uso di questo metodo è possibile quando si conosce uno zero del polinomio E ( x ) .
E’ possibile dimostrare che questo zero o soluzione di E ( x) = 0 ⇔ a0 x n + a1 x n −1 + K + an = 0 è
da ricercare tra le frazioni irriducibili
r
s
con r divisore del termine noto an ed s divisore di a0
(coefficiente del termine di grado massimo).
Esempio
Risolvere l’equazione
8 x 4 − 20 x 3 + 10 x 2 + 5 x − 3 = 0
divisori di 3 = {±1; ± 3}

divisori di 8 = {±1; ±2 ; ±4 ; ±8}
Una possibile soluzione dell’equazione è da ricercare nell’insieme
1 1 1 3
3 3

±1; ± 3; ± ; ± ; ± ; ± ; ± ; ± 
2 4 8 2
4 8

Per abbassare di grado l’equazione assegnata determiniamo i
Poiché E (1) = 8 − 20 + 10 + 5 − 3 = 0 e
1
1
1
1
1
E   = 8 ⋅ − 20 ⋅ + 10 ⋅ + 5 ⋅ − 3 = 0
16
8
4
2
 2
abbassiamo di grado il polinomio E ( x ) dividendolo per x − 1 e per x −
1
mediante la regola di
2
Ruffini e otteniamo:
8
-20
8
10
-12
5
-2
-3
3
8
-12
-2
3
0
4
-4
-3
-8
-6
0
1
1
2
8
Le soluzioni dell’equazione sono quindi
⇒
( x − 1)  x −

1
2
 8x − 8 x − 6 = 0
2
(
1
1
3
x1 = 1; x2 = ; x3 = − ; x4 = .
2
2
2
)
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di Enzo Zanghì
pag.2
Equazione binomia
E’ un’equazione del tipo
b
x = ±n
se n è pari
a
b
x= n
se n è dispari
a
a xn = b
che ha come soluzioni
Equazione trinomia
ax2n +bxn + c = 0
E’ un’equazione del tipo
(se n=2 l’equazione si chiama biquadratica)
determiniamo le soluzioni dell’equazione di
Per risolvere questa equazione poniamo x n = y
2
secondo grado a y + b y + c = 0 e infine risolviamo le equazioni binomie x n = y1 ; x n = y2
Esempio
x8 − 6 x 4 + 5 = 0
ponendo
otteniamo
sostituendo questi valori nella (**)
x4 = y
(**)
y 2 − 6 y + 5 = 0 da cui y = 3 ± 4
 y1 = 1

 y2 = 5
4
 x = ± 1; x = ±1
ricaviamo: 
 x = ± 4 5
Equazioni reciproche
1
.
α
In un’equazione reciproca i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti da essi sono
uguali oppure opposti. Nel primo caso l’equazione si dice di prima specie; nel secondo ,si dice di
seconda specie.
Un’equazione si dice reciproca perché se ha come radice α , avrà come soluzione anche
Equazioni reciproche di terzo grado di prima specie
E’ un’equazione del tipo
a x 3 + b x 2 + b x + a = 0 che risulta semplice da risolvere
perché può essere scomposta nel prodotto di un’equazione di primo grado ed un’equazione di
secondo grado: ( x + 1)(m x 2 + n x + p) = 0 .
Equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie
E’ un’equazione del tipo
a x3 + b x 2 − b x − a = 0 che risulta semplice da risolvere
perché può essere scomposta nel prodotto ( x − 1)(m x 2 + n x + p) = 0 .
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pag.3
Equazioni reciproche di quinto grado di prima specie
E’ un’equazione del tipo
a x5 + b x 4 + c x 3 + c x 2 + b x + a = 0
Essendo divisibile per x + 1 la si abbassa di grado e si ottiene
( x + 1) ⋅ Q ( x ) = 0 dove Q ( x ) è un’equazione reciproca di quarto grado che va risolta come di
seguito indicato.
Esempio
8 x5 − 6 x 4 − 83 x3 − 83 x 2 − 6 x + 8 = 0
8
-6
-8
-83
14
-83
69
-6
14
8
-8
8
-14
-69
-14
8
0
-1
vedi soluzione (^^)
Equazioni reciproche di quinto grado di seconda specie
E’ un’equazione del tipo
a x5 + b x 4 + c x 3 − c x 2 − b x − a = 0
Essendo divisibile per x − 1 la si abbassa di grado e si ottiene
( x − 1) ⋅ Q( x ) = 0 dove Q ( x ) è un’equazione reciproca di quarto grado che va risolta come in
seguito indicato.
Esempio
6 x 5 − 41x 4 + 97 x3 − 97 x 2 + 41x − 6 = 0
1
6 -41
6
6
97
-35
-97
62
-41
-35
62
-35
6
-35
6
6
0 (eq. reciproca di quarto grado di 1a specie)
Equazioni reciproche di quarto grado di prima specie
a x 4 + b x3 + c x 2 + b x + a = 0
Per risolverla la dividiamo per x 2 e raccogliamo i termini contenenti a e b
E’ un’equazione del tipo
1  
1

a  x2 + 2  + b  x +  + c = 0
x  
x

2
notando che la somma dei quadrati

1
x+  = y
x

e otteniamo l’equazione di secondo grado
poniamo
1 
1
x + 2 =x+  −2
x 
x
2
(§§)
a y 2 + b y + c − 2a = 0
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pag.4
Dopo aver risolto questa equazione sostituiamo nella (§§) le soluzioni ottenute e risolviamo le
1
1
equazioni x + = y1 e x + = y2 .
x
x
Esempio risolviamo l’equazione (^^) ricavata in precedenza
8 x 4 − 14 x 3 − 69 x 2 − 14 x + 8 = 0
1 
1


8  x 2 + 2  − 14  x +  − 69 = 0
x 
x


effettuando la sostituzione (§§) otteniamo:
5
17
da cui y1 = − ; y2 =
2
4
1
5
1 17
risolvendo le equazioni: x + = −
e x + = . ricaviamo
x
2
x 4
1
1
x1 = ; x2 = 4; x3 = −2; x4 = −
4
2
8 y 2 − 14 y − 85 = 0
Equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie
a x 4 + b x3 − b x − a = 0
E’ un’equazione del tipo
Essendo divisibile per x ± 1 può essere abbassata di grado due volte in modo da ottenere il prodotto:
( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ Q ( x ) = 0
dove Q ( x ) = 0
è un’equazione di secondo grado.
Esempio
ax 4 − a 2 + 1 x 3 + a 2 + 1 x − a = 0
(
)
(
)
a
-(a2 +1)
0
2
a
a-(a +1)
a
a-(a2 +1)
a-(a2 +1)
a
-a
(a2 +1)
-a
a
0
1
-1
a
-(a2 +1)
(a2 +1)
-a
2
a-(a +1) a
0 (eq. reciproca di 3° grado di prima specie)
Per completare risolviamo l’equazione di secondo grado
(a
E otteniamo x =
2
) (
) ⇒  x
+ 1 ± a2 −1
2a
1
a

 x4 = a
3
=
(
)
a x2 − a 2 + 1 x + a = 0