Appunti sulla Teoria del Portafoglio

Corso di
Matematica Finanziaria
II modulo
Docente: Prof.ssa Carla Barracchini
APPUNTI
SULLA TEORIA DI PORTAFOGLIO
1
Introduzione
La teoria del portafoglio vuole essere un supporto
formale per l’investitore che deve effettuare delle
scelte
finanziarie
finalizzate
al
raggiungimento
di
obbiettivi di rendimento, fissato un orizzonte temporale
e subordinatamente ad un profilo di rischio accettabile.
Le scelte possono essere sintetizzate con la seguente
tabella
di Tipologie di titoli
Finalità
Intervallo
variabilità
Tolleranza al rischio
Basso: da 0% a
5%
fondi monetari e
certificati di depos ito
Moderato: da 6%
a 15%
obbligazi oni a medi o e
lungo termine, azi oni
”soli de” in mercati maturi
azioni a “cres cita
aggressiva”
Il
livello
di
perdita
annuale
che
si
può
sopportare
senza
abbandonare il progetto
di investimento
Obbiettivi di rendimento
Quale componente del
rendimento
si
vuole
enfatizzare:
reddito,
crescita o entrambi?
Orizzonte temporale
Per
quanto
tempo
si
intende
mantenere
l’investimento?
Alto: da 16% a
25%
Reddito: fonte
stabile di reddi to
annuale
Crescita/reddito:
in parte reddi to
stabile e in parte
crescita
Crescita: crescita
del valore del
portaf ogli o
Breve: da 1 a 5
anni
Reddito: obbligazioni
Crescita/reddito: azioni
“soli de” in mercati maturi
Crescita: azi oni a “crescita
aggressiva”
fondi monetari , cer tificati
di deposito, obbligazioni di
breve e medi o periodo
(meno di 5 anni)
azioni a “cres cita
Lungo:più di 5anni
aggressiva”
2
Attualmente uno degli strumenti usato dagli investitori
istituzionali
per
la
costruzione
e
realizzazione
di
un'analisi statico-quantitativa dei mercati è il modello
scoperto agli inizi degli anni ‘50 da Harry Markowitz
(“ Portfolio Selection ” 1952). Lo scopo della sua teoria è
quello di costruire un portafoglio che dato un rischio
contenuto offra il massimo rendimento atteso.
In realtà non esiste un portafoglio ideale in termini
assoluti, ma tanti portafogli in relazione alla diversa
propensione al rischio di ciascun investitore.
Considerati i contenuti fortemente innovativi del modello
ma data la difficoltà di utilizzo dello stesso, nel 1963 un
allievo di Markowitz, W. Sharpe ne diede una versione
semplificatrice.
Ulteriori sviluppi si sono avuti da parte di Linter nel
1965 e Massin nel 1966 che hanno caratterizzato i
prezzi di equilibrio in un mercato che seguiva le regole
del modello di Markowitz.
Non tutti i modelli di selezione del portafoglio si rifanno
all’approccio
di
ricercatori,
Konno
Markowitz:
e
Yamasaky ,
3
recentemente
hanno
proposto
due
un
modello di relazione di portafoglio che ha il pregio di
formularsi come un problema di programmazione lineare
e si posa su ipotesi simili a quelle di Markowitz.
Non vanno poi trascurati gli approcci basati sui concetti
della
analisi
multicriteria ,
che
rifiuta
l’approccio
razionale ottimizzante e critica il concetto di soluzione
ottima. Secondo questa analisi i modelli di selezione del
portafoglio vanno intesi come un insieme di procedure
che per un verso restringono il campo delle alternative
possibili e per
altro verso procedono ad evidenziare
portafogli particolarmente adatti alle esigenze e alle
possibilità del decisore.
L’approccio di Markowitz ha poi fornito le basi al più
noto dei modelli di equilibrio dei mercati finanziari: il
CAPM (Capital Asset Pricing Model).
Essendo la teoria del portafoglio basata sul concetto di
rischio e rendimento dei singoli titoli è necessario
definire prima tali grandezze in termini finanziari.
4
1.Rendimenti incerti
Consideriamo un titolo e la sua variabile di rendimento in
un intervallo di tempo che assumiamo unitario.
Un titolo di puro sconto acquistato al prezzo P oggi, in
t=0, e che vale M in t=1, è considerato un titolo certo,
non rischioso.
Per
esso
la
varianza
(o
rischiosità)
è
nulla
ed
il
rendimento (certo) è noto:
P
0
M
1
t
P(1+i)=M
i=(M-P)/P
Nella
teoria
rendimento,
del
nel
portafoglio
periodo
il
tasso
considerato,
effettivo
viene
di
anche
indicato con r o R:
R=(M-P)/P
Se consideriamo invece un titolo con cedole intermedie
(nell’intervallo
considerato)
allora
il
rendimento
effettivo non è noto se non ex post, una volta che si
siano reinvestite le cedole e ritirato alla scadenza il
capitale, pur essendo noto il prezzo di acquisto P pagato
in t=0. Per esempio:
5
P
iC
iC+C
t=0
t=1
Il montante M in t=1 (che include anche eventuali premi e
reinvestimenti di cedole) non è noto con certezza, ed ha
il carattere di una variabile casuale, per esempio
M k = iC(1+j k ) + (iC+C)
con probabilità p k e possiamo, quindi, considerare la v.c.
rendimento del titolo avente le uscite
R k =(M k -P)/P
con probabilità p k .
Definiamo rendimento atteso (1)
µ = ∑ Rk pk
k
e assumiamo come misura della rischiosità del titolo, la
varianza (2)
σ 2 ( Rk ) = ∑ ( Rk − µ ) 2 pk = E ( R 2 ) − µ 2
k
(la
varianza
è
una
misura
di
quanto
il
rendimento
effettivo, R k , che si realizza possa discostarsi, in media,
dal valore atteso). Nel caso di titoli azionari anch’essi
appartenenti alla classe di attività finanziarie rischiose
6
il rendimento del titolo, dato il prezzo P t al tempo
iniziale t, ed il prezzo P t+1 al tempo t+1, viene calcolato
da: (3)
Rt =
Pt +1 − Pt + Dt +1
Pt
Definiamo, poi, come fattore di rendimento il seguente
rapporto: (4)
R* =
Pt +1 + Dt +1
Pt
Dove D t+1 sono i dividendi pagati, di solito in contante,
tra il tempo t ed il tempo t+1.
Spesso per semplicità si assume che le realizzazioni
possibili,
Rk,
siano
tutte
equiprobabili,
non
avendo
sufficienti informazioni sull’effettiva probabilità p k associata
a ciascuna realizzazione. I rendimenti di un titolo vengono
determinati utilizzando i prezzi del titolo a diverse
scadenze. Per esempio, supponiamo di conoscere i prezzi
di un titolo ai tempi t=0,1,2….,N mesi
P0
P1
P2
0
1
2
7
PN
N
possiamo
quindi
calcolare
il
rendimento
mensile,
assumendo che abbia le realizzazioni
R1 =
con
probabilità
P1 − P0
P0
pari
a
p k =1/N,
e
in
generale
la
realizzazione
Rk =
Pk − Pk −1
Pk −1
con probabilità p k =1/N, con k=1,2,…..N.
Il rendimento atteso (mensile) del titolo è:
1
µ = E (R ) =
N
N
∑
k =1
Rk
2. Rendimenti come variabili casuali Normali
Il rendimento di un titolo rischioso può essere trattato
come variabile casuale con valore atteso µ e varianza σ 2 ,
parametri che ci permettono di elaborare una teoria del
portafoglio per la determinazione della combinazione
ottimale dei titoli da inserire in un portafoglio di titoli
rischiosi.
8
Di solito ciò si assume in modo da semplificare l’analisi.
Infatti la v.c. normale è descritta interamente da media
e varianza sufficienti per ottenere un quadro completo
dei possibili rendimenti di un’attività finanziaria.
La media e la varianza di un titolo non sono le uniche
misure
adottate
per
misurare
rispettivamente
il
rendimento atteso e il rischio di un titolo. Tuttavia se il
rendimento del titolo considerato ha una distribuzione
normale allora esse racchiudono in forma sintetica tutte
le informazioni possibili su quel titolo.
Vediamo perché e in quali circostanze si possa modellare
il rendimento di un titolo come variabile casuale normale.
Dalla
(4)
possiamo
anche
definire
il
logaritmo
del
rendimento R per periodo: (5)
r = ln
Pt +1 + Dt +1
Pt
poiché Pt = 1
Pt
 P − Pt + Dt +1 
 = ln(1 + Rt )
r = ln1 + t +1
P

t

Con un R inferiore a 0,15 r sarà approssimativamente
uguale a R. Perciò al fine di analizzare l’ipotesi di
9
normalità dei rendimenti è più conveniente analizzare i
rendimenti logaritmici.
Si consideri l’andamento del rendimento di un titolo
1,2,…N giorni. Sia R t (1) il rendimento semplice per un
giorno,
dal
giorno
t
al
giorno
t+1
e
sia
r t (1)
il
corrispondente rendimento logaritmico tale che
rt (1) = ln(1 + Rt (1))
Ipotizzando
che
i
pagamenti
in
contante
siano
immediatamente reinvestiti nel titolo a prezzo corrente
di mercato, possiamo definire come rendimento composto
di n giorni R t (n) dal giorno t al giorno t+n il prodotto di
una
sequenza
ininterrotta
di
rendimenti
semplici
giornalieri
1+R t (n)=[1+R t (1)][1+R t+1 (1)]…[1+R t+n-1 (1)]
Se
non
vi
sono
pagamenti
durante
il
periodo
di
investimento di n giorni, il rendimento composto R t (n)
sarà
identico
al
rendimento
semplice
definito
dall’equazione (3) per il periodo di n giorni.
Il rendimento logaritmico r t corrispondente a R t (n) è
10
definito
come r t (n)=ln[1+R t (n)]. Dalle proprietà del
logaritmo abbiamo (6)
n −1
n −1
n −1
k =0
k =0
k =0
ln[1 + Rt (n)] = ln[∏ (1 + Rt + k (1))] = ∑ ln[1 + Rt + k (1)] = ∑ rt + k (1)
Cioè il rendimento logaritmico di un investimento della
durata di n giorni è uguale alla somma degli n rendimenti
logaritmici
giornalieri
realizzati
durante
il
periodo
d’investimento di n giorni.
Supponiamo
ora
che
investimenti
della
i
rendimenti
durata
di
un
logaritmici
giorno
siano
per
delle
variabili casuali indipendenti identicamente distribuite,
con
media
µ
e
σ2.
varianza
In
base
a
condizioni
sufficientemente generali circa la distribuzione di tali
rendimenti, il teorema del limite centrale afferma che il
rendimento logaritmico di n giorni definito nell’equazione
(6) convergerà verso una distribuzione normale con
media nµ e varianza nσ 2 al crescere di n.
Fintanto che i rendimenti logaritmici giornalieri sono v.c.
statisticamente
indipendenti
con
varianza
finita,
la
distribuzione dei rendimenti logaritmici per intervalli di
tempo più lunghi convergerà verso una distribuzione
normale
al
crescere
della
11
durata
del
periodo
d’investimento.
L’evidenza
empirica
indica
che
la
convergenza si ottiene per periodi di una settimana o di
un mese circa. Questo risultato è importante per lo
studio dell’andamento dei corsi azionari perché vi sono
numerosi contributi nella letteratura statistica e in
quella del calcolo delle probabilità che analizzano proprio
le caratteristiche delle distribuzioni normali. I risultati
di tali studi possono essere applicati se i rendimenti
logaritmici si distribuiscono, asintoticamente, in modo
normale.
Vi è un unico caso in cui i rendimenti logaritmici si
distribuiscono
qualsiasi
in
periodo
modo
di
perfettamente
investimento.
Se
normale
i
per
rendimenti
logaritmici giornalieri r t (1) si distribuiscono essi stessi
in modo normale, i rendimenti r t (n) per investimenti di n
giorni si distribuiscono anch’essi in modo normale per
tutti gli n≥1. In questo caso r t (n) sarà uguale alla somma
di n variabili casuali normalmente distribuite e non
occorrerà
fare
riferimento
al
teorema
centrale per ottenere la normalità di r t (n).
12
del
limite
Da studi iniziali sulla distribuzione dei rendimenti dei
titoli azionari risulta che la varianza campionaria
di
rendimenti logaritmici aumenta in modo approssimativamente lineare con la durata del periodo di investimento.
Questi risultati sembrano favorire l’ipotesi che i rendimenti logaritmici di un titolo azionario tendano a distribuirsi, asintoticamente, in modo normale, con varianza
finita della distribuzione dei rendimenti giornalieri. Da
questi studi, tuttavia, risulta anche che, per rendimenti
misurati
per
brevi
intervalli
di
tempo,
si
possono
osservare valori estremi, positivi e negativi, più elevati
che ci si potrebbe aspettare se tali rendimenti fossero
distribuiti normalmente. Il fatto che nella distribuzione
di rendimenti logaritmici giornalieri si possano riscontrare delle code abbastanza spesse ( fat tails ) contraddice l’ipotesi che tali rendimenti siano normalmente
distribuiti ed induce a pensare che per intervalli più
lunghi
la
normalità
dei
rendimenti
quantomeno, un risultato asintotico.
13
logaritmici
sia,
3.Portafoglio di due titoli rischiosi
Supponiamo ora che un investitore scelga di investire in
due titoli rischiosi B 1 ed B 2 , uniperiodali (della durata di
un anno
per esempio). Facciamo poi l’ipotesi che i titoli siano
infinitamente divisibili, ossia che si possa acquistare un
titolo anche solo parzialmente e quanto si realizza in t=1
è
proporzionale
Consideriamo
a
allora
quanto
il
si
è
investito
portafoglio
che
in
t=0.
consiste
nell’investire:
x 1 nel titolo B 1
x 2 nel titolo B 2
con
x 1 + x 2 =1,
x i ≥0
dove x i è la frazione del capitale unitario che vogliamo
investire nel titolo B i (se W è il capitale totale da
investire e W i le quote da investire nel titolo i, allora x i =
W i /W).
Note le caratteristiche rischio/rendimento dei singoli
titoli B 1 ed B 2 , la composizione del portafoglio dipende
da x 1 e x 2 . Combinando la composizione l’investitore può
14
cambiare il rendimento ed il rischio del portafoglio.
Come vedremo rischio/rendimento
del portafoglio si
potranno esprimere in funzione di rischio/rendimento dei
singoli titoli. Indichiamo con R i la v.c. rendimento dei
titoli:
R 1 ={R (1)k ,p (1)k }
k=1,….. N 1
R 2 ={R (2)k ,p (2)k }
k=1,….. N 2
dove R (1)k =(M (1 )k -P 1 )/P 1
si realizza con probabilità p (i )k .
Essendo P 1 il prezzo in t=0 del titolo B 1 ed M (1)k le
realizzazioni in t=1 con probabilità p (1)k . Analogamente
per R 2 . Indichiamo con R il rendimento del portafoglio,
che sarà una v.c., le cui realizzazioni dipendono da quelle
dei titoli componenti.
Infatti se la ricchezza alla fine del periodo è:
W’=W+W 1 R (1)i +W 2 R (2)j
il rendimento del portafoglio di composizione (x 1 , x 2 ) è
dato da Rij =  W '−W  così che
 W

Rij =
W1 R(1)i
W
+
W2 R( 2)i
W
15
= x1 R(1)i + x2 R( 2 ) j
Cioè
la
v.c.
rendimento
del
portafoglio
è
una
combinazione lineare della v.c. rendimento dei singoli
titoli ed si avrà
N=N 1 N 2 possibili uscite
con valore R ij (i=1… N 1 ; j=1… N 2 )
e
probabilità
composta
p ij =p(R (1)i ,R (2)j )
affinché
si
realizzi l’evento R (1)i per la v.c. R 1 e l’evento R (2)j per la
v.c. R 2 .
N1
N2
i
j
∑∑
p ij = 1
Poiché almeno una delle N coppie possibili si realizza:
e
N2
N1
p (1) k = ∑ p kj
∑
j =1
k =1
p (1 ) k = 1
se si fissa R (1)k per B 1 ,con k=1… N 1 .
Dove
p (1)k
è
la
probabilità
che
titolo
esca
con
realizzazione R (1)k qualunque sia quella del secondo titolo.
Analogamente p (2)k per il secondo titolo. Pertanto le
probabilità marginali si possono ottenere sommando per
riga e per colonna le probabilità congiunte
16
R 21
R 2j
R 2N
p 11
R 11
p (1)1
R 1i
p ij
p (1)i
R 1N
pNN
p (2)1 p (2)j
Il
problema
p (1)N
p (2 )N
è
che
le
probabilità
congiunte
non
si
conoscono, ma in genere sono note le quelle marginali,
sufficienti
a
calcolare
il
rendimento
atteso
del
portafoglio, E(R) o µ:
µ = E (R) =
N1
N2
∑ ∑ Rij pij =
i =1 j = 1
=
N1
N2
∑ [x R ∑ p
i =1
1
Quindi
(1 ) i
j =1
ij
N2
∑ ∑ ( x1 R(1) i + x 2 R( 2 ) j ) pij =
i =1 j =1
N2
N1
j =1
i =1
N1
N2
∑∑
i =1 j =1
x1 R (1) i Pij +
N1
N2
∑∑x
i =1 j =1
2
R ( 2 ) j p ij =
] + ∑ [ x 2 R( 2 ) j ∑ p ij = x1 ∑ R(1) i p (1) i + x 2 ∑ R( 2 ) j p ( 2 ) j = x1 µ 1 + x 2 µ 2
noti
componenti
N1
i
il
i
rendimenti
j
attesi
portafoglio,
il
dei
singoli
rendimento
titoli
atteso
del
portafoglio è la combinazione lineare dei due rendimenti.
Il rischio del portafoglio, misurato dalla varianza σ 2 (R),
dipende
dalle
varianze
dei
17
singoli
titoli
e
dalle
correlazioni esistenti fra i vari titoli. (La correlazione
viene misurata tramite la covarianza fra le v.c. R 1 ed R 2 .)
Se le coppie di possibili realizzazioni aventi tutte uguali
probabilità di verificarsi sono disposte come in figura a
sinistra, allora c’è una relazione inversa tra R 1 ed R 2 . Un
portafoglio
composto
rendimento
atteso
da
questi
stabile
due
perché
titoli
si
avrà
un
recupera
su
un’attività quello che si perde sull’altra.
Al contrario una relazione tra rendimenti positiva, come
in figura a destra, determinerà un portafoglio con un
rendimento atteso o molto alto o molto basso.
Definiamo la covarianza che esprime la relazione tra R 1
ed R 2 :
cov( R1 , R 2 ) = cov( R 2 , R1 ) =
N1
N2
∑ ∑ (R
i =1 j =1
(1 ) i
− µ 1 )( R ( 2 ) j − µ 2 ) p ij
mentre
cov(Ri , Ri ) = σ i2
(Notiamo che se la probabilità che in entrambi i titoli sia
la realizzazione di R 1 che di R 2 sia maggiore (minore) dei
rispettivi
rendimenti
attesi,
allora
la
covarianza
è
positiva. Al contrario se i rendimenti si muovono in
maniera discordante rispetto ai rispettivi rendimenti
18
attesi, allora la varianza è negativa. Vediamo allora la
covarianza negativa in figura a sinistra e positiva in
figura a destra.)
Se cov=0 si dice che le v.c. sono non correlate, e ciò può
accadere (condizione sufficiente ma non necessaria) se
esse sono statisticamente indipendenti, cioè P ij =p (1)i p (2)j
4.Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
Calcoliamo la varianza di un portafoglio:
N1 N 2
σ 2 (R) = ∑∑(Rij − µ)2 pij = ∑∑(x1R(1)i + x2 R(2) j − x1µ1 − x2µ2 )2 pij = ∑∑[x1(R(1)i − µ1) + x2 (R(2) j − µ2 )]2 pij =
i =1 j =1
= ∑∑ [ x12 ( R(1)i − µ1 ) 2 + x22 ( R( 2) j − µ 2 ) 2 + 2 x1 x2 ( R(1)i − µ1 )( R( 2 ) j − µ 2 )] pij =
= x12∑∑(R(1)i − µ1)2 pij + x22∑∑(R(2) j − µ2)2 pij + 2x1x2∑∑(R(1)i − µ1)(R(2) j − µ2) pij =
= x12σ 12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ 12
Spesso
è
meglio
utilizzare
il
coefficiente
di
correlazione, che non dipende dall’unità di misura delle
variabili ed è una sorta di covarianza normalizzata,
compreso nell’intervallo (-1,1):
ρ 12 =
19
σ 12
σ 1σ 2
da cui
σ 2 ( R ) = x 12 σ 12 + x 22 σ
2
2
+ 2 x 1 x 2 ρ 12 σ 1σ
2
Poiché cov(Ri,Ri)=σ 2 i introduciamo la matrice di varianzacovazianza (simmetrica):
V =
σ 12
ρ 12 σ 1σ
ρ 12 σ 1σ
σ 22
2
2
Ponendo X=[x 1 ,x 2 ]’ si ha
σ 2 ( R ) = X ' VX
Possiamo ora rappresentare ogni portafoglio ammissibile
nel piano cartesiano media-varianza MV.
Sappiamo dal vincolo di bilancio che x 1 +x 2 =1, cioè che
tutta la ricchezza disponibile viene investita, e che x i ≥0,
cioè
che
non
sono
ammesse
vendite
allo
scoperto,
pertanto dobbiamo stimare un solo parametro, visto che
x 1 =1-x 2 e che quindi l’insieme che otteniamo nel piano MV
è unidimensionale in cui rappresentiamo una curva di
equazioni(7):
con x 2 ∈[0,1]
20


σ
2
µ = (1 − x 2 ) µ 1 + x 2 µ 2
= (1 − x 2 ) σ 12 + x 22 σ 22 + 2 (1 − x 2 ) x 2 ρ 12 σ 1σ
2
Eliminando x 2 otteniamo l’equazione di una curva nel
piano MV, luogo geometrico dei portafogli ammissibili.
Osserviamo che:
x 2 =0
µ=µ 1 , σ 2 = σ 12
x 2 =1
µ=µ 2 , σ 2 = σ 22
quindi i due estremi sono i punti P 1 e P 2 relativi ai singoli
titoli B 1 ed B 2 , cioè si investe tutto o nell’uno o nell’altro
titolo.
Al variare di x 2 fra 0 e 1 otteniamo una curva che
congiunge i due estremi.
Supponiamo che B 1 sia il titolo a media e varianza
inferiori.
Analizziamo i casi particolari al variare del coefficiente
di correlazione:
21
a) Perfetta correlazione: ρ=1
In tal caso si ha (8):


σ
2
= (1 − x 2 ) σ
2
2
1
µ = (1 − x 2 ) µ 1 + x 2 µ 2
+ x σ 22 + 2 (1 − x 2 ) x 2 σ 1σ 2 = [(1 − x 2 )σ 1 + x 2 σ 2 ] 2
2
2
Dalla seconda equazione esplicitiamo x2:
x2 =
σ − σ1
σ 2 − σ1
e sostituendo nella prima equazione:
µ =µ1 +
σ −σ1
µσ −µσ +σµ2 −σ1µ2 −σµ1 + µ1σ1 µ1σ2 −σ1µ2 µ2 −µ1
(µ2 −µ1) = 1 2 1 1
=
+σ
=a+bσ
σ2 −σ1
σ2 −σ1
σ2 −σ1
σ2 −σ1
che è l’equazione di una retta con coefficiente angolare
b>0 che dipende dalla relazione tra i rendimenti attesi e
le varianze dei due titoli, ed intercetta pari ad a. La
frontiera efficiente in tal caso è rappresentata dal
segmento di retta congiungente i due punti P 1 e P 2 .
µ2
µ1
P2
P1
σ12
σ22
22
b) Perfetta correlazione negativa: ρ=-1
Si ha (9):


σ
2
= (1 − x 2 )σ
2
1
µ = (1 − x 2 ) µ 1 + x 2 µ 2
+ x σ 22 − 2 (1 − x 2 ) x 2 σ 1σ 2 = [(1 − x 2 )σ 1 − x 2 σ 2 ] 2
2
2
da cui:
σ = (1 − x2 )σ 1 − x2σ 2
quindi essendo
(1 − x2 )σ 1 − x2σ 2 ≥ 0
per
x2 ≤
σ1
σ1 + σ 2
si ha
 (1 − x2 )σ 1 − x2σ 2
− (1 − x2 )σ 1 + x2σ 2
σ =
rispettivamente per:
σ1

1)0 < x2 ≤ σ + σ
1
2

σ1
 2)
≤ x2 < 1
 σ 1 + σ 2
Nel caso 1) si ha:
x2 =
σ1 −σ
σ1 + σ 2
che sostituendo nella prima equazione della (9):
µ = (1 −
σ1−σ
σ1−σ
σ µ + σ 1µ 2
µ 2 − µ1
)µ1 +
µ2 = 2 1
−σ
= a 1 − σ b1
σ1+σ 2
σ1 +σ 2
σ1 +σ 2
σ1 +σ 2
che descrive la l’equazione di una retta nel piano con
coefficiente angolare –b 1 <0,dato che b 1 >0.
23
Se x 2 =σ 1 /(σ 1 +σ 2 ) allora σ=0, cioè il portafoglio è a rischio
nullo ed il rendimento è:
µ=
σ 2 µ1 + σ 1µ 2
σ1 + σ 2
Nel caso 2) si ha:
x2 =
σ + σ1
σ1 + σ 2
e sostituendo nella prima equazione della (9):
µ = (1 −
σ + σ1
σ + σ1
σ µ + σ 1µ 2 µ 2 − µ1
) µ1 +
µ2 = 2 1
+
σ = a1 + b1σ
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
che è l’equazione di una retta con coefficiente angolare
b 1 >0.
Il portafoglio a rischio nullo ha composizione
x∗ = ( x1∗, x2 ∗)
con
x2 =
σ1
σ1 + σ 2
e
x1 = 1 − x2 =
σ2
σ1 + σ 2
e rendimento atteso
µ=
µ 2σ 1 + µ1σ 2
σ1
= µ1 +
( µ 2 − µ1 )
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
Possiamo allora rappresentare la frontiera di portafoglio
µ2
µ
µ1
P2
P1
σ12
σ22
24
Dalla figura possiamo evincere che in presenza di 2 titoli
perfettamente
non
correlati
si
può
costruire
un
portafoglio a rischio nullo calcolando le giuste porzioni di
x1 e x2.
c) Rendimenti non correlati:ρ=0
Si ha (10):
 µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ 2
 2
2
2 2
σ = (1 − x2 )σ 1 + x2σ 2
esplicitando x 2 dalla prima equazione si ha
x2 =
µ − µ1
µ −µ
;1 − x2 = 2
µ 2 − µ1
µ 2 − µ1
e sostituendo nella seconda
σ2 = (
µ2 − µ 2 2
µ − µ1 2 2
) σ1 + (
) σ2
µ 2 − µ1
µ 2 − µ1
σ 2 ( µ 2 − µ 1 ) = ( µ 2 − µ ) 2 σ 12 + ( µ − µ 1 ) 2 σ 22 = µ (σ 12 + σ 22 ) − 2 µ ( µ 2 σ 12 + µ 1σ 22 ) + µ 22 σ 12 + µ 12 σ 22
che nel piano (σ,µ) è l’equazione di una conica, mentre nel
piano (σ 2 ,µ) è l’equazione di una parabola:
µ2
P2
µ∗
µ1
P1
σ∗
σ12
25
σ22
Per trovare il portafoglio a rischio minimo possiamo
utilizzare trovare il minimo della funzione σ2(x2).
1. Si ha:
σ 2 = (1 − x2 ) 2 σ 12 + x22σ 22
dσ 2
= − 2 (1 − x 2 )σ 12 + 2 x 2σ 22 = 0
dx 2
da cui
x2 ∗ =
σ 12
σ 12 + σ 22
mentre dal vincolo di bilancio si ha
x1∗ =
σ 22
σ12 + σ 22
e poiché
d 2σ 2
= 2 (σ 12 + σ 22 ) > 0
dx 2
otteniamo che (x1∗,x2∗) minimizzano σ2 (o σ) e sono
quindi il portafoglio a rischio minimo:
26
σ 22
σ 12
2
2
σ ∗=( 2
) σ1 + ( 2
)σ 22
2
2
σ1 + σ 2
σ1 +σ 2
2
e rendimento:
µ ∗ = µ1 +
σ
σ
2
1
2
1
+ σ
2
2
(µ
2
− µ1) =
µ 2 σ 12 + µ 1 σ
σ 12 + σ 22
2
2
Osserviamo che allo stesso risultato si poteva pervenire
trovando il min della funzione σ2(µ)
d) Caso generico: ρ∈(-1,1)
In questo caso le equazioni descritte dal sistema MV
descrivono una conica (piano σ,µ) o una parabola (piano
σ2,µ)
Il portafoglio a rischio minimo si determina ugualmente
risolvendo il problema di minimizzazione.
µ2
µ1
ρ=-1
ρ=0
ρ=1
27
σ2
Dall’equazione
σ2 =
=
[
1
( µ − µ 2 ) 2 σ 12 + ( µ − µ1 ) 2 σ 22 + 2( µ − µ1 )( µ 2 − µ ) ρσ 1σ 2
( µ 2 − µ1 ) 2
]
[
1
µ 2 (σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 ) − 2µ ( µ 2σ 12 + µ1σ 22 + ρσ 1σ 2 ( µ1 + µ 2 )) + µ 22σ 12 + µ12σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 µ1µ 2
2
( µ 2 − µ1 )
osserviamo che
(σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 ) > 0
per ρ<1
poiché
σ 12 + σ 22 > 2 ρσ 1σ 2
per
ρ<
σ 12 + σ 22 ~
= ρ >1
2σ 1σ 2
in modo che è soddisfatta la condizione ρ∈(-1,1).
Minimizziamo ora la funzione
σ 2 ( x2 ) = (1 − x2 ) 2 σ 12 + x22σ 22 + 2(1 − x2 ) x2 ρσ 1σ 2
ottenendo
d
= −2(1 − x2 )σ 12 + 2 x2σ 22 + 2(1 − 2 x2 ) ρσ 1σ 2 = 0
dx2
da cui
x2 ∗ =
σ 1 (σ 1 − ρσ 2 )
σ + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2
2
1
e considerando che
d 2σ 2
= 2(σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 ) > o
dx2
x 2 ∗ è punto di minimo e che x 2 ∗>0 per σ 1 -ρσ 2 >0, cioè
ρ<σ 1 /σ 2 (<1)
28
]
Quindi il portafoglio a rischio minimo esiste per
ρ∈(-1,σ 1 /σ 2 ).
In tali casi il portafoglio ((1-x 2 ∗),x 2 ∗) ha rendimento
µ∗=µ+x 2 ∗(µ 2 -µ 1 ). Se x 2 ∈(0,x 2 ∗) si hanno portafogli non
preferiti mentre per x 2 ∈(x 2 ∗,1) si hanno i punti della
frontiera efficiente.
5.Vendite allo scoperto
In questo caso eliminiamo la condizione x i ≥0 assumendo
invece x i ∈R. Quindi se ad esempio x 1 <0 si ha x 2 =1- x 1
>1, cioè x 1 negativo vuol dire che il titolo B 1 è venduto
allo scoperto, cioè l’operatore vende titoli che non
possiede, deve prenderli in prestito per poterli vendere
e
si
impegna
poi a
restituirli ad una
data
futura
concordata. Si indebita allo scopo di acquistare di più
(x 2 >1) del titolo B 2 .
In
questo
caso
otteniamo
come
luogo
dei
punti
ammissibili del piano rischio-rendimento le stesse curve
ottenute prima, ma non dobbiamo considerare solo la
porzione di curva compresa fra i punti P 1 e P 2 ma tutta la
curva come rappresentato in figura rispettivamente
29
per ρ=1, ρ=-1, ρ∈(-1,1)
x 1 <0
µ
µ
µ
x 1 <0
P2
P2
P2
x 1 <0
P1
x 2 <0
•
P1
σ
•
P1
x 2 <0
σ
x 2 <0
σ
Ora fissata la composizione, la media e la varianza del
portafoglio sono dei valori uguali per tutti gli operatori,
che
dipendono
solo
dalle
caratteristiche
dei
titoli
componenti. Quindi una volta determinata la frontiera
efficiente
per
determinare
il
portafoglio
ottimale
bisogna considerare le preferenze dei singoli investitori.
6.Selezione di un portafoglio ottimale
L’investitore deve scegliere la combinazione rischiorendimento
per
lui
ottimale.
Occorrono
allora
informazioni precise sulle preferenze degli operatori,
che
supponiamo
siano
rappresentate
da
curve
di
preferenza o di isoutilità nel piano (σ,µ) che possiamo
pensare come curve di livello di una funzione di utilità
individuale D(σ,µ).
30
L’operatore sceglierà la composizione che massimizza la
propria soddisfazione, restringendo l’analisi ai soli punti
della frontiera efficiente.
Nota una utilità del danaro u(x), la funzione
D(σ,µ)=u(µ)-σ
oppure D(σ,µ)=βu(µ)-ασ con α,β>0 e β∈(0,1)
può essere assunta come funzione di utilità nel piano
(σ,µ). Comunque non è sempre necessario partire da una
funzione u(x), ma è sufficiente che una funzione D
soddisfi alcuni criteri generali che richiediamo debbano
valere per una funzione di utilità. Cioè le curve di
isoutilità D(σ,µ)=C esplicitate in µ=F(σ,C) devono essere
crescenti e convesse, in quanto al crescere di σ, cioè
aumentando il rischio, la soddisfazione resta la stessa
solo se si ottiene un rendimento maggiore (da cui F’>0).
Inoltre se il rischio non è elevato un piccolo aumento di
rischio sarà compensato, per l’indifferenza da un piccolo
aumento di rendimento, ma se il rischio è elevato, un
aumento anche piccolo del rischio sarà compensato, per
l’indifferenza, da un maggior incremento del rendimento
(da cui F”>0). Perciò le curve sono come in figura.
31
µ
σ
Non
è
possibile
decrescenti
stima
di
(vedi
considerare
figura)
curve
perché
pari soddisfazione
allora
portafogli
di
isoutilità
l’investitore
aventi
basso
rischio e alto rendimento e portafogli aventi alto rischio
e basso rendimento contraddicendo il criterio MV.
µ
σ
Vediamo qualche esempio di funzioni di utilità D:
a)
D(σ,µ)=µ-aσ con a>0 e costante.
Le curve di isoutilità hanno equazione D=c (costante) ,
ossia
µ-aσ=c che sono rette di pendenza a ed intercetta c.
µ
σ
32
b)
D(σ,µ)=µ/σ, le curve di isoutilità µ=cσ sono rette
passanti per l’origine con coefficiente angolare c.
µ
c)
D(σ,µ)=µ-aσ 2 a>0, le curve di isoutilità sono date da
µ=aσ2+c cioè parabole con intercetta c.
µ
σ
d)
D(σ,µ)=µ-1/(b-σ) con σ<b, dove b è il livello massimo
di rischiosità individuale. Le curve di isoutilità sono
µ=1/(b-σ)+c,
cioè
rami
di
iperbole
con
asintoto
orizzontale c ed asintoto verticale b.
µ
b σ
Determinato il luogo dei portafogli ammissibili, per un
investitore molto avverso al rischio, la scelta sarà
prossima al portafoglio a rischio minimo:
33
µ
• P2
P1
•
σ
Invece per un investitore mediamente avverso al rischio
il portafoglio di scelta ottimale sarà:
µ
• P2
• P1
σ
Per un investitore poco avverso al rischio il punto scelto
cadrà lontano dal portafoglio di rischio minimo:
µ
• P2
• P1
Mentre il punto scelto potrebbe superare il punto P 2 se
fossero consentite vendite allo scoperto, investendo più
di quel che si ha nel solo titolo B 2 :
34
µ
P2
•
• P1
σ
Sempre per quel che riguarda il problema di scelta
ottimale individuale del portafoglio supponiamo nota la
funzione di preferenza D(σ,µ).
Per determinare il punto della frontiera efficiente che
fornisce la massima utilità non è necessario determinare
prima la frontiera efficiente, ma possiamo risolvere
direttamente il problema di ottimizzazione.
La
regione
ammissibile
è
definita
dalle
equazioni
parametriche:
µ = x1µ1 + x2 µ 2 = X ' Π

 2
2 2
2 2
σ = x1 σ 1 + x2σ 2 + 2 x1 x2 ρσ 1σ 2 = X 'VX
x 1 +x 2 =1 e dove Π=(µ 1 ,µ 2 )
Quindi per ogni fissata composizione, X=(x 1 ,x 2 ), possiamo
calcolare
direttamente
il
valore
corrispondente:
F(X)=F(x 1 ,x 2 )=D(σ(x 1 ,x 2 ),µ(x 1 ,x 2 ))
x 1 +x 2 =1
35
di
soddisfazione
(che si può anche scrivere U’X=1, con U=(1,1,…,1))
Impostiamo allora il problema di ottimo:
max F(X)
U’X=1
che risolto ci da il portafoglio ottimo.
Essendo il vincolo lineare si ha x 1 =1-x 2 e quindi possiamo
scrivere:
µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ 2

 2
2 2
2 2
σ = (1 − x2 ) σ 1 + x2σ 2 + 2(1 − x2 ) x2 ρσ 1σ 2
e considerare allora
f(x 2 )=D(σ(x 2 ),µ(x 2 ))=F((1-x 2 ),x 2 )
risolvendolo come problema di libero max f(x 2 )
Se D è tale che le curve di isoutilità sono crescenti e
convesse
e
la
frontiera
efficiente
è
una
funzione
crescente e concava, allora il problema di ottimo da
soluzione unica.
Una volta trovato il portafoglio che rende massima la
funzione di utilità, calcoliamo i corrispondenti valori di
rendimento atteso e rischio ricavandoli dal sistema
parametrico media-varianza.
36
7.
Modello
di
Markowitz:
portafoglio
con
n
titoli
rischiosi
Markowitz sostiene che la varianza della media dei
rendimenti decresce all'aumentare del numero n dei
titoli. E' per questo motivo che egli effettua la sua
analisi
su
n
titoli,
evidenziando
l'importanza
della
diversificazione del portafoglio per ridurne il rischio.
Nel caso di un portafoglio con n titoli rischiosi, B 1 , B 2 ,…,
Bn,
il
problema
della
costruzione
ottimale
non
è
sostanzialmente differente dal caso di un portafoglio di
due titoli.
Ricordiamo le ipotesi che stanno alla base del problema
in esame:
Tutti i titoli hanno la medesima durata (modello
uniperiodale)
I titoli sono infinitamente divisibili
Sono consentite vendite allo scoperto;
Non esistono rischi di insolvenza (il solo rischio è
misurato dalla varianza o dalla deviazione standard)
Non esistono gravami fiscali o costi di transazione
37
Gli agenti sono price taker: non influenzano i prezzi
dei titoli ed il mercato (esiste una base oggettiva per
tutti che è la frontiera efficiente)
Gli agenti sono massimizzatori del profitto o
dell’utilità attesa
Il mercato è coerente (assenza di arbitraggio)
La distribuzione dei rendimenti è di tipo Normale con
media µ e varianza σ 2
Si è in presenza di investitori avversi al rischio
(u’’(x)<0)
Supponiamo che siano assegnati n titoli rischiosi B k ,
k=1,2,…,n per ciascuno dei quali sono noti i rendimenti
con relative probabilità
R (k)i k
i k =1,2,…,N k
p (k)ik
i k =1,2,…,N k
Nk
∑p
( k ) ik
[R (k)1 , R (k)2 ,…, R (k)n ]
[p (k)1 ,p (k)2 ,…,p (k)n ]
=1
ik =1
e, quindi, anche il rendimento atteso
µk =
Nk
∑R
i k =1
( K ) ik
p( k ) ik
e la varianza
38
σ =
2
k
Nk
∑ (R
i k =1
( k )ik
− µ k ) 2 p ( k ) i k = E ( R k2 ) − µ k2
o la deviazione standard
σ k = σ k2
che viene usata come stima della rischiosità. Dovremo
allora analizzare il portafoglio (generico) che si ottiene
investendo x 1 lire in B 1 ,…,…, x n lire in B n tenendo conto
del vincolo di bilancio
x 1 + x 2 +…+ x n =1
In forma compatta, il portafoglio di composizione
X=(x 1 ,…,x n ) ha vincolo U’X=1 dove U=(1,…,1). Osserviamo
che se non mettiamo il vincolo di non negatività x i ≥0,
significa che sono consentite vendite allo scoperto.
Nel
portafoglio
di
composizione
X=(x 1 ,x 2 ,…,x n ),
analogamente al caso di 2 soli titoli, si trova che il
rendimento
atteso
di
portafoglio
µ(X),
è
una
combinazione lineare dei rendimenti attesi dei singoli
titoli:
µ(X) = x 1 µ 1 +x 2 µ 2 +…+x n µ n
= Π’X
dove Π=(µ 1 ,……,µ n ).
39
Per quanto riguarda la varianza σ 2 (X) del portafoglio di
composizione X ci aspettiamo che, analogamente al caso
con due titoli, intervengano le covarianze dei due titoli a
due a due. Supponendo che siano note le probabilità
congiunte per titoli a due a due, (B r , B s ), ossia
P(R(r) ir , R(s) is )
i r =1,……,N r ; i s =1,……,N s
Per cui si ha
Ns
Nr
cov( B r , B s ) = ∑ ∑ ( R( r )ir − µ r )( R ( s )ir − µ s ) p ( R ( r )ir R( s )is ) = σ r , s
ir =1 i s =1
potremmo disporre le varianze e le covarianze degli n
titoli
in
una
matrice
V,
detta
matrice
varianza-
covarianza, con
V(i,i)= cov (B i , B i ) =σ i 2
V(i,j)=V(j,i)= cov(Bi,BJ)= σ i,j
E dove
σ 11 ……………. σ 1n
V=
……………
σ n1 …………… σ nn
La
matrice
V (quadrata
di ordine n)
è ovviamente
simmetrica, e noi assumeremo che sia anche definita
positiva.
40
La varianza del portafoglio di composizione X=(x 1 , x 2 ,…,
x n ), analogamente al caso di due titoli, risulta essere la
forma quadratica associata alla matrice di varianzacovarianza V:
σ 2 (X)=X’VX = ∑
n
V
i, j = 1
i, j
xix
j
e la deviazione standard del portafoglio è
σ (X ) =
σ
2
(X )
Riassumendo, note le caratteristiche dei singoli titoli B 1 ,
B 2 ,…,B n per il portafoglio di composizione X=(x 1 , x 2 ,…, x n )
si ha:
σ 2 (X)=X’VX
µ(X)=Π’X
U’X=1
Dove
Π=(µ 1 ,µ 2 ,…µ n ),
V i,j = cov(B i , B j ) = σ i,j ;
U=(1,……,1).
41
8. Portafoglio ottimo
8.1. Caso con assenza di vincoli di non negatività e di
attività a rendimento certo
Se
supponiamo
che
un
investitore
abbia
una
data
funzione di preferenza individuale D(σ,µ) o D(σ 2 ,µ) da
massimizzare,
potremo
risolvere
direttamente
il
problema di ottimo, per determinare il portafoglio di
massima soddisfazione:
max F(x 1 , x 2 ,…, x n ) = D(σ(x 1 , x 2 ,…, x n ),µ (x 1 , x 2 ,…, x n ))
∑x
i
=1
i
oppure eliminare il vincolo di uguaglianza e risolvere un
problema di libero in (n-1) variabili.
Esempio.Se l’operatore assume D(σ,µ)=µ-aσ 2 si avrà
max F(x 1 , x 2 ,…, x n ) = Π’X-aX’VX
U’X=1
Ed essendo V definita positiva, -V è definita negativa, ed
il problema di max ha un’unica soluzione che definisce il
portafoglio ottimo.
42
Inoltre, essendo il vincolo lineare e la funzione obiettivo
concava, il problema è di ottimizzazione convessa così
che
le
condizioni
del
I
ordine
sono
necessarie
e
sufficienti per risolvere il problema.
Come si è visto anche per il caso di due titoli, conviene a
volte risolvere la “parte tecnica” comune a tutti gli
investitori, e determinare nel piano (σ,µ) o (σ 2 ,µ) la
regione
dei
portafogli
ammissibili
e
la
frontiera
efficiente (luogo dei portafogli efficienti).
In questo caso per ogni fissato livello di rendimento µ=π
(costante fissata), cerchiamo il portafoglio minimo, ossia
il vettore X*(π*) che minimizza la varianza, soluzione del
problema di ottimo
min σ 2 (X) = X’VX
Π’X=π*
U’X=1
Applicando
il
metodo
dei
moltiplicatori di
introduciamo la seguente funzione
L( X , λ1 , λ2 ) = X 'VX + λ1 (π * −Π ' X ) + λ2 (1 − U ' X
…
43
Lagrange
si ottiene
x * (π *) =
[(πβ − γ )V
δ
1
σ 2 ( x * (π *)) =
1
δ
−1
R + (α − γπ )V −1U
]
(π 2 β − 2γπ + α )
x*(π) è
un punto della frontiera (efficiente) della
regione G dei portafogli ammissibili, e nel piano (σ 2 ,µ)
tale frontiera è una parabola di vertice (σ 2 m =1/β; µ m =γ/β)
•
µm
G
σ2m
Interessa anche riportare la frontiera efficiente nel
piano
(σ,µ).
In
tal
caso
le
ultime
due
equazioni
,
forniscono per frontiera della regione G nel piano (σ,µ)
un arco di iperbole
µm
•
σm
Proprietà della frontiera efficiente
Quindi, se
X 1 =π 1 *Y+Z
44
È soluzione ottima corrispondente al rendimento π 1 * (con
varianza σ 1 2 ) e
X 2 =π 2 *Y+Z
è soluzione ottima corrisponde al rendimento π 2 * allora
la
soluzione
ottima
corrispondente
al
rendimento
(combinazione lineare convessa)
π*=aπ 1 *+(1-a)π 2 *
è data da
X*=aX 1 +(1-a)X 2
Con ciò si è dimostrato che se sono consentite vendite
allo scoperto, qualunque combinazione lineare convessa di
portafogli
di
frontiera
è
ancora
un
portafoglio
di
frontiera.
Dati X 1 e X 2 , due portafogli di frontiera con rendimenti
attesi π 1 e π 2 , per ogni a ∋ R
X*=aX 1 +(1-a)X 2
è
il
portafoglio
di
frontiera
rendimento atteso
π*=aπ 1 *+(1-a)π 2 *
45
corrispondente
al
Come ottenere un portafoglio di frontiera
Tutti i portafogli di frontiera si possono ottenere a
partire da due qualunque di essi.
Noti due portafogli di frontiera X 1 ed X 2 corrispondenti
ai rendimenti
attesi
π1 * e
π 2 * per
determinare
la
soluzione ottima corrispondente al rendimento atteso di
un livello µ* è sufficiente determinare il valore di a tale
che
µ*=aπ 1 *+(1-a)π 2 *
ossia
a= (µ-π 2 *)/(π 1 *-π 2 *)
1-a= (π 1 *-µ)/(π 1 *-π 2 *)
si ha immediatamente
X*=aX 1 +(1-a)X 2
8.2. Portafogli che includono un’attività non rischiosa
Insieme ai titoli rischiosi consideriamo solo un titolo non
rischioso. Questo perché nel caso uniperiodale se ci
fosse più di un titolo non rischioso, la nostra preferenza
andrà sicuramente su quel titolo certo che ha il massimo
rendimento. Consideriamo il titolo non rischioso N, la cui
46
varianza è quindi nulla, σ f =0 ed il cui rendimento certo è
un determinato valore R f *.
8.2.a.Portafoglio con un titolo rischioso ed uno certo
Supponiamo che nel mercato sia possibile effettuare
operazioni di debito o credito esenti da rischio ad un
tasso effettivo di rendimento R f . Investendo un capitale
C in tale titolo non rischioso N, a fine periodo si avrà il
montante C(1+R f ).
Supponiamo che sia disponibile anche un titolo rischioso
B, con varianza σ B 2 e rendimento atteso µ B .
µB
• B
Rf•
σB
E’ naturale richiedere
µ B >R f
altrimenti opteremo per il titolo non rischioso, per il
criterio
M/V
diversificazione
e
non
del
vi
sarebbe
portafoglio
rendimento atteso).
47
il
(per
problema
della
aumentare
il
Consideriamo allora il portafoglio ottenuto investendo x f
lire nel titolo N e (1-x f ) nel titolo B, otteniamo un
portafoglio (x f , 1-x f ) avente rendimento atteso
µ=x f R f +(1-x f )µ B
e varianza
σ 2 = x 2f σ 2f + (1 − x f ) 2 σ B2 + 2 x f (1 − x f )σ f σ a ρ Bf
= (1 − x f ) 2 σ B2
in quanto la varianza del titolo certo è nulla. Inoltre
anche la covarianza tra un titolo certo ed un titolo
rischioso è sempre nulla.
Si deduce poi la deviazione standard
σ=(1-x f )σ B
Esaminando il parametro x f dalle equazioni precedenti
otteniamo
il
luogo,
nel
piano
ammissibili.
Essendo
(1-x f )=σ/σ B e
x f =1-σ/σ B
si ottiene

σ 
σ
 R f +
µ = 1 −
µB
σB
 σB 
R f − µB
σ
σB
µ − Rf
µ = Rf + B
σ
σB
= Rf −
48
(σ,µ)
dei
portafogli
che è l’equazione della retta nel piano(σ,µ), la retta
congiungente i due punti rappresentativi di N ed B (che è
anche la frontiera efficiente).
µB
µ*
RfN
B
σ*
σB
L’ultima equazione è quella della frontiera efficiente di
un portafoglio composto da un titolo privo di rischio ed
un portafoglio rischioso. La quantità R f viene chiamata
premio per il tempo mentre il coefficiente m=(µ B -R F )/σ B
rappresenta il premio per il rischio e misura l’incremento
di rendimento di µ corrispondente ad un incremento
unitario di rischiosità. A seconda delle curve di isoutilità
si avrà la scelta del portafoglio ottimo (che massimizza
l’utilità D(σ,µ).
La soluzione ottima, è geometricamente, un punto (σ*,µ*)
di tangenza, e, dovendo appartenere alla retta, soddisfa
 µA − Rf 
σ * + R f
σ
B


σ*
xf * = 1−
µ * = 
σb
è la quantità investita nel titolo N, e
49
(1 − x f *) =
σ*
σB
è la quantità investita in B.
Se il punto di tangenza è sopra B, ossia σ*>σ B , allora
x f <0: è più conveniente vendere allo scoperto il titolo
certo ed investire di più nel titolo rischioso B che
fornisce un rendimento maggiore.
8.2.b. Portafoglio con n titoli rischiosi ed 1 non rischioso
(C.A.P.M.)
Nel
piano
(σ,µ)
il
luogo
dei
portafogli
efficienti
corrispondenti a un titolo rischioso N ed un titolo
rischioso B, è costituito da una retta, congiungente i
punti rappresentativi dei due titoli.
Allo stesso risultato si perviene anche quando dobbiamo
diversificare il capitale tra un titolo N e diversi titoli
(n) rischiosi. In tal caso il ruolo del titolo B viene svolto
da un particolare portafoglio di mercato M che è lo
stesso per tutti gli operatori razionali.
Consideriamo
n
titoli
rischiosi
B1,
B 2 ,……,
Bn
e
supponiamo note le caratteristiche dei singoli titoli,
50
Π=(µ 1 , µ 2 ,……, µ n ) i rendimenti attesi e V la matrice (n*n)
di varianze-covarianze.
Per un portafoglio P di composizione Y=(y 1 , y 2 ,……, y n ), ∑y i
=1, si ha quindi il rendimento atteso
µ p =Π’Y
e varianza
σ 2p = Y 'VY
e l’analisi oggettiva che ogni operatore può fare porta
alla
determinazione
della
frontiera
efficiente
della
regione ammissibile che abbiamo già visto. Per esempio
nel piano (σ,µ) si ottiene un ramo di iperbole del tipo
µmi n
G
σmin
Con i soli titoli rischiosi non è possibile comporre un
portafoglio che abbia un livello di rischiosità inferiore al
valore minimo σ m (perché tutti i punti della regione
ammissibile hanno varianza maggiore).
Se invece è disponibile un’attività non rischiosa N con
tasso effettivo di rendimento R f , e varianza nulla, allora
combinando gli (n+1) titoli è possibile ampliare la regione
51
ammissibile
ed
avere
dei
portafogli
con
rischiosità
inferiore a σ m .
Di
nuovo
assumiamo
R f <µ m
(altrimenti
optiamo
sicuramente per investire tutto nel titolo certo e non si
pone il problema di diversificare il portafoglio per
aumentare il rendimento).
Consideriamo il portafoglio costituito dagli (n+1) titoli in
cui investiamo x f nel titolo certo N, ed x i nei titoli B i ,
con il vincolo
x f + x 1 + x 2 +……+ x n = 1
Il rendimento atteso è dato da
n
µ = x f R f + ∑ xi µ i
i =1
e la varianza da
σ 2 =X’VX
dove X=( x 1 , x 2 ,……, x n ) e V è la matrice (n*n) di varianze
covarianze degli n titoli rischiosi. Dovendo essere
n
∑ xi = 1 − x f
i =1
poniamo
yi =
xi
(1 − x f )
i=1, ……, n
così che
52
n
∑ yi = 1
i =1
e
x i =(1- x f ) y i
i=1, ……, n
in tal modo il rendimento e la varianza del portafoglio si
riscrivono come
n
µ = x f R f + (1 − x f )∑ yi µ i
i =1
µp
σ 2 = (1 − x f ) 2 Y 'VY
σp2
dove intervengono il rendimento µ p e la varianza
σ p 2 di
un generico portafoglio costituito dagli n titoli rischiosi
B 1 , B 2 , ……, B n di composizione (y 1 ,…… y n ) con Σ y i =1.
Inoltre dall’ultima equazione, la deviazione standard è
(σ
σ=(1-x f )σ p
p
=
y ' Ty
)
e mettendo a sistema le equazioni di µ e σ:
µ= x f R f +(1-x f )µ p
σ=(1-x f )σ p
si ottiene
(1-x f )=σ/σ p ;
x f =1-(σ/σ p )
 µp − Rf 
σ + R f

σ
p


µ = 
53
che
nel
piano
(σ,µ)
è
l’equazione
di
una
retta,
congiungente il punto (0, R f ) del titolo N con un qualsiasi
punto (σ p ,µ p ) della regione ammissibile del problema con
soli n titoli rischiosi.
µ
L(linea di mercato)
m
G
N
σ
Quindi la regione ammissibile si è ampliata, è un cono di
vertice (0,R f ), nel titolo N, e la frontiera è ora una
retta: la retta L uscente dal punto (0,R f ) e tangente al
ramo di iperbole della vecchia frontiera efficiente F
(ossia dei soli titoli rischiosi). Il punto di tangenza, m
(σ m ,µ m ),
è
quello
che
corrisponde
al
portafoglio
di
mercato (o portafoglio aleatorio ottimo) di composizione
(y
m
1 ,...,
y nm
)
(ottenuto come nel caso ci siano solo titoli
rischiosi nel portafoglio) con rendimento atteso µ m e
varianza σ m 2 .
54
La nuova frontiera efficiente è la retta L congiungente il
titolo N con il punto rappresentativo di m, ed è come se
ci fossimo ricondotti al problema di investire x f lire nel
titolo certo N e (1-x f ) lire nel portafoglio m con
rendimento µ m e varianza σ m 2 (che svolge lo stesso ruolo
del titolo B nel caso semplice di due titoli visti prima). Il
portafoglio m di composizione
(y
m
1 ,...,
y nm
)
ha il ruolo di
mostrare un comportamento che è comune a tutti gli
operatori. Infatti tra tutti i portafogli rischiosi possibili
essi
ripartiscono
tutti
la
loro
ricchezza
nei
titoli
rischiosi in proporzione al portafoglio di mercato. In ciò
consiste il teorema della separazione : gli investitori
individuano il portafoglio m (ed il punto (σ m ,µ m )), e solo
successivamente risolvono il problema di investire x f in
N ed (1- x f ) in m, quindi la proporzione dei titoli rischiosi
da
inserire
in
portafoglio
m
viene
determinata
indipendentemente dalle preferenze degli investitori.
Quanto investire, ossia la scelta ottima di x f , dipenderà
poi
solo
dalla
particolare
avversione
al
rischio
(individuale), ma una volta determinato x f (da investire
55
nel titolo certo) la composizione del portafoglio di n
titoli rischiosi è
(1 − x f ) y1m , (1 − x f ) y 2m ,..., (1 − x f ) y nm
in cui si nota che la scelta di x f cambia con l’investitore
mentre i valori del portafoglio di mercato sono gli stessi
per tutti gli operatori.
La seguente
 µm − R f 
σ + R f
σ
m


µ = 
è l’equazione della frontiera efficiente detta anche linea
critica o retta di mercato (capital market line) che
rappresenta le preferenze di tutti gli operatori e la
tendenza del mercato.
La sua pendenza
θ∗ =
µm − R f
σm
è detta prezzo di mercato del rischio e ci dice il premio,
cioè l’incremento di rendimento corrispondente ad un
incremento
unitario
di
rischiosità
per
i
portafogli
efficienti.
La retta fornisce una relazione oggettiva, valida per
tutti gli investitori. Ci dice cioè che un portafoglio
56
composto razionalmente con i titoli disponibili, deve
avere rendimento atteso uguale al tasso R f maggiorato di
σθ∗. Ora vediamo come determinare il portafoglio di
mercato.
Sappiamo
che
la
regione
ammissibile
è
costituita da rette uscenti dal punto R f e congiungenti N
con i punti P della regione delimitata da F. Le rette di
pendenza
θp =
µp − Rf
σp
variano quindi al variare del punto P nella regione
delimitata dal ramo di iperbole. Il punto di tangenza che
individua il portafoglio di mercato corrisponde quindi alla
retta che ha pendenza θ p massima, inoltre poiché R f <µ m
(vertice) e la frontiera è un ramo di iperbole, abbiamo
che la retta ha un solo punto di tangenza. Possiamo allora
risolvere
il
problema
di
ottimo
che
determina
la
composizione del portafoglio di mercato trovando la
soluzione di:
57


 max










n
µ
−
p
σ
∑
R
f
y
i
µ
i
−
V
ij
y
R
f
y
j
i = 1
=
∑
p
i
ij
s .a .
n
∑
y
i
= 1
i = 1
8.3.
Portafoglio
con
vincoli
di
non
negatività
e
assenza del titolo certo
In
questo
caso
dobbiamo
aggiungere
al
modello
di
Markowitz i vincoli di non negatività x i ≥0.
Il portafoglio (x 1 ,…, x n ) ha di nuovo valore atteso del
rendimento e varianza rispettivamente
µ(X)=Π’X
σ 2 (X)=X’VX
ma i vincoli ora sono
U’X=1 e X≥0
Per determinare la frontiera della regione ammissibile G,
di nuovo, fissiamo un livello di rendimento π* (compreso
tra il minimo e il massimo dei rendimenti attesi dei
singoli titoli rischiosi) e risolviamo il problema di ottimo
58
minX’VX
R’X=π
U’X=1
x≥0
La risoluzione del problema è più complessa e utilizza la
seguente lagrangiana:
L=X’VX-λ1(Π’X-π)-λ2(U’X-1)-K’X
con λ 1 ,λ 2 e K=( k 1 ,…, k n ) sono moltiplicatori di Lagrange.
Tutta la regione G ammissibile è rappresentata nel piano
(σ 2 ,µ) dalle equazioni
σ 2 =X’VX
µ=Π’X
U'X=1
X≥0
la cui frontiera nel piano è una curva costituita da archi
di
parabole,
e
quindi
differenziabile
con
continuità
eccetto che in un numero finito di punti, detti vertici
(corner
portfolios)
che
collegano
tra
loro
archi
appartenenti a parabole diverse, ed ogni arco appartiene
59
alla
frontiera
della
regione
ammissibile
di
un
sottoinsieme degli n titoli.
µ
G
σ2
8.4. Portafoglio con vincoli di non negatività e in
presenza del titolo certo
In tal caso sono presenti nel portafoglio n titoli rischiosi
le cui percentuali devono soddisfare il vincolo di non
negatività ed un titolo a rendimento certo la cui quota
x n +1 può in alcuni casi assumere valori negativi. Ciò
significa che l’investitore può ricorrere a prestiti in
denaro
ad
un
tasso
fissato
all’inizio
del
periodo
supponendo che i prestiti e i crediti siano ottenibili allo
stesso tasso, così da evitare l’introduzione di due titoli
distinti a rendimento certo.
Si hanno tre possibilità:
il ricorso al prestito è vietato ed è ammesso solo
l’investimento
60
vi sono delle limitazioni al prestito
il ricorso al prestito e l’investimento sono illimitati
9. I limiti dell'approccio media/varianza
Il modello di Markowitz, con un approccio immediato e
comprensibile,
ha la capacità di dare giustificazione a
due regole empiriche di carattere intuitivo e di larga
adozione pratica:
• i vantaggi della diversificazione,
• la disponibilità che ogni operatore dimostra ad un
"trade-off" tra rischio e rendimento: rischio di più se
ho la possibilità di guadagnare di più.
Naturalmente, come accade ad ogni rispettabile modello
economico finanziario, anche l'approccio di Markowitz è
stato oggetto di numerose critiche.
Ne presentiamo
alcune.
• Solo
particolari
funzioni
di
utilità
Von
Neumann
Morgenstern sono coerenti col criterio media-varianza.
61
• La varianza può essere ragionevolmente considerata un
parametro
"sfavorevole"
solo
per
v.c.
la
cui
distribuzione di probabilità è simmetrica.
• La
varianza
(anche
per
v.c.
aventi
distribuzione
simmetrica) non rappresenta che una dimensione del
rischio associato ad un portafoglio.
• Il
modello
si
un'estensione
riferisce
del
a
modello
portafogli
ad
un
uniperiodali,
orizzonte
multiperiodale non risulta altrettanto espressivo e
gestibile.
Sembra che le ragioni di fondo di tale inadeguatezza
nascano dalla natura statica del modello stesso; oggi
un'impostazione soddisfacente delle problematiche di
selezione di portafoglio deve risultare necessariamente
dinamica in quanto occorre affrontare congiuntamente il
problema della scelta e il problema della gestione.
• La minimizzazione del rischio dei portafogli efficienti
si basa sulle presenza di titoli poco correlati o
addirittura negativamente correlati; in presenza di
titoli a forte correlazione positiva, quali ad esempio i
62
titoli obbligazionari, il modello di Markowitz funziona
poco.
• La
determinazione
effettiva
della
matrice
delle
covarianze presenta notevoli difficoltà sia per quanto
concerne le metodologie statistiche utilizzate sia per
la numerosità dei titoli presenti sul mercato.
• La risoluzione del problema di minimizzazione vincolata
della varianza presenta qualche difficoltà computazionale
ove
si
impongano
alle
variabili
decisionali
vincoli più aderenti alle condizioni dei mercati reali
quali ad esempio: x i ≥0, oppure x i multiplo intero di un
lotto minimo…
• Essendo i valori degli input (matrice delle covarianze e
rendimenti medi) stimati, e dunque noti con margini di
incertezza,
le
difficoltà
computazionali
aumentano
quando si rendono necessarie le cosiddette "analisi di
sensitività" al variare degli input stessi (dove per
analisi di sensitività si intende la stabilità di una
soluzione ottimale al variare di uno o più input del
problema)
63
10. Altri approcci alla selezione del portafoglio
Il modello di Markowitz per la selezione di portafoglio
non è l'unico proposto e ci sembra doveroso segnalarne
altri: alcuni si ispirano, come Markowitz, alla logica
razionale
ottimizzante,
altri
alla
logica
dell'analisi
multicriteria.
Il modello di Sharpe (noto anche come S.I.M. "single
index model") corrisponde ad un caso particolare di
Markowitz e presenta notevoli vantaggi applicativi, dove
si considerino
le grandi difficoltà
collegate
con
la
determinazione della matrice delle covarianze in un
mercato
dove
siano
presenti
diverse
centinaia
di
portafogli elementari.
Nel modello di Sharpe si ipotizza che le v.c. che
esprimono i rendimenti periodali dei vari investimenti
rischiosi possano essere "spiegate" da un'unica v.c. I
(indice).
La v.c. I rappresenta la variazione dell’indice di mercato
scelto come rappresentativo dell’andamento dei titoli
In pratica l’indice di Sharpe mette a confronto il rischio
ed il rendimento di un portafoglio di attività rischiose
64
con quello di un’attività priva di rischio. E’ una misura del
rendimento in eccesso di un’attività rischiosa rispetto ad
una priva di rischio per unità di rischio:
indice di Scarpe = ( rendimento medio del portafoglio rendimento di un’attività priva di rischio)/deviazione
standard attività rischiosa.
Tale confronto descrive se il maggior rischio a cui si è
sottoposti investendo denaro in un’attività rischiosa ha
comportato
un
maggior
guadagno:
indica
cioè
se
è
convenuto fare l’investimento o se sarebbe stato meglio
rimanere liquidi.
Un'ulteriore generalizzazione del modello di Markowitz
associa ad ogni portafoglio, oltre al valore medio e alla
varianza (che sono i momenti centrali di ordine uno e
due), anche il momento centrale di ordine tre:
µ3 =
e
∑
p i ( x i − E ( R ))
interpreta
il
3
valor
medio
e
µ3
quali
indicatori
"favorevoli", la varianza come indicatore "sfavorevole".
65
L'utilizzo del terzo momento centrale vuole ovviare al
fatto che
la varianza considera allo stesso modo scarti
al di sotto del valor medio e scarti al di sopra.
Il momento µ 3 di un portafoglio, combinazione lineare di
portafogli
elementari,
ha
però
un'espressione
più
complicata della varianza, e la schematizzazione dell'approccio risulta particolarmente pesante.
Inoltre esistono v.c. con distribuzione di probabilità
asimmetrica e µ 3 =0.
Quando poi la distribuzione di probabilità del rendimento
è simmetrica, risulta µ 3 =0, e dunque, il modello viene a
coincidere con quello di Markowitz.
Un modello semplice e di significato finanziario più
immediato propone la selezione del portafoglio in base ad
una f.d.u. logaritmica : la scelta di tale f.d.u. si giustifica
se osserviamo
che equivale alla massimizzazione della
media geometrica dei rendimenti.
Recentemente H. Konno e H. Yamazaki (1991) hanno
proposto un modello di selezione di portafoglio che si
formula in termini di programmazione lineare e che
fornisce soluzioni assai simili a quelle di Markowitz e
66
coincidenti
con
esse
nel
caso
di
rendimenti
aventi
distribuzione di probabilità normale.
H. Konno e H. Kamazaki cerano quei portafogli per i quali
la v.c. rendimento ha minima deviazione assoluta dal suo
valore medio.
Le impostazioni basate sull'analisi muticriteria , invece,
tendono
al
superamento
dello
schema,
radicato
e
criticabile, della logica razionale ottimizzante e cercano
piuttosto
di
selezionare
portafogli
soddisfacenti,
oppure, di scartare portafogli sicuramente inaccettabili.
L'analisi muticriteria prevede innanzitutto che in un
processo
decisionale
il
sistema
di
preferenze
del
decisore, i vincoli e gli obiettivi vanno definendosi e
precisandosi nel contesto del processo stesso, ed inoltre
ogni alternativa risulta variamente caratterizzata da
parametri qualitativi e quantitativi, spesso non commensurabili tra di loro, che non possono essere rappresentati e conglobati da un'unica funzione di utilità.
Su questi fondamenti, i modelli di selezione di portafogli
vanno visti come una serie di procedure che, da un lato,
restringono il campo delle alternative escludendo porta67
fogli
certamente
non
selezionabili,
per
l'altro
lato
considerano i vari parametri qualitativi e quantitativi
associati ai portafogli non scartati e procedono con
tecniche specifiche ad evidenziare i portafogli più adatti
alle esigenze e alle disponibilità del soggetto economico
valutatore.
11. Breve applicazione pratica alle teorie esposte
Con lo scopo di approfondire la ricerca abbiamo svolto un’analisi
pratica della teoria esposta utilizzando come strumento il foglio
elettronico Excel.
La volatilità in Excel si esprime con VAR(x) dove x indica la
variazione percentuale progressiva del titolo.
La volatilità può anche essere espressa dalla formula
DEV.ST.(A,B)*RADQ(X)*100.
Si parla in questo modo di deviazione standard. I parametri
(A,B) esprimono l’intervallo oggetto di disanima (l’inizio e la
fine). A seconda poi dell’intervallo temporale in cui
l’osservazione è compiuta si avrà che X=252 se su base annua,
X=64 se su base semestrale, X=5 se su base settimanale.
La covarianza è espressa dalla seguente formula
COVARIANZA(X;Y)
in cui X esprime le variazioni percentuali del
variazioni percentuali del secondo.
68
primo titolo ed Y le
Esempio
TELECOM
TELECOM
0,00058
OLIVETTI
TIM
GENERALI
ALLEANZA
COMIT
FIDEURAM
EDISON
ENI
STM
MEDIASET
BIPOP
0,000539
0,000473
0,000036
0,000086
0,000062
0,000244
0,000064
-0,000004
0,000522
0,000369
0,000028
0,002999
Matrice varianze/covarianze:
esprime in forma matriciale la relazione dei titoli espressi in
portafoglio secondo le formule di cui sopra. La covarianza con lo
stesso titolo coincide con la sua varianza.
Esempio
TELECOM
TELECO
M
OLIVETTI
TIM
GENERALI
ALLEANZA COMIT FIDEURAM EDISON
ENI
STM
MEDIAS
ET
BIPOP
0,0006
0,0005 0,0000
4
0,00004
0,00009
6E-05
0,00024
0,00006
0
0,00052
0,0004
0,00003
OLIVETT
I
0,00054
0,001 0,0006
0
0,0004
2E-05
0,00036
0,0001
-4E-04
0,00073
0,00049
0,00018
TIM
0,00047
0,0006 0,0007
0,00005
0,0001
4E-05
0,00031
0,00013
-1E-05
0,00057
0,00042
0,0001
GENERA
LI
3,6E-05
0
0
0,0002
0,00016
6E-05
0,0008
0,00007
5E-05
0
0,00006
0,0002
ALLEANZ
A
8,6E-05
0 0,0001
0,00016
0,0004 0,0001
0,00015
0,00005
5E-05
0,0006
0,00009
0,00006
0
0,0001
3E-04
0,00011
0,00004
3E-05
0,00002
0,00003 -0,00002
0,00015 0,0001
0,0007
0,00007
0
0,00039
0,00034
0,00029
0,00015
0,00005
COMIT
6,2E-05
0
0,00006
FIDEURA
M
0,00024
0,004 0,0003
0,00008
EDISON
6,4E-05
0,0001 0,0001
ENI
STM
MEDIAS
ET
BIPOP
-4E-06
0
0
0,0007
0,00005
4E-05
0,00007
3E-04
5E-05
0,00009
0,00005
0,00005
3E-05
0
0,00005
0
0
0,0002 -0,00002
0,00052
0,0007 0,0006
0
0,00006 0,0002
0,00039
0,00009
0
0,001
0,00061
0,00025
0,0004
0,0005 0,0004
0,0006
0,00009 0,0003
0,00034
0,00015
2E-05
0,00061
0,00083
0,0002
2,8E-05
0,0002 0,0001
0,00002
0,00006 -2E-04
0,00029
0,00005
-2E-05
0,00025
0,0002
0,0009
0,003
0,0039 0,0003
0,0008
0,0031
0,001
0
0,005
0,00365
0,002
0,0014
8E-04
69
Rendimento atteso
Può essere determinato in vari modi sia statisticamente che in
modo più marcatamente soggettivo. Nel primo caso è utile la
formula
(1+MEDIA(x,y))^T
in cui x,y esprimono l'intervallo considerato e T indica il numero
di osservazioni fatte in questo intervallo.
Nel secondo caso ci aiuta l'analisi fondamentale con l'esame dei
dati di bilancio (Eva, Ebit, P/e…) o le previsioni future.
Rendimento complessivo di portafoglio (con pesi già calcolati)
E(ri)
TELECOM
OLIVETTI
TIM
GENERALI
ALLEANZA
COMIT
FIDEURAM
EDISON
ENI
STM
MEDIASET
11%
14%
4%
5%
9%
8%
12%
5%
4%
15,60
%
15%
22%
Pesi
0,057868
0,05444
0,075606
0,322414
0,004789
Volatilità
e(ri)
ponderato
10,44033
0,00617
20,4455
0,00774
14,1498
8,226232
13,21336
0,02611
6,420567
0,00656
18,44791
11,64882
8,501576
25,04624
0,00075
0,101323 17,81803
0,0152
0,38356 21,84104
0,08307
1
0,145592
01
Rendimento atteso: 0.14559201
BIPOP
70