spinta delle terre

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA
Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura
Sezione di ingegneria geotecnica (www.dicar.unict.it/)
“ SPINTA
DELLE TERRE NELLE OPERE DI SOSTEGNO”
Corso di Geotecnica
Ingegneria Edile-Architettura, A.A. 2014/2015
Salvatore Grasso
[email protected]
http://www.dicar.unict.it/Personale/Docenti/Docenti/Grasso.html
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DELLE TERRE NELLE OPERE DI SOSTEGNO
INDICE DEGLI ARGOMENTI
• Teorie di calcolo per la determinazione delle spinte
dei terreni;
• Regime di spinta attiva e spinta passiva;
• Influenza delle condizioni al contorno sulla spinta
delle terre;
• Scelta dei parametri geotecnici: comportamento a
breve e lungo termine del terreno;
• Opere di sostegno rigide;
• Opere di sostegno flessibili.
Salvatore Grasso
Salvatore Grasso
Salvatore Grasso
Salvatore Grasso
Spinta delle terre
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DELLE TERRE
La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di
sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che viene affrontato
utilizzando due teorie “storiche”:
la teoria di Rankine (1857)
la teoria di Coulomb (1776)
Ambedue le teorie, nel calcolo della spinta del terreno, si riferiscono agli stati
limite (ovvero prossimi alla rottura) ed ipotizzano superfici di scorrimento
piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno:
• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee
• i risultati che si ottengono applicando i metodi classici sono spesso
cautelativi.
non
È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il più
noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento
curvilinee.
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI RANKINE (o DEGLI STATI LIMITE)
IPOTESI:
 terreno omogeneo (γ costante con la profondità)
 superficie del p.c. piana, orizzontale ed infinitamente estesa (stato assial-sim.)
 terreno incoerente (c’ = 0)
 assenza di falda (u = 0, σ = σ’)
 validità del criterio di rottura di Mohr- Coulomb (τf = σ’n tg ϕ’)
Stato tensionale assial-simmetrico
σ’v0 = σ’1
per K 0 < 1(terreni NC o debolmente OC)
σ’ v0,σ’h0
σ’h0 = σ’2 = σ’3
τ
Press.
verticali
φ’
Cerchio O
Z
σ’ v0 = γ Z
σ’h0 = K0 σ’
v0
γZ
K 0γZ
Q
1
σ’ h0
σ’ v0
σ’
Press.
orizzontali
K0γ
1
γ
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA A RIPOSO
IPOTESI:
 vengono inserite due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo
stato tensionale nel terreno (assenza di attrito)
Stato tensionale a riposo (cerchio O)
La spinta orizzontale S0 (spinta a
riposo) presente sui due lati di
ciascuna parete
(risultante delle
tensioni orizzontali dalla superficie
fino alla generica profondità H) vale:
H
S 0=∫σʹ
h0
· dZ =
0
σ’ h0
σ’ h0
Z = 2/3 H 0
Q
H
1
2
·γ·H 2 ·K 0
S0
ed è applicata alla profondità (baricentro
del triangolo della distribuzione delle
tensioni orizzontali):
H
∫ σʹ · Z·dZ
h0
Z0 =
0
S0
=
2
3
·H
K 0γ H
K 0γ H
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DELLE TERRE NELLE OPERE DI SOSTEGNO
INDICE DEGLI ARGOMENTI
• Teorie di calcolo per la determinazione delle spinte
dei terreni;
• Regime di spinta attiva e spinta passiva;
• Influenza delle condizioni al contorno sulla spinta
delle terre;
• Scelta dei parametri geotecnici: comportamento a
breve e lungo termine del terreno;
• Opere di sostegno rigide;
• Opere di sostegno flessibili.
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
IPOTESI:
 Si allontanano gradualmente le due pareti:
Stato tensionale limite attivo (cerchio A)
nel punto Q permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed
orizzontale sono ancora principali);
la tensione verticale σ’v0 = γ·Z non varia
la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente
Il valore minimo della tensione orizzontale , σ’ha, compatibile con l’equilibrio
è detto tensione limite attiva, e corrisponde alla tensione principale minore
del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura.
π/4+ϕ’/2
τ
φ’
σ’v0
Cerchio A
σ’ha
F
Cerchio
O
τf
Q
O
σ’
ha
C
σ’
v0
σ’
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
π/4+ϕ’/2
Il raggio del cerchio di Mohr (A) vale:
R = ½ (σ’v0 ʹ σ’ha)
τ
φ’
e l’ascissa del centro:
OC = ½ (σ’v0 + σ’ha)
Considerando il triangolo
(rettangolo) OFC:
τf
R =FC=OC·senφʹ
O
1
1
−σʹha
) = v0 +σʹha· ( σʹ) ·senφʹ
· ( σʹ
v0
2
2
σʹha ·(1 + φʹ ) =σʹ v0 ·(1 − φʹ )
σʹha =
1− φ
1+ φ
2ʹ π
·σʹ
=
tan
ʹ−
v0
ʹ4
φʹʹ
ʹ·σʹv0
2ʹ
Cerchio A
Cerchio O
F
σ’ha
σ’v0
C
σʹha
=K ·σʹ
A
vo
KA
1−senφ'
=
1+senφ'
Coefficiente di
spinta attiva
π φ'ʹ
ʹ −
ʹ
ʹ4 2ʹ
2ʹ
= tan
σ’
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
La tensione agente sulla superficie di scorrimento
(ipotizzata piana) è
rappresentata dal punto F del cerchio di Mohr, ha componente normale σn e
tangenziale τf ed agisce su un piano forma un angolo di ʹ π φ'ʹ con la direzione
ʹ+ ʹ
ʹ4 2ʹ
orizzontale.
π/4+ϕ’/2
σ’v0
τ
π/4+φ’/2
φ’
Cerchio A
τf
F
Q
Cerchio O
σ’ ha
O
σ’
ha
σ’n
τf
C
σ’
v0
In condizioni di rottura per
raggiungimento dello stato di
equilibrio limite inferiore
(spinta
attiva), il terreno inizia a scorrere
lungo questi piani.
σ’n
π/4+φ’/2
σ’
Z
Q
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
D
orizzontale.
ʹ π φ'ʹ con la direzione
ʹ+ ʹ
ʹ4 2ʹ
σ’v0
π/4+ϕ’/2
τ
π/4+φ’/2
φ’
Cerchio A
τf
Q
F Cerchio O
σ’ ha
O
τf
σ’
σ’n
ha
raggiungimento
C
dello
σ’
v0
di
(spinta
attiva), il terreno inizia a scorrere
lungo questi piani.
σ’n
π/4+φ’/2
σ’
stato
Z
Q
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
D
orizzontale.
ʹ π φ'ʹ con la direzione
ʹ+ ʹ
ʹ4 2ʹ
σ’v0
π/4+ϕ’/2
τ
π/4+φ’/2
φ’
Cerchio A
τf
Q
F Cerchio O
σ’ ha
O
τf
σ’
σ’n
ha
raggiungimento
C
dello
σ’
v0
di
(spinta
attiva), il terreno inizia a scorrere
lungo questi piani.
σ’n
π/4+φ’/2
σ’
stato
Z
Q
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
La spinta orizzontale SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie
fino alla generica profondità H) che agisce sulla parte interna di ciascuna
parete vale:
H
1
SA =∫σʹ
·
dZ
=
·γ·H 2 ·KA
hA
0
2
ed è applicata alla profondità
(baricentro del triangolo della
distribuzione delle tensioni
orizzontali):
2
Z A = · H=Z 0
3
σ’ha
Z A= 2/3 H
H
A
SA
KAγH
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA PASSIVA
IPOTESI:
 Si avvicinano gradualmente le due pareti:
Stato tensionale limite passivo (cerchio P)
nel punto A permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed
orizzontale sono ancora principali);
la tensione verticale σ’v0 = γ·Z non varia
la tensione orizzontale efficace cresce progressivamente
Il valore massimo della tensione orizzontale , σ’pa, compatibile con l’equilibrio
è detto tensione limite passiva, e corrisponde alla tensione principale maggiore
del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura.
τ
π/4-φ’/2
φ’
τf
F
Cerchio P
Q
Cerchio O
O
σ’ hp
σ’ v0
σ’
v0
C
σ’hp
σ’
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA PASSIVA
Il raggio del cerchio di Mohr (A) vale:
τ
R = ½ (σ’hp ʹ σ’v0)
e l’ascissa del centro:
Considerando il triangolo
(rettangolo) OFC:
F
1+ φ
σʹhP =
1− φ
v0
·(1 +
σ’v0
σʹhp =K
φʹ )
ʹ π+
= tan2 ʹ
·σʹ
v0
ʹ4
Cerchio P
Cerchio O
O
R =FC=OC·senφʹ
1
1
−σʹ
+σʹ
· ( σʹ
)
=
· ( σʹ
v0
hP ) ·senφʹ
hP
v0
2
2
φʹ ) =σʹ
φ’
τf
OC = ½ (σ’v0 + σ’hp)
σʹhP ·(1 −
π/4-φ’/2
φʹʹ
·σʹ
v0
2 ʹ
ʹ
KP =
C
P
Coefficiente di
spinta passiva
· σʹ
vo
1+senφ'
1−senφ'
= tan
σ’hp σ’
φ'ʹ 1
ʹ + ʹ=
ʹ4 2ʹ KA
2 ʹπ
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA PASSIVA
La tensione agente sulla superficie di scorrimento
(ipotizzata piana) è
rappresentata dal punto F del cerchio di Mohr, ha componente normale σn e
tangenziale τf ed agisce su un piano forma un angolo di ʹ π− φ 'ʹʹ con la direzione
ʹ
ʹ4 2ʹ
orizzontale.
σ’ v0
τ
π/4-φ’/2
φ’
π/4 - φ’/2
τf
F
Cerchio P
A
σ’ hp
Cerchio O
O
σ’v0
σ’n
C
σ’hp
σ’
π/4 - φ’/2
In condizioni di rottura per
raggiungimento dello stato di
equilibrio limite superiore
(spinta
passiva), il terreno inizia a scorrere
lungo questi piani.
Z
Q
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA PASSIVA
La spinta orizzontale SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie
fino alla generica profondità H) che agisce sulla parte interna di ciascuna
parete vale:
H
1
S P =∫σʹ hP · dZ = ·γ·H 2 ·KP
2
0
ed è applicata alla profondità
(baricentro della distribuzione
delle tensioni orizzontali):
σ’hp
Z P= 2/3 H
Q
SP
ZP =
2
· H=Z 0
3
KP γ H
N.B. I coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, rappresentano i valori
limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci
orizzontale e verticale: K ≤ σʹh ≤ K
A
σ ʹv0
P
H
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
∆Y (attiva)
Le deformazioni di espansione
necessarie per far decadere la
pressione orizzontale dal valore σ’h0 al
valore limite inferiore σ’ha, sono
piccole, e comunque molto inferiori
alle deformazioni di compressione
necessarie per far elevare la pressione
orizzontale dal valore σ’h0, al valore
limite superiore σ’hp.
Sabbia densa
Kp
Sabbia sciolta
Kp
In genere si considera l’angolo di
resistenza al taglio di picco per il
calcolo della spinta attiva, e l’angolo di
resistenza al taglio a volume costante
(≅ residuo) per il calcolo della spinta
Terreno
passiva.
Incoerente denso
Incoerente sciolto
Coesivo consistente
Coesivo molle
∆Y (passiva)
K0
Ka
Decompressione
(Stato attivo)
0,001
0,004
0,010
0,020
Stato passivo
Stato attivo
K0
Ka
Sabbia sciolta
Sabbia compatta
Sabbia densa
Rotazione del muro, Y/H
Rotazione Y / H
Compressione
(Stato passivo)
0,020
0,060
0,020
0,040
Ka per
sabbie dense
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DELLE TERRE NELLE OPERE DI SOSTEGNO
INDICE DEGLI ARGOMENTI
• Teorie di calcolo per la determinazione delle spinte
dei terreni;
• Regime di spinta attiva e spinta passiva;
• Influenza delle condizioni al contorno sulla spinta
delle terre;
• Scelta dei parametri geotecnici: comportamento a
breve e lungo termine del terreno;
• Opere di sostegno rigide;
• Opere di sostegno flessibili.
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito
Si suppone che il deposito sia delimitato superiormente da una superficie
piana, inclinata di un angolo β < ϕ’ rispetto all’orizzontale (le tensioni verticale
ed orizzontali non sono più principali, non essendovi più simmetria).
b
Sul concio agiscono:
le risultanti, S,
delle tensioni che
agiscono sulle due superfici laterali (per
ragioni di simmetria eguali ed opposte,
aventi la stessa retta d’azione inclinata
dell’angolo β sull’orizzontale)
S
S
W
il peso W = γ ·Z· b
la risultante delle tensioni normali alla
base del concio: N = W ∙cosβ
la risultante delle tensioni tangenziali alla
base del concio: T = W ∙sen β
β
T
N
l
l = b/cosβ
Z
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito
La tensione normale alla base del concio vale:
σ’n = N/l = γ ·Z ·cos2 β
La tensione tangenziale alla base del concio vale:
τ =T/l = γ ·Z · sen β ·cos β.
Nel piano di Mohr il punto Q (σ’n,τ) appartiene alla retta τ = σ·tgβ rappresenta
la componente normale e tangenziale della tensione agente sulla base del
concio (alla profondità Z e inclinata di β rispetto all’orizzontale), che per
l’equilibrio del concio è verticale τ e il cui modulo vale:
OQ = γ ·Z ·cos β = W/l = σ’v0
φ’
e rappresenta la tensione
verticale sulla base del
concio.
Q
β
τ =γ Z senβcosβ
O
σ’n
2
= γ Z cos β
σ’
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito
Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di
inviluppo a rottura rappresentano stati di tensione alla profondità Z
compatibili con l’equilibrio.
Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite
superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P
passanti per Q e tangenti all’inviluppo a rottura
τ
A è il polo del cerchio A
P è il polo del cerchio P
φ’
Cerchio P
Cerchio A
A
O
E
Q
P
B
C
σ’
I segmenti OA e OP sono
rispettivamente il
valore
minimo (condizioni di spinta
attiva), ed il valore massimo
(condizioni di spinta passiva),
della
tensione,
inclinata
dell’angolo β sull’orizzontale,
β
agente
sulla
superficie
verticale alla profondità Z
Salvatore Grasso
Teoria di Rankine
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito
Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di
inviluppo a rottura rappresentano stati di tensione alla profondità Z
compatibili con l’equilibrio.
Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite
superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P
τ
A è il polo del cerchio A
A è il polo del cerchio A
(attivo) e P il polo del cerchio
P è il polo del cerchio P
P (passivo), quindi i segmenti
φ’
OA
e
OP sono
Cerchio P rispettivamente
il valore
minimo (condizioni di spinta
Cerch io A
P
β attiva), ed il valore massimo
E
Q
B
(condizioni di spinta passiva),
A
della tensione agente sulla
O
C
σ’ superficie
verticale
alla
A’
profondità Z, che è inclinata
A’ rappresenta la tensioneagente sul piano
verticale in condizione di spinta attiva
dell’angolo β sull’orizzontale.
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito
Quindi la pressione limite attiva vale:
σ ʹ = OA=OB−AB
OB−ABʹ
σʹ = ʹ
ʹ
ʹ·γ·Z·cosβ
a
a
ʹOB+ABʹ
OQ=γ·Z·cosβ=OB+BQ=OB+AB
1) OB = OC · cos β
AC = EC = R = OC · senφʹ
2) BC = OC · senβ
τ
AB = AC
2
−BC 2 = (OC·senφʹ2)−(OC·senβ) 2 =
= OC· senφʹ2 −senβ 2
φ’
Cerchio P
Cerc hio A
A
O
β
P
E
Q
B
C
σ’
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito
ʹ OB−ABʹ
OC· [ cosβ− sen ʹ2−senβ ] Z·cosβ
σʹ
=
ʹ·γ·Z·cosβ=
ʹ
a
ʹOB+ABʹ
OC· [ cosβ+ sen ʹ2−senβ 2 ]· γ ·
2
Si può quindi dimostrare che nel caso di pendio inclinato di un angolo β rispetto
all’orizzontale le tensioni limite attiva e passiva (tensioni agenti su una parete
verticale) sono parallele al pendio e valgono rispettivamente :
σʹa
σʹp
con
=γ·Z·cosβ·K
A
ʹcosβ − cosβ
K A = ʹʹ
cosβ
ʹcosβ +
ʹcosβ +
cosβ
ʹcosβ −
cosβ
=γ·Z·cosβ·K
conK P = ʹʹ
P
2
2
2
2
−cosφ'
2 ʹ
ʹe
2 ʹ
−cosφ' ʹ
−cosφ'
−cosφ'
2
ʹ
ʹ
2 ʹ
ʹ
S A=γ·cosβ·
Z2
2 · KA
2
e S P =γ·cosβ·
Z ·K
P
2
Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in
genere:
K0β,=K0·(1 + β)
=
− φʹ )·(1(1
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
+ β)
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della coesione
Si suppone il deposito dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovvero
resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb:
τ=c'+σ'·tanφ'
Il raggio del cerchio di Mohr a rottura vale:
τ
φ’
F
Considerando il triangolo
OFC:
R
c’
D
O
σ’3
C
c’
σ’ + σ’ 1
tan ϕ’
2
R = ½ (σ’1 ʹ σ’3)
e l’ascissa del centro:
OC = ½ (σ’1 + σ’3)
3
(rettangolo)
σ’
σ’1
R =FC=DC·senφʹ=(DO+OC)·senφʹ
1
·(
ʹ1
ʹ
σʹ
−σʹ
)=
1
3
ʹ
2
σʹ1 −σʹ3
2
ʹ= (
1
σ
ʹ
3
σʹ1 ·(1 − φʹ ) =σʹ
·
1
3
ʹ
·senφʹ+2cʹ·cos φʹ
+σ
·(1 )+ φʹ )+2cʹ·cosφʹ
3
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della coesione
ʹ π φʹʹ
ʹπ
σʹ1=σʹ3· tan2ʹ + ʹ+2·cʹ·tanʹ +
ʹ4
ʹ4
2ʹ
τ
φʹʹ
ʹ
2ʹ
φ’
F
ʹ π φʹʹ
ʹ
π φʹʹ
σʹ3=σʹ1· tanʹ
2
ʹ−2·cʹ·tanʹ
− ʹ
−
2ʹ
ʹ4 2ʹ
ʹ4
R
c’
D
σʹh,a =γ·Z·tan
σʹh,p =γ·Z·tan
O
σ’3
C
c’
σ’ + σ’ 1
tan ϕ’
2
3
ʹ π φʹʹ
ʹ π φʹʹ
−
−2·cʹ·tan
ʹ
ʹ − ʹ=γ·Z·K A −2·cʹ· K A
ʹ
ʹ4 2ʹ
ʹ4 2ʹ
φʹʹ
ʹ π φʹʹ
2ʹ π
P
K
P
ʹ + ʹ+2·cʹ·tan ʹ + ʹ=γ·Z·K +2·cʹ·
2
ʹ4
2 ʹ
ʹ4
2ʹ
σ’1
σ’
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della coesione
σʹh,a =γ·Z·tan
π φʹʹ
ʹ π φʹʹ
−
−2·cʹ·tan
ʹ
ʹ
ʹ − ʹ =γ·Z·K −2·cʹ·
K
A
2ʹ
ʹ4
2 ʹ
ʹ4
A
2ʹ
La pressione limite attiva in questo caso può diventare negativa per Z< Z c,
dove Zc (profondità critica) è la profondità per cui σ’ha = 0:
2 c’ K a
Z c=
2·c'
γ· K A
Nelle applicazioni pratiche si assume
che per Z < Zcr, σ’ha= 0 (terreno non
resistente a trazione).
OSS. Nella fascia di spessore Zc il
terreno sarà interessato da fessure
verticali di trazione che possono
riempirsi d’acqua. Si considera, per il
calcolo della spinta, anche un
triangolo di pressione idrostatica di
altezza Zc e base γw Zc
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
2c’
Z =C
γ
1/3 (Zc+ 2 Z)
S
W
Ka
γ w Ζc
Z
S’ A
σ’ha (Z)
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della coesione
La spinta attiva SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino
alla generica profondità H > Zc) vale dunque:
S A=
1
2
· γ·H·K
A−
2·cʹ· K A
)·(H−Z c ) =
1
· γ·H· K A −2·cʹ )
2γ
2 c’ K a
ed è applicata alla profondità
(baricentro della distribuzione delle
tensioni orizzontali):
2
2c’
Z =C
2
1
Z A =Z c + ·(H−Z )c = ·(2H+Z c)
3
3
γ
1/3 (2H+Zc)
S
W
Ka
γ w Ζc
H
S’ A
σ’ha (Z)
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della coesione
2ʹ
σʹ h,p =γ·Z·tan
π
ʹ +
ʹ4
ʹ π φʹʹ
φʹʹ
ʹ+2·cʹ·tanʹ + ʹ =γ·Z·K P +2·cʹ·
ʹ2
ʹ4 2ʹ
KP
La pressione limite passiva è sempre positiva.
La spinta passiva SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino
2 c’ K p
alla generica profondità H ) vale dunque:
S P(Z) = S P,1 +S
P,2
=2·cʹ· K P ·H+
1
2
ed è applicata alla profondità
(baricentro della distribuzione delle
tensioni orizzontali):
Z(S P )
=
S P,1 ·
Z
2
+ S P,2 ·
S P (Z)
2
3
2
·γ·H ·K P
Z/2
2/3 Z
Z
P
·Z
·
S’P (2)
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
σ’hp
(Z)
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della coesione
Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine, per terreni coesivi),
come ad esempio nel caso di uno scavo in parete verticale, il criterio di rottura è
quello di Tresca:
τ = cu (formalmente identico a quello di MohrʹCoulomb con c’
cu; ϕ’
ϕu =0).
La tensione (totale) limite attiva e passiva diventano rispettivamente:
τ
σ h,a =γ·Z−2·cu
σ h,p =γ·Z+2·cu
Le superfici di rottura
sono inclinate di
45°
rispetto all’orizzontale.
τ = cu (Criterio di Tresca)
c
ϕu = 0
u
π/4
O
σ h,a
π/4
σv0
σ h,p σ
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
La spinta attiva SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino
alla generica profondità H > Zc) vale dunque (limitatamente al tratto per cui
σh >0):
1
1
S A = · γ·H·−2·c u )·(H−Z c ) =
· γ·H − 2·c u ) 2
2
2γ
2·c
con:
Z c= u
γ
ed è applicata alla profondità (baricentro della distribuzione delle tensioni
orizzontali):
2
1
Z A=Z c + ·(H−Z )c = ·(2H+Z ) c
3
3
La spinta passiva SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino
alla generica profondità H ) vale dunque:
S P(Z) = S P,1 +S
P,2
=2·c
u
·H+
1
·γ·H
2
2
ed è applicata alla profondità (baricentro della distribuzione delle tensioni
orizzontali):
S P,1 ·
Z(S P )
=
Z
+ S P,2 ·
2
2
3
S P (Z)
·Z
·
Salvatore Grasso
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE. CASO DEL SOVRACCARICO DISTRIBUITO
pa
=σ ha =K a ( γ z+q )− 2c
+
Ka
pp
=σhp =K p ( γ z+q )+ 2c
+
La figura mostra le distribuzioni delle pressioni attive e passive in presenza di
sovraccarico distribuito.
Kp
Salvatore Grasso
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE. PRESENZA D’ACQUA. CONDIZIONE
IDROSTATICA
W.T.
Ka
pw =γ w Hw
+
Hw
1+sinϕ′
p'a =σ' ha =K
+
Hw
=1−sinϕ′
a
( γ'z )− 2c' K
a
Kp =
1+sinϕ′
1−sinϕ′
p'p =σ' hp =K p ( γ'z )+ 2c' K
p
+
pw =γ w Hw
+
Hw
La figura mostra le distribuzioni delle pressioni attive e passive in presenza di acqua in condizioni idrostatiche
(assenza di moti di filtrazione). La pressione idrostatica va aggiunta alla pressione attiva o passiva calcolate in
relazione ai parametri efficaci.
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Per ciascuno strato di spessore Hi, peso di volume γi e resistenza al taglio:
τ=c 'i + σ'·tanφ i' , le pressioni orizzontali in condizioni di
spinta attiva agli
estremi dello strato valgono:
σʹ (Z )=σʹ (Z )·K
−2·cʹ · K
ha
i−1
v0
i −1
σʹha (Z i)=σʹ v0 (Z i)·K
i−1
A,i
A,i
i
−2·cʹi · K A,i
σʹv0 (Z i−1 ) = ∑ γʹj·Hj σʹv0
(Z )=σʹ
i
v0
(Z
i−1
ϕ’ H1 1
1
c2, ϕ’2 H2
2
c1,
A,i
)+γʹ ·H
i
i
j=1
e il diagramma delle pressioni
orizzontali può essere:
nullo (se le pressioni orizzontali
all’estremità sono entrambe nulle),
triangolare (se le pressioni sono una
negativa e l’altra positiva),
trapezio (se le pressioni sono
entrambe positive):
σ’ha i-1(Z
i-1
ci, ϕ’i Hi
)
S’A,i
i
σ’ha i(Z )
i+1
Z
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della presenza di strati orizzontali
Si suppone che il deposito sia costituito da strati orizzontali omogenei.
La spinta risultante esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti
di ciascuno strato.
Per ciascuno strato di spessore Hi, peso di volume γi e resistenza al taglio:
τ=c 'i + σ'·tanφ i' , le pressioni orizzontali in condizioni di
spinta attiva agli
estremi dello strato valgono:
σʹ (Z )=σʹ (Z )·K
−2·cʹ · K
ha
i−1
v0
i −1
σʹha (Z i)=σʹ v0 (Z i)·K
i−1
A,i
A,i
i
−2·cʹi · K A,i
σʹv0 (Z i−1 ) = ∑ γʹj·Hj σʹv0
(Z )=σʹ
i
v0
(Z
i−1
ϕ’ H1 1
1
c2, ϕ’2 H2
2
c1,
A,i
)+γʹ ·H
i
i
j=1
e il diagramma delle pressioni
orizzontali può essere:
nullo (se le pressioni orizzontali
all’estremità sono entrambe nulle),
triangolare (se le pressioni sono una
negativa e l’altra positiva),
trapezio (se le pressioni sono
entrambe positive):
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
σ’ha i-1(Z
i-1
ci, ϕ’i Hi
)
S’A,i
i
σ’ha i(Z )
i+1
Z
σ’ha
Teoria di Rankine
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Effetto della presenza di strati orizzontali
Le pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva agli estremi dello
strato valgono:
σʹhp (Z i−1)=σʹ v0 (Z i−1 )·K P,i +2·cʹ·
K P,i
i
σʹhp (Z i)=σʹ v0 (Z i)·K
P,i
+2·cʹi · K P,i
i−1
σʹv0 (Z i −1) = ∑ γʹj·Hj
H1
1
H2
2
σ’hp
j=1
σʹv0 (Z )=σʹ
i
v0
(Z i −1 )+γʹ i ·H i
e il diagramma delle pressioni
orizzontali è un trapezio.
σ’hp i-1(Z
i-1
Hi
)
S’P,,i
i
σ’hp i(Z )
i+1
Z
N.B. Nelle zone di ciascun strato non compresse in direzione orizzontale si
dovrà tenere conto della spinta esercitata dall’acqua di percolazione.
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI COULOMB
Il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un’opera
di sostegno è stato anche affrontato con un metodo basato sull’equilibrio
globale delle forze in gioco agenti sul cuneo di terreno delimitato dalla
superficie di scorrimento sempre con riferimento agli stati limite inferiore e
superiore (METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE GLOBALE)
IPOTESI:
 terreno omogeneo (γ costante con la profondità)
 superficie del terrapieno piana, orizzontale ed infinitamente estesa
 terreno incoerente (c’ = 0)
 assenza di falda (u = 0, σ = σ’)
 resistenza al taglio costante e validità del criterio di rottura di MohrCoulomb (τ = σ’v ·tg ϕ’)
 parete verticale
 assenza di attrito tra parete e terreno
 superficie di scorrimento piana
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
Forze che agiscono sul cuneo in condizioni di equilibrio limite attivo (ovvero
quando la parete si allontana fino al raggiungimento della condizione di
equilibrio limite inferiore):
1
2
peso proprio , che agisce in direzione verticale:
W = ·γ·H · cot η
2
risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di
scorrimento, che è inclinata di un angolo ϕ’ rispetto alla normale alla
superficie AC, con componente tangente diretta verso l’alto, ovvero tale da
opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr-Coulomb)
spinta attiva PA, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi di assenza
H
di attrito tra parete e terreno).
tan η
C
B
PA
B’
C’
W
R
η−φ’
H
W
PA
φ’
EQUILIBRIO DELLE FORZE
η
A
A’
R
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA ATTIVA
Per l’equilibrio è:
PA= W·tan(η−φ')
=
1
·γ· H2·cotη·tan(η−φ')= f(η)
2
Tra le soluzioni che si ottengono al variare dell’angolo d’inclinazione η del
piano di rottura e che soddisfano l’equazione di equilibrio, si considera la
soluzione massima (trattandosi di uno stato di equilibrio limite inferiore è la
prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione di riposo, la
parete si allontana fino al raggiungimento della condizione di spinta attiva):
η crit =
∂PA =
0
∂η
P A=
π φ'
+
4 2
1
2
·γ· H
2
· tan
2
ʹπ
ʹ −
ʹ4
φ'ʹ
1
ʹ = ·γ· H
2ʹ 2
2
·KA
COINCIDENTE CON LA
SOLUZIONE DI RANKINE
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA PASSIVA
Forze che agiscono sul cuneo in condizioni di equilibrio limite passivo
(ovvero quando la parete si avvicina fino al raggiungimento della
condizione di equilibrio limite superiore):
peso proprio , che agisce in direzione verticale: W =
1
2
2
·γ·H · cot η
risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di
scorrimento, che è inclinata di un angolo ϕ’ rispetto alla normale alla
superficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da
opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr-Coulomb)
spinta passiva PP, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi di
assenza di attrito tra parete e terreno).
H
tan η
B’
η+φ’
C’
B
R
C
W
H
PP
W
PP
η
EQUILIBRIO DELLE FORZE
A’
A
φ’
R
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA PASSIVA
Per l’equilibrio è:
PP= W·tan(η+φ ')
1
= ·γ· H2·cotη·tan(η+φ')= f(η)
2
Tra le soluzioni che si ottengono al variare dell’angolo d’inclinazione η del
piano di rottura e che soddisfano l’equazione di equilibrio, si considera la
soluzione minima (trattandosi di uno stato di equilibrio limite superiore è la
prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione di riposo, la
parete si avvicina fino al raggiungimento della condizione di spinta passiva):
η crit =
∂PP =
∂η
π φ'
−
4 2
0
1
2
P P = ·γ·H · tan ʹ
2
2ʹ
π
ʹ4
+
φ'ʹ 1
ʹ = ·γ·H
2 ʹ 2
2
·K P
COINCIDENTE CON LA
SOLUZIONE DI RANKINE
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI COULOMB
Si rimuovono alcune delle ipotesi ma non quella di superficie di scorrimento
piana:
IPOTESI:
 terrapieno delimitato da una superficie inclinata di un angolo β
sull’orizzontale
 parete inclinata di un angolo λ sulla verticale
 presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tanδ
Per la condizione di spinta attiva:
β
1
2
P A = ·γ · H · K A
2
cos
K A=
2
(φ '−λ )
λ
ʹ sen ( δ +φ' ) · sen'−β( )φʹ
λ · cos ( λ +δ ) · ʹ1+
ʹ
ʹ cos ( λ +δ ) · cos−( βλ)ʹ H
2
cos
2
W
φ’
δ
R
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
η
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI COULOMB
Per la condizione di spinta passiva:
PP =
1
2
2
KP =
·γ·H ·K P
cos2 ( φ '+λ )
2
)ʹ
sen ( δ +φ' )· sen ( φ'+β
cos2 λ · cos ( λ +δ )ʹ· ʹ1−
ʹ
ʹ cos ( λ +δ ) · cos ( λ) −ʹβ
β
W
λ
H
δ
φ’
η
R
Teoria di Coulomb
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI COULOMB
Nel caso ancora più generale di:
IPOTESI:
 terreno coesivo (c’ ≠ 0)
 parete inclinata di un angolo λ sulla verticale
 presenza di adesione e attrito tra parete e terreno (τ = ca + σ’·tgδ )
Per la condizione di spinta attiva:
D
β
Zc
A
R
E
F
W
φ’
δ
η
B
R
C’ = c’ BC
CA= ac BC
La soluzione si trova per via grafica o numerica
W
Salvatore Grasso
Teoria di Coulomb
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI RANKINE E DI COULOMB
La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, ed è alla base
del più diffuso metodo pseudo-statico di calcolo della spinta in condizioni
sismiche.
Il metodo di Coulomb basato sulle equazioni di equilibrio globale alla
traslazione, non consente tuttavia di determinare la quota di applicazione
delle forze in gioco, ma solo modulo, direzione e verso.
Entrambi i metodi ipotizzano superfici di scorrimento piane, ma a causa
delle presenza di attrito fra la parete e il terreno:
• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee
• i risultati che si ottengono applicando i metodi derivati dalla teoria di
Rankine e dalla teoria di Coulomb sono spesso non cautelativi
Teoria di Caquot e Kerisel
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI CAQUOT E KERISEL
È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è
il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di
scorrimento curvilinee:
C
A A’
π/4 - φ’/2
A’ A
C
π/2+φ’
H
π/2 - φ’
δ
H/3
D
B
π/4 + φ’/2
δ<0
H
δ
D
H/3
B
δ
>0
Teoria di Caquot e Kerisel
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI CAQUOT E KERISEL
La soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e Kérisel (1948) ed è
riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta attiva, KA, e
passiva, KP, al variare dell’ angolo :
di resistenza al taglio ϕ’,
¾ di attrito pareteʹterreno δ,
di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ,
di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all’orizzontale b
+β
Esempio: terrapieno orizzontale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°)
φ’
δ =1
φ'
+λ
+δ
5°
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
45°
50°
0,81
1,26
0,65
1,66
0,53
2,20
0,44
3,04
0,37
4,26
0,31
6,56
0,26
10,7
0,22
18,2
0,19
35,0
0,16
75,0
0,81
1,24
0,66
1,59
0,54
0,44
0,36
0,30
0,25
0,20
0,16
0,13
2,06
2,72
3,61
5,25
8,00
12,8
21,0
41,0
1
3
0,82
1,22
0,67
1,52
0,56
1,89
0,45
2,38
0,37
3,03
0,30
4,02
0,25
5,55
0,20
8,10
0,16
12,0
0,13
19,0
=0
0,84
1,19
0,70
1,42
0,59
1,70
0,49
2,04
0,41
2,46
0,33
3,00
0,27
3,70
0,22
4,60
0,17
5,80
0,13
7,50
δ
φ'
δ
φ'
δ
φ'
2
=
=
3
ka
kp
Teoria di Caquot e Kerisel
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
TEORIA DI CAQUOT E KERISEL
Effetto dell’angolo d’attrito δ tra parete e terreno
|δ| < ϕ’
δ > 0 (spinta attiva)
δ < 0 (spinta passiva)
Al crescere di |δ| (fissati β, λ e ϕ’) K A varia poco e KP cresce sensibilmente
Effetto dell’angolo d’inclinazione β del terrapieno
|β| < ϕ’
β > 0 (pendio inclinato verso l’alto)
β < 0 (pendio inclinato verso il basso)
Al crescere di β (fissati δ, λ e ϕ’) KA e KP crescono (perché cresce il volume
di terreno interessato dalla rottura)
Effetto dell’angolo d’inclinazione λ della parete
−(π/2 - ϕ’) < λ < (π/4 ʹ ϕ’/2) in condizioni di spinta attiva
in condizioni di spinta passiva
−(π/2) < λ < (π/4 + ϕ’/2)
λ > 0 (parete inclinata verso monte, cioè verso il terrapieno)
λ < 0 (parete inclinata verso valle)
Al decrescere di λ (fissati δ, β e ϕ’) KA decresce e KP cresce
Salvatore Grasso
Teoria di Caquot e Kerisel
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
CONFRONTI TRA LE TEORIE
DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL
Il metodo di Coulomb impone la forma della superficie di scorrimento piana:
i valori di PA e di PP, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e
di minimo della funzione P(η) (η angolo tra la superficie di rottura e
l’orizzontale) non sono il massimo ed il minimo assoluti (variano con la
forma della superficie di scorrimento).
In particolare, ipotizzando una superficie di scorrimento curvilinea (Caquot
e Kérisel):
PA (Coulomb) < PA (Caquot e Kérisel)
PA (Coulomb) non è massimo assoluto
PP (Coulomb) > PP (Caquot e Kérisel)
PP (Coulomb) non è minimo assoluto
Salvatore Grasso
Teoria di Caquot e Kerisel
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
CONFRONTI TRA LE TEORIE
DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL
OSSERVAZIONI
1. Le differenze con il metodo di Coulomb, in termini quantitativi, sono
tanto più rilevanti quanto più la superficie ipotizzata si discosta da quella
piana
2. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici (ovvero per
β, λ, δ >0) le differenze sono modeste
3. Nel caso di spinta passiva, invece, le differenze possono essere molto
sensibili
4. In entrambi i casi, essendo in genere la spinta attiva un’azione
destabilizzante e la spinta passiva un’azione resistente, il metodo di
Coulomb non è conservativo
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Spinta dell’acqua
SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DELL’ACQUA
Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale STOT
esercitata contro una parete è la somma di due forze:
1. la spinta S’ esercitata dal terreno (valutata, come si è visto, utilizzando
le tensioni verticali efficaci)
2. la spinta SW esercitata dall’acqua interstiziale
(che si calcola
integrando il diagramma delle pressioni interstiziali)
STOT = S’ + SW
Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine, per terreni
coesivi), come ad esempio nel caso di uno scavo in parete verticale, possono
essere determinate solo la tensione (totale) limite attiva e passiva e le
relative spinte risultanti, S, che sono comprensive anche della spinta
idrostatica:
STOT = S
N.B. Nell’ipotesi di terreno coesivo, quando si calcola la spinta attiva e
limitatamente allo strato al di sopra della profondità critica (in cui si è
assunta la tensione limite attiva nulla) si considera anche la spinta
idrostatica dell’acqua di infiltrazione, sia nel caso di breve che lungo
termine: STOT = S’ + SW + SW(inf) STOT = S+ Sw(inf)
Spinta dell’acqua
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
Nel caso di falda freatica a profondità Zw:
u(Z) = 0 per Z < Zw
u(Z) = gw (Z-Zw)
Zw
per Z ≥ Zw
1 (Zw + 2Z)
3
Z
La spinta idrostatica dell’acqua vale:
Sw (Z) =
1
·γ
2
2
· ( Z−Zw )
w
Sw
ed è applicata alla profondità:
Z(Sw ) = Z−
1
· (Z−Z
w) =
1
· (2Z+Z
γ
w)
2 c’ K a
3
3
Nel caso in cui si consideri la spinta
idrostatica prodotta dall’acqua di
infiltrazione al di sopra delle
profondità critica nei terreni coesivi:
S w(inf)
=
1
·γ
2
Z
2
w (Z-Zw)
Z =
C
1/3 (2H+Zc)
Z(S w(inf) )=
3
SW
Ka
γ
H
w· c
ed è applicata alla profondità:
2
2c’
γ
S’A
· ZC
σ’ (Z)
ha
w
Ζc
Spinta dell’acqua
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DELL’ACQUA
Se vi è filtrazione sotto e intorno alla parete
si può assumere in prima
approssimazione (se il terreno è omogeneo) che il carico
idraulico vari
linearmente con la profondità (altrimenti si deve determinare il reticolo
idrodinamico).
Differenza di carico piezometrico tra monte e valle:
j
∆h = h + k - j
percorso di filtrazione:
h
L = h + 2d -j - k
gradiente idraulico:
i = ∆h/L = (h + k - j) / (h + 2d - j - k)
A monte la filtrazione è discendente
k
ʹusi riduce rispetto alla condizione idrostatica
A valle la filtrazione è ascendente
d
ʹuaumenta rispetto alla condizione idrostatica
Percorso di
filtrazione
Al piede della parete (trascurandone lo spessore):
ub =γ w ·(h+d − j)·(1− i)
=γ w ·(d −k)·(1+ i)
ub
ub
Pressione dell’acqua totale
Spinta dovuta a un sovraccarico
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DI UN SOVRACCARICO
Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di
un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del
semispazio un incremento costante della tensione verticale ∆σ’v0= q ed un
incremento costante della tensione orizzontale ∆σ’h= K·q
con K coefficiente di spinta.
− le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad
essere le tensioni principali,
q
− il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio,
La spinta orizzontale S fino ad una generica
σ’h
profondità H può essere calcolata come somma:
• dell’area rettangolare di base K∙q e altezza H, Sq H
•
dell’area triangolare di base K∙γ·H e altezza H, Sγ
S=S +S =K·q·H+ γ q
1
2
2
·K·γ·H
K∙q K∙γ·z
N.B. la profondità di applicazione della componente S(q) è Z(Sq) = H/2
la profondità di applicazione della componente S(γ) è Z(Sγ) = 2H/3
z
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
SPINTA DELLE TERRE NELLE OPERE DI SOSTEGNO
INDICE DEGLI ARGOMENTI
• Teorie di calcolo per la determinazione delle spinte
dei terreni;
• Regime di spinta attiva e spinta passiva;
• Influenza delle condizioni al contorno sulla spinta
delle terre;
• Scelta dei parametri geotecnici: comportamento a
breve e lungo termine del terreno;
• Opere di sostegno rigide;
• Opere di sostegno flessibili.
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
DELLE OPERE DI SCAVO”
COMPORTAMENTO MECCANICO DI TERRENI
Il comportamento meccanico di un materiale è espresso dalle relazioni costitutive
che rappresentano il legame esistente tra tensioni applicate al mezzo e
deformazioni subite
Salvatore Grasso
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COMPORTAMENTO MECCANICO DI TERRENI
Salvatore Grasso
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ELASTICITA
’
Salvatore Grasso
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PLASTICITA
’
Salvatore Grasso
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RESISTENZA AL TAGLIO
Salvatore Grasso
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RESISTENZA AL TAGLIO
Salvatore Grasso
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RESISTENZA AL TAGLIO
Salvatore Grasso
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RESISTENZA AL TAGLIO
Salvatore Grasso
“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
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CURVA TENSIONI-DEFORMAZIONI DI UN TERRENO A GRANA GROSSA
Salvatore Grasso
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CURVA TENSIONI-DEFORMAZIONI DI UN TERRENO A GRANA GROSSA
valori tipici dell’angolo di resistenza al taglio
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CURVA TENSIONI-DEFORMAZIONI DI UN TERRENO A GRANA FINE
Salvatore Grasso
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PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE
Salvatore Grasso
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RESISTENZA AL TAGLIO DI LIMI E ARGILLE
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CRITERIO DI TRESCA
Salvatore Grasso
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CRITERIO DI MOHR COULOMB
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LUNGO TERMINE - CONDIZIONI DRENATE
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CONFRONTO TRA INVILUPPI: ARGILLE - SABBIE
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COMPORTAMENTO A BREVE TERMINE ED A LUNGO TERMINE
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CONDIZIONI DI DRENAGGIO – TERRENI A GRANA GROSSA
Salvatore Grasso
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CONDIZIONI DI DRENAGGIO – TERRENI A GRANA FINE
Salvatore Grasso
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STABILITA’ DI UNO SCAVO – TERRENI A GRANA FINE
CRITERIO DI TRESCA
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“LA PROGETTAZIONE E LA SICUREZZA
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VARIAZIONE DELLE TENSIONI EFFICACI IN PROSSIMITA’ DI UNO SCAVO
Salvatore Grasso
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VARIAZIONE DELLE TENSIONI EFFICACI IN PROSSIMITA’ DI UNO SCAVO
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VARIAZIONE DELLE TENSIONI EFFICACI IN PROSSIMITA’ DI UNO SCAVO
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VARIAZIONE DELLE TENSIONI EFFICACI IN PROSSIMITA’ DI UNO SCAVO
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VARIAZIONE DELLE TENSIONI EFFICACI IN PROSSIMITA’ DI UNO SCAVO