2. Cinematica della sorgente estesa 2.1 Introduzione Il teorema di

2.
Cinematica della sorgente estesa
2.1 Introduzione
Il teorema di rappresentazione definisce una relazione tra il campo cinematico δu sul piano di faglia
e lo spostamento u in superficie, attraverso la convoluzione per la riposta elastodinamica del mezzo
di propagazione. Lo scopo della cinematica della sorgente è quello di definire dei modelli
appropriati per la funzione dislocazione che possano interpretare i dati sismici: tali modelli, ottenuti
attraverso ipotesi elementari sulla sorgente o per inversione dei dati sismici, sono indipendenti dai
processi energetici che hanno luogo sulla faglia durante la propagazione della rottura, ma
concernono soltanto gli effetti di tale processo.
Qualora conoscessimo le proprietà del mezzo di propagazione con infinita accuratezza, potremmo
deconvolvere i dati sismici per ricavare le proprietà della funzione di slip. Osserviamo, intanto, che,
ad ogni istante di tempo, lo spostamento osservato al ricevitore porta informazioni integrate sul
piano di faglia, in corrispondenza della regione la cui energia irradiata arriva contemporaneamente
al ricevitore stesso. Lo spostamento appare dunque, per ogni singola fase sismica, come una
trasformata radon, il cui kernel integrale è rappresentato dalle derivate delle funzioni di Green, ossia
dalla risposta impulsiva in trazione del mezzo di propagazione. Per ottenere le proprietà della
funzione dislocazione, dunque, è necessario deconvolvere il segnale sismico osservato non ad un
singolo ricevitore, ma ad un insieme di ricevitori su un regione finita in superficie, che mappi in
maniera indipendente l’informazione sul piano di faglia (come accade per la tomografia medica). La
risoluzione ottenuta, in tale caso, dipende dall’orientazione del piano di faglia ed è tanto maggiore
quanto più prossimo all’orizzontale (dip nullo) è il piano di faglia. Di conseguenza, i terremoti con
meccanismo strike-slip sono quelli per i quali la risoluzione è minore, tenendo conto anche del fatto
che l’informazione si degrada allontanandosi dalla faglia.
D’altro canto le funzioni di Green non sono note con precisione infinita, ma contengono una loro
indeterminazione intrinseca. Anche nelle aree meglio investigate, come il bacino di Los Angeles o
di Taipei, la risoluzione associata ai modelli di velocità non supera 0.5-1 Hz, che corrisponde a
distanze medie dell’ordine di centinaia di metri in superficie, qualche chilometro in profondità. Alla
risoluzione dei modelli di propagazione si sommano il costo computazionale nella simulazione del
campo d’onda in modelli dell’ordine di qualche centinaio di km2, l’attenuazione anelastica che
degrada l’informazione man mano che ci si allontana dalla sorgente e le difficoltà nella costruzione
di modelli fisici che descrivano la propagazione delle onde alle alte frequenze. Infine gli strati più
superficiali, hanno generalmente una risposta visco-plastica alla propagazione delle onde,
attenuando una certa banda di frequenze e amplificandone un’altra. Tali effetti, detti di sito, sono
oggi difficilmente quantificabili, data la scarsità di dati per ricostruire in dettaglio le reologie del
sottosuolo fino a profondità di qualche decina di metri. Per questi motivi le proprietà della sorgente
possono essere derivate soltanto a basse frequenze, per interpretazione dei dati sismici misurati in
prossimità della sorgente.
In aggiunta, i soli strumenti che sono in grado di fornire registrazioni accurate senza saturazione a
pochi chilometri dalla faglia sono gli accelerometri, che forniscono un segnale complesso ad alta
frequenza. La misura dello spostamento deve essere dunque ottenuta per via indiretta attraverso una
doppia integrazione. Generalmente il segnale accelerometrico presenta delle derive, d’origine
termica e elettronica che sporcano il segnale a bassa frequenza. Difficilmente, dunque è possibile
ottenere dall’accelerazione degli spostamenti che contengano il campo statico o che in generale
siano affidabili a delle frequenze al di sotto di 0.05 Hz. Le proprietà cinematiche della sorgente sono
dunque interpretabili dai dati soltanto in un range molto limitato di frequenze: 0.05-1Hz.
Negli ultimi anni, lo sviluppo di metodi per l’acquisizione e l’interpretazione dei dati GPS ad alta
frequenza (1-5 Hz) ha aperto nuove frontiere nel riempimento dello spettro a basse frequenze (fino
a frequenza nulla) dei terremoti. Tali misure sembrano essere in grado di catturare, almeno per
terremoti la cui magnitudo è maggiore di 6, lo spostamento cosismico con precisione centimetrica e
rappresentano una possibilità concreta di colmare la mancanza di informazione nei segnali sismici a
bassissime frequenze.
Nell’altro verso, la risposta elastica del mezzo ad alte frequenze può essere catturata attraverso le
funzioni di Green empiriche, registrazioni sismiche di eventi di magnitudo più piccola, accaduti
nello stesso luogo del mainshock e con lo stesso meccanismo focale. Gli aftershock costituiscono in
generale un buon insieme di funzioni di Green empiriche e consentono di riempire una banda di
frequenze tra 0.5 e 3-4Hz.
L’effetto della propagazione e dello strumento di registrazione limita la banda di frequenze alle
quali possiamo conoscere la funzione dislocazione. Per questo motivo si è soliti rappresentare la
sorgente attraverso un numero limitato di parametri macroscopici, tra cui le dimensioni della faglia,
l’orientazione della faglia nello spazio (meccanismo focale), la velocità di propagazione della
rottura sul piano di faglia e delle funzioni elementari per descrivere le variazioni spazio-temporali
della funzione dislocazione δu. Generalemente assumeremo che δu sia fattorizzata
δ u(ξ , t ) = U (ξ ) R(t )
Dove la funzione U è costruita per combinazione lineare di funzioni a supporto locale, associate al
valore della dislocazione in un punto della faglia o in una cella, mentre la funzione R è
generalmente descritta da funzioni semplici, come quella parabolica (l’integrale di un triangolo),
caratterizzata da un unico parametro, la durata, indicata classicamente come rise-time.
2.2 Approssimazione di Fraunhofer
Anche a distanze grandi rispetto alle dimensioni della faglia, la funzione sorgente, così come appare
al ricevitore, ha una sua complessità intrinseca che rispecchia la complessità del meccanismo di
frattura sul piano di faglia. Abbiamo osservato che lo spostamento associato alle onde di volume P
ed S è direttamente proporzionale al moment rate integrato sul piano di faglia:
r

u c ∝ Ωc = ∫ δ u  ξ , t − d Σ
c

Σ
dove c rappresenta una fase sismica, P od S. L’espressione per la distanza è:
2
0
2
r = x − ξ = r + ξ − 2r0 ⋅ ξ = r0 1 +
con il riferimento centrato nell’ipocentro.
Ricordando che lo sviluppo della radice è:
ξ2
2
0
r
−2
γ ⋅ξ
r0
1
1
1 + x = 1 + x − x 2 + o( x3 )
2
8
l’approssimazione per r è:
 γ ⋅ ξ ( γ ⋅ ξ )2 ξ 2 
r ≈ r0 1 −
−
+ 2
2

r
2
r
2r0 
0
0

Trascurando i termini d’ordine -1, possiamo approssimare la distanza come
r = r0 − γ ⋅ ξ
L’errore che si commette nello sviluppo è dell’ordine del termine trascurato
∆r =
1 2
2
ξ − (γ ⋅ ξ )
2r0
(
)
Tale errore deve essere minore di un quarto della lunghezza d’onda del segnale che si sta
analizzando, per non introdurre errori significativi nell’integrazione. In tal caso si ha:
∆r =
1
λ
2
ξ 2 − (γ ⋅ ξ ) <<
2r0
4
(
)
Il massimo valore che il termine a primo membro può assumere è ξ 2 nella direzione ortogonale a γ.
In tal caso detta L una lunghezza caratteristica della faglia lungo tale direzione, l’approssimazione è
valida per
L2 <<
λ r0
2
ossia, per dimensioni della sorgente molto piccole rispetto alla distanza ipocentrale e alle lunghezze
d’onda osservate. Generalmente, si utilizza come parametro L la dimensione massima della rottura
sismica, che indicheremo d’ora in poi come la lunghezza della faglia. D’altro canto,
l’approssimazione di far-field è valida per distanze molto maggiori della lunghezza d’onda.
Assumeremo, dunque, di essere nelle condizioni L < λ < r0 .
Con questa approssimazione per la distanza il moment rate integrato è:
r γ ⋅ξ

Ωc ( x, t ) = ∫ δ u  ξ , t − 0 +
c
c

Σ

d Σ

La sua trasformata di Fourier rispetto al tempo dà:
∞
Ωc ( x , ω ) = ∫ e
0
− iωt
r γ ⋅ξ

dt ∫ δ u  ξ , t − 0 +
c
c

Σ
r
∞
− iω 0
iω

− iωτ
c
Σ
=
Σ
ξ,
d
e
d
e
δ
u
(
τ
)
e

∫Σ ∫0

Il termine nell’integrale corrisponde alla trasformata di Fourier del moment rate:
γ ⋅ξ
c
dt
Ωc ( x , ω ) = e
− iω
r0
c
∫ d Σδ u(ξ, ω )e
iω
γ ⋅ξ
c
Σ
che dipende dalla posizione della dislocazione soltanto attraverso il versore γ.
Ωc (γ , ω )e
iω
r0
c
= ∫ d Σδ u (ξ, ω )e
iω
γ ⋅ξ
c
Σ
Indicando con k =
ωγ
, il contributo a secondo membro appare come una trasformata di Fourier
c
nello spazio. Se potessimo conoscere il campo di spostamenti a tutte le frequenze e per tutti i
numeri d’onda potremmo apparentemente risalire, per trasformazione inversa, alla funzione
sorgente sul piano di faglia. Tuttavia, lo spazio dei numeri d’onda sul piano di faglia non è noto per
ω
cos χ dove χ è l’angolo che la direzione del
c
ricevitore forma rispetto alla faglia. Ciò limita la conoscenza soltanto alle grandi lunghezze d’onda
e alle fasi sismiche la cui energia è irradiata lontano dalla faglia. Le lunghezze d’onda più piccole,
tutti i per ogni k ma solo sulla circonferenza k =
per le quali k >
ω
sono intrappolate in prossimità della faglia e richiedono l’analisi del campo
c
near source. Inoltre, le lunghezze d’onda radiate appaiono ridotte nella direzione del ricevitore, del
contributo cos(χ), con il massimo dell’informazione per ricevitori allineati rispetto alla faglia e
minima per ricevitori nella direzione ortogonale al piano di faglia.
Il campo di spostamento osservato in far field è dunque proporzionale al moment rate integrato sul
piano di faglia. L’integrale nel tempo su una singola fase sismica è
∞
µ Rin ∞
 r
∫0 u ( x, t )dt = 4πρ c3r0 ∫0 dt ∫Σ δ ui  t − c d Σ
c
n
dove R è la matrice di radiation pattern. L’integrale a secondo membro è direttamente uguale allo
slip integrato sul piano di faglia, perché ora gli estremi di integrazione nel tempo sono indipendenti
da t. Tale integrale è dunque uguale a:
∞
∫u
0
c
n
( x , t )dt =
µ Rin A(Σ)δ ui
Rin
=
M 0i
3
4πρ c r0
4πρ c 3 r0
dove abbiamo indicato con M0i la componente del momento sismico derivante dal contributo dello
slip nella direzione i-esima e A(Σ) l’area della superficie di faglia. Assumendo che la direzione dello
slip sia costante sul piano di faglia e di aver registrato nella direzione in cui è presente la singola
fase sismica (P, SV o SH), allora l’integrale di spostamento è proporzionale al momento sismico,
attraverso un coefficiente che dipende dalla geometria del sistema faglia-ricevitore e dalle proprietà
elastiche del mezzo attraversato. L’integrale dello spostamento, per definizione di trasformata di
Fourier è anche il limite dello spettro di spostamento Ω0 per ω che tende a zero. In tal caso vale la
seguente formula:
M0 =
4πρ c3r0
Ω0
R patt
che viene comunemente utilizzata per il calcolo del momento sismico, lontano dalla sorgente. Il
valore del coefficiente Rpatt dipende all’angolo di uscita (take-off)
(
) del raggio sismico che dalla
sorgente raggiunge il ricevitore. Tuttavia per una vasta gamma di angoli, tale valore oscilla tra 0.50.7 e per questo, nei limiti dell’errore con il quale si conosce il momento sismico, viene
comunemente utilizzato un valore costante di 0.6.. Inoltre, le registrazioni sismiche non sono
effettuate in un mezzo infinito, ma anche se a grandi lunghezze d’onda può essere considerato
omogeneo, la superficie della Terra ha un effetto non trascurabile. Nell’ipotesi di incidenza
verticale
ale del raggio sismico, la superficie libera introduce un fattore 2 a denominatore della formula.
Tale fattore può essere ridotto o aumentato a secondo dell’angolo di incidenza e dei meccanismi di
conversione dell fasi sismiche (con o senza shift di fase).
2.3 Faglia di Haskell
Figura 1:: Modello di rottura unidimensionale
unidimen
di Haskell. La geometria della faglia è rettangolare, con lunghezza L
molto maggiore della profondità W.
Analizziamo ora, nell’approssimazione di Fraunhofer, il campo radiato da una faglia rettangolare, la
cui lunghezza è L e la profondità W (Figura 1).
Assumeremo che la rottura si propaga sul piano di faglia
faglia in maniera unilaterale, con velocità di
rottura v costante, producendo uno slip costante δU.. Scelto un riferimento sulla faglia, tale che le
coordinate (ξ,η) esplorino la regione F=[0,L]x[0,W],, la funzione dislocazione è
 ξ
δ U (ξ ,η , t ) = δ U  t −  per (ξ ,η ) ∈ F
v


Il moment rate integrato è dunque :
W
L
 ξ r γ ⋅ξ 
Ωc ( x, t ) = ∫ dη ∫ δ U  t − − 0 +
 dξ
v
c
c


0
0
Nell’approssimazione per la quale l’integrando non dipende da η si ha che
L
 ξ r ξ cos Ψ 
Ωc ( x , t ) = W ∫ δ U  t − − 0 +
 dξ
c 
 v c
0
dove Ψ è l’angolo che la direzione della rottura forma rispetto all’osservatore (vedi Figura 1). La
trasformata di Fourier dello spettro considerato è
∞
L
 ξ r ξ cos Ψ 
Ωc ( x , ω ) = W ∫ e − iωt dt ∫ δ U  t − − 0 +
 dξ
c 
 v c
0
0
e scambiando l’ordine di integrazione si ha
L
Ωc ( x, ω ) = W ∫ e
 ξ r ξ cos Ψ 
− iω  + 0 −

c 
v c
∞
d ξ ∫ δ U ( q ) e − iω q dq
0
0
Il secondo integrale è indipendente dalla variabile x ed è la trasformata di Fourier della funzione
dislocazione:
r0 L
− iω
Ωc ( x , ω ) = W δ U (ω ) e c ∫ e− iωξψ d ξ
0
1 cos Ψ
dove abbiamo posto ψ = −
. Ricordiamo che l’integrale
v
c
L
2
(1) ∫ e dφ = e
iαφ
iα
L
2
α
0
 L
sin  α 
 2
Otteniamo quindi
Ωc ( x , ω ) =
2
ωψ
W δ U ( ω ) e
r ψ 
− iω  0 + L 
c 2 
sin(ωψ
L
)
2
L’ampiezza spettrale di una rottura unidimensionale decade dunque come il valore assoluto della
funzione sin(x)/x che presenta degli zeri per x=kπ, e rappresenta un filtro, con frequenza di taglio in
a x=π/2 ( Figura 2). L’effetto della geometria unidimensionale della faglia, rispetto ad una sorgente
puntiforme corrisponde ad un segnale in spostamento lisciato. La frequenza del filtro è
Figura 2: Andamento della funzione ¦sin(x)¦/x.
¦
Questa presenta una serie di zeri per x=k π .
f =
vc
L ( c − v cos Ψ )
Indicando con TD la durata della rottura, TD = L / v , tale frequenza è l’inverso della durata per un
coefficiente di normalizzazione che è funzione dell’azimuth.
f =
1
 v

TD 1 − cos Ψ 
 c

Tale frequenza è massima per Ψ=0 (posizione direttiva) e minima per Ψ=π (posizione
posizione antidirettiva).
Inoltre poiché il momento sismico deve essere conservato, le ampiezz
ampiezzee del segnale in spostamento
nella regione direttiva sono maggiore che nella posizione laterale o antidirettiva.
La funzione dislocazione è anch’essa funzione del tempo. Assumendo una rampa per la funzione
slip, il moment rate è una boxcar con ampiezza D/TR e durata ( rise-time) TR. Lo spettro della box
puo` essere ottenuto dall’integrale (1).. In tal caso lo spettro di spostamento di una faglia di Haskell
è

r
ψ 
D
ωTR − iω  TR + c0 + 2 L 
L
Ωc ( x, ω ) =
W
sin
e
sin(ωψ )
ωψ ωTR
2
2
2
Anche la funzione rise time rappresenta dunque un filtro, con frequenza di taglio pari a 1/ TR. I due
meccanismi di filtro, sono in generale in competizione e possono essere distinti comparando gli zeri
(i buchi) dello spettro per lo stesso evento, registrato a più stazioni. In tal caso, i buchi dovuti al rise
time sono indipendenti dalla posizione del ricevitori, mentre quelli associati all’effetto di faglia
finita vi dipendono (Figura 3). Heaton (1990) ha mostrato che per eventi di grande magnitudo
(M>6.5),
), la durata della funzione dislocazione è molto minore (di almeno un ordine di grandezza)
rispetto alla durata della rottura.
ttura. In tal caso i buchi associati al rise time si trovano dunque una
decade più avanti rispetto a quelli associati alla finitezza della faglia.
Figura 3:: Serie di spettri registrati a diverse stazioni per un evento sismico.
sismico. Gli zeri dello spettro, che appaiono come
rapide discese nel grafico in scala logaritmica, sono dovuti ad effetti di propagazione o di rottura. Quelli comuni (T~6s)
corrispondono presumibilmente al primo nodo della trasformata della funzione sorgente.
sorgente
Secondo il modello di Haskell, lo spettro di spostamento è piatto fino ad una frequenza di taglio f1,
dopo di che decade approssimativamente come ω-1, per effetto della finitezza della faglia, e
definitivamente come ω-2, quando si aggiunge il contributo proveniente dal rise time. La frequenza
d’angolo dello spettro, che corrisponde alla frequenza di taglio del filtro è funzione dell’azimuth,
della velocità di rottura, ma anche della velocità di propagazione : sarà dunque diversa, a seconda
che si considerii la fase P o la fase S. In particolare il modello di Haskell prevede che, poiché cs<cp,
la frequenza d’angolo è maggiore per le onde S che per le onde P.
Le osservazioni, invece, mostrano che la frequenza d’angolo delle onde P è leggermente superiore
(circa 1.5 volte) rispetto a quella delle onde S, con un decadimento dello spettro in ω-2. Una
rappresentazione spettrale appropriata per la modellazione dello spettro dei terremoti è la funzione
Ω(ω ) =
Ω0

ω
1 + 
 ω0 
2
dove ω0 è la frequenza d’angolo.
Se nel modello di Haskell aggiungiamo l’effetto della profondità della faglia, allora lo spettro
decade come ω-3 , con l’effetto che, ad alte frequenze, gli spettri presentano la stessa energia,
indipendentemente dalla magnitudo dell’evento (Figura 4). Il decadimento
mento dello spettro ad alte
frequenze, in questo modello, è prodotto dalle interferenze distruttive delle piccole lunghezze
d’onda sulla faglia. Secondo modelli più complessi, lo spettro ad alte frequenze, è determinato dalla
radiazione emessa dalle fasi di arresto, ossia alle fasi che sono prodotte quando la rottura impatta
sui bordi della faglia. In tal caso, lo spettro della radiazione decade di nuovo come ω-2 .
Figura 4 : Spettri in corrispondenza dei modelli ω-2 e ω−3. Nel primo caso anche l’energia ad alta frequenza è diversa per
terremoti di diversa magnitudo. Nel secondo, tutti gli spettri convergono sulla stessa retta.
retta
2.4 Isocrone
Abbandoniamo ora l’approssimazione di Fraunhofer e consideriamo una sorgente estesa per la
quale investighiamo le caratteristiche del campo irradiato in prossimità della sorgente (L~r
( 0) e per
delle lunghezze d’onda più piccole della distanza sorgente/ricevitore, in maniera tale che possiamo
supporre l’approssimazione far-field
field valida (λ<r0/4).
). Tale range di investigazione corrisponde a
delle frequenze, nei segnali, maggiori di 0.1Hz.. Rappresentiamo la rottura sismica attraverso pochi
parametri caratteristici: a parte la geometria, definita attraverso il meccanismo focale e le
dimensioni
imensioni della faglia, assumiamo che la funzione sorgente sia descritta attraverso il campo di
dislocazione δU(x) e la velocità di rottura v(x), mentre il rise time è supposto piccolo, dunque
trascurabile rispetto alla propagazione della rottura e della radiazione.
radiazione. In tal caso, ogni punto,
investito dal fronte di rottura, raggiunge istantaneamente il valore finale di dislocazione, ovvero la
componente temporale della funzione sorgente è una delta ritardata per il tempo di propagazione
della rottura rispetto
to all’ipocentro:
δ u (ξ , t ) = δ U (ξ )δ (t − tr (ξ ))
Se il mezzo di propagazione è omogeneo, il campo di spostamenti P prodotto da tale rottura è :
unP ( x , t ) =

∂
r
δ
u
 t − tr (ξ ) −
i
∫
4πρ c ∂x j Σ
cp

1
2
p

γγ
 n j µ i n d Σ
r

Indichiamo il tempo di isocrona con
Ti = tr +
r
c
Tale equazione individua, sul piano di faglia una curva chiusa L, detta isocrona, lungo la quale la
radiazione emessa arriva contemporaneamente al ricevitore considerato (Figura
Figura 5).
L’integrale di rappresentazione diviene dunque
unP ( x, t ) =
γγ
µ
∂
δ U (ξ ) n j i n d L
2
∫
4πρ c p ∂x j L
r
Al prim’ordine, trascurando i termini in r2 e derivando i contributi che dipendono da xj si ha:
Figura 5:: Le isocrone sul piano di faglia sono delle curve quartiche che soddisfano la condizione per la quale la somma
del tempo di rottura e di propagazione è costante.
unP ( x , t ) =
Rp
µ
ξ
U
dL
δ
(
)
4πρ c 2p ∫L
r
dove Rp è il radiation pattern associato alle onde P. Tale formula è generalizzabile al caso in cui la
fase considerata sia una generica onda di volume, il mezzo sia eterogeneo e la misura è fatta in
superficie.
un ( x , t ) =
µ
R patt
ξ
U
dL
δ
(
)
4πρ c 2 ∫L
R
dove R è il generico valore per lo spreading geometrico e Rpatt è la generica espressione per il
radiation pattern.
L’equazione dell’isocrona, in un mezzo in cui le onde si propagano a velocità costante e la rottura
avanza a velocità costante sul piano di faglia, può essere scritta in forma chiusa. Assumendo un
sistema
tema di riferimento con origine nell’ipocentro, e un sistema di coordinate x,y lungo le direzioni di
strike e dip della faglia, l’equazione dell’isocrona è
1
vr
x2 + y 2 +
1
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + z02 = c
c
dove (x0, y0, z0) sono le coordinate del ricevitore in tale sistema. Tale curva, in forma implicita, è
una curva del quart’ordine, non completa,
completa rispetto ai parametri x e y.. L’effetto di una velocità di
rottura debolmente variabile sul piano di faglia introduce delle distorsioni nell’isocrona, che si
allunga laddove la velocità di rottura è più grande. L’effetto di un rise-time
time finito, ma a supporto
compatto, produce, invece,, un ispessimento dell’isocrona che diviene una superficie piana, per ogni
istante di tempo, limitata da due isocrone: quella corrispondente al tempo t e quella corrispondente
al tempo t-TR.
vr
e dalla distanza media tra sorgente e
c
ricevitore. Quando il rapporto ϕ prossimo a zero, il primo termine nell’espressione domina rispetto
al secondo e le isocrone si schiacciano sul fronte circolare di rottura. Tale approssimazione equivale
equi
Infine, la forma delle isocrone dipende dal rapporto è ϕ =
a supporre che la velocità di propagazione sia infinita. Quanto più tale rapporto si avvicina a 1,
tanto più le isocrone diventano eccentriche e allungate nella direzione del ricevitore (più
precisamente nella direzione della proiezione della retta congiungente l’ipocentro con il ricevitore
sul piano di faglia : γ 0 × n ). Le isocrone relative alla fase P, dunque, sono molto meno eccentriche
delle relative isocrone S e si può dimostrare che per una durata di finestra fissata sui dati, essi
descrivono un’area minore.
Se la distanza media sorgente-ricevitore a sua volta cresce indefinitamente, infine, il contributo di
propagazione diviene dominante, e la teoria delle isocrone si riduce all’approssimazione di
Fraunhofer che abbiamo analizzato nel caso precedente.