Formule di Teoria dei Segnali

Formule di Teoria dei Segnali
L.Verdoliva
Formule di trigonometria
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
1 + cos 2α
cos2 α =
2
1
−
cos
2α
sin2 α =
2
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
1
cos α cos β =
[cos(α − β) + cos(α + β)]
2
1
sin α sin β =
[cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
sin α cos β =
[sin(α + β) + sin(α − β)]
2
Formule di Eulero
cos α =
ejα + e−jα
2
sin α =
ejα − e−jα
2j
ejα = cos α + j sin α
Proprietà δ(t) e δ(n)
R t2
t1




x(t) δ(t) dt =
R +∞
−∞
R +∞
−∞



x(0)
0


0 ∈ (t1 , t2 )
δ(n) =
altrimenti
P+∞
δ(t) dt = 1

1
n=0
0
altrimenti
k=−∞ δ(n
− k) = 1
P+∞
x(t)δ(t − t0 ) dt = x(t0 )
n=−∞ x(n)δ(n
− n0 ) = x(n0 )
x(t) δ(t − t0 ) = x(t0 ) δ(t − t0 )
x(n) δ(n − n0 ) = x(n0 ) δ(n − n0 )
δ(t) = δ(−t)
δ(n) = δ(−n)
R +∞
P+∞
−∞
Rt
x(α)δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t)
−∞ δ(τ ) dτ
= u(t) ↔ δ(t) =
k=−∞ x(k)δ(n
Pn
du(t)
dt
k=−∞ δ(k)
1
− k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n)
= u(n) ↔ δ(n) = u(n) − u(n − 1)
Formule di utilità
+∞
X
n=0
1
αn =
1−α
N
X
|α| < 1
αn =
n=M



αM −αN +1
1−α
α 6= 1
N −M +1
α=1
Media temporale per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2)
(1)
(2)
< x(t) > =
< x(t) > =
1
T →∞ T
Z
T /2
x(t) dt
lim
1
T0
a) Invarianza temporale
b) Linearità
Z
< x(n) > =
−T /2
N
X
1
x(n)
N →∞ 2N + 1
lim
n=−N
T0 /2
x(t) dt
< x(n) > =
−T0 /2
1
N0
NX
0 −1
x(n)
n=0
y(t) = x(t − t0 )
=⇒
< y(t) >=< x(t) >
y(n) = x(n − n0 )
=⇒
< y(n) >=< x(n) >
z(·) = a x(·) + b y(·)
=⇒
< z(·) >= a < x(·) > +b < y(·) >
Potenza per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2) ed Energia (3)
(1)
1
= lim
T →∞ T
Px
Z
T /2
2
|x(t)| dt
Px
−T /2
N
X
1
= lim
|x(n)|2
N →∞ 2N + 1
n=−N
Z
(2)
(3)
T0 /2
1
|x(t)|2 dt
T0 −T0 /2
Z +∞
=
|x(t)|2 dt
Px =
Ex
Px =
Ex =
−∞
1
N0
NX
0 −1
|x(n)|2
n=0
+∞
X
|x(n)|2
n=−∞
Potenza ed Energia mutua
Pxy =
1
T →∞ T
Z
Exy =
Z
T /2
lim
+∞
−∞
x(t) y ∗ (t) dt
−T /2
x(t) y ∗ (t) dt
Pxy =
N
X
1
x(n) y ∗ (n)
N →∞ 2N + 1
lim
n=−N
Exy =
+∞
X
n=−∞
2
x(n) y ∗ (n)
a) Invarianza temporale
b) Non Linearità
y(t) = x(t − t0 )
=⇒
Py = Px
e
Ey = Ex
y(n) = x(n − n0 )
=⇒
Py = Px
e
Ey = Ex
z(·) = x(·) + y(·)
=⇒
Pz = Px + Py + 2 Re[Pxy ]
=⇒
Ez = Ex + Ey + 2 Re[Exy ]
Funzione di autocorrelazione per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e per
segnali di energia (3)
(1)
Z
1
Rx (τ ) = lim
T →∞ T
T /2
x(t) x∗ (t − τ ) dt
Rx (m) =
−T /2
N
X
1
x(n) x∗ (n − m)
N →∞ 2N + 1
lim
n=−N
Z
(2)
(3)
T0 /2
1
x(t) x∗ (t − τ ) dt
T0 −T0 /2
Z +∞
Rx (τ ) =
x(t) x∗ (t − τ ) dt
Rx (τ ) =
N0 −1
1 X
x(n) x∗ (n − m)
N0
Rx (m) =
n=0
+∞
X
Rx (m) =
−∞
x(n) x∗ (n − m)
n=−∞
Funzione di mutua correlazione per segnali di potenza (1) e per segnali di energia (2)
(1)
1
Rxy (τ ) = lim
T →∞ T
Z
(2)
Rxy (τ ) =
+∞
Z
T /2
x(t) y (t − τ ) dt
−T /2
n=−N
x(t) y ∗ (t − τ ) dt
Rxy (m) =
−∞
+∞
X
x(n) y ∗ (n − m)
n=−∞


a) Valore nell’origine
N
X
1
Rxy (m) = lim
x(n) y ∗ (n − m)
N →∞ 2N + 1
∗
Rx (0) =



Ex
Rxy (0) =
Px
b) Simmetria coniugata
Rx (·) = Rx∗ (−(·))
c) Limitatezza
|Rx (·)| ≤ Rx (0)

Exy
Pxy
∗ (−(·))
Rxy (·) = Ryx

 p
Ex Ey
|Rxy (·)| ≤
 p
Px Py
Sistemi LTI nel dominio del tempo
Z
+∞
y(t) =
x(α) h(t − α) dα
y(n) =
−∞
+∞
X
x(k) h(n − k)
k=−∞
= x(t) ∗ h(t)
= x(n) ∗ h(n)
3
a) Proprietà commutativa
x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·)
b) Proprietà distributiva
x(·) ∗ [h1 (·) + h2 (·)] = x(·) ∗ h1 (·) + x(·) ∗ h2 (·)
c) Proprietà associativa
x(·) ∗ [h1 (·) ∗ h2 (·)] = [x(·) ∗ h1 (·)] ∗ h2 (·)
d) Proprietà associativa mista
a[x(·) ∗ h(·)] = [ax(·)] ∗ h(·) = x(·) ∗ [ah(·)]
e) Invarianza temporale
x(t − t1 ) ∗ h(t − t2 ) = y(t − (t1 + t2 ))
x(n − n1 ) ∗ h(n − n2 ) = y(n − (n1 + n2 ))
Sistema non dispersivo
⇐⇒
h(·) = kδ(·)
Sistema causale
⇐⇒
h(t) = 0 per t < 0
h(n) = 0 per n < 0
Sistema stabile
⇐⇒
R +∞
P+∞
−∞
|h(t)| dt < ∞
n=−∞ |h(n)|
<∞
Serie di Fourier
Sintesi
+∞
X
x(t) =
Xk e
j2πkf0 t
x(n) =
k=−∞
Analisi
x(·) reale
1
T0
Xk =
−→
Z
T0 /2
x(t) e
−j2πkf0 t
dt
Xk
−T0 /2
N0 −1
1 X
=
x(n) e−j2πkν0 n
N0
n=0


←→

|X−k | = |Xk |
∠X−k = −∠Xk
z(·) = ax(·) + by(·)
←→
Zk = aXk + bYk
y(t) = x(t − t0 )
←→
Yk = Xk e−j2πkf0 t0
y(n) = x(n − n0 )
←→
Yk = Xk e−j2πkν0 n0
y(·) = x(−·)
←→
Yk = X−k
dx(t)
dt
←→
Yk = j2πkf0 Xk
y(n) = x(n) − x(n − 1)
←→
Yk = (1 − e−j2πkν0 )Xk
2) Traslazione temporale
3) Riflessione
4) Derivazione
y(t) =
5) Differenza prima
Xk ej2πkν0 n
k=0
X−k = Xk∗
1) Linearità
NX
0 −1
6) Relazione di Parseval
1
T0
R
T0
|x(t)|2 dt =
P+∞
2
k=−∞ |Xk |
1
N0
4
P
2
<N0 > |x(n)|
=
P
2
k=<N0 > |Xk |
Trasformata di Fourier
Z
Sintesi
Z
+∞
x(t) =
X(f ) e
j2πf t
df
−∞
Z
Analisi
+∞
X(f ) =
x(t) e−j2πf t dt
−→
x(n) e−j2πνn
n=−∞


X(−(·)) = X ∗ (·)
1) Linearità
←→

|X(−(·))| = |X(·)|
∠X(−(·)) = −∠X(·)
a1 x1 (·) + a2 x2 (·)
←→
a1 X1 (·) + a2 X2 (·)
x(−(·))
←→
x(at)
←→
X(−(·))
³ ´
f
1
X
a
|a|
£n¤
←→
X(M ν)
5) Decimazione
x(M n)
←→
1
M
6) Convoluzione
x(·) ∗ y(·)
←→
X(·)Y (·)
x(t)y(t)
←→
X(f ) ∗ Y (f )
x(n)y(n)
←→
X(ν) ∗ Y (ν) =
8) Derivazione d.d.t
dk x(t)
dtk
←→
(j2πf )k X(f )
9) Differenza prima
x(n) − x(n − 1)
←→
tk x(t)
←→
(1 − e−j2πν )X(ν)
³ ´k k
−∞ x(α) dα
←→
X(f )
j2πf
k=−∞ x(k)
←→
X(ν)
1−e−j2πν
x(t − t0 )
←→
X(f ) e−j2πf t0
x(n − n0 )
←→
X(ν) e−j2πνn0
x(t) ej2πf0 t
←→
X(f − f0 )
x(n) ej2πν0 n
←→
X(ν − ν0 )
2) Riflessione
3) Cambiamento di scala
4) Espansione
x
7) Prodotto
10) Derivazione d.d.f
11) Integrazione
12) Somma corrente
13) Traslazione d.d.t
14) Traslazione d.d.f
X(ν) ej2πνn dν
−1/2
+∞
X
X(ν) =
−∞
x(·) reale
1/2
x(n) =
M
Rt
Pn
5
PM −1
j
2π
k=0
X
¡ ν−k ¢
M
R
1
2
− 12
X(u)Y (ν − u) du
d X(f )
df k
+ 21 X(0)δ(f )
e
+ 21 X(0)δ(ν)
x(t) cos(2πf0 t + θ)
←→
1
2 X(f
− f0 )ejθ + 21 X(f + f0 )e−jθ
x(t) cos(2πν0 n + θ)
←→
1
2 X(ν
− ν0 )ejθ + 21 X(ν + ν0 )e−jθ
15) Modulazione
P+∞
16) Campionamento d.d.f
n=−∞ x(t
− nT )
←→
k=−∞ x(n
− kn)
←→
n=−∞ x(nT )δ(t
− nT )
←→
− kN )
←→
P+∞
17) Campionamento d.d.t
P+∞
P+∞
k=−∞ x(kN )δ(n
18) Valore nell’origine
X(0) =
X(0) =
R +∞
P+∞
1
k=−∞ T X
PN −1
1
k=0 N X
1
k=−∞ T X
1
k=0 N X
x(t) dt
x(0) =
n=−∞ x(n)
x(0) =
−∞
¡k¢ ¡
e
N δ f −
P+∞
PN −1
P+∞
¡k¢ ¡
T δ f −
¡
f−
¡
f−
R +∞
−∞
−∞
|x(t)|2 dt =
R +∞
−∞
P+∞
2
n=−∞ |x(n)|
|X(f )|2 df
=
R +1/2
−1/2
|X(ν)|2 dν
Trasformate notevoli (segnali tempo continuo)
A rect
¡t¢
←→
AT sinc(f T )
AΛ
¡t¢
←→
AT sinc2 (f T )
A e−t/T u(t)
←→
AT
1+j2πf T
tn−1 −α/T
u(t)
(n−1)! e
←→
1
(α+j2πf )n
A e−|t|/T
←→
2T
1+(2πf T )2
5) Funzione sinc
A sinc(2Bt)
←→
A
2B
6) Impulso ideale
δ(t)
←→
1
7) Segnale costante
A
←→
A δ(f )
8) Gradino unitario
u(t)
←→
1
j2πf
9) Funzione signum
sign(t)
←→
1
jπf
A ej2πf0 t
←→
A δ(f − f0 )
1) Impulso rettangolare
2) Impulso triangolare
3) Esponenziale monolatero
4) Esponenziale bilatero
10) Fasore
T
T
6
³
rect
f
2B
´
+ 12 δ(f )
¢
X(ν) dν
19) Relazione di Parseval
R +∞
k
N
¢
X(f ) df
R +1/2
−1/2
k
T
k
T
k
N
¢
¢
11) Segnale coseno
A cos(2πf0 t)
←→
A
2
δ(f − f0 ) +
A
2
12) Segnale seno
A sin(2πf0 t)
←→
A
2j
δ(f − f0 ) −
A
2j
←→
1
T
13) Treno di impulsi
P+∞
n=−∞ δ(t
− nT )
P+∞
k=−∞ δ
δ(f + f0 )
δ(f + f0 )
¡
f−
k
T
¢
Trasformate notevoli (segnali tempo discreto)
A RN (n)
←→
sin(πνN ) −j(N −1)πν
sin(πν) e
2) Impulso triangolare
B2N (n)
←→
sin2 (πνN ) −j2πN ν
e
N sin2 (πν)
3) Esponenziale monolatero
an u(n)
←→
1
1−ae−j2πν
a|n|
←→
1−a2
1−2a cos(2πν)+a2
5) Funzione sinc
2νc sinc(2νc n)
←→
h
³ ´i
rep1 rect 2νν c
6) Funzione sinc2
2νc sinc2 (2νc n)
←→
h ³ ´i
rep1 Λ 2νν c
7) Impulso ideale
δ(n)
←→
1
8) Segnale costante
A
←→
e
A δ(ν)
8) Gradino unitario
u(n)
←→
1
1−e−j2πν
9) Funzione signum
sign(n)
←→
2
1−e−j2πν
A ej2πν0 n
←→
e − ν0 )
A δ(ν
11) Segnale coseno
A cos(2πν0 n)
←→
A
2
e − ν0 ) +
δ(ν
A
2
12) Segnale seno
A sin(2πν0 n)
←→
A
2j
e − ν0 ) −
δ(ν
A
2j
←→
1
N
1) Impulso rettangolare
4) Esponenziale bilatero
10) Fasore
13) Treno di impulsi
P+∞
k=−∞ δ(n
− kN )
P+∞
e
+ 12 δ(ν)
k=−∞ δ
e + ν0 )
δ(ν
¡
ν−
e + ν0 )
δ(ν
k
N
¢
Densità spettrale per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e segnali di
energia (3)
³
´
P
2δ f − k
(1) Sx (f ) = limT →∞ T1 |XT (f )|2
(2) Sx (f ) = +∞
|X
|
(3) Sx (f ) = |X(f )|2
k
k=−∞
T0
7