Esercizi di Geometria 1, foglio 7 (decembre 2015) 1. Per le seguenti

Esercizi di Geometria 1, foglio 7 (decembre 2015)
1. Per le seguenti matrici reali A, trovare la forma normale di Jordan di A. Poi trovare
in ogni caso una base di Jordan e una matrice S tale che S −1 AS è una matrice di
Jordan.

2 −1
0 2
0 0

1
1,
2
1
 0

−1
−1

1
2
1
1
0
0
2
0

1
0
,
1
3
2
0

0
0
−1
2
0
0

1
0
2
0

0
1
,
1
2
2
0

0
0

−1
2
0
0
1
0
3
0

0
1
.
1
3
2. i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice
1
0
A=
0
0

1
1
0
0
a
1
1
0

b
c
.
1
1
Poi trovare una matrice S tale che S −1 AS è una matrice di Jordan.
ii) Sia A una matrice n × n con polinomio caratteristico pA (x) = (λ − x)n . A meno
di permutazioni dei blocchi di Jordan, descrivere le possibili forme normali di Jordan
di A se mg (λ) = 2; quanti possibilità ci sono? Poi considerare i casi mg (λ) = n − 1 e
mg (λ) = n − 2.
3. i) Data la matrice
1
0
A=
0
0

a
1
0
0
b
d
1
0

c
e
,
f
1
dare condizioni necessari e anche sufficienti per i coefficienti a, . . . , f tale che la forma
normale di Jordan di A ha un unico blocco di Jordan. Per questo caso, trovare una
matrice S del cambiamento di base tale che S −1 AS è in forma normale di Jordan.
ii) Trovare la forma normale di Jordan della matrice

1 a

A= 0 1
0 0

1
b
1
(in dipendenza dai parametri a e b). Poi trovare la matrice del cambiamento di base in
ogni caso.
4. Sia f : V → V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita, e
W un sottospazio di V tale che f (W ) ⊂ W . Se f è triangolarizzabile, dimostrare che
anche la sua restrizione f |W : W → W è triangolarizzabile (utilizzare il teorema sulla
triangolarizzazione di un endomorfismo).
5. Sia A una matrice n × n, reale o complessa, e nilpotente (cioè, esiste un intero k ≥ 1
tale che Ak = 0: la matrice 0).
i) Dimostrare che 0 è autovalore di A, e che 0 è l’unico autovalore di A (cioè, non ha
altri autovalori). Qual’è il polinomio caratteristico di A?
ii) Dimostrare che A è simile a una matrice triangolare B della forma
0 ∗
. .

.

.
0 .
∗

.
.
.
.
∗
0





(utilizzare il teorema sulla triangolarizzazione). Poi dimostrare che B n = 0, e concludere
che anche An = 0. Se n è la potenza minima di A che è 0, qual’è la forma normale di
Jordan di A (e allora anche di B)?