Soluzione degli esercizi sull`ellisse

Liceo Classico “Galilei” Pisa - Classe 2a A - Prof. Francesco Daddi - 4 maggio 2012
Soluzione degli esercizi sull’ellisse
x2
y2
+
= 1.
36
9
Soluzione. L’ellisse interseca gli assi nei punti (±6, 0), (0, ±3), quindi gli assi hanno lunghezza pari a 2 · 6 = 12 e 2 · 3 = 6.
Esercizio 1. Determina le misure degli assi dell’ellisse di equazione
y2
= 4.
Esercizio 2. Determina le misure degli assi dell’ellisse di equazione 3 x2 +
9
2
2
4
Soluzione. L’ellisse interseca gli assi nei punti ± √ , 0 e (0, ±6), quindi gli assi hanno lunghezza pari a 2 · √ = √ e
3
3
3
2 · 6 = 12.
x2
y2
+
= 1.
Esercizio 3. Determina le coordinate dei fuochi dell’ellisse di equazione
25
4
Soluzione.
Risulta
a
=
5
e
b
=
2.
Dato
che
a
>
b
i
fuochi
dell’ellisse
appartengono
all’asse x ed hanno coordinate
√
√
F1,2 = ± 25 − 4 , 0 = ± 21 , 0 .
Esercizio 4. Determina le coordinate dei fuochi dell’ellisse di equazione 25 x2 + 4 y 2 = 100.
x2
y2
Soluzione. Dividendo per 100, l’equazione dell’ellisse può essere riscritta nella forma
+
= 1; risulta a = 2 e b = 5.
4 √
25
√ Dato che a < b i fuochi dell’ellisse appartengono all’asse y ed hanno coordinate F1,2 = 0 , ± 25 − 4 = 0 , ± 21 .
Esercizio 5. Determina l’equazione del luogo geometrico dei punti tali che la somma delle distanze dai punti (−6, 0) e (6, 0)
è uguale a 20.
√
√
20
Soluzione. Si tratta dell’ellisse con i fuochi sull’asse x, con a =
= 10, c = 6 e b = a2 − c2 = 100 − 36 = 8. L’equazione
2
x2
y2
pertanto risulta essere
+
= 1.
100 64
Esercizio 6. Determina l’equazione del luogo geometrico dei punti tali che la somma delle distanze dai punti (0, −8) e (0, 8)
è uguale a 20.
√
√
20
Soluzione. Si tratta dell’ellisse con i fuochi sull’asse y, con b =
= 10, c = 8 e a = b2 − c2 = 100 − 64 = 6. L’equazione
2
x2
y2
pertanto risulta essere
+
= 1.
36 100
Esercizio 7. Determina l’equazione dell’ellisse avente per fuochi i punti (−2, 0) e (2, 0) e passante per il punto di coordinate
(−2, 3).
8
Soluzione. La somma delle distanze del punto (−2, 3) dai due fuochi è pari a 3 + 5 = 8. Si ha quindi a = = 4, c = 2,
2
√
√
√
x2
y2
2
2
b = a − c = 16 − 4 = 12. L’equazione pertanto risulta essere
+
= 1.
16 12
17
3
Esercizio 8. Determina l’equazione dell’ellisse, riferita ai propri assi, passante per i punti A(−1, 1) e B
,−
.
11
11
x2
y2
Soluzione. Sostituendo le coordinate dei punti nell’equazione 2 + 2 = 1 si ottiene il sistema
a
b
 1

1



 a2 + b 2 = 1
 α+β =1
1
1
ponendo α = 2 e β = 2 si ha
289
9


a
b

 289 α + 9 β = 1
 121 + 121 = 1
121
121
a2
b2
risolvendo l’ultimo sistema si trova α =
dell’ellisse è
x2
5
2
+
y2
5
3
2
3
1
1
, β = ; ricordando che a2 =
e b2 = , la corrispondente equazione canonica
5
5
α
β
= 1 oppure, più semplicemente, 2 x2 + 3 y 2 = 5.
Esercizio 9. Determina le equazioni dell’ellisse, riferita ai propri assi, passante per il punto A(2, 0) e tangente alla retta
x + 3 y − 4 = 0.
1
1
Soluzione. Ponendo α = 2 e β = 2 l’equazione dell’ellisse è αx2 + βy 2 = 1; il passaggio per A si traduce nell’equazione
a
b
4 α = 1, mentre per quanto riguarda la condizione di tangenza dobbiamo imporre che il sistema
(
αx2 + βy 2 = 1
x+3y −4 = 0
ammetta soluzioni coincidenti: si trova la condizione 16 αβ − 9 α − β = 0. Risolvendo il sistema
(
4α = 1
16 α β − 9 α − β = 0
si trova α =
1
3
x2
y2
, β = , quindi l’equazione canonica dell’ellisse è
+ 4 = 1.
4
4
4
3
Esercizio 10. Determina le coordinate dei punti di intersezione tra l’ellisse di equazione x2 + 4 y 2 = 2 e la retta di equazione
1
1
y = x− .
4
4
Soluzione. La retta può essere riscritta nella forma (più comoda per i calcoli) x = 4 y + 1. Risolvendo il sistema
(
x2 + 4 y 2 = 2
x = 4y +1
1
7 1
si trovano i punti A −1 , −
e B
,
.
2
5 10
Esercizio 11. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse 3 x2 + 5 y 2 = 8 condotte dal punto P (6, −2).
Soluzione. Scritta l’equazione della generica retta passante per P (6, −2), y = m(x − 6) − 2, basta imporre che il sistema
(
3 x2 + 5 y 2 = 8
y = m(x − 6) − 2
3
3
ammetta soluzioni coincidenti. Si arriva cosı̀ all’equazione 125 m2 + 90 m + 9 = 0, da cui si ricavano m1 = − e m2 = − ;
5
25
3
3
le corrispondenti equazioni delle rette tangenti sono y = − (x − 6) − 2 e y = − (x − 6) − 2.
5
25
x2
y2
+ 10 = 1 nel suo punto P (1, 1).
10
9
Soluzione. Per l’ellisse può essere utilizzata l’equazione x2 + 9 y 2 = 10. Scritta l’equazione della generica retta passante per
P (1, 1), y = m(x − 1) + 1, basta imporre che il sistema
(
x2 + 9 y 2 = 10
y = m(x − 1) + 1
Esercizio 12. Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse
1
ammetta soluzioni coincidenti. Si arriva cosı̀ all’equazione 324 m2 + 72 m + 4 = 0, da cui si ricava m = − ; la corrispondente
9
1
1
10
equazione della retta tangente è y = − (x − 1) + 1 ovvero y = − x +
.
9
9
9
x2
y2
+
= 1.
2
8
2
2
Soluzione. Riscritta l’equazione dell’ellisse nella forma 4 x + y − 8 = 0, basta imporre che il sistema
(
4 x2 + y 2 − 8 = 0
y =x+k
Esercizio 13. Determina i valori di k per cui la retta y = x + k è tangente all’ellisse
abbia soluzioni coincidenti. Si arriva alla condizione 10 − k 2 = 0, da cui ricaviamo k1 =
√
√
10 e k2 = − 10.
y2
Esercizio 14. Determina le coordinate dei punti di intersezione tra l’ellisse x2 +
= 1 e la circonferenza x2 + y 2 = 3.
4


8
2
2

 x2 + y = 1
 3 − y2 + y = 1
 y2 =
3
4
4
Soluzione. Risolviamo il sistema
⇒
⇒
 2


 x2 = 3 − 8 = 1 ;
x + y2 = 3
x2 = 3 − y 2
3
3
√
√ !
√
√ !
√
√ !
√
√ !
3 2 6
3 2 6
3
2 6
3
2 6
i punti di intersezione, pertanto sono
,
, −
,
,
,−
, −
,−
.
3
3
3
3
3
3
3
3