99 CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO

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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Percorsi di tensione e di deformazione
Per quanto riguarda i terreni l’analisi del regime di sforzo è molto complessa e la sua evoluzione può
essere rappresentata in un diagramma tridimensionale delle tensioni principali.
La descrizione del comportamento di un terreno può essere fatta
all’interno di questo diagramma tridimensionale.
Operare una analisi tridimensionale risulta però piuttosto difficile e
quindi il nostro obiettivo sarà di andare a determinare altri metodi di
indagine.
Figura 9.1
Se ci troviamo nel caso in cui lo stato tensionale è caratterizzato da
σ1=σ2=σ3 allora ci muoviamo sulla bisettrice del primo ottante (tratto
OA), nel caso in cui ∆σ1≠0 e ∆σ2=∆σ3=0 allora ci muoviamo
lungo un segmento parallelo all’asse σ1 (tratto AB), mentre se
abbiamo ∆σ1=0 e ∆σ2=∆σ3≠0 allora ci si sposta lungo un
segmento perpendicolare all’asse σ1 .
Negli ultimi due casi, quando lo stato tensionale ha una componente
nulla si può far riferimento ad una analisi di tipo bidimensionale.
Figura 9.2
Dei ragionamenti di questo tipo possono essere fatti anche andando a considerare le tensioni efficaci.
σ 1I =σ 1Bu
σ I2=σ 2Bu
σ I3=σ 3Bu
I due percorsi in termini di pressioni totali o tensioni efficaci risultano tra loro paralleli se la pressione dell’acqua non
cambia.
Però questo tipo di rappresentazione non è comodo.
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Per i terreni che presentano uno stato di sollecitazione piana si possono considerare altri tipi di grafici come ad esempio
il PIANO DI MOHR.
I
s=
tI =
s=
t=
I
σ 1 Aσ 3
I
centro
2
I
I
σ 1 Bσ 3
raggio
2
σ 1Aσ 3
centro
2
σ 1Bσ 3
raggio
2
Si ottiene quindi che: s−sI=u t−tI=0 la tensione esercitata sulla fase fluida e si osserva che questa non trasmette alcun
sforzo tagliante.
All’interno del piano (s, t) è possibile analizzare il percorso che è stato visto prima. (Verifica attentamente che è vero).
Nel primo tratto OA vale che ∆σ1=∆σ3 e quindi si può calcolare:
∆ s=
∆σ 1A∆σ 3
2
=∆ σ 1
∆ t=
∆ σ 1B∆ σ 3
2
=0
Nel tratto AB vale che ∆σ1≠0 e ∆σ3=0 per cui si può calcolare che:
∆ s=
∆ σ 1A∆ σ 3
2
=
∆σ 1
2
∆ t=
∆ σ 1B∆ σ 3
2
=
∆ σ1
2
Nel tratto BC abbiamo che ∆σ1=0 e ∆σ3≠0 e quindi risulta:
∆ s=
∆σ 1A∆σ 3
2
=
∆ σ3
2
∆ t=
∆ σ 1B∆ σ 3
2
=B
∆ σ3
2
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Richiamo di Scienza delle Costruzioni
Gli invarianti
Se A è una matrice che rappresenta un tensore simmetrico:
axx
axy
a xz
A= axy a yy a yz
a xz
a yz
a zz
I tre invarianti sono dati dalle seguenti espressioni:
I 1=tr A=axx Aa yy Aa zz
I 2=axx a yy Aa yy a zzAa zz a xx Ba 2xy Ba2yzBa2zx
I 3=det A
Nel caso che le direzioni x,y e z coincidano con quelle principali 1,2 e 3, allora gli invarianti assumono la forma:
I 1=a1Aa 2Aa 3
I 2=a1 a 2Aa 2 a 3Aa 3 a1
I 3=a1 a2 a3
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Gli invarianti del tensore di sforzo
Lo stato di sforzo in un punto è definito dal tensore σij simmetrico, la sua impronta matriciale può essere diagonalizzata
in un sistema principale di tensioni.
Noto il tensore in un punto per determinare lo stato tensionale lungo una superficie individuata dai coseni direttori e1, e2,
e3 si può scrivere:
σ nx
σ xx
σ ny = τ xy
τ xz
σ nz
dove
τ yx
τ zx
e1
σ yy τ zy
e2
τ yz
e3
σ zz
—n= e1 , e2 , e3
è la normale uscente dalla superficie in esame.
Per determinare una direzione principale è necessario imporre che lo stato di sforzo sia parallelo alla normale n; cioè:
σ nx
e1
σ ny
=σ e
2
σ nz
e3
σ xx Bσ
τ yx
τ zx
τ xy
σ yy Bσ
τ zy
τ xz
τ yz
σ zzBσ
1
e1
0
=
e2
0
0
e
3
In questo modo si è determinato un problema agli autovalori e quindi la sua risoluzione può essere ottenuta imponendo
che il determinante della matrice dei coefficienti sia nullo; si ottiene una equazione di 3° grado nell’incognita σ.
σ 3BI 1 σ 2AI 2 σBI 3=0
Risolvendo questa equazione si ottengono le 3 tensioni principali che sostituite una ad una nel sistema agli autovalori
forniscono le direzioni principali.
I 1=σ x Aσ y Aσ z =3p
I 2=σ x σ y Aσ y σ z Aσ x σ zBτ 2xy Bτ 2yzBτ 2xz
I 3=σ x σ y σ zAσ x τ 2yzAσ y τ 2xzBσ z τ 2xy A2 τ 2xy τ 2yz τ 2xz
Che sono gli invarianti del I, II e III ordine del tensore di sforzo.
Si può osservare che se I3=0 allora si ha uno sforzo biassiale o piano, mentre se pure I2=0 allora lo stato di sforzo è
monoassiale.
Gli invarianti sono comodi nel momento in cui è necessario andare a scrivere le leggi costitutive sforzo−deformazione
in quanto queste ultime non dipendono dal sistema di riferimento adottato per descrivere il problema.
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Tensione ottaedrica
In alcuni casi è conveniente conoscere la tensione su un piano che taglia gli assi principali tutti con lo stesso angolo;
questo significa che tale piano forma un ottaedro con il sistema di riferimento e la corrispondente tensione viene definita
tensione ottaedrica.
Facendo i calcoli si può ottenere che
σ ott =
1
σ Aσ 2Aσ 3
3 1
1
τ ott =
3
2
2
σ 1Bσ 2 A σ 2Bσ 3 A σ 3Bσ 1
1
2 2
dove σ1, σ2, σ3 sono le tensioni principali.
Se abbiamo un generico stato tensionale allora le due tensioni sopra scritte possono essere viste come:
σ ott =
1
σ Aσ y Aσ z
3 x
1
τ ott =
3
2
2
2
2
xy
2
yz
σ x Bσ y A σ y Bσ z A σ zBσ x A6 τ Aτ Aτ
2
zx
1
2
e formule analoghe si hanno in termini di tensioni efficaci.
Risulta inoltre che:
σ Iott =σ ott Bu
I
τott =τott
Consideriamo un generico stato di sforzo in termini di tensioni efficaci (σ1I, σ2I, σ3I) . Se all’interno del piano delle
tensioni efficaci disegniamo il punto che rappresenta tale stato di sforzo e la retta bisettrice del I ottante allora
conducendo la perpendicolare a tale retta passante per il punto relativo allo stato di sollecitazione riusciamo a
determinare due segmenti la cui lunghezza può essere relazionata alle tensioni ottaedriche efficaci.
OA= 3σ Iott
AB= 3 τIott
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Nei casi più generali della meccanica delle terre vale che due tensioni principali risultano uguali tra loro, cioè:
I
I
oppure
σ =σ
σ =σ
2
2
3
3
In questo caso si può dire che:
I
σ ott =
1 I
I
σ 1 A2 σ 3
3
I
τ ott =
2 I
I
σ 1 Bσ 3
3
Per descrivere il comportamento dei terreni andremo a definire i seguenti parametri:
I
I
p =σ
I
ott
=
I
σ 1 A2 σ 3
qI =
3
3
2
τ Iott
=
I
I
σ 1Bσ 3
da cui si ottiene che:
I
p= p Au
q=q
I
NOTA BENE: è necessario osservare che pI e qI sono degli invarianti degli sforzi visto che lo sono pure gli sforzi
ottaedrici ( σIott , τIott ).
Vediamo ora una rappresentazione grafica in termini di p e q di una prova di carico eseguita su un provino, con il
programma di carico che varia nei diversi tratti.
Nel tratto OA σ1,σ2,σ3 (e σI1,σI2,σI3 nel tratto OIAI ) vengono incrementate ugualmente. Il carico è isotropo.
∆ σ 1=∆ σ 2=∆ σ 3
quindi
∆ p=∆ σ 1
∆ q=0
Nel tratto AB σ1 viene incrementato mentre σ2,σ3 rimangono costanti. Il carico è deviatorico.
∆ σ 1≠0
∆ p=
∆ σ 2=∆ σ 3=0
∆ σ1
3
∆ q=∆σ 1
Nel tratto BC σ2,σ3 vengono incrementati mentre σ1 rimane costante.
∆ σ 2=∆ σ 3≠0
∆ σ 1=0
2
∆ p= ∆ σ 3
3
∆ q=B∆ σ 1
Se durante il processo di prova la pressione dell’acqua rimane costante allora per determinare l’andamento delle tensioni
efficaci è possibile traslare verso sinistra il diagramma delle tensioni totali di una quantità u.
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Condizioni di drenaggio e percorsi di tensione
In questo paragrafo cito delle prove di cui non ho definito le caratteristiche, ma l’attenzione in questo
momento va rivolta a come le condizioni di drenaggio modificano i percorsi di tensione. Le prove sono descritte nel
prossimo capitolo e le condizioni di drenaggio verranno riproposte.
Nel caso di prove con condizioni di carico assiali, cilindriche o triassiali descriviamo l’andamento dello
stato tensionale, il quale è influenzato dalle condizioni di drenaggio, vediamo come.
Le prove di carico assiali tipicamente vengono eseguite controllando in diverso modo le condizioni di drenaggio.
Il provino viene chiuso in una membrana impermeabile che consente l’entrata e l’uscita dell’acqua solo attraverso un
tubo al quale è applicato un dispositivo di controllo dell’acqua drenata (rubinetto).
È necessario fissare delle condizioni di drenaggio.
Innanzitutto vengono adottati dei provini in condizioni sature e a
seconda della posizione del regolatore di portata è possibile
distinguere due condizioni:
1. CONDIZIONI DRENATE (∆u=0; ∆V≠0): in questo caso il
rubinetto è aperto e l’incremento dello stato di sollecitazione
provoca una variazione di volume che è direttamente collegata
alla quantità di acqua che viene scambiata con l’esterno.
2. CONDIZIONI NON DRENATE (∆u≠0; ∆V=0): il rubinetto in
questa situazione viene mantenuto chiuso impedendo in questo
modo il drenaggio dell’acqua dal provino. In queste condizioni un
incremento dello stato di sollecitazione provoca un aumento della
pressione neutra senza nessuna variazione di volume in quanto
quest’ultima è associata esclusivamente ad una variazione di
porosità (comprimibilità dello scheletro solido) e non ad una
deformazione dei granelli e del campo fluido.
Figura 9.3
I percorsi dello stato tensionale nel piano p, q possono essere diversi a seconda delle condizioni di drenaggio.
In questo diagramma viene rappresentato l’andamento sia delle tensioni totali che delle pressioni efficaci a seconda delle
condizioni di drenaggio.
Figura 9.4
Nel tratto OA il provino viene caricato con una pressione isotropa, mentre il tratto AB rappresenta il carico assiale che
porta a rottura il provino. Si può osservare che sia in condizioni drenate che non drenate in termini di tensioni totali il
comportamento è uguale; la differenza si riscontra dal punto di vista delle pressioni neutre, infatti in condizioni drenate
la pressione dell’acqua non subisce nessuna variazione (∆u=0) e quindi l’andamento delle tensioni efficaci (tratto ABI)
è dato dalla traslazione verso sinistra del diagramma delle tensioni totali. Nel caso di prova non drenata (tratto ABII)
l’incremento dello stato di sollecitazione esterno si scarica completamente sulla fase liquida del terreno aumentando le
pressioni neutre e di conseguenza riducendo il valore delle tensioni efficaci.
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Condizioni di drenaggio, il terreno naturale ed il tempo
Abbiamo appena visto, per le prove con campioni di terreno, cosa comportano le diverse condizioni di
drenaggio per i percorsi di tensione. Ci chiediamo a cosa corrispondono le condizioni di drenaggio per il terreno
naturale. Quando consideriamo un terreno nel suo sito non ci è possibile controllare l’uscita dell’acqua interstiziale con
un rubinetto. Supponiamo di avere lo stesso coefficiente di permeabilità k, ed abbastanza piccolo, allora con il
parametro tempo riusciamo a modellare il comportamento naturale.
Supponiamo che il terreno sia saturo S=1.
1. t=0, ∆V=0
Nell’istante iniziale t=0 viene applicato il carico sul terreno.
Ma l’acqua non ha il tempo di uscire dal terreno.
∆u≠0
Allora c’è un incremento delle pressioni interstiziali.
CONDIZIONI NON DRENATE, definiamo così le condizioni appena descritte.
BREVE TERMINE, in genere è il periodo temporale a cui corrisponde questa situazione.
2. t→∞, ∆u=0
∆V≠0
Con il trascorrere del tempo le sovrappressioni si dissipano.
Si manifesta una variazione di volume, l’acqua è fuoriuscita.
Sono aumentate le tensioni efficaci.
Si è avuto consolidamento conseguente.
CONDIZIONI DRENATE, definiamo così le condizioni appena descritte.
LUNGO TERMINE, è il periodo temporale perché si manifesti questa situazione.
Tenendo presente queste due situazioni possiamo disaccoppiare lo studio delle pressioni interstiziali e la riduzione delle
sovrappressioni neutre dallo studio delle tensioni efficaci.
Eseguiremo:
• un’analisi a regime delle pressioni interstiziali,
• un’analisi dell’evoluzione delle tensioni efficaci.
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Deformazioni nel terreno7
Un discorso analogo a quello delle tensioni può essere fatto anche per le deformazioni; si possono ottenere degli
invarianti del tensore di deformazione e definire anche la deformazione ottaedrica. Si farà riferimento alle componenti
isotropa e deviatorica della deformazioni.
Se si scompone la rappresentazione matriciale del tensore di deformazione éij nelle due parti: isotropa e deviatorica,
mediante la notazione indiciale scriviamo:
é ij =
év
3
δ ij Aé S ij
dove é v =é xx Aé yy Aé zz mentre la delta di Kronecker vale
δ ij = 1 se i= j
0 se i≠ j
con notazione matriciale:
év
é xx é xy
0
3
é xz
év
é yx é yy é yz = 0
3
é zx é zy é zz
0
0
év
0 A
1
γ
2 xy
1
γ
2 xy
é
é yy B v
3
év
1
γ
2 xz
1
γ
2 yz
é xx B
0
3
3
1
γ
2 xz
1
γ
2 yz
é
é zz B v
3
Per descrivere lo stato di deformazione si possono utilizzare l’invariante primo della matrice che rappresenta il tensore
idrostatico della deformazione e l’invariante secondo della matrice che rappresenta il tensore deviatorico della
deformazione.
L’invariante primo E1 della componente idrostatica della deformazione è:
E 1=é v =é xx Aé yy Aé zz
L’invariante secondo E2 della componente deviatorica della deformazione è:
E 2= é xx B
év
3
é yy B
év
3
A é yy B
év
3
2
é zzB
év
3
A é zzB
2
év
3
é xx B
év
3
2
1
1
1
B γxy B γxz B γ yz
2
2
2
L’invariante primo e secondo li possiamo esprimere in funzione della deformazione normale e tangenziale sul piano
ottaedrico, quindi anche éott e γott sono degli invarianti, utili per la rappresentazione dello stato di deformazione:
é ott =
1
é Aé Aé
3 xx yy zz
γ ott =
2
3
2
2
2
é xx Bé yy A é yy Bé zz A é zzBé xx A6 é xy 2Aé yz 2Aé zx 2
1
2
1
é ott = E 1
3
8
γott =B E 2
3
7 A. Burghignoli, Lezioni di meccanica delle terre. pp 53−55
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Utilizziamo ora le deformazioni principali.
Le componenti isotropa e deviatorica della rappresentazione matriciale del tensore di deformazione si possono scrivere
in un’altro modo con le deformazioni principali, ma sono ancora degli invarianti di deformazione e lo notiamo dal
legame con le deformazioni ottaedriche.
DEFORMAZIONE VOLUMETRICA O ISOTROPA
é v =é 1Aé 2Aé 3 = 3 é ott = B
∆V
V
È interessante notare che la deformazione isotropa è semplicemente la deformazione volumetrica.
Con pochi passaggi lo si dimostra.
Se V è il volume iniziale di un cubetto infinitesimo di lati dx, dy, dz e V+dV è il volume finale per effetto della
deformazione, si può scrivere che:
V AdV = 1Bé x dx 1Bé y dy 1Bé z dz
Nell’ipotesi che dV>0 per un aumento di volume e che éx, éy, éz siano positivi in compressione e trascurando gli
infinitesimi di ordine superiore al primo otteniamo:
é x Aé y Aé z = é v = B
dV
V
Il segno meno è stato inserito in quanto le tensioni e le deformazioni sono considerate positive se di compressione,
mentre una variazione di volume ∆V è considerata positiva quando questa tende ad incrementarne il valore.
DEFORMAZIONE DEVIATORICA
é s=
2
3
2
2
é 1Bé 2 A é 2Bé 3 A é 3Bé 1
Nel caso di simmetria cilindrica o radiale
2
1
2
=
1
2
γ ott
é 2=é 3 la componente isotropa e deviatorica della deformazione
diventano:
é v =é 1A2é 3
é s=
2
é Bé
3 1 3
le quali si può dimostrare essere delle grandezze invarianti.
Sempre nel caso di simmetria radiale o cilindrica andiamo a vedere attraverso le relazioni di legame elastico lineare per
un materiale isotropo come si comportano sforzi e deformazioni.
Con
σ I2=σ I3 e é 2=é 3 se sostituite nel legame:
E I é 1=σ 1I BνI σ I2Aσ I3
I
I
I
E I é 2=σ 2BνI σ 3Aσ 1
E I é 3=σ I3BνI σ 1I Aσ I2
otteniamo:
E I é 1=σ 1I BνI σ I3Aσ I3
E I é 3=σ I3BνI σ I3Aσ 1I
E I é 3=σ I3BνI σ 1I Aσ I3
sommando le tre equazioni:
E I é 1A2é 3 = σ 1I A2σ I3 BνI 4 σ I3A2 σ 1I
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
E I é 1A2é 3 = 1B2νI σ 1I A2 σ I3
Riconosciamo le componenti idrostatiche delle deformazioni e dello stato di sforzo.
E I é v = 1B2 νI 3p I
EI
I
p=
3 1B2 νI
év
Esiste una relazione lineare fra pI e év:
I
I
p =K é v
Definiamo KI COMPRIMIBILITÀ VOLUMETRICA :
EI
I
K =
3 1B2 ν I
Posso trovare la relazione lineare fra le componenti deviatoriche facendo la differenza fra la prima e la terza delle
relazioni di legame.
E I é 1Bé 3 = σ 1I Bσ I3 BνI σ I3Bσ 1I
I
E é 1Bé 3 = 1Aν
I
I
I
σ 1Bσ 3
Riconosciamo le componenti deviatoriche delle deformazioni e dello stato di sforzo.
3
E I é s= 1AνI qI
2
3 EI
q I =é s
2 1AνI
q I =é s 3G I
Definiamo GI il MODULO DI TAGLIO :
EI
I
G=
2 1Aν I
Esiste una relazione diretta fra sforzi isotropi e deformazioni isotrope e fra sforzi deviatorici e deformazioni
deviatoriche.
In condizioni di elasticità lineare per un materiale isotropo uno sforzo isotropo produce una deformazione isotropa ed
uno sforzo deviatorico una deformazione deviatorica. In alternativa diciamo che sforzi isotropi e deformazioni isotrope
sono disaccoppiate rispetto a sforzi deviatorici e deformazioni deviatoriche, ciò lo esprimiamo anche con le coppie di
equazioni che seguono.
I
I
p =K ⋅é v A 0⋅é s
I
I
q =0⋅é v A 3G ⋅é s
é v=
1
K
I
⋅p I A 0⋅q I
é s=0⋅pI A
1
3G
I
⋅qI
Appunti di GEOTECNICA. Versione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l’ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
110
CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
Per concludere con lo stato di tensione e di deformazione introdotti si dovrebbe fare ancora uno sforzo per mostrare che
la scelta fatta è congruente: questo significa che i prodotti degli invarianti di tensione e deformazione devono
corrispondere al lavoro compiuto dalle sollecitazioni esterne.
Figura 9.5
Consideriamo un elemento cubico di dimensioni (a1, a2, a3).
Supponiamo che le facce appartengano ai piani principali, e che su di esse agiscano le forze esterne F1, F2, F3 e che
all’interno agisca la pressioni interstiziale costante u.
Di seguito inidico con δ gli incrementi finiti ma piccoli.
Se in un certo istante gli spigoli subiscono una variazione δa1, δa2, δa3 e il volume dell’acqua espulsa è δVW allora il
lavoro δW compiuto dalle forze esterne e dalla pressione interstiziale risulta:
δ W =F 1 Bδ a1 AF 2 Bδ a 2 AF 3 Bδ a3 Bu δ V w
Per ottenere il lavoro per unità di volume divido per il volume V=a1 a2 a3.
δW
V
=
F1
Bδ a1
a2 a3
a1
A
F2
Bδ a2
a1 a 3
a2
A
F3
Bδ a 3
a1 a 2
a3
Bu
δV w
V
Se l’elementino di terreno è saturo e i grani solidi e il fluido interstiziale sono considerati incompressibili allora:
δ V =Bδ V w
δW
V
δW
V
Essendo
=
F1
Bδ a1
a2 a3
a1
A
F2
Bδ a2
a1 a 3
a2
A
F3
Bδ a 3
a1 a 2
a3
Au
δV
V
=σ 1 δ é 1Aσ 2 δ é 2Aσ 3 δ é 3Buδ é v
u δ V =u δé 1Aδ é 2Aδ é 3
δW
V
=σ 1I δ é 1Aσ I2 δ é 2Aσ I3 δ é 3
A questo risultato si deve arrivare anche calcolando il lavoro per unità di volume mediante gli invarianti.
δW
V
= pI δé v Aq I δ é s
Lo mostriamo ricorrendo per semplicità alle condizioni di simmetria radiale:
Appunti di GEOTECNICA. Versione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l’ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
111
CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
σ I2=σ I3
I
p=
e
é 2=é 3
1 I
σ 1A2σ I3
3
I
I
I
q =σ 1Bσ 3
δ é v =δ é 1A2δ é 3
δ é s=
2
δ é 1Bδ é 3
3
Sostituendo ottengo:
δW
V
I
I
=σ 1 δ é 1A2σ 3 δ é 3
Che è esattamente quella che volevamo,scritta per il caso di simmetria radiale.
Appunti di GEOTECNICA. Versione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l’ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
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CAPITOLO 9: SFORZI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
(Questa pagina è intenzionalmente bianca.)
Appunti di GEOTECNICA. Versione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l’ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.