CAPITOLO 2

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CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIVERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO
CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIVERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO
Un campione di terreno viene considerato come un sistema multifase, il quale è costituito da uno scheletro
di particelle solide all’interno del quale sono presenti dei vuoti riempiti di liquido o gas. Le fasi in un campione di
terreno sono 3: una solida, una liquida ed una gassosa.
Figura 2.1
In questo disegno è rappresentata schematicamente la composizione del terreno per evidenziare graficamente la
percentuale delle fasi che lo compongono.
A questo punto diamo alcune definizioni delle caratteristiche principali del terreno.
VOLUME TOTALE V: è dato dalla somma dei volumi delle singole fasi.
V =V g AV wAV s
VOLUME SPECIFICO v: è definito come rapporto tra il volume totale V e il volume della porzione solida Vs.
v=
V
Vs
POROSITÀ n: è definita come il rapporto tra il volume dei vuoti, dato dalla somma
V v =V g AV w , e il volume
totale V.
n=
Vv
V
INDICE DEI VUOTI e: è definito come il rapporto tra il volume dei vuoti e il volume della fase solida.
e=
Vv
Vs
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Relazione tra v ed e.
Possiamo ricavare una relazione fra il volume specifico v e l’indice dei vuoti e:
V =V v AV s
Dividendo per Vs ottengo:
V Vv Vs
= A
Vs Vs Vs
Otteniamo così:
v=eA1
Relazioni tra n ed e.
In base alle definizioni che sono state date si può ricavare una prima relazione tra n ed e.
Vv
n=
Vv
n=
V
=
Vv
V v AV s
=
Vs
1A
Vv
=
e
1Ae
Vs
e
1Ae
Invertendo questa relazione si ottiene che:
e=
n
1Bn
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Valori particolari di n ed e:
Figura 2.2
Regola grafico−mnemonica: per ricordarci la definizione della porosità n e l’indice dei vuoti e è utile disegnare due
volumi elementari e indicare il volume dei vuoti ed il volume della parte solida.
A fianco del primo indichiamo il volume totale come unitario e la porosità n che corrisponde al volume dei vuoti.
A fianco del secondo indichiamo il volume della parte solida unitario e l’indice dei vuoti e che corrisponde al volume
dei vuoti.
In questo modo è facile ricordarsi le definizioni, ma si può ricavare anche n in funzione di e, o viceversa, mettendo in
relazione i due disegni e le quantità corrispondenti.
L’utilità della regola è ancora più efficace quando affianchiamo i pesi delle varie frazioni e riusciamo a ricavare anche le
relazioni con i pesi specifici.
Possiamo osservare che se il volume totale è 1 allora il volume dei vuoti è pari ad n:
n=
Vv
V
= Vv
Se indichiamo con 1 il volume della fase solida allora il volume dei vuoti risulta pari ad e:
e=
Vv
Vs
= Vv
Valori massimi e minimi di n ed e:
Se consideriamo la fase solida di un terreno costituita da sfere di uguale diametro allora la disposizione che massimizza
la porosità, con il minimo di addensamento è quella che dispone 8 sfere centrate nei vertici del cubo di lato D.
Il volume totale del cubo è dato da V=D3; il volume della fase solida contenuta in questo cubo è data da 8 ottavi di
sfera di diametro D.
3
πD
4 D
V s= π
=
3 8
6
3
3
n=
Vv
V
=
V BV s
V
DB
=
πD
D
3
6
3
π D3
DB
6
= 1B
3
e=
Vv
Vs
=
V BV s
Vs
=
D3
π
6
π
6
= 0,476
π
6
= 0,909
π
6
1B
=
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Il minimo valore di porosità per questa condizione ideale di composizione del terreno si ha quando le
singole sfere sono disposte ai 4 vertici di un tetraedro.
In questa situazione si ha che:
n=0,26
e=0,35
è necessario osservare che queste due situazioni appartengono a condizioni ideali, infatti nella realtà possono trovarsi
anche delle porosità inferiori a quella sopra citata, nei vuoti si possono disporre dei granelli più piccoli, oppure
possiamo avere delle porosità più elevate se i singoli granelli non sono a diretto contatto.
Se il materiale è più denso allora esso risulta anche più resistente, più rigido e meno deformabile; inoltre è
possibile che i due materiali con la stessa granulometria e porosità presentino caratteristiche meccaniche diverse in base
alla disposizione dei grani. Se il materiale presenta dei grani appiattiti allora questa proprietà può essere responsabile
dell’anisotropia nei confronti dello sforzo.
GRADO DI SATURAZIONE S: è dato dal rapporto tra il volume occupato dall’acqua Vw e il volume dei vuoti Vv.
S=
Vw
Vv
Il valore di S è compreso tra 0 e 1; per S=0 abbiamo un terreno secco, mentre per S=1 abbiamo un terreno saturo.
CONTENUTO D’ACQUA w: viene definito come il rapporto tra il peso dell’acqua Ww e quello della fase solida Ws
w=
Ww
Ws
Allo stesso modo possono essere date altre definizioni di altre caratteristiche del terreno.
PESO SPECIFICO TOTALE γ:
γ=
W
V
PESO SPECIFICO DELLA PARTE SOLIDA γs:
γ s=
Ws
Vs
PESO SPECIFICO DELL’ACQUA γW:
PESO SPECIFICO DEL TERRENO SECCO γd:
γd =
Ws
V
PESO SPECIFICO TOTALE RIFERITO ALL’ACQUA G:
G=
γ
γw
PESO SPECIFICO TOTALE DEI GRANI RIFERITO ALL’ACQUA Gs:
G s=
γs
γw
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Determiniamo ora alcune relazioni fondamentali che legano le grandezze precedentemente definite supponendo noti i
valori di γ, w e Gs.
Vediamo una relazione fra γd , γ, w:
γd =
Ws
V
γd =
=
W sW
VW
=
γW s
W
=
γW s
W sAW w
=
γ
1A
Ww
=
γ
1Aw
Ws
γ
1Aw
Vediamo una relazione fra γd ,Gs, γw, e:
Ws
γd =
Ws
γd =
V
=
Ws
V sAV v
=
Vs
1A
Vv
=
γs
1Ae
=
G s γw
1Ae
Vs
G s γw
1Ae
Riscriviamo un legame fra n ed e:
n=
eA1
1
1
e
=
B
= 1B
1Ae
1Ae 1Ae
1Ae
da cui
1
=1Bn
1Ae
Riassumiamo il tutto uguagliando le prime due relazioni e sostituendovi la terza, per γd otteniamo quanto segue:
γd =
γ
1Aw
=
G s γw
1Ae
= 1Bn G s γ w
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Vediamo una relazione fra e, n, Gs, γw , γd :
Per quanto riguarda e sappiamo già che:
e=
n
1Bn
Però sviluppando la definizione di e in un’altro modo:
e=
Vv
=
Vs
γ sB
=
V BV s
=
Vs
V γsBV s γ s
V s γs
=
V γ sBW s
Ws
=
Ws
V
=
Ws
γ sBγ d
γd
=
G s γ wBγ d
γd
V
Uguagliando le due relazioni di e, abbiamo:
G s γ wBγ d
e=
γd
=
n
1Bn
Vediamo una relazione fra n, e, Gs, γw , γd , γ :
Per quanto riguarda n sappiamo già che:
n=
e
1Ae
Sviluppiamo questa relazione nel seguente modo:
n=
e
1
= 1B
= 1B
1Ae
1Ae
= 1B
Vs
V
= 1B
V s γs
V γs
Vs
1
= 1B
=
Vv
V sAV v
1A
Vs
= 1B
Ws
V γs
= 1B
γd
γs
= 1B
γd
G s γw
Siccome sappiamo che per γd , γ, w vale che:
γd =
γ
1Aw
segue che
n=1B
γ
1Aw G s γ w
In conclusione le espressioni di n sono:
n=
γ
γ
e
= 1B d = 1B
1Ae
G s γw
1Aw G s γ w
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Vediamo una relazione fra S, w, γw , γd, γ, e, n, Gs :
Partiamo dalla definizione di S:
Ww
S=
Vw
Ww
=
Vv
V v γw
=
V
Vv
V
Ww
=
γw
Ww Ws
Ws V
V
=
n γw
n γw
=
w γd
n γw
Sostituendo a γd la relazione seguente:
γd =
γ
1Aw
Otteniamo per S che:
S=
wγ
n 1Aw γ w
Possiamo sviluppare anche un’altra relazione:
S=
Vw
Vv
Ww
=
V v γw
=
W w γs V s
V v γw W s
=
Applicando le due relazioni:
w=
Ww
G s=
Ws
γs
γw
Otteniamo che:
w
G V =
Vv s s
=
Ricordandoci la definizione di e:
e=
Vv
Vs
Otteniamo per S che:
S=
Gs w
e
In conclusione eguagliando le due relazioni ottenute scriviamo che:
S=
wγ
n 1Aw γ w
=
Gs w
e
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Vediamo una relazione fra γ, S, w, γw , γd, e, n, Gs :
Partiamo dalla definizione di γ:
γ=
W sAW w
γ V Aγ V
γ V Aγ SV
γ V Aγ SV
W
=
= s s w w = s s w v = s s w v =
V
V
V
V
V sAV v
dividendo per Vs:
γ sAγ w S
=
1A
=
Vs
Vv
=
γ sAγ w S e
1Ae
= γw
G sAS e
1Ae
=
Vs
γw G s
1Ae
Vv
Aγ w S
e
= 1Bn γ w G sAγ w S n
1Ae
Le due relazioni utili sono:
γ=γ w
G sAS e
1Ae
γ= 1Bn γw G sAγ w S n
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Determinazione del contenuto d’acqua
Dal punto di vista operativo la determinazione del contenuto d’acqua w in un campione di terreno umido viene fatta
attraverso delle misure successive di peso.
Indichiamo con Wc il peso del contenitore del terreno usato per l’esperimento. Il campione di terreno umido viene
sistemato nel contenitore ed il tutto viene pesato W1 (peso umido). Successivamente il campione viene sottoposto ad
essiccazione ed alla fine del processo viene nuovamente pesato W2 (peso secco). A questo punto si può procedere con la
definizione di contenuto d’acqua w:
w=
ma
Ww
Ws
W w=W 1BW 2
da cui si ricava che:
W s=W 2BW c
w=
W 2BW 1
W 2BW c
Determinazione dell’indice dei vuoti
L’indice dei vuoti può essere calcolato adottando la definizione:
e=
Vv
Vs
che con opportuni passaggi può essere espressa in funzione del peso specifico delle particelle del volume totale e del
peso secco:
e=
Vv
Vs
=
V BV s
Vs
=
V γs
VG s γ w
V
V
B1 =
B1 =
B1 =
B1
Vs
Ws
Ws
Ws
γs
L’indice dei vuoti caratterizza il grado di addensamento di un terreno; è un parametro di grande importanza. Possono
essere determinati per via sperimentale i valori di massimo e di minimo di questo parametro.
emax , emin
Utilizzando questi valori viene definito un nuovo parametro che determina il grado di addensamento espresso in
percentuale:
DENSITÀ RELATIVA DR:
D R=
emax Be
emax Bemin
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