matematica la logica - Liceo Scientifico e Linguistico "A.Vallone"

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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
Nella matematica si chiama proposizione o enunciato
ogni espressione linguistica o frase per la quale si possa
stabilire con certezza se è vera o è falsa.
In altre parole un enunciato è una frase alla quale ha senso
associare uno e uno solo dei due valori di verità: vero o
falso
Ad esempio “la luna è un satellite” è un enunciato;
Mentre “quest’anno sarò promosso” non lo è.
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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
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Congiunzioni di due proposizioni;
Disgiunzione di due proposizioni;
Negazione di una proposizione;
Implicazione materiale o condizionale;
Coimplicazione materiale o bicondizionale;
Formule equiveridiche;
La particella “e”, quando viene usata nel linguaggio ordinario con il significato
di “e contemporaneamente”, corrisponde in logica al connettivo congiunzione
(Λ)
Si definisce congiunzione di due proposizioni p e q e si identifica con
p Λq
Nota: (il simbolo Λ nel linguaggio matematico si legge “et”)
Per rendere più evidente la definizione data, in genere viene introdotta la tavola
di verità, dalla quale risultano i valori di verità della congiunzione pΛq, dati i
possibili valori di verità delle proposizioni p e q
p
q
p Λq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
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Congiunzioni di due proposizioni;
Disgiunzione di due proposizioni;
Negazione di una proposizione;
Implicazione materiale o condizionale;
Coimplicazione materiale o bicondizionale;
Formule equiveridiche;
La parola “o”, quando viene usata nel linguaggio comune con il significato di
“oppure” (in senso alternativo come il vel latino), corrisponde in logica al
connettivo disgiunzione (simbolo V)
Si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q e si indica con il simbolo
pVq
(si legge “p o q” o, meglio ancora, usando il latino, “p vel q”)
Poiché la verità di pVq si verifica nel caso di verità o solo di p o solo di q o di
entrambe le proposizioni, questa disgiunzione è anche detta alternativa.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pVq
V
V
V
F
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Congiunzioni di due proposizioni;
Disgiunzione di due proposizioni;
Negazione di una proposizione;
Implicazione materiale o condizionale;
Coimplicazione materiale o bicondizionale;
Formule equiveridiche;
La particella “non” del linguaggio ordinario corrisponde in logica all’ operatore
negazione.
Si definisce negazione di un enunciato p e si indica con
¯p
(si legge non p oppure p negato)
p
¯p
V
F
F
V
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Congiunzioni di due proposizioni;
Disgiunzione di due proposizioni;
Negazione di una proposizione;
Implicazione materiale o condizionale;
Coimplicazione materiale o bicondizionale;
Formule equiveridiche;
Un altro modo di connettere tra loro due proposizioni può ottenersi mediante il
connettivo “se…allora….”.
Si definisce implicazione materiale o condizionale di due proposizioni p e q e
si indica con
p
q
(si legge “se p allora q” o “p implica q”)
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
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Congiunzioni di due proposizioni;
Disgiunzione di due proposizioni;
Negazione di una proposizione;
Implicazione materiale o condizionale;
Coimplicazione materiale o bicondizionale;
Formule equiveridiche;
Due proposizioni possono essere connesse mediante il connettivo “se e solo se”; si ha in
proposito la seguente definizione.
Si definisce coimplicazione materiale o bicondizionale di due proposizioni p e q e si
indica con
p
q
(si legge “p se e solo se q” o “p coimplica q”)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
V
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Congiunzioni di due proposizioni;
Disgiunzione di due proposizioni;
Negazione di una proposizione;
Implicazione materiale o condizionale;
Coimplicazione materiale o bicondizionale;
Formule equiveridiche;
Diciamo che due formule enunciative A e B sono equiveridiche o uguali
logicamente o, ancora, logicamente equivalenti se esse determinano la stessa
funzione di verità, ossia se assumono entrambe lo stesso valore di verità quali che
siano i valori di verità attribuiti alle lettere enunciative che le compongono.
Scriveremo allora
A B (A è equiveridica a B)
Oppure
A = B (A è uguale logicamente a B)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
V
V
Potremo pertanto scrivere:
p
q = ¯p V q
p¯
F
F
V
V
¯pV q
V
F
V
V
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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
p^p=p
pvp=p
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
p^q=q^p
pvq=qvp
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Proprietà della complementarietà;
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
=
p = p
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
(p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r)
(p v q) v r = p v (q v r)
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
p^q=pvq
pvq=p^q
Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali
esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali
uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…
o Proprietà dell’ idempotenza;
o Proprietà commutativa;
o Proprietà della complementarietà;
o Proprietà associativa;
o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);
o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);
o Leggi di De Morgan;
o Leggi di assorbimento;
p v (p ^ q) = p
p ^ (p v q) = p
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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
Se una formula enunciativa risulta vera qualunque sia il valore di verità
delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una tautologia.
Per indicare che una formula enunciativa A è una tautologia si scrive
A
Se una formula enunciativa risulta falsa qualunque sia il valore di verità
delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una
contraddizione.
La formula ((a ^ b)
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
a) è una tautologia;
a ^ b (a^b) a
V
V
F
V
F
V
F
V
La formula a ^ a è una contraddizione
a
V
F
a
F
V
a^a
F
F
Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento
deduttivo più frequenti in matematica:
o
o
o
o
o
Principio del terzo escluso;
Proprietà transitiva dell’ implicazione;
Legge di contrapposizione;
Modus Ponens;
Modus Tollens;
ava
Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento
deduttivo più frequenti in matematica:
o
o
o
o
o
Principio del terzo escluso;
Proprietà transitiva dell’ implicazione;
Legge di contrapposizione;
Modus Ponens;
Modus Tollens;
((a
b) ^ (b
c))
(a
c)
Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento
deduttivo più frequenti in matematica:
o
o
o
o
o
Principio del terzo escluso;
Proprietà transitiva dell’ implicazione;
Legge di contrapposizione;
Modus Ponens;
Modus Tollens;
(a
b)
(b
a)
Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento
deduttivo più frequenti in matematica:
o
o
o
o
o
Principio del terzo escluso;
Proprietà transitiva dell’ implicazione;
Legge di contrapposizione;
Modus Ponens;
Modus Tollens;
((a
b) ^ a)
b
Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento
deduttivo più frequenti in matematica:
o
o
o
o
o
Principio del terzo escluso;
Proprietà transitiva dell’ implicazione;
Legge di contrapposizione;
Modus Ponens;
Modus Tollens;
((a
b) ^ b)
a
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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare
questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o
regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune
proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni:
o
o
o
o
Modus Ponens;
Modus Tollens;
Modus Pollendo Tollens;
Modus Tollendo Ponens;
Consideriamo la tautologia:
(a
((a
b) ^ a)
b) ^ a
b
V
V
V
V
F
F
Se sono vere le proposizioni “a
((a
b
b) ^ a)
b
b” e “a”, dev’ essere vera anche la proposizione b.
Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare
questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o
regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune
proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni:
o
o
o
o
Modus Ponens;
Modus Tollens;
Modus Ponendo Tollens;
Modus Tollendo Ponens;
Dalla tautologia:
(a
((a
b) ^ b)
b) ^ b
a
V
V
V
V
F
F
Se è vera la proposizione “a
anche la negazione di “a”.
((a
a
b) ^ b) a
b” ed è vera la negazione di “b”, deve essere vera
Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare
questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o
regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune
proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni:
o
o
o
o
Modus Ponens;
Modus Tollens;
Modus Ponendo Tollens;
Modus Tollendo Ponens;
Dalla tautologia:
((a ^ b) ^ b)
a
(a ^ b) ^ b
a
((a ^ b) ^ b)
V
V
V
V
F
F
Se è vera la proposizione “a ^ b” ed è vera “b”, deve essere vera anche “a”.
a
Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare
questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o
regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune
proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni:
o
o
o
o
o
Modus Ponens;
Modus Tollens;
Modus Ponendo Tollens;
Modus Tollendo Ponens;
Reductio ad absudum;
Dalla tautologia:
((a v b) ^ b)
a
(a v b) ^ b
a
((a v b) ^ b) a
V
V
V
V
F
F
Se è vera la proposizione “a v b” ed è vera la negazione di “b ”, deve essere vera
anche “a”.
Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare
questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o
regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune
proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni:
o
o
o
o
o
Modus Ponens;
Modus Tollens;
Modus Ponendo Tollens;
Modus Tollendo Ponens;
Reductio ad absurdum;
Dalla tautologia:
((a b) ^ b)
a
(a b) ^ b
a
((a b) ^ b) a
V
V
V
V
F
F
Seguendo questo schema, per dimostrare un enunciato a si prova a negarlo,
ossia ad affermare a; se da tale negazione si può trarre una conclusione b e,
contemporaneamente, è noto che tale conclusione è falsa, ossia si ha (a b) ^ b,
si può dedurre che a è vero.
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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
o Implicazione logica;
o Equivalenza logica;
Considerati due predicati p(x) e q(x), con x appartenente d un opportuno dominio,
se ogni valore di x che rende vero p(x), si dice che p(x) implica logicamente q(x)
o che q(x) è conseguenza logica di p(x).
Per indicare che p(x) implica logicamente q(x), si scrive
p(x)
q(x)
Analizziamo la seguente frase:
se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2.
Allo scopo consideriamo i due predicati
p(x): x è divisibile per 4
q(x): x è divisibile per 2.
XЄN
o Implicazione logica;
o Equivalenza logica;
Due predicati p(x) e q(x) sono logicamente equivalenti, se ogni valore di x che
rende vero p(x) rende vero q(x) e se, contemporaneamente, ogni x che rende vero
q(x) rende vero anche p(x).
“se un triangolo ha 2 angoli uguali allora ha 2 lati uguali” è un’ implicazione
logica in quanto, come si dimostra in geometria, se un triangolo ha 2 angoli
uguali, allora ha anche 2 lati uguali. In questo caso oltre ad essere p(x) = q(x) è
anche q(x) = p(x)
Se due predicati si implicano logicamente a vicenda, si scrive
p(x) =
q(x)
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Logica degli enunciati;
Operazioni con le proposizioni;
Proprietà delle operazioni logiche;
Tautologie;
Regole di deduzione;
Logica dei predicati;
Implicazione logica. Equivalenza logica;
Condizione necessaria, condizione sufficiente;
p(x): x è divisibile per 6
q(x): x è pari.
> q(x), si suol dire che
In matematica, scrivendo p(x) =
1.
2.
3.
p(x) è condizione sufficiente per q(x); infatti l’essere un numero divisibile per 6
è una condizione sufficiente perché il numero sia pari.
q(x) è condizione necessaria per p(x); infatti l’essere pari è necessario per essere
divisibile per 6.
Nel caso in cui i predicati p(x) e q(x) siano logicamente equivalenti, diremo che
p(x) è condizione necessaria e sufficiente per q(x).
Lavoro prodotto dall’alunno Colitta Giancarlo
della classe 2A a.s.2007/08
guidato dalla prof.ssa Martina Anna Rita