Essendo il sistema olonomo a vincoli lisci, il modo pi`u semplice di

Essendo il sistema olonomo a vincoli lisci, il modo più semplice di ricavare la configurazione di equilibrio
è di utilizzare il principio di stazionarietà del potenziale.
L’unica forza che agisce sul sistema è la forza peso, il cui potenziale è dato da
U = −mgyG − mgyK ,
essendo G e K rispettivamente il baricentro dell’asta e della lamina. Poiché
√
π´
2
yG = l sin θ +
=
l (cos θ + sin θ),
4
2
√
2
l (2 cos θ + 1),
yH =
2
³
si ha
√
U =−
Derivando,
2
mgl (3 cos θ + sin θ) + cost.
2
√
dU
2
=
mgl (3 sin θ − cos θ),
dθ
2
che si annulla per tan θ = 13 , cioè θ = arctan 13 .
È ora necessario verificare se le reazioni vincolari sono compatibili con i vincoli, e in particolare se è
soddisfatta la condizione di appoggio della lamina, che puó essere scritta 0 ≤ MAv ≤ l Rv , dove Rv e MAv
sono la risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari agenti sulla base AD della lamina.
A questo scopo scriviamo la prima equazione cardinale per il sistema e per l’asta:
~O + R
~ v = 0,
2m~g + R
~O + R
~ H = 0.
m~g + R
~H = −
In componenti, ricordando che, essendo i vincoli lisci, R
√
2
2
~v =
RH ( ~e1 + ~e2 ), R
√
2
2
Rv (− ~e1 + ~e2 ),
√
√
2 v
2 v
y
−
R = 0,
−2mg + RO +
R = 0,
2
2
√
√
2
2
y
x
RO −
RH = 0,
−mg + RO −
RH = 0,
2
2
√
√ x
y
da cui ricaviamo RH = Rv = 2 RO
= 22 mg, RO
= 32 mg.
Scriviamo inoltre la seconda equazione cardinale per per la lamina, con polo in A:
x
RO
√
−−→
−−→
~ H ) + MAv = − 2 mgl sin θ + MAv = 0,
AK × m~g + AH × (−R
da cui ricaviamo MAv =
√
2 mgl sin θ =
mgl
√ ,
5
√1 .
10
mgl
2 .
essendo sin(arctan 13 ) =
Dunque, i vincoli in AD sono compatibili essendo 0 <
mgl
√
5
<
Notiamo infine che la seconda equazione cardinale per per l’asta con polo in O ci ridà la condizione di
equilibrio:
√
2
−−→
−−→ ~
OG × m~g + OH × RH = −
mgl(cos θ + sin θ) − 2lRH sin θ = 0,
2
da cui si ricava RH = −
√
2
4
mg(1 + cot θ), che confrontato con RH =
√
2
2
mg, dà tan θ = 13 .