Schema studio funzione

Schema per lo studio di funzione
Parte 1
1. Studio del dominio della funzione (per la ricerca degli eventuali punti di discontinuità della
funzione). Riporto subito il dominio sul grafico, segnando gli eventuali punti di
discontinuità con un pallino vuoto.
2. Simmetrie. Al posto della x
a)
b)
c)
-x.
Se f(-x) = f(x) allora la funzione è pari (cioè la funzione è simmetrica rispetto
all’asse delle y).
Se f(-x) = -f(x) allora la funzione è dispari (cioè la funzione è simmetrica rispetto al
centro).
Se f(-x) ≠ f(x) allora la funzione è asimmetrica.
3. Intersezioni con gli assi cartesiani.
a)
Interseco sempre la funzione y = f(x) con la retta y = 0 (asse x).
y = f (x)
{
y=0
b)
Interseco la funzione y = f(x) con la retta x = 0 (asse y), solo se la funzione è ivi
definita.
y = f (x)
x=0
{
Riporto i punti di intersezione sul grafico segnandoli con un pallino pieno.
4. Studio del segno della funzione (positività e negatività).
Studio la disequazione f(x) > 0. Riporto i risultati sul grafico.
Parte 2
5. Ricerca degli eventuali Asintoti Verticali (A.V.)
La ricerca si fa può fare solo se la funzione ha punti di discontinuità. Detto c tale punto, si
calcola il limite per x che tende a c dalla parte sinistra e destra
lim f ( x)
x
→ c
Se i limiti esistono infiniti, allora la retta x = c è A.V dx e/o sx per la funzione.
6. Ricerca degli eventuali Asintoti Orizzontali (A.OR.)
La ricerca si fa può fare solo se la funzione ha un dominio illimitato a dx e/o a sx. Si
calcola il limite per x che tende a +/- ∞
lim f ( x)
x
→ ∞
Se i limiti esistono finiti e valgono l, allora la retta y = l è A.OR dx e/o sx per la funzione.
a cura di G.Calò
7. Ricerca degli eventuali Asintoti Obliqui (A.OBL.)
La ricerca si fa può fare solo se la funzione ha un dominio illimitato a dx e/o a sx.
L’esistenza dell’asintoto orizzontale esclude l’esistenza di quello obliquo.
a) Si calcola il limite per x che tende a +/- ∞. Se i limi. esistono infini. ci può essere
l’asintoto obliquo:
lim f ( x) = ∞
x →∝
b) Si calcola il limite per x che tende a +/- ∞ della funzione f(x)/x. Se il limite esiste finito
e vale m ≠ 0, allora si prosegue.
1
f ( x) = m ≠ 0
lim
x
x → ∞
c) Si calcola il limite per x che tende a +/- ∞ della funzione [f(x)-mx]:
lim [ f ( x) − mx] = q
x → ∞
Se il limite esiste finito e vale q (incluso lo zero), allora la retta di equazione y=mx+q è A.OBL
dx e/o sx per la funzione.
Parte 3
8. Studio della derivata prima.
Si calcola la derivata prima della funzione y = f ( x) e la si impone ≥ 0 .
'
a)
La f ( x) = 0 consente di trovare gli eventuali punti stazionari o estremanti della
funzione e cioè punti di massimo relativo proprio (M), punti di mimino relativi
propri (m) o punti di flesso (f) a tangente orizzontale per la funzione.
'
La f ( x) > 0 consente di studiare la crescenza e/o decrescenza (monotonìa) della
funzione, oltre che distinguere la natura dei punti estremanti.
Si costruisce il seguente grafico che permette di stabilire di che punti si tratta.
b)
'
m
M
f
La freccia in salita indica derivata prima positiva.
Si ha così un punto di minimo m nel primo caso, un punto di massimo relativo proprio M e
nel terzo caso un punto f di flesso a tangente orizzontale.
9. Studio della derivata seconda.
Si calcola la derivata seconda della funzione y = f ( x) e la si impone ≥ 0 .
''
a)
La f ( x) = 0 consente di trovare gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua
per la funzione.
''
b) La f ( x) > 0 consente di studiare la concavità e la convessità della funzione.
Si costruisce il seguente grafico che permette di stabilire la concavità, la convessità e se
esistono punti di flesso.
''
f
Nel grafico la concavità rivolta verso l’alto indica derivata seconda positiva.
Quando la derivata seconda si azzera e vi è una variazione di concavità, si ha un punto di
flesso a tangente obliqua.
a cura di G.Calò