Moto parabolico - web

Il moto di un corpo lanciato
Moto orizzontale e moto verticale
Consideriamo un corpo che si muove lungo una traiettoria non rettilinea e scomponiamo il vettore
posizione lungo gli assi orizzontale e verticale. Il moto del corpo è dato dalla risultante dei moti
rettilinei relativi alle due componenti cartesiane. Questi moti sono completamente indipendenti,
cioè il moto lungo la direzione verticale si svolge come se non vi fosse alcun moto orizzontale e
viceversa il moto orizzontale si svolge come se non vi fosse alcun moto verticale.
r
Per un corpo lanciato con velocità v0 inclinata di un angolo θ rispetto all’orizzontale, il moto lungo
m
la direzione verticale è un moto uniformemente accelerato con accelerazione g = 9,81 2 diretta
s
verso il basso e velocità iniziale v0y, mentre il moto orizzontale è rettilineo uniforme con velocità
v0x, dove v0 x = v0 cos(θ ) e v0 y = v0 sin(θ ) . La posizione del mobile in un sistema di riferimento
avente l’origine nel punto iniziale del moto, l’asse x diretto orizzontalmente e l’asse y verticalmente
verso l’alto, è determinata dalle due coordinate x e y, delle quali la prima varia nel tempo secondo la
legge oraria del moto rettilineo uniforme e l’altra secondo la legge oraria del moto uniformemente
 x(t ) = v0 x ⋅ t

; v0x e v0y sono le componenti x e y della velocità iniziale.
accelerato: 
1 2
(
)
y
t
=
−
gt
+
v
⋅
t
0
y

2
Osserviamo che, essendo l’asse y diretto verticalmente verso l’alto, il segno dell’accelerazione di
gravità è negativo.
Velocità e traiettoria del moto di un corpo lanciato
Per quanto riguarda la velocità di un corpo lanciato la componente orizzontale v0x(t) è costante nel
v x (t ) = v0 x
tempo, mentre la componente verticale vy(t) varia proporzionalmente al tempo: 
.
v y (t ) = v0 y − g ⋅ t
Osserviamo che:
(v0 x )2 + (v0 y − g ⋅ t )2
•
il modulo della velocità si calcola con il teorema di Pitagora: v(t ) =
•
il rapporto tra le due componenti della velocità varia durante il moto, quindi varia anche la
direzione della velocità e con essa la pendenza della traiettoria che ha la forma di una particolare
curva detta parabola.
Due importanti casi di moto parabolico
Tra tutte i possibili casi di moto parabolico, ne studieremo in dettaglio due particolarmente rilevanti.
Primo caso: corpo lanciato orizzontalmente da una certa altezza
Consideriamo il moto di una pallina lanciata orizzontalmente dal bordo di un tavolo. Ci
domandiamo:
1.
quanto tempo impiega la pallina a cadere?
2.
a che distanza X dalla base del tavolo tocca terra?
3.
che velocità ha quando tocca terra?
Per rispondere alla prima domanda (cioè per calcolare il cosiddetto tempo di volo) osserviamo che,
poiché il moto lungo la verticale si svolge in maniera completamente indipendente da quello lungo
l’orizzontale, il tempo necessario per arrivare a terra è indipendente da dalla componente
orizzontale della velocità. Possiamo dunque calcolarlo come se la pallina cadesse da ferma.
1 2
gt v , dove
2
tv è il tempo di volo o di caduta. Per ottenere tv moltiplichiamo ambo i termini dell’equazione per 2,
2h
.
dividiamo per g ed estraiamo la radice quadrata: t v =
g
Passiamo adesso alla seconda questione. Lo spazio X percorso in orizzontale (detto anche gittata) è
quello di un corpo che si muove con velocità costante v0 per un tempo tv, cioè: X = v0 × tv.
Applicando la legge oraria del moto uniformemente accelerato scriviamo dunque: h =
Per rispondere alla terza domanda, utilizziamo la formula v(t ) =
v0 e v0y = 0, ottenendo vfin =
(v0 )2 + (g ⋅ t v )2
(v0 x )2 + (v0 y − g ⋅ t )2
, in cui v0x =
.
Secondo caso: corpo lanciato da terra con una velocità inclinata rispetto all’orizzontale
Consideriamo la situazione di un corpo lanciato da terra con velocità iniziale v0 inclinata di un certo
angolo rispetto all’orizzontale. Vi sono due importanti differenze rispetto al caso precedente:
a. l’altezza dal suolo del punto di partenza e quella del punto di arrivo coincidono
b. la velocità iniziale ha componenti diverse da zero sia lungo x che lungo y.
Anche in questo caso ci chiediamo:
1.
il tempo di volo
la gittata del lancio
2.
3.
la velocità finale
Inoltre in questo caso siamo interessati anche a sapere
4.
quale sia la massima altezza raggiunta dal corpo durante il moto.
Anche in questo caso la grandezza chiave è il tempo di volo, che è il doppio del tempo ts (tempo di
salita) necessario per arrivare alla massima altezza. Poiché nel punto più alto della traiettoria la
componente verticale della velocità è nulla, per trovare ts imponiamo che sia vy = 0 nell’equazione:
v0 y
v0 y
v y = v0 y − g ⋅ t cioè: 0 = v0 y − g ⋅ t s , da cui: t s =
. Otteniamo il tempo di volo: tv = 2·ts = 2·
.
g
g
Da qui possiamo calcolare la gittata che è lo spazio percorso a velocità v0x durante l’intervallo di
tempo tv: X = v0x × tv.
Per quel che riguarda la velocità finale osserviamo che la componente verticale è:
2v0 y
v fy = v0 y − g ⋅ t v = v0 y − g ⋅
= −v0 y , mentre quella orizzontale rimane invariata rispetto al
g
valore iniziale; quindi il modulo della velocità finale è uguale a quello della velocità iniziale.
Per determinare la massima altezza h raggiunta infine, sostituiamo il tempo di salita ts nella legge
1
oraria per la componente y del moto: h = − gt s2 + v0 y ⋅ t s .
2
Il moto parabolico nel quotidiano
Il moto parabolico è presente in moltissimi sport. In alcuni casi questa caratteristica è evidente (si pensi ai tiri
lunghi nel calcio o al lancio del giavellotto) in altri lo è molto meno, vuoi perché le traiettorie sono
estremamente ‘larghe’ o ‘strette’, vuoi perché il singolo atto di moto dura per un tempo così breve che
difficilmente lo si apprezza. In generale in tutti gli sport in cui un attrezzo o l’atleta stesso ‘volano’ (nel
senso che non hanno contatto col terreno) si presentano esempi di moto parabolico.
La traiettoria del baricentro di un saltatore in alto dallo stacco all’atterraggio è una parabola; si tratta di una
parabola molto stretta, cioè con una bassa componente orizzontale della velocità iniziale. Infatti nel salto in
alto non è importante la gittata, sono sufficienti quei pochi centimetri necessari per passare dalla pista al
saccone.
Completamente diversa è la situazione del tiro con l’arco: anche se la freccia sembra muoversi in linea retta,
essa in realtà segue una traiettoria parabolica. In questo caso si tratta di una parabola molto larga.
La differenza tra correre e camminare è che nella corsa c’è un breve intervallo di tempo in cui entrambi i
piedi sono staccati dal terreno. Questo significa che il moto del baricentro di un corridore sarà una
successione di tanti piccoli archi di parabola. Nella specialità della marcia invece, almeno un piede deve
essere sempre a contatto col terreno; questo è il motivo per cui durante le gare i giudici guardano con
attenzione i passi degli atleti, e se ne scoprono qualcuno che invece di marciare sta correndo gli infliggono
una penalità.
Verifiche di comprensione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Che influenza ha il moto in direzione x su quello in direzione y?
Che tipo di moto si ha lungo la direzione orizzontale?
Che tipo di moto si ha lungo la direzione verticale?
Come si calcola la posizione di un corpo lanciato ad un determinato istante?
Come si calcola la velocità di un corpo lanciato ad un determinato istante?
Che tipo di traiettoria segue un corpo lanciato?
Che cosa si intende per tempo di volo?
Che cosa si intende per gittata?
Come si calcola la gittata noti il tempo di volo e le componenti della velocità iniziale?
Come dipende il tempo di volo dalla velocità iniziale nel caso di un corpo lanciato orizzontalmente da
una certa altezza?
11. Come si calcola il tempo di volo nel caso di un corpo lanciato orizzontalmente da una certa altezza?
12. Come si calcola il modulo della velocità finale noti il tempo di volo e la velocità iniziale nel caso di un
corpo lanciato orizzontalmente da una certa altezza?
13. Che cos’è e come si calcola il tempo di salita per un corpo lanciato da terra obliquamente?
14. Come si calcola il tempo di volo nel caso di un corpo lanciato da terra obliquamente?
15. Come si calcola la massima altezza noti il tempo di salita e le componenti della velocità iniziale nel caso
di un corpo lanciato da terra obliquamente?
Verifiche di conoscenza
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Il moto di un corpo lanciato si scompone in due moti:
a. rettilineo uniforme in orizzontale e uniformemente accelerato in verticale
b. uniformemente accelerato in orizzontale e rettilineo uniforme in verticale
c. rettilineo uniforme sia in orizzontale che in verticale
d. uniformemente accelerato sia in orizzontale che in verticale
Nel moto di un corpo lanciato l’accelerazione è:
a. tangente alla traiettoria e di modulo variabile durante il moto
b. diretta verticalmente verso il basso e di modulo variabile durante il moto
c. diretta verticalmente verso il basso e di modulo costante durante il moto
d. tangente alla traiettoria e di modulo costante durante il moto
La traiettoria di un corpo lanciato è:
a. un arco di circonferenza
b. un arco di parabola
c. un segmento di retta
d. dipende dalle condizioni iniziali del lancio
Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo adeguato scelto tra quelli indicati:
Nel moto di un corpo lanciato la componente … della … rimane … mentre quella … aumenta
sempre …. (verticale, costante, orizzontale, verso il basso, velocità)
Nel caso di un corpo lanciato orizzontalmente da una certa altezza il tempo di volo:
a. non dipende dalla velocità iniziale
b. aumenta proporzionalmente alla velocità iniziale
c. è inversamente proporzionale alla velocità iniziale
d. dipende sia dalla velocità iniziale che dall’altezza di caduta
La gittata di un corpo lanciato orizzontalmente:
a. non dipende dalla velocità iniziale
b. è data dal rapporto tra il tempo di volo e l’altezza di caduta
c. è data dal prodotto tra tempo di volo e altezza di caduta
d. dipende dall’altezza di caduta in quanto il tempo di volo dipende dall’altezza di caduta
7.
Per calcolare la gittata del moto di un corpo lanciato orizzontalmente da una certa altezza
conoscendo l’altezza di caduta e la velocità iniziale si deve:
a. prima calcolare il tempo di volo utilizzando l’altezza di caduta e poi ricavare la gittata
moltiplicando il tempo di volo per la velocità iniziale
b. prima calcolare la componente verticale della velocità iniziale, poi il tempo di volo e
infine la gittata moltiplicando il tempo di volo per la velocità iniziale
c. moltiplicare la velocità iniziale per la radice quadrata del rapporto tra l’altezza di caduta e
l’accelerazione di gravità
d. moltiplicare tra loro le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale e dividere
per l’accelerazione di gravità
8. Nel caso di un corpo lanciato da terra con una velocità inclinata rispetto all’orizzontale:
a. la velocità finale ha lo stesso modulo e la stessa direzione di quella iniziale
b. la velocità finale ha lo stesso modulo di quella iniziale
c. la componente verticale della velocità iniziale è uguale a quella della velocità finale
d. la velocità finale ha la stessa direzione di quella iniziale ma non lo stesso modulo
9. Nel caso di un corpo lanciato da terra con una velocità inclinata rispetto all’orizzontale il
tempo di volo:
a. non dipende dalla velocità iniziale
b. dipende sia dalla componente orizzontale che da quella verticale della velocità iniziale
c. è il doppio del tempo di salita
d. non dipende dall’angolo di inclinazione della velocità iniziale
10. Per calcolare la gittata del moto di un corpo lanciato da terra con una velocità inclinata rispetto
all’orizzontale conoscendo il modulo e l’angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale della
velocità iniziale si deve:
a. prima calcolare il tempo di volo utilizzando l’altezza di caduta e poi ricavare la gittata
moltiplicando il tempo di volo per la velocità iniziale
b. prima calcolare la componente verticale della velocità iniziale, poi il tempo di volo e
infine la gittata moltiplicando il tempo di volo per la componente orizzontale della
velocità iniziale
c. moltiplicare la velocità iniziale per la radice quadrata del rapporto tra l’altezza di caduta e
l’accelerazione di gravità
d. moltiplicare tra loro le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale e dividere
per l’accelerazione di gravità
Problema svolto 1 – Applicazione delle leggi del moto parabolico per calcolare posizione,
velocità e direzione di un mobile dopo un dato tempo
m
Un oggetto viene lanciato con una velocità iniziale di 20
inclinata di 60˚ rispetto all’orizzontale verso
s
l’alto. Dopo 3 s: a che distanza s si trova dal punto di lancio? quanto vale la sua velocità? come è diretta la
traiettoria?
Scriviamo i dati del problema
y
m
Il vettore velocità iniziale v0 ha intensità 20
e direzione
s
v0
60˚ rispetto all’orizzontale verso l’alto.
L’istante t = 3 s a cui si vuol conoscere posizione e velocità.
x
Incognite
La distanza s del corpo dall’origine a t = 3 s
il modulo del vettore velocità a t = 3 s
la direzione della traiettoria a t = 3 s.
Analisi e soluzione
Iniziamo col calcolare le componenti x e y della velocità iniziale:
m
m

o
v0 x = v0 cos(60 ) = 20 s × 0,5 = 10 s

m
m
v0 y = v0 sin(60 o ) = 20 × 0,866 = 17,3
s
s

Scriviamo quindi la legge oraria e calcoliamo in tal modo le componenti del vettore posizione a t = 3 s:
m

(
)
x
3
s
=
10
× 3 s = 30 m

s

1
m
m
 y (3 s ) = − × 9,8 2 × (3 s )2 + 17,3 × 3 s = 7,8 m
2
s
s

Dal le componenti del vettore posizione la distanza s si trova per mezzo del teorema di Pitagora:
s (3 s ) =
[x(3 s )] + [y(3 s)]
2
2

v x
Le componenti del vettore velocità sono date da: 
v y

2
(30 m ) + (7,8 m) = 31 m
(3 s ) = 10 ms
(3 s ) = 17,3 ms − 9,8 m × 3 s = -12,1 ms
=
2
2
s2
2
m
m
 m 
da cui: v(3 s ) = 10  +  − 12,1  = 15,7 . Ricordando che il vettore velocità istantanea è
s
s
 s 
sempre tangente alla traiettoria, per calcolare l’angolo θ che questa forma con l’orizzontale applichiamo la
vy
formula sin (θ ) = r =
v
− 12,1
= −0,77 ; da cui, utilizzando la funzione inversa del seno ricaviamo: θ =
15,7
50,4˚ (verso il basso).
Problemi
1. Un corpo viene lanciato orizzontalmente da una finestra molto alta con una velocità iniziale di 10
m
.
s
Quanto valgono dopo 3 s la distanza dal punto di lancio e il modulo del vettore velocità?
2. Un oggetto viene scagliato da terra con una velocità iniziale di 28,3
m
inclinata di 45˚ rispetto
s
all’orizzontale verso l’alto. Quanto vale la velocità dell’oggetto dopo 1 s e di quale angolo è inclinata
rispetto all’orizzontale?
3. Una palla viene lanciata da terra con una velocità di 15
m
inclinata di 60˚ rispetto all’orizzontale verso
s
l’alto. A che distanza dal punto di lancio si trova dopo 2 s?
4. Una freccia viene scagliata dall’arco con una velocità di 25
m
diretta orizzontalmente. Quanto tempo
s
impiega a raggiungere un bersaglio posto a 18 m di distanza orizzontale? Di quanto si abbassa durante il
volo?
5. Una pallina viene lanciata orizzontalmente da un tavolo alto 80 cm con una velocità di 2
m
. A che
s
distanza dal tavolo tocca terra la pallina?
6. Quanto vale la velocità finale della pallina del precedente problema?
7. Quanto deve valere la minima velocità che un ragazzo deve imprimere orizzontalmente ad una palla che
lancia da una finestra alta 6 m se vuole farla prendere al volo ad un amico posto a 7 m dalla casa?
8. Un giocatore di golf imprime alla pallina una velocità di 18
che distanza dal punto di lancio atterrerà la pallina?
m
inclinata di 40˚ rispetto all’orizzontale. A
s
9. Se il portiere dell’esempio 4 facesse lo stesso rinvio in un campo da calcio posto all’interno di una base
lunare, dove l’accelerazione di gravità vale 1,6
m
a che distanza cadrebbe il pallone?
s2
10. Dimostra che, per fare centro, l’arciere del problema 4 deve alzare il tiro di 8,2˚.
11. Due bambini stanno giocando a palla in casa. Ad un certo punto la palla passa attraverso una finestra
aperta con una velocità orizzontale di 3
m
. La finestra è alta 4 m rispetto alla strada sottostante. A che
s
distanza dalla casa tocca terra la palla? Con quale velocità?
12. Un portiere rinvia verso l’area avversaria con un calcio che comunica al pallone una velocità di 24,4
inclinata di 40,5˚ rispetto all’orizzontale. A che distanza atterra il pallone?
m
s