Esercizio 59. Un razzo viene lanciato verticalmente e sale

Esercizio 59.
Un razzo viene lanciato verticalmente e sale per 6.00 s con accelerazione costante di 4.00 m/s2.
Dopo questo tempo finisce il carburante e prosegue come un corpo in caduta libera.
a) Qual `e la massima altezza (y2) raggiunta?
b) Quanto tempo (t02.20) impiega dal decollo all’atterraggio?
Il moto complessivo risulta scomponibile in tre moti:

un primo tratto (y01) di moto accelerato verso l’alto, fino all’esaurimento del carburante;

un secondo tratto (y12), sempre di salita, con moto però decelerato;

un terzo tratto (y20), di caduta, con moto accelerato verso il basso.
Domanda a) Qual è la massima altezza raggiunta dal razzo?
𝑦2 = 𝑦0 + 𝑦01 + 𝑦12 sono i pezzi da considerare.
0 a pedice è per distacco da Terra;
𝑦0 = 0 𝑚.

Calcoliamo prima la distanza che il razzo percorre durante la fase di accelerazione;
𝑡0 = 0 𝑠 il tempo decorre dal distacco;
𝑣0 = 0
𝑚
𝑠
𝑎 = 4.00
il razzo parte da fermo;
𝑚
𝑠2
è l’accelerazione netta assegnata per la prima fase, di accelerazione costante;
1
2
𝑦01 = 𝑦0 + 𝑣0 ∙ 𝑡01 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑡01
è la formula per la prima fase (01)
𝑦01 = 0 𝑚 + 0

𝑚
1
𝑚
∙ (6.00 𝑠) + ∙ 4.00 2 ∙ (6.00 𝑠)2 = 72.00 𝑚
𝑠
2
𝑠
Al che, il razzo ha raggiunto la velocità
𝑡01 = 6.00 𝑠
𝑣1 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡01 = 0

𝑚
𝑚
𝑚
+ (4.00 2 ) ∙ (6.00 𝑠) = 24.00
𝑠
𝑠
𝑠
Il razzo ha dunque proseguito, decelerando fino ad annullare la sua velocità di salita.
Risolvo col bilancio energetico trascurando le perdite: così, niente lavoro!
Essendo finito il carburante, il lavoro motore non c’è più.
Avendo trascurato le perdite, non c’è lavoro resistente.
𝐸𝑖 𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟 + 𝐸𝑖 𝑐𝑖𝑛 = 𝐸𝑓 𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟 + 𝐸𝑓 𝑐𝑖𝑛
𝑦1 sia la quota base per la trasformazione  𝑦1 = 0;
𝑦2 sia la relativa quota finale per la trasformazione;
𝑦12 = 𝑦2 − 𝑦1 è il tratto, la corsa, di trasformazione;
m sia la massa del razzo, ormai privo di carburante → moto decelerato, che la forza di gravità è di richiamo.
g = 9.8
𝑚
𝑠2
è il modulo dell’accelerazione di gravità considerata.
NB: il razzo si trova alla massima altezza quando non sale più ma neanche scende.
1
1
(𝑚𝑔) ∙ (𝑦1 = 0) + ∙ 𝑚 ∙ 𝑣12 = (𝑚𝑔) ∙ 𝑦2 + ∙ 𝑚 ∙ (𝑣2 = 0)2
2
2
1 2
∙ 𝑣 = 𝑔 ∙ 𝑦2
2 1
𝑣12
= 𝑦2
2∙𝑔
𝑦2 ≅ 29,4 m (metri)

La massima altezza raggiunta è quindi:
𝑦2 = 𝑦0 + 𝑦01 + 𝑦12 = 0 + 72.00 + 29.4 = 101.4 𝑚
Domanda b) Quanto tempo impiega il razzo dal decollo all’atterraggio?

𝑡01 = 6.00 s è assegnato quale tempo per la fase di accelerazione (72.00 m).

𝑡12 = ⋯ s è invece il tempo (da ricavare) per la fase di decelerazione ancora di salita(29.4 m);
g = 9.8
𝑚
𝑠2
è il modulo dell’accelerazione di gravità considerata.
𝑣1 = 24.00
𝑣2 = 0
𝑚
𝑠
𝑚
𝑠
già ricavata;
il razzo si trova alla massima altezza quando non sale più ma neanche scende;
𝑣2 = 𝑣1 + 𝑔 ∙ 𝑡12 è la formula che io applico;
NB: avendo più dati dello stretto necessario, non siamo obbligati e più formule risultano applicabili.
0
𝑚
𝑠
= 24.00
𝑚
𝑠
+ (−9.8
𝑚
) ∙ 𝑡12
𝑠2
essendo rivolta verso il basso, l’accelerazione di gravità è negativa;
𝑡12
𝑚
24.00 𝑠
=
𝑚 = 2.45 𝑠
−9.8 2
𝑠

Calcoliamo infine il tempo di caduta, fase di decelerazione in discesa (101.4 m);
1
2
2
𝑦20 = 𝑦2 + 𝑣2 ∙ 𝑡20 + ∙ 𝑔 ∙ 𝑡20
è la formula da applicare;
𝑚
1
𝑚
2
) ∙ 𝑡20 + ∙ (−9.8 2 ) ∙ 𝑡20
𝑠
2
𝑠
1
𝑚
2
−101.4 𝑚 = ∙ (−9.8 2 ) ∙ 𝑡20
2
𝑠
0 𝑚 = 101.4 𝑚 + (0
𝑡20 = 4.55 𝑠

Da tutto ciò risulta che il tempo complessivo è
𝑡02.20 = 𝑡01 + 𝑡12 + 𝑡20
𝑡02.20 = 6.00 𝑠 + 2.45 𝑠 + 4.55 𝑠 = 13.00 𝑠