Problema sciatore che lancia razzo

Per illuminare una discesa lungo una pista di 300 m e con un dislivello di 60,0 m, uno sciatore
lancia, contemporaneamente alla sua partenza, un razzo luminoso con velocità iniziale, diretta
orizzontalmente, di valore 90,0 m/s. ( V0 orizz)
• A quale distanza orizzontale dal punto di partenza ricade il razzo?
• Qual è la velocità dello sciatore al termine della pista?
• A quale quota y ed a quale distanza x cade il razzo se la sua V0 orizz è di 70,0 m/s ?
• Quanto tempo impiega in quest'ultimo caso a cadere il razzo?
L = 300 m (lunghezza o ipotenusa del triangolo del piano inclinato)
h = 60,0 m (cateto minore o della quota massima)
2
2
L, h → b= √ L −h =293,9387691≈294 m (cateto maggiore o della base del piano inclinato)
V0 = 90,0 m/s (orizzontale)
Calcolo distanza caduta razzo
V0x = V0
V0y = 0 x0 = 0 y0 = h
x = x0 + V0x·t
= V0x·t
= 90,0·t
2⋅60,0
y = y0 + V0y·t – g·t2/2 = y0 - g·t2/2 = 60,0 – 9,8·t2 /2 = 0 per t =
=3,49927≈3,5 s
9,8
x = 90,0 · 3,49927= 314,93 ≈ 315 m > 300 m (L) > 294 m (b) (il razzo cade dopo la discesa ! )
Calcolo velocità sciatore al termine della pista
h
60,0
m
lungo la discesa lo sciatore ha una accelerazione a= g =
9,8=1,96 2
L
300
s
1
2⋅s
2⋅300
s = a⋅t 2 → t =
=
=17,4963≈17,5 s
2
a
9,8
√
√ √
v = a · t = 1,96 · 17,4963 = 34,2928 ≈ 34,3 m/s
Calcolo quota e distanza
Considerazioni da fare quando x < b ossia quando il razzo cade lungo la discesa:
[molto curioso è trovare quando il razzo lanciato va a colpire lo stesso lanciatore come spesso
accade nei cartoni animati !!!]
h
Bisogna definire matematicamente la discesa avente come coefficiente angolare m = − e come
b
h
60
intercetta con l'asse y: q = h. y =− x + h=−
x + 60=−0,204124145 x + 60
b
293,9388
Se ad esempio V0x = 70,0 m/s nel tempo che il razzo impiegherebbe ad arrivare al livello zero ossia
circa t = 3,5 s avrebbe percorso lungo x lo spazio di circa x = Vox·t = 70·3,5 = 245 m che è minore
della lunghezza della base del piano inclinato b.
Quindi si verifica una intersezione fra la traiettoria parabolica del razzo e l'andamento lineare della
discesa dello sciatore.
Da x = Vox·t si ha t = x / V0x che sostituita in y = y0 – g·t2/2 da
y = y0 – g·x2/(2·V0x2) = 60 – 9,8·x2/(2·70,02) che è l'equazione di una parabola con asse y
equazione che, uguagliata a quella della retta che rappresenta la discesa da:
1
⋅x 2
4,9 2
4,9
−0,2041 x + 60=60− 9,8 2 →
x −0,2041 x =0 → x (
x−0,2041)=0
2
2
4900
70
70
che da due soluzioni: x = 0 (alla partenza il razzo è sulla discesa) ed x = 204 m che da il punto
cercato. Questo valore di x sostituito in una qualsiasi delle due equazioni (che si sono uguagliate fra
loro) da il risultato della quota: y = −0,2041⋅204,1 +60=−41,7 +60 = 18,3 m
Calcolo tempo caduta razzo (il razzo cade prima dello sciatore o se lo lascia alle spalle?)
2⋅s
2⋅41,7
s = h – y = 60 – 18,3 = 41,7 m. t =
=
=2,917 ≈ 2,92 s
g
9,8
√ √