equilibrio e linearizzazione

EQUILIBRIO E LINEARIZZAZIONE
Dato il sistema dinamico S NON lineare a tempo continuo descritto nello spazio degli stati dalla
equazione di stato e dalla trasformazione dell’uscita di seguito riportate:
x& (t ) = f [ x(t ), u (t )]
S:
y (t ) = g [ x(t ), u (t )]
• Si calcolano le condizioni di equilibrio o punto di equilibrio o stato di equilibrio imponendo che
per l’ingresso u(t) che tale che u (t ) = u , sia verificata la condizione: x& (t ) = 0 , cioè in formule:
x(t ) = x
0 = f [ x, u ]
u (t ) = u ⇒ x& (t ) = 0 ⇒ S :
y = g [x, u ]
y (t ) = y
• Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio attivando la procedura seguente:
Si considera l’equilibrio ( x , y , u ) trovato al punto precedente. Si ha:
 x (t ) = x + δ x (t )

Ipotesi:  y ( t ) = y + δ y ( t )
u (t ) = u + δ u (t )

 δ x& ( t ) = A δ x ( t ) + B δ u ( t )
Tesi: 
δ y ( t ) = C δ x ( t ) + D δ u ( t )
⇒
In cui deve intendersi:
A=
∂f ( x, u )
∂x ( x , u )
B=
∂f ( x, u )
∂u ( x , u )
C=
∂g ( x, u ))
∂x
(x, u )
D=
∂g ( x, u )
∂u ( x , u )
Dato il sistema dinamico S NON lineare a tempo discreto descritto nello spazio degli stati dalla
equazione di stato e dalla trasformazione dell’uscita di seguito riportate:
S:
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k )]
y (k ) = g [ x(k ), u (k )]
• Si calcolano le condizioni di equilibrio o punto di equilibrio imponendo che per l’ingresso u(k)
che tale che: u ( k ) = u , sia verificata la condizione x ( k + 1) = x( k ) ; ovvero, in formule:
x(k ) = x
x = f [x, u ]
u (k ) = u ⇒ x(k + 1) = x(k ) ⇒ S :
y = g [x, u ]
y (k ) = y
• Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio attivando la procedura seguente:
Si considera l’equilibrio ( x , y , u ) trovato al punto precedente. Si ha:
 x(k ) = x + δx(k )

Ipotesi:  y ( k ) = y + δ y ( k )
u (k ) = u + δu (k )

⇒
δ x ( k + 1) = A δ x ( k ) + B δ u ( k )
δ y ( k ) = C δ x ( k ) + D δ u ( k )
Tesi: 
In cui deve intendersi:
A=
∂f ( x, u )
∂x ( x , u )
B=
∂f ( x, u )
∂u ( x , u )
C=
∂g ( x, u ))
∂x
(x, u )
D=
∂g ( x, u )
∂u ( x , u )
ESERCIZIO 1: Si vuole determinare i punti di equilibrio e il corrispondente sistema linearizzato
nell’intorno del punto di equilibrio per il sistema non lineare a tempo continuo descritto dalle
seguenti equazioni di stato e trasformazione di uscita.
x&1 = u
x& 2 = x1 + x2 (u − 1) 2
x&3 = − x2 + (u − 1) 3
y = x3
• Determinazione dei punti di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u .
0=u
0 = x1 + x2 (u − 1) 2
0 = − x2 + (u − 1) 3
y = x3
0=u
0 = x1 + x2
⇒
0 = − x2 − 13
y = x3
0=u
x = − x2
⇒ 1
x2 = −1
y = x3
u =0
x1 = 1
⇒
x 2 = −1
x3 = ∀
y = x3
Si deve osservare che in questo sistema f ( x , u ) = 0 impone un vincolo sull’ingresso; d’altra parte
si evince che per u = 0 ∃ ∞ punti di equilibrio, corrispondenti agli infiniti valori di x3 , a cui
corrispondono infiniti valori dell’uscita y = x3 .
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dei punti di equilibrio precedentemente ricavati per u = 0
δx&1 = δu
δx& 2 = δx1 + (u − 1) 2 δx2 + 2 ⋅ (u − 1) ⋅ x2 ⋅ δu
δx&3 = −δx2 + 3 ⋅ (u − 1) 2 δu
δy = δx3
La sostituzione dei valori relativi ai punti di equilibrio ( x1 , x2 , x3 , u ) consente di relazionare:
δx&1 = δu
δx& 2 = δx1 + (0 − 1) 2 δx2 + 2 ⋅ (0 − 1) ⋅ (−1) ⋅ δu
δx&3 = −δx2 + 3 ⋅ (0 − 1) 2 δu
δy = δx 3
⇒
δx&1 = δu
δx& 2 = δx1 + δx2 + 2 ⋅ δu
δx&3 = −δx2 + 3 ⋅ δu
δy = δx3
Si deve osservare che in questo caso le equazioni linearizzate sono uguali in tutti gli infiniti stati
di equilibrio. La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D assumono la forma seguente:
0 0 0 
1 
Alin = 1 1 0 ; Blin = 2 ; Clin = [0 0 1] ; Dlin = 0


 
0 − 1 0
3
La scrittura matriciale del sistema linea rizzato è, pertanto, quella di seguito mostrata.
 δx&1  0 0 0  δx1  1 
 δx1 
δx&  = 1 1 0 ⋅ δx  + 2 ⋅ δu δy = [0 0 1] ⋅ δx  + 0 ⋅ δu
 2 
  2  
 2
δx&3  0 − 1 0 δx3  3
δx3 
ESERCIZIO 2: Si desiderano determinare i punti di equilibrio, relativi all’ingresso u(t ) = u = 1 ,
e il sistema linearizzato nell’intorno dei punti di equilibrio per il sistema NON lineare, a tempo
continuo, descritto dalle equazioni di stato e trasformazione di uscita di seguito riportate.
x&1 = x2 − u
x& 2 = sin x1 − x2 + u 2
y = 3 ⋅ x2 ⋅ cos x1
• Determinazione dei punti di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 1 .
0 = x2 − u
0 = x2 − 1
0 = sin x1 − x2 + u 2
x2 = 1
⇒ 0 = sin x1 − x2 + 1 ⇒ sin x1 = −1 + 1
x2 = 1
⇒
sin x1 = 0
y = 3 ⋅ x2 ⋅ cos x1
y = 3 ⋅ x2 ⋅ cos x1
y = 3 ⋅ 1 ⋅ cos x1
y = 3 ⋅ cos x1
Dato che sin x1 = 0 ⇒ x1 = 0 + kπ , si ottengono due insiemi di stati di equilibrio relativi a valori
pari di k e a valori dispari di k; pertanto ci saranno due sistemi linea rizzati. Infatti si ha:
x1 = 0 + kπ
x2 = 1
x1 = π
x1 = 0
⇒
y = 3 ⋅ cos x1
⇒
x2 = 1
x2 = 1
y = 3 ⋅ cos 0 = 3
y = 3 ⋅ cos π = −3
k = pari→0, 2π , 4π ,...
k = dispari→π , 3π , 5π ,...
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dei punti di equilibrio precedentemente ricavati per u = 1
δx&1 = δx2 − δu
δx& 2 = (cos x1 ) ⋅ δx1 − δx2 + 2 ⋅ u ⋅ δu
δx&1 = δx2 − δu
⇒ δx& 2 = (cos x1 ) ⋅ δx1 − δx2 + 2δu
δy = −3 ⋅ x2 (sin x1 ) ⋅ δx1 + 3 ⋅ (cos x1 ) ⋅ δx2
δy = −3 ⋅ x2 (sin x1 ) ⋅ δx1 + 3 ⋅ (cos x1 ) ⋅ δx2
a) per k pari, x1 = 0 ; x2 = 1 si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
δx&1 = δx2 − δu
δx&1 = δx2 − δu
δx& 2 = (cos 0) ⋅ δx1 − δx2 + 2δu
⇒
δx& 2 = 1 ⋅ δx1 − δx2 + 2δu
δy = −3 ⋅ x2 (sin 0) ⋅ δx1 + 3 ⋅ (cos 0) ⋅ δx2
δy = −3 ⋅ x2 ⋅ 0 ⋅ δx1 + 3 ⋅ 1 ⋅ δx2
Il sistema linea rizzato nell’intorno dei punti di equilibrio, relativi ai valori pari di k, assume la
seguente forma:
δx&1 = δx2 − δu
δx& 2 = δx1 − δx2 + 2 ⋅ δu
δy = 3 ⋅ δx 2
⇒
1  δx1  − 1
 δx&1  0
δx&  =  1 − 1 ⋅ δx  +  2  ⋅ δu
  2  
 2 
δ
x
 
δy = [0 3] ⋅  1  + 0 ⋅ δu
 δx 2 
La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D sono definite dalle scritture:
1
0
1 
Alin = 
;
B
=
lin

2 ; Clin = [0 3] ; Dlin = 0
 1 − 1
 
b) per k dispari, x1 = π ; x2 = 1 si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
δx&1 = δx2 − δu
δx&1 = δx2 − δu
δx& 2 = (cos π ) ⋅ δx1 − δx2 + 2δu
⇒ δx& 2 = −1 ⋅ δx1 − δx2 + 2δu
δy = −3 ⋅ x2 (sin π ) ⋅ δx1 + 3 ⋅ (cos π ) ⋅ δx2
δy = −3 ⋅ x2 ⋅ 0 ⋅ δx1 − 3 ⋅ 1 ⋅ δx2
Il sistema linea rizzato nell’intorno dei punti di equilibrio, relativi ai valori pari di k, assume la
seguente forma:
δx&1 = δx2 − δu
δx& 2 = −δx1 − δx2 + 2 ⋅ δu
⇒
δy = −3 ⋅ δx2
1  δx1  − 1
 δx&1   0
=
δx&  − 1 − 1 ⋅ δx  +  2  ⋅ δu
  2  
 2 
 δx 
δy = [0 − 3] ⋅  1  + 0 ⋅ δu
δx2 
La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D sono definite dalle scritture:
1
 0
1 
Alin = 
; Blin =   ; Clin = [0 − 3] ; Dlin = 0

− 1 − 1
 2
ESERCIZIO 3: Si desidera determinare il punto di equilibrio, relativo all’ingresso u (t ) = u = 2 ,
e il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio per il sistema NON lineare, a tempo
continuo, descritto dalle equazioni di stato e trasformazione di uscita di seguito riportate.
x&1 = − x1 x2 + 8u
x& 2 = − x2 ⋅ u 2 + 2 x1
y = x1 + x2
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 2 .
0 = − x1 x2 + 8u
0 = − x1 x2 + 8 ⋅ 2
x1 x2 = 16
0 = − x2 ⋅ u 2 + 2 x1 ⇒ 0 = − x2 ⋅ 2 2 + 2 x1
⇒ 2 x1 = 4 ⋅ x2
y = x1 + x2
y = x1 + x2
y = x1 + x2
x1 = 2 ⋅ x2
⇒
2 x2 x2 = 16
y = x1 + x2
Svolgendo i necessari calcoli e i dovuti passaggi algebrici si ottiene:
x1 = 2 ⋅ x2
x1 = 2 ⋅ x2
( x2 ) 3 = 8 ⇒ ( x2 ) 3 = 64
y = x1 + x2
y = x1 + x2
x2 = 4
⇒ x1 = 2 ⋅ x2 = 2 ⋅ 4
y = x1 + x2 = 8 + 4
⇒
x1 = 8
x2 = 4
y = 12
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio in precedenza ricavato per u = 2
δx&1 = − x2 ⋅ δx1 − x1 ⋅
1
⋅ δx2 + 8δu
2 ⋅ x2
δx& 2 = 2δx1 − u 2 δx2 − 2u ⋅ x2 δu
y = δx1 + δx2
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
8
⋅ δx2 + 8δu
2⋅ 4
δx& 2 = 2δx1 − (2) 2 δx2 − 2 ⋅ (2) ⋅ (4)δu
δx&1 = − 4 ⋅ δx1 −
y = δx1 + δx2
⇒
δx&1 = −2δx1 − 2δx2 + 8δu
δx& 2 = 2δx1 − 4δx2 − 16δu
y = δx1 + δx2
Il sistema linearizzato è caratterizzato dalla matrice A della dinamica e dalle matrici B, C e D le
cui forme costitutive sono di seguito riportate.
 − 2 − 2
 8 
Alin = 
;
B
=
lin

− 16 ; Clin = [1 1] ; Dlin = 0
 2 − 4


ESERCIZIO 4: Si desidera determinare il punto di equilibrio, relativo all’ingresso u(t ) = u = 1 ,
e il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio per il sistema NON lineare, a tempo
continuo, descritto dalle equazioni di stato e trasformazione di uscita di seguito riportate.
x&1 = −u log( x1 ) + log( x2 ) 2 − u
x
x& 2 = − 2 + u
x1
y = x2
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 1 .
0 = − log( x1 ) + 2 log( x2 ) − u
0 = − log( x1 ) + 2 log( x2 ) − 1
x1 = x2
x2
x2
0=− +u
⇒
⇒ 2 log( x1 ) − log( x1 ) = 1
=1
x1
x1
y = x2
y = x2
y = x2
Svolgendo i necessari calcoli e i dovuti passaggi algebrici si ottiene:
x1 = x2
log( x1 ) = 1
y = x2
⇒
x1 = e
x2 = e
y=e
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio in precedenza ricavato per u = 1
δx&1 = −δu log( x1 ) −
δx& 2 = −
u
2
δx1 + δx2 − δu
x1
x2
δx 2
x
+ 2 2 δx1 + δu
x1 ( x1 )
δ y = δx 2
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
1
2
1
2
δx&1 = −δu log(e) − ⋅ δx1 + ⋅ δx2 − δu
δx&1 = − ⋅ δx1 + ⋅ δx2 − δu − δu
e
e
e
e
δx 2 e
1
e
δx& 2 = −
+ 2 δx1 + δu
⇒ δx& 2 = − ⋅ δx2 + 2 δx1 + δu
e
e
e
e
δy = δx 2
δy = δx2
Il sistema linearizzato è definito dalle relazioni e caratterizzato dalle matrici di seguito riportate.
1
2
δx&1 = − ⋅ δx1 + ⋅ δx2 − 2δu
2
 1
e
e
−

1
1
e  ; B =  − 2 ;
δx& 2 = ⋅ δx1 − ⋅ δx2 + δu
⇒ Alin =  e
lin
 1
1
1
e
e
 
−


δy = δx 2
e
 e
Clin = [0 1]
Dlin = 0
ESERCIZIO 5: Con riferimento al sistema dinamico non lineare di equazioni:
x&1 = − x1u + x2
x& 2 = − x1 x2 + u
y = x1 + x2
Si determini: a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso u(t ) = u = 2 , indicando anche
l’eventuale stabilità o meno; b) la funzione di trasferimento del sistema linearizzato nell’intorno
del punto di equilibrio;
Non si può determinare la funzione di trasferimento in quanto il sistema NON È lineare; si deve
prima linearizzare il sistema e poi calcolare la funzione di trasferimento in un intorno dello stato
o degli stati di equilibrio.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 2 .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso u = 2 si determina imponendo x& (t ) = 0 .
0 = − x1u + x2
0 = −2 x1 + x2
x2 = 2 x1
x2 = 2 x1
x12 = 1
0 = − x1 x2 + u ⇒ 0 = − x1 x2 + 2 ⇒ 0 = − x1 2 x1 + 2 ⇒ 2 x12 = 2
⇒ x2 = 2 x1
y = x1 + x2
y = x1 + x2
y = x1 + x2
y = x1 + x2
y = x1 + x2
Si hanno due possibili stati di equilibrio individuati come stato a) e stato b), definiti dalle relazioni
così come di seguito riportato:
x1 = 1
a ) x2 = 2
y =3
x1 = −1
b) x2 = −2
y = −3
• Determinazione del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio a)
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato a) di equilibrio determinato in precedenza per
l’ingresso u = 2 , cioè x1 = 1 , x 2 = 2 ; in queste condizioni si ottiene:
δx&1 = −u ·δx1 − x1δu + δx2
δx& 2 = − x2 ·δx1 − x1 ·δx2 + δu
δy = δx1 + δx2
⇒
δx&1 = −2·δx1 + δx2 − δu
δx& 2 = −2·δx1 − δx2 + δu
δy = δx1 + δx2
Il sistema linearizzato nell’intorno dello stato a) di equilibrio è definito dalle seguenti matrici:
1
− 2
− 1
Aa = 
;
B
=
a

 1 ; C a = [1 1] ; Da = 0
 
− 2 − 1
Il calcolo degli autovalori della matrice A della dinamica attiene alla seguente procedura:
s + 2 − 1 
[ sI − Aa ] = 
⇒ det([sI − Aa ]) = ( s + 2)·(s + 1) + 2 = s 2 + 3s + 4

s + 1
 2
Il polinomio caratteristico presenta tutti i coefficienti non nulli e dello stesso segno; tale situazione
costituisce per un sistema del secondo ordine la condizione necessaria e sufficiente affinché gli
autovalori della matrice A della dinamica siano negativi se reali o a parte reale negativa se
complessi coniugati. Quindi il punto a) definisce un punto di equilibrio asintoticamente stabile.
Si calcolano, per verifica, gli autovalori; si ottiene:
s 2 + 3s + 4 = 0 ; s1, 2 =
− 3 ± 9 − 16 − 3 ± − 7
3
7
=
=− ± j
2
2
2
2
• Determinazione del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio b)
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato b) di equilibrio determinato in precedenza per
l’ingresso u = 2 , cioè x1 = −1, x 2 = −2 ; in queste condizioni si ottiene:
δx&1 = −u ·δx1 − x1δu + δx2
δx& 2 = − x2 ·δx1 − x1 ·δx2 + δu
⇒
δy = δx1 + δx2
δx&1 = −2·δx1 + δx2 + δu
δx& 2 = 2·δx1 + δx2 + δu
δy = δx1 + δx2
Il sistema linearizzato nell’intorno dello stato b) di equilibrio è definito dalle seguenti matrici:
− 2 1
1
Ab = 
; Bb =   ; Cb = [1 1] ; Db = 0

 2 1
1
Il calcolo degli autovalori della matrice A della dinamica attiene alla seguente procedura:
s + 2 − 1 
[ sI − Ab ] = 
⇒ det([sI − Ab ]) = ( s + 2)·(s − 1) − 2 = s 2 + s − 4

 − 2 s − 1
Il polinomio caratteristico presenta tutti i coefficienti non nulli ma NON dello stesso segno; questa
situazione costituisce per un sistema del secondo ordine la violazione della condizione necessaria
e sufficiente affinché gli autovalori della matrice A della dinamica siano strettamente negativi
se reali o a parte reale negativa se complessi e coniugati. Quindi il punto b) definisce un punto
di EQUILIBRIO INSTABILE. Infatti il calcolano degli auto valori determina quanto segue:
s 2 + s − 4 = 0 ; s1, 2 =
− 1 ± 1 + 16 − 1 ± 17
1
17
=
=− ±
2
2
2
2
Si conferma che si hanno due autovalori reali e distinti di cui uno è, tuttavia, positivo; pertanto, il
punto b) è un punto di equilibrio instabile.
• Calcolo della Funzione di Trasferimento per il sistema linearizzato nell’intorno del punto di
equilibrio a)
La relazione costitutiva della funzione di trasferimento è espressa dalla scrittura seguente:
Ga ( s ) = Ca ⋅ [ sI − Aa ]−1 Ba + Da
Il calcolo della matrice inversa [ sI − Aa ]
−1
si esplica nella procedura di seguito mostrata.
1 
s + 2 − 1 
s + 1
1
−1
[ sI − Aa ] = 
⇒
[
sI
−
A
]
=
⋅
a


s + 1
s 2 + 3s + 4  − 2 s + 2
 2
La funzione di trasferimento Ga(s), considerato che D = 0, assume l’espressione di seguito calcolata:
Ga ( s ) = Ca ⋅ [ sI − Aa ]−1 Ba = [1 1] ⋅
1  − 1
s + 1
1
·

· 
( s 2 + 3s + 4)  − 2 s + 2  1 
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e i relativi calcoli si ottiene:
s + 1 1  − 1
− 1
1
1
[
]
[
]
·
1
1
·
·
=
·
s
+
1
−
2
1
+
s
+
2
·
 − 2 s + 2  1 
1=
2
+
+
(s 2 + 3s + 4)
(
s
3
s
4
)

 
 
− 1
1
1
4
= 2
·[s − 1 s + 3]·  = 2
·(1 − s + s + 3) = 2
(s + 3s + 4)
s + 3s + 4
 1  (s + 3s + 4)
Ga (s) =
• Calcolo della Funzione di Trasferimento per il sistema linearizzato nell’intorno del punto di
equilibrio b)
La relazione costitutiva della funzione di trasferimento è espressa dalla scrittura seguente:
Gb ( s ) = Cb ⋅ [ sI − Ab ]−1 Bb + Db
Il calcolo della matrice inversa [ sI − Ab ]
−1
si esplica nella procedura di seguito mostrata.
1 
s + 2 − 1 
s − 1
1
−1
[ sI − Ab ] = 
⇒
[
sI
−
A
]
=
⋅
b


s + 2
s2 + s − 4  2
 − 2 s − 1
La funzione di trasferimento Gb(s), considerato che D = 0, assume l’espressione di seguito calcolata:
Gb ( s ) = Cb ⋅ [ sI − Ab ]−1 Bb = [1 1] ⋅
1  1
s − 1
1
·
·

s + 2 1
( s 2 + s − 4)  2
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e i relativi calcoli si ottiene:
s − 1 1  1
1
1
1
[
]
[
]
=
−
+
+
+
·
1
1
·
·
·
s
1
2
1
s
2
·
 2 s + 2 1
1 =
2
(s 2 + s − 4)
(
s
+
s
−
4
)

 

1
1
1
2s + 4
= 2
·[s + 1 s + 3]·  = 2
·(s + 1 + s + 3) = 2
(s + s − 4)
s +s−4
1 (s + s − 4)
Gb (s) =
Le FUNZIONI di TRASFERIMENTO relative al sistema linearizzato in un intorno dei due punti
di equilibrio a) e b) sono definite, rispettivamente, dalle relazioni seguenti:
Ga (s) =
4
s + 3s + 4
2
Gb (s) =
2·(s + 2)
s2 + s − 4
ESERCIZIO 6: Con riferimento al sistema dinamico non lineare di equazioni:
x&1 = − x1 x2 + x2 ·u 2
x& 2 = − x1 x2 + u
y = x1 + 2 x22
Si determini:
a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante u(t ) = u = 2 ;
b) la funzione di trasferimento del sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio;
c) guadagno, poli, zeri, costanti di tempo ed eventualmente pulsazioni naturali e smorzamenti
della funzione di trasferimento determinata al punto b);
d) la costante di trasferimento della funzione di trasferimento determinata al punto b)
(Prova in itinere del 22 novembre 2001)
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 2 .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso u = 2 si determina imponendo x& (t ) = 0 .
0 = − x1 x2 + x2 ⋅ u 2
0 = − x1 x2 + u
y = x1 +
2 x22
0 = − x1 x2 + x2 ⋅ 2 2
⇒ 0 = − x1 x2 + 2
y = x1 +
0 = − x1 x2 + 4 x2
⇒ 2=
2 x22
x1 x2
y = x1 +
0 = x2 ⋅ (4 − x1 )
⇒ 2=
2 x22
x1 x2
y = x1 + 2 x22
Si deve osservare che la condizione x2 = 0 NON può costituire una possibile soluzione in quanto
NON soddisfa la seconda equazione; pertanto si ottiene:
x1 − 4 = 0
x1 x2 = 2
y = x1 + 2 x22
x1 = 4
⇒
4 x2 = 2
y = 4 + 2 x22
x1 = 4
⇒
x1 = 4
2 x2 = 2
y = 4 + 2 x22
⇒
x2 = 1
y = 4 + 2 ⋅ 12
x1 = 4
⇒
x2 = 1
y=6
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per u = 2
δx&1 = − x2 δx1 − x1δx2 + δx2 ⋅ u 2 + 2 x2 u δu
1
δx& 2 = −
⋅ ( x1δx2 + x2 δx1 ) + δu
2 ⋅ x1 x2
δy = δx1 + 4 x2 δx2
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
δx&1 = −1 ⋅ δx1 − 4 ⋅ δx2 + 2 2 δx2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2δu
1
δx& 2 = −
⋅ (4δx2 + 1δx1 ) + δu
2 ⋅ 4 ⋅1
δy = δx1 + 4δx2
⇒
δx&1 = −δx1 − 4δx2 + 4δx2 + 4δu
1
δx& 2 = − ⋅ ( 4δx2 + 1δx1 ) + δu
4
δy = δx1 + 4δx2
Il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è caratterizzato dalle equazioni e dalle
matrici della dinamica di seguito riportate-
δx&1 = −δx1 + 4δu
 − 1 0
1
 4
δx& 2 = − δx1 − δx2 + δu ⇒ Alin =  1
 ; Blin =   ; Clin = [1 4] ; Dlin = 0
4
− 4 − 1
 1
δy = δx1 + 4δx2
La matrice A della dinamica è una matrice triangolare bassa e i suoi autovalori sonno definiti dagli
elementi che si trovano sulla diagonale principale. Pertanto, λ1 = λ2 = −1. Si ottiene un autovalore
doppio, cioè con ordine di molteplicità pari a 2. I modi sono m1 = e
−t
−t
e m2 = t ·e .
• Determinazione della Funzione di Trasferimento
La relazione costitutiva della funzione di trasferimento è espressa dalla scrittura seguente:
G ( s ) = C ⋅ [ sI − A]−1 B + D
Il calcolo della matrice inversa [ sI − A]
−1
si esplica nella procedura di seguito mostrata.
s + 1 0 
[ sI − A] =  1
 ⇒ det([sI − A]) = ( s + 1)·(s + 1) = ( s + 1) 2
s
+
1
 4

s + 1 0 
1
−1
[ sI − A] =
⋅ 1

( s + 1) 2  − 4 s + 1
La funzione di trasferimento G(s), considerato che D = 0, assume l’espressione di seguito calcolata:
G ( s ) = C ⋅ [ sI − A]−1 B = [1 4] ⋅
1
( s + 1) 2
 s + 1 0   4
⋅ 1
⋅ 
1
−
s
+
 4
 1 
 s + 1 0   4
4
1
1
1
[
]
[
]
1
4
1
1
4
(
1
)
⋅
⋅
⋅
=
⋅
s
+
−
⋅
s
+
⋅




1  =
2
( s + 1) 2
 − 4 s + 1 1  ( s + 1)
 
 4
1
1
4 s + 4 s + 4 8s + 4
[
]
=
⋅
s
4
⋅
(
s
+
1
)
⋅
=
[
4
s
+
4
(
s
+
1
)]
=
=


2
2
1
( s + 1) 2
(
s
+
1
)
(
s
+
1
)
( s + 1) 2
 
G ( s) =
• Determinazione dei poli, zeri, costanti di tempo e guadagno.
La funzione di trasferimento si presenta nella forma in cui sono già evidenziate le costanti di tempo
sia per gli zeri, sia per i poli, nonché il guadagno; infatti si ha:
G(s) = 4 ⋅
2s + 1
1 + 2s
= 4⋅
2
( s + 1)
(1 + s ) 2
⇔
G (s) = µ ⋅
1+τ ⋅ s
(1 + T1 s ) ⋅ (1 + T2 s )
Consegue, pertanto, che: τ = 2; T1 = T2 = T = 1; µ = G(0) = 4. Per quanto attiene al valore degli
zeri e dei poli si ha: z = −1 τ = −1 2 ; p1 = − 1 T1 = −1 ; p 2 = − 1 T2 = −1 .
Il sistema è del secondo ordine e presenta due poli reali e coincidenti, cioè un polo con ordine di
molteplicità ν = 2, strettamente negativi e questo consente di affermare l’asintotica stabilità del
sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio.
• Determinazione dei poli, zeri, costanti di tempo e guadagno.
Il calcolo della costante di trasmissione è facilitato se la funzione di trasferimento è espressa nella
forma in cui sono evidenziate le singolarità; in tale caso, infatti, si ottiene:
G(s) = 4 ⋅
2 ⋅ ( s + 1 2)
( s + 1 2)
2s + 1
=
⋅
=
⋅
4
8
( s + 1) ⋅ ( s + 1)
( s + 1) ⋅ ( s + 1)
( s + 1) 2
⇔
G(s) = ρ ⋅
(s − z)
( s − p1 ) ⋅ ( s − p 2 )
Consegue, pertanto, che la costante di trasmissione ρ assume il valore ρ = 8. Si riconferma, inoltre
il valore dei poli e degli zeri; infatti, per lo zero si ha:
s + 1/2 = 0 da cui s = -1/2 ⇒ z = -1/2
2
mentre per i poli si ottiene: (s + 1) = 0 da cui (s + 1) (s + 1) = 0 p1 = -1; p2 = -1.
ESERCIZIO 7: Con riferimento al sistema dinamico non lineare di equazioni:
x&1 = x1u 2 + x1 ( x2 + 1) + u
x& 2 = x1 sin(u ) − x2 + x2 u
y = sin( x1 + x2 )
Si determini:
a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante u(t ) = u = 0 ;
b) il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio determinato al punto a)
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 0 .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso u = 0 si determina imponendo x& (t ) = 0 .
0 = − x1u 2 + x1 ( x2 + 1) + u
0 = − x1 0 + x1 ( x2 + 1) + 0
⇒
0 = x1 sin(u ) − x2 + x2 u
y = sin( x1 + x2 )
0 = x1 ( x2 + 1)
⇒
0 = x1 sin(0) − x2 + x2 ·0
y = sin( x1 + x2 )
0 = x1 ·0 − x2
y = sin( x1 + x2 )
Procedendo nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
− x2 = 0
0 = x1 x2 + x1
x2 = 0
⇒
y = sin( x1 )
0 = x1 ·0 + x1
x1 = 0
⇒
y = sin( x1 )
x2 = 0
x1 = 0
⇒
x2 = 0
y = sin(0)
y=0
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per u = 0
δx&1 = u 2 δx1 + 2u x1δu + ( x2 + 1)·δx1 + x1δx2 + δu
δx& 2 = sin(u )·δx1 + x1 cos(u )δu − δx2 + u δx1 + x2 δu
δy = cos( x1 + x2 )·(δx1 + δx2 )
Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene il seguente sistema:
δx&1 = ( x2 + 1 + u 2 )·δx1 + x1δx2 + (1 + 2u x1 )·δu
δx& 2 = [sin(u ) + u ]·δx1 − δx2 + [ x1 cos(u ) + x2 ]·δu
δy = cos( x1 + x2 )·(δx1 + δx2 )
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
δx&1 = (0 + 1 + 0)·δx1 + 0·δx2 + (1 + 2·0·0)·δu
δx& 2 = [sin(0) + 0]·δx1 − δx2 + [0·cos( 0) + 0]·δu
δx&1 = δx1 + δu
⇒ δx& 2 = 0·δx1 − δx2 + [0·1 + 0]·δu
δy = cos(0 + 0)·(δx1 + δx2 )
δy = 1·(δx1 + δx2 )
Il sistema linea rizzato nell’intorno del punto di equilibrio x1 = x2 = 0 ; u = 0 assume, quindi la
seguente forma:
δx&1 = δx1 + δu
δx& 2 = −δx2
⇒
δy = δx1 + δx2
 δx&1   1 0  δx1  1
 δx1 
δx&  = 0 − 1·δx  + 0·δu e δy = [1 1]·δx  + 0·δu
  2  
 2 
 2
Le matrici afferenti il sistema linearizzato descritto nello spazio degli stati sono così costituite:
1 0 
Alin = 

0 − 1
⇒
1 
Blin =  
0 
⇒
Clin = [1 1]
⇒
Dlin = 0
ESERCIZIO 8: Con riferimento al sistema dinamico non lineare del secondo ordine descritto dalle
equazioni:
x&1 = −2 x1 + [sin 2 ( x1 ) + 1]· x2 + 2u
x& 2 = x2
y = x1
Si desidera determinare:
a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante u(t ) = u = 0 ;
b) le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio determinato in a);
c) le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 0 .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso u = 0 si determina imponendo x& (t ) = 0 .
0 = −2 x1 + [sin 2 ( x1 ) + 1]· x2 + 2u
x2 = 0
⇒
0 = x2
y = x1
0 = −2 x1 + [sin 2 ( x1 ) + 1]·0 + 2·0
y = x1
Continuando nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
x2 = 0
0 = −2 x1
x1 = 0
⇒
y = x1
x2 = 0
y = x1
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per u = 0 → [u(t) = 0 ∀t]
δx&1 = −2δx1 + δx2 [sin 2 ( x1 ) + 1] + x2 ·[ 2 sin( x1 ) cos( x1 )]·δx1 + 2δu
δx& 2 = δx2
δy = δx1
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
δx&1 = −2δx1 + δx2 [sin 2 (0) + 1] + 0·[ 2 sin(0) cos(0)]·δx1 + 2δu
δx& 2 = δx2
δy = δx1
Effettuati i dovuti calcoli si ha il seguente sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio:
δx&1 = −2δx1 + δx2 + 2δu
δx& 2 = δx2
δy = δx1
⇒
 δx&1  − 2 1  δx1  2
δx&  =  0 1·δx  + 1 ·δu
  2  
 2 
 δx 
δy = [1 0]· 1  + 0·δu
δx2 
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linea rizzato nell’intorno
dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
− 2 1
Alin = 

 0 1
⇒
2
Blin =  
1 
⇒
Clin = [1 0]
⇒
Dlin = 0
La matrice della dinamica Alin è triangolare alta e quindi, ha due autovalori λ1 = −2 e λ2 = 1. Dato
che un autovalore è positivo, in base al criterio degli autovalori il sistema linearizzato è instabile.
ESERCIZIO 9: Sia assegnato il sistema dinamico non lineare, del secondo ordine, descritto nello
spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
x&1 = − x13 + 2 x1 − 3 x2 + 2u + 1
x& 2 = −2 x1 + 3 x2 − 2u
y = x1 + x2
Si desidera determinare:
a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante u(t ) = u = −1 , cioè [u(t ) = −1 ∀t ] ;
b) le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio determinato in a);
c) le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = −1 .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso u = −1 si determina imponendo x& (t ) = 0 .
0 = − x13 + 2 x1 − 3 x2 + 2u + 1
0 = − x13 + 2 x1 − 3 x2 − 1
⇒ 0 = −2 x1 + 3 x2 + 2
y = x1 + x2
0 = −2 x1 + 3 x2 − 2u
y = x1 + x2
2 x1 − 3 x2 = 2
⇒ 0 = − x13 + (2 x1 − 3 x2 ) − 1
y = x1 + x2
Continuando nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
2 x1 − 3 x2 = 2
x13 = 1
x1 = 1
− x13
+ 2 − 1 ⇒ 2 x1 − 3 x2 = 2 ⇒ 2 − 3 x2 = 2
y = x1 + x2
y = x1 + x2
y = 1 + x2
0=
x1 = 1
⇒ 3 x2 = 0
y = 1 + x2
x1 = 1
⇒
x2 = 0
y =1
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per u = −1 → [u(t) = -1 ∀t]
δx&1 = −3 x12 δx1 + 2δx1 − 3δx2 + 2δu
δx& 2 = −2δx1 + 3δx2 − 2δu
⇒
δx&1 = (−3 x12 + 2)·δx1 − 3δx2 + 2δu
δx& 2 = −2δx1 + 3δx2 − 2δu
δy = δx1 + δx2
δy = δx1 + δx2
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
δx&1 = (−3 + 2)·δx1 − 3δx2 + 2δu
δx&1 = −δx1 − 3δx2 + 2δu
δx& 2 = −2δx1 + 3δx2 − 2δu
⇒ δx& 2 = −2δx1 + 3δx2 − 2δu
δy = δx1 + δx2
δy = δx1 + δx2
La forma matriciale della descrizione del sistema linea rizzato nello spazio degli stati è la seguente:
 δx&1   − 1 − 3  δx1   2
δx&  = − 2 3 ·δx  + − 2·δu
  2  
 2 
 δx 
δy = [1 1]· 1  + 0·δu
δx2 
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno
dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
 − 1 − 3
Alin = 

− 2 3 
⇒
 2
Blin =  
 − 2
⇒
Clin = [1 1]
⇒
Dlin = 0
λI – Alin) = λ2 −2λ
Il polinomio caratteristico di Alin è det(λ
λ − 3. Gli autovalori sono λ1,2 =1 ± √10.
Poiché uno di essi è positivo, in base al criterio degli autovalori, il sistema linearizzato è instabile.
ESERCIZIO 10: Sia assegnato il sistema, descritto nello spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
x&1 = − x15 − 2 x1 + x2 + u
x& 2 = x15 − x2 − u
y = x1
Si desidera determinare:
a) le proprietà del sistema assegnato: ordine, linearità, statico o dinamico, proprio o improprio;
b) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante u(t ) = u = 2 , cioè [u(t ) = 2 ∀t ] ;
c) le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio determinato in a);
d) le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato.
e) se il sistema linearizzato è stabile o instabile..
• Il sistema dato è del secondo ordine essendo presenti due variabili di stato;
• è NON lineare poiché il secondo membro delle equazioni di stato non è una combinazione
lineare delle variabili di stato e dell’ingresso;
• è dinamico in quanto l’uscita al generico istante t non può essere determinata sulla base
della conoscenza del solo ingresso allo stesso istante t;
• è strettamente proprio poiché nella trasformazione dell’uscita non compare l’ingresso.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u (t ) = u = 2 .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso u = 2 si determina imponendo x& (t ) = 0 .
0 = − x15 − 2 x1 + x2 + u
0 = x15 − x2 − u
0 = − x15 − 2 x1 + x2 + 2
⇒
0 = x15 − x2 − 2
y = x1
x15 = −2 x1 + x2 + 2
⇒
y = x1
x15 = x2 + 2
y = x1
Continuando nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
x2 + 2 = −2 x1 + x2 + 2
2 x1 = 0
x15
x15
= x2 + 2
y = x1
⇒
x1 = 0
= x2 + 2
⇒
y = x1
0 = x2 + 2
y=0
x1 = 0
⇒
x 2 = −2
y =1
• Determinazione del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per u = 2 → [u(t) = 2 ∀t]
δx&1 = −5 x14 δx1 − 2δx1 + δx2 + δu
δx& 2 = 5 x14 δx1 − δx2 − δu
⇒
δy = δx1
δx&1 = −(5 x14 + 2)·δx1 + δx2 + δu
δx& 2 = 5 x14 δx1 − δx2 − δu
δy = δx1
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
δx&1 = −(5·0 + 2)·δx1 + δx2 + δu
δx& 2 = 5·0·δx1 - δx2 − δu
⇒
δy = δx1
δx&1 = −2δx1 + δx2 + δu
δx& 2 = -δx2 − δu
δy = δx1
La forma matriciale della descrizione del sistema linea rizzato nello spazio degli stati è la seguente:
 δx&1  − 2 1   δx1   1
δx&  =  0 − 1·δx  + − 1·δu
  2  
 2 
 δx 
δy = [1 0]· 1  + 0·δu
δx2 
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno
dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
− 2 1 
Alin = 

 0 − 1
 1
Blin =  
− 1
⇒
⇒
Clin = [1 0]
⇒
Dlin = 0
La matrice della dinamica Alin del sistema linearizzato è una matrice triangolare superiore (detta
anche triangolare alta) per cui i suoi autovalori coincidono con gli elementi posti sulla diagonale
principale; pertanto si ottiene che λ1 = −2 e λ2 = −1. Poiché gli autovalori sono reali e strettamente
negativi, in base al criterio degli autovalori, il sistema linearizzato è asintoticamente stabile.
La verifica di quanto ora affermato consiste nel calcolare gli autovalori in base alla loro definizione,
ovvero determinando le radici del polinomio caratteristico pA(λ
λ).
Il polinomio caratteristico pA(λ
λ) della matrice della dinamica Alin del sistema linearizzato è dato
dalla relazione seguente:
p A (λ ) = det(λI − A) =
λ+2
−1
0
λ +1
= (λ + 2)·(λ + 1)
Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione:
p A (λ ) = det(λI − A) = 0
⇒
(λ + 2)·(λ + 1) = 0
λ + 2 = 0 → λ1 = −2
λ + 1 = 0 → λ 2 = −1
Si è, così, verificato che gli autovalori sono λ1 = −2 e λ2 = −1; essi sono reali ed entrambi negativi.
ESEMPIO 1: Si consideri il sistema rete elettrica, alimentata dalla corrente iS(t), costituita dal
collegamento del bipolo non lineare NL, definito dalla relazione costitutiva vNL(t) = K [i(t)]3, e
da una induttanza L e da una capacità C come mostrato in figura. Si determini il modello del
sistema in esame, lo stato di equilibrio per un ingresso u(t) = u = 2 e il corrispondente sistema
linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio. Sono assegnati L = 1 H, C = 1 F, K = 1 Ω/A2.
Si tratta di un circuito NON LINEARE a parametri
vL(t)
concentrati per il quale, comunque valgono le leggi di
α
iS(t)
Kirchhoff delle tensioni alle maglie e delle correnti
ai nodi della rete stessa. Per ispezione diretta si evince
L
iC(t)
che la corrente i(t) che interessa il bipolo NON lineare
NL è la corrente iL(t) che circola nell’induttanza L;
+
NL
C
vC(t)
vNL pertanto si ha: iL(t) = i(t).
La rete in esame si caratterizza per la presenza di due
i(t)
componenti dotati di memoria, cioè bipoli lineari il cui
comportamento fisico afferisce a dinamiche proprie di
accumulo e conservazione dell’energia. Le relazioni
costitutive caratterizzanti il modello matematico nel dominio del tempo continuo e, quindi, la
dinamica dei due bipoli condensatore e induttanza sono le seguenti:
dvC (t )
dt
di (t )
• v L (t ) = L· L
dt
• iC (t ) = C ·
⇒ fenomeni di accumulo e restituzione di energia elettrostatica.
Principio di conservazione della quantità di carica elettrica
⇒ fenomeni di accumulo e restituzione di energia magnetica.
La rete è alimentata da un generatore indipendente di corrente iS(t) i cui effetti sul circuito sono
valutati osservando le evoluzioni temporali della tensione ai morsetti del bipolo NON lineare NL.
L’analisi delle caratteristiche del comportamento fisico del circuito consentono di concludere che:
• Variabili di stato: x1(t) = vC(t) → tensione ai morsetti del condensatore di capacità C;
x2(t) = iL(t) → corrente ai morsetti dell’induttore di induttanza L;
• Variabile di ingresso: u(t) = iS(t) → generatore indipendente di corrente
• Variabile di uscita: y(t) = vNL(t) → tensione ai morsetti del bipolo NON LINEARE NL
a) determinazione del modello matematico del sistema NON lineare
L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo α porge la relazionare seguente:
iS (t ) = iC (t ) + iL (t ) ⇒ iS (t ) = C ·
dvC (t )
+ iL (t ) ⇒
dt
dvC (t )
1
1
= − ·iL (t ) − ·iS (t )
dt
C
C
La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di figura, percorsa in senso orario, porge
la relazionare che di seguito si riporta:
vC (t ) − v L (t ) − v NL (t ) = 0 ⇒ vc (t ) = L·
diL (t )
di L (t ) 1
K
+ K ·iL3 (t ) ⇒
= ·vC (t ) − ·iL3 (t )
dt
dt
L
L
Per quanto attiene la tensione ai morsetti del bipolo non lineare si ha:
v NL (t ) = K ·iL3 (t )
Le equazioni caratteristiche del sistema, equazioni di stato e trasformazione di uscita, pertanto,
sono le seguenti:
dvC (t ) − 1
1
1
1
−1
−1
= ·iL (t ) + ·iS (t )
v&C (t ) = ·iL (t ) + ·iS (t )
x&1 (t ) = · x2 (t ) + ·u (t )
dt
C
C
C
C
C
C
diL (t ) 1
K 3
1
K
1
K
= ·vC (t ) − ·iL (t ) ⇒ i&L (t ) = ·vC (t ) − ·iL3 (t ) ⇒ x& 2 (t ) = · x1 (t ) − ·x23 (t )
dt
L
L
L
L
L
L
3
3
3
v NL (t ) = K ·iL (t )
y (t ) = K · x2 (t )
v NL (t ) = K ·iL (t )
b) determinazione degli stati di equilibrio con l’ingresso u (t ) = u = 2
In condizioni di equilibrio del sistema il vettore di stato x(t) deve soddisfare la relazione x& (t ) = 0 .
Sostituendo i valori dei parametri L, C, e K proposti dalla traccia, in condizioni di equilibrio si ha:
x&1 (t ) = − x2 (t ) + u (t )
0 = − x2 + u
x& 2 (t ) = x1 (t ) − x23 (t ) ⇒ 0 = x1 − x23 ⇒
y (t ) = x23 (t )
y (t ) = x23
x2 = u
x2 = 2
x1 = x23
y (t ) =
⇒
x23
x1 = 8
x1 = 23
y (t ) = 2
⇒
3
x2 = 2
y (t ) = 8
• Linearizzazione del sistema nell’intorno dello stato di equilibrio
Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio assume la forma seguente:
x&1 (t ) = − x2 (t ) + u (t )
x& 2 (t ) = x1 (t ) − x23 (t )
y (t ) = x23 (t )
⇒
δx&1 = −δx2 + δu
δx& 2 = δx1 − 3 x22 δx2
⇒
δy = 3 x22 δx2
δx&1 = −δx2 + δu
δx& 2 = δx1 − 3·2 2 δx2
δy = 3·2 2 δx2
Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è caratterizzato dalle equazioni di
stato e dalla trasformazione di uscita che di seguito si riportano:
δx&1 = −δx2 + δu
δx& 2 = δx1 (t ) − 12·δx2
δy = 12·δx2
La matrice A della dinamica e le tre matrici B, C e D che definiscono il sistema linearizzato nello
spazio degli stati assumono la forma:
0 − 1 
1 
A=
;
B
=

0 ; C = [0 12] ; D = 0
1 − 12
 
Gli autovalori della matrice A costituiscono gli zeri o radici del polinomio caratteristico associato
alla matrice A stessa; pertanto, necessita calcolare il determinante della matrice [λ
λ·I – A]. Si ricava:
1 
λ
[λI − A] = 
⇒ det([λI − A]) = λ ·(λ + 12) + 1 = λ2 + 12λ + 1

− 1 λ + 12
Gli zeri del polinomio caratteristico sono le soluzioni dell’equazione:
λ2 + 12λ + 1 = 0 ⇒ λ1, 2 = −6 ± 36 − 1 = −6 ± 35
λ1 = −6 − 35
λ2 = −6 + 35
La matrice A della dinamica presenta due autovalori reali distinti strettamente negativi; consegue
che il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio È ASINTOTICAMENTE STABILE.
ESEMPIO 2: Si consideri il sistema rete elettrica, alimentata dalla corrente iS(t), costituita dal
collegamento del bipolo non lineare NL, definito dalla relazione costitutiva vNL(t) = K [i(t)]3, e
da una induttanza L, da una capacità C e da una resistenza R come è mostrato in figura. Si
determini il modello del sistema in esame, lo stato di equilibrio per un ingresso u(t) = u =3 e il
corrispondente sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio. Si consideri: R = 1 Ω;
L = 1 H, C = 1 F, K = 1/8 Ω/A2.
Si tratta di un circuito NON LINEARE a parametri
vL(t)
concentrati per il quale, comunque valgono le leggi di
R
α
Kirchhoff delle tensioni alle maglie e delle correnti
iC(t)
ai nodi della rete stessa. Per ispezione diretta si evince
L
iR(t)
che la corrente i(t) che interessa il bipolo NON lineare
NL è la corrente iL(t) che circola nell’induttanza L;
+
vC(t)
C + NL vNL pertanto si ha: iL(t) = i(t).
−
La rete in esame si caratterizza per la presenza di due
vS
+
i(t)
componenti dotati di memoria, cioè bipoli lineari il cui
comportamento fisico afferisce a dinamiche proprie di
accumulo e conservazione dell’energia. La resistenza R esprime la cessione di potenza elettrica
sotto forma di calore. Per quanto riguarda le relazioni costitutive dei bipoli conservativi si rimanda
a quanto già affermato nell’esempio1. Inoltre, è assegnata la relazione costitutiva: vNL(t) = K [i(t)]3.
La rete è alimentata da un generatore indipendente di tensione vS(t) i cui effetti sul circuito sono
valutati osservando le evoluzioni temporali della tensione ai morsetti del bipolo condensatore C.
L’analisi delle caratteristiche del comportamento fisico del circuito consentono di concludere che:
• Variabili di stato: x1(t) = vC(t) → tensione ai morsetti del condensatore di capacità C;
x2(t) = iL(t) → corrente ai morsetti dell’induttore di induttanza L;
• Variabile di ingresso: u(t) = vS(t) → generatore indipendente di tensione
• Variabile di uscita: y(t) = vC(t) → tensione ai morsetti del bipolo condensatore C
c) determinazione del modello matematico del sistema NON lineare
L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo α porge la relazionare seguente:
iR (t ) = iC (t ) + iL (t ) ⇒ iR (t ) = C ·
dvC (t )
+ iL (t )
dt
La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di figura, percorsa in senso orario, porge
la relazionare che di seguito si riporta:
vC (t ) − v L (t ) − v NL (t ) = 0 ⇒ vc (t ) = L·
diL (t ) 1
K
diL (t )
= ·vC (t ) − ·iL3 (t )
+ K ·iL3 (t ) ⇒
dt
L
L
dt
La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di figura, percorsa in senso orario, porge
la relazionare che di seguito si riporta:
vS (t ) − vC (t ) = R·i R (t )
⇒
vS (t ) − vC (t ) = R·C ·
dvC (t )
+ R·iL (t ) , da cui si ricava:
dt
dvC (t )
1
1
1
=−
·vC (t ) − ·iL (t ) +
·vS (t )
dt
RC
C
RC
Le equazioni caratteristiche del sistema, equazioni di stato e trasformazione di uscita, pertanto,
sono le seguenti:
dvC (t )
1
1
1
=−
·vC (t ) − ·iL (t ) +
·vS (t )
dt
RC
C
RC
diL (t ) 1
K
= ·vC (t ) − ·iL3 (t )
⇒
dt
L
L
y (t ) = vc(t )
1
1
1
·vC (t ) − ·iL (t ) +
·vS (t )
RC
C
RC
1
K
i&L (t ) = ·vC (t ) − ·i L3 (t )
L
L
y (t ) = vC (t )
v&C (t ) = −
Le equazioni caratteristiche del sistema, equazioni di stato e trasformazione di uscita, facendo
uso delle variabili di stato, degli ingressi e della definizione dell’uscita, nonché dei valori assunti
per i parametri, sono le seguenti:
1
1
1
· x1 (t ) − · x2 (t ) +
·u (t )
RC
C
RC
1
K
x& 2 (t ) = ·x1 (t ) − · x23 (t )
L
L
y (t ) = x1 (t )
x&1 (t ) = −
x&1 (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) + u (t )
1
x& 2 (t ) = x1 (t ) − ·x23 (t )
8
y (t ) = x1 (t )
⇒
d) determinazione degli stati di equilibrio con l’ingresso u (t ) = u = 3
In condizioni di equilibrio del sistema il vettore di stato x(t) deve soddisfare la relazione x& (t ) = 0 ;
in condizioni di equilibrio si ottiene:
0 = − x1 − x2 + u
1
0 = x1 − · x23
8
y = x1
x1 = − x2 + 3
⇒
1
0 = − x2 + 3 − · x23
8
y = x1
x1 = − x2 + 3
⇒
x23 + 8 x2 − 24 = 0
y = x1
L’equazione di terzo grado nella variabile di stato x2, fattorizzando il polinomio a primo membro,
si può scrivere nella forma seguente:
x1 = − x2 + 3
( x2 − 2)·( x22 + 2 x2 + 12) = 0
( x2 − 2) = 0
⇒
x1 = − x2 + 3
x2 = 2
⇒
x1 = −2 + 3
x1 = 1
⇒
x2 = 2
y = x1
y = x1
y = x1
y =1
Lo stato di equilibrio relativo all’ingresso u (t ) = u = 3 resta definito dai valori x1 = 1; x2 = 2 e
tale stato di equilibrio è unico in campo reale in quanto l’equazione x22 + 2x2 +12 = 0 ha soluzioni
complesse e coniugate.
• Linearizzazione del sistema nell’intorno dello stato di equilibrio
Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio assume la forma seguente:
x&1 (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) + u (t )
1
x& 2 (t ) = x1 (t ) − ·x23 (t )
8
y (t ) = x1 (t )
⇒
δx&1 (t ) = −δx1 (t ) − δx2 (t ) + δu (t )
1
δx& 2 (t ) = δx1 (t ) − ·3 x22 δx2
8
δy (t ) = δx1 (t )
Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è caratterizzato dalle equazioni di
stato e dalla trasformazione di uscita che di seguito si riportano:
δx&1 (t ) = −δx1 (t ) − δx2 (t ) + δu (t )
1
δx& 2 (t ) = δx1 (t ) − ·3·2 2 δx2 (t )
8
δy (t ) = δx1 (t )
⇒
δx&1 (t ) = −δx1 (t ) − δx2 (t ) + δu (t )
3
δx& 2 = δx1 (t ) − ·δx2 (t )
2
δy (t ) = δx1 (t )
La matrice A della dinamica e le tre matrici B, C e D che definiscono il sistema linearizzato nello
spazio degli stati assumono la forma:
− 1 − 1 
1 
A=
;
B
=

0 ; C = [1 0] ; D = 0
1
−
1
,
5


 
Gli autovalori della matrice A costituiscono gli zeri o radici del polinomio caratteristico associato
alla matrice A stessa; pertanto, necessita calcolare il determinante della matrice [λ
λ·I – A]. Si ricava:
1 
λ + 1

[λI − A] = 
⇒ det([λI − A]) = (λ + 1)· λ +


 − 1 λ + 1,5
3
5
5
2
 +1= λ + λ +
2
2
2
Gli zeri del polinomio caratteristico sono le soluzioni dell’equazione:
2λ2 + 5λ + 5 = 0 ⇒ λ1, 2 =
− 5 ± 25 − 40 − 5 ± j 15
=
4
4
− 5 − 15
4
− 5 + 15
λ2 =
4
λ1 =
La matrice A della dinamica presenta due autovalori complessi coniugati a parte reale negativa;
consegue che il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio È ASINTOTICAMENTE
STABILE.
ESERCIZIO 10: Sia assegnato il sistema dinamico non lineare a tempo discreto, descritto nello
spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
x1 (k + 1) = − x1 (k ) x22 (k ) + u (k ) x2 (k ) + 3u (k )
x2 (k + 1) = 4 x1 (k ) x2 (k ) − x22 (k ) + u (k ) − 5 x1 (k ) 2
y (k ) = 3 x1 (k ) x2 (k )
Si desidera:
a) verificare che per l’ingresso u = 1 2 lo stato di equilibrio corrispondente è x1 = 1 e x 2 = 1 ;
b) determinare le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio indicato
al precedente punto a);
c) determinare le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato.
d) determinare se il sistema linea rizzato è asintoticamente stabile;
e) determinare la funzione di trasferimento del sistema linearizzato.
• Verifica del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso u ( k ) = u = 1 2 ∀k ≥ 0 .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso u = 1 2 è determinato imponendo che sia
verificata la condizione x ( k + 1) = x( k ) ; pertanto si relaziona come segue:
x1 = − x1 x22 + x2u + 3u
x2 = 4 x1 x2 − x22 + u −
y = 3 x1 x2
5
x1
2
1°membro = 1
1
1
4 3
4
x1 : 
2
2
°
membro
=
−
1
·
1
+
1
·
+
3
·
=
−
1
+
+
=
−
1
+
= −1 + 2 = 1

2
2
2 2
2
1°membro = 1
1 5
1 5
4
x2 : 
2
2
°
membro
=
4
·
1
·
1
−
1
+
−
·
1
=
4
−
1
+
−
=
3
−
3 − 2 =1

2 2
2 2
2
Le due equazioni corrispondenti alla descrizione dello stato sono, pertanto, verificate. Consegue che
per l’ingresso u = 1 2 lo stato di equilibrio x è effettivamente determinato da x1 = 1 e x 2 = 1 :
• Determinazione delle equazioni del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio x1 = 1 e x 2 = 1 corrispondente allo
ingresso u ( k ) = u = 1 2 ∀k ≥ 0
δx1 (k + 1) = − x22 ·δx1 (k ) − 2 x1 x2 ·δx2 (k ) + x2 ·δu (k ) + u ·δx2 (k ) + 3δu (k )
5
δx2 (k + 1) = 4 x2 ·δx1 (k ) + 4 x1 ·δx2 ( k ) − 2 x2 ·δx2 (k ) + δu (k ) − δx1 ( k )
2
δy ( k ) = 3 x2 ·δx1 ( k ) + 3 x1 ·δx2 ( k )
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ( x1 , x2 , u ) consente di relazionare:
1
δx1 ( k + 1) = −12 ·δx1 ( k ) − 2·1·1·δx2 ( k ) + 1·δu ( k ) + ·δx2 ( k ) + 3δu ( k )
2
5
δx2 ( k + 1) = 4·1·δx1 ( k ) + 4·1·δx2 ( k ) − 2 x2 ·δx2 ( k ) + δu ( k ) − δx1 ( k )
2
δy ( k ) = 3 x2 ·δx1 ( k ) + 3 x1 ·δx2 ( k )
Procedendo con l’esecuzione dei dovuti calcoli si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
1
δx1 (k + 1) = −δx1 (k ) − 2·δx 2 (k ) + δu (k ) + ·δx 2 (k ) + 3δu (k )
2
5
δx 2 (k + 1) = 4·δx1 (k ) + 4·δx 2 (k ) − 2·δx2 (k ) + δu (k ) − δx1 (k )
2
δy (k ) = 3·δx1 (k ) + 3·δx2 (k )
3
δx1 (k + 1) = −δx1 (k ) − ·δx2 (k ) + 4δu (k )
2
3
δx2 (k + 1) = δx1 (k ) + 2·δx2 (k ) + δu (k )
2
δy (k ) = 3·δx1 (k ) + 3·δx2 (k )
• matrici caratteristiche della descrizione del sistema linearizzato nello spazio di stato.
La rappresentazione del sistema linearizzato nello spazio degli stati attiene alle relazioni di natura
matriciale di seguito riportate
 δx&   − 1 − 3 2  δx1  4
δx&1  1  = 
·δx  +  1·δu
&
δ
x
−
3
2
2
  2  
 2 
 δx 
δy = [3 3]· 1  + 0·δu
δx2 
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno
dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
 − 1 − 3 2
Alin = 
2 
− 3 2
⇒
 4
Blin =  
 1
⇒
Clin = [3 3]
Dlin = 0
⇒
• valutazione dell’asintotica stabilità del sistema linearizzato;
La stabilità del sistema linearizzato è determinata dai valori degli autovalori della matice Alin
della dinamica del sistema linearizzato; pertanto, è necessario determinare le radici del polinomio
λ). Consegue che:
caratteristico pAlin(λ
p A (λ ) = det(λI − A) =
λ +1
32
9
9
1
= (λ + 1)·(λ − 2) + = λ2 − λ − 2 + = λ2 − λ +
−3 2 λ −2
4
4
4
1
1
1
1

p A (λ ) = det(λI − A) = 0 ⇒  λ − · λ −  = 0 ⇒ λ − = 0 → λ = ν = 2
2
2
2
2

Im(λ
λ)
Pertanto, si ottengono due autovalori reali e coincidenti λ1 = λ2 = 1/2,
cioè l’autovalore λ = 1/2 con ordine di molteplicità ν = 2. Poiché i due
autovalori si caratterizzano per il modulo
λ1 = λ2 < 1 si conclude
che il sistema linea rizzato è asintoticamente stabile.
λ=1
/2
λ=1/2 Re(λ
λ)
• Determinazione della funzione di trasferimento G(z)
Il sistema di partenza e il sistema linearizzato caratterizzano un sistema
strettamente proprio in quanto l’uscita non dipende direttamente dallo
ingresso u(k). In tale contesto, la funzione di trasferimento del sistema linearizzato è definita da:
G ( z ) = C ·[ zI − Alin ]−1 B
 4
G ( z ) = [3 3]·[ zI − Alin ] · 
1 
−1
−1
⇒
 z + 1 3 2  4
G ( z ) = [3 3]·
 ·1 
−
3
2
z
−
2

  
Il calcolo della matrice [ zI − Alin ]
−1
è caratterizzato dalle scritture di seguito riportate:
 z − 2 − 3 2
1
=
·
ca
( z + 1)( z − 2) + (9 4)  3 2 z + 1 
 z − 2 − 3 2
 z − 2 − 3 2
1
4
= 2
=
·
·


2 
z − z + 1 4  3 2 z + 1  ( z − 1 2)  3 2 z + 1 
[ zI − Alin ]−1 =
[
1
· AlinT
det[ zI − Alin ]
]
=
−1
Nota l’espressione della matrice [ zI − Alin ] , il calcolo della funzione di trasferimento G(z) si
ottiene relazionando come segue:

  z − 2 − 3 2  4
4
·
G ( z ) = [3 3]·
·1 
2 
3
2
1
z
+
(
−
1
2
)
z
 


Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottengono le scritture seguenti:
G( z ) =
4
9
9
4
3
3

 4

 4
· 3z − 6 +
− + 3z + 3·  =
· 3z −
− + 3z · 
2 
2 
2
2
2
2
( z − 1 2) 
 1 ( z − 1 2) 
 1




4
3
4
15
· 12 z − 6 − + 3z  ⇒ G ( z ) = 
· 15 z − 
G ( z ) = 
2 
2 
2
2

 ( z − 1 2)  
 ( z − 1 2)  
60
4·15 
1
G
(
z
)
=
⇒
·
−
G( z) =
z


2
( z − 0,5)
2
1 

−
z


2

È bene osservare che la funzione di trasferimento G(z) ottenuta è caratteristica di un sistema del
primo ordine (presenta un solo polo) mentre, sia il sistema assegnato, sia il corrispondente sistema
linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio, sono caratterizzati dalle due variabili x1 e x2; ciò
evidenzia che si è verificata una cancellazione zero-polo e tale cancellazione NON È CRITICA in
quanto z = ½ si posiziona all’interno del cerchio con centro nell’origine e di raggio unitario.
ESERCIZIO 11: Sia assegnato il sistema dinamico non lineare a tempo discreto, descritto nello
spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
x1 (k + 1) = − x1 (k ) + u (k ) x2 (k )

u (k ) 
 − x1 (k )
x2 (k + 1) = x2 (k )·1 +
x
(
k
)

1

2
y (k ) = − x1 (k ) + x2 (k )
Si desidera:
a) determinare lo stato di equilibrio e l’uscita di equilibrio corrispondenti a un ingresso costante
u = 1 per ogni k ≥ 0;
b) determinare il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio;
c) determinare se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile, semplicemente stabile, oppure è
instabile.
• Determinazione dello stato e della uscita di equilibrio corrispondenti a un ingresso costante
u (k ) = u = 1 ∀k ≥ 0 .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso u = 1 si determina imponendo che venga
verificata la condizione x ( k + 1) = x( k ) ; pertanto si relaziona come segue:
x1 = − x1 + u · x2
x ·u
x2 = x2 + 2 − x1
x1
2
y = − x1 + x2
⇒
x1 = − x1 + x2
x
x2 = x2 + 2 − x1
x1
2
y = − x1 + x2
2 x1 = x2
2 x1 = x2
x
2x
⇒ 0 = 2 − x1
⇒ 0 = 1 − x1
x1
x1
2
y = − x1 + 2 x1
y = − x12 + 2 x1
Pertanto, sotto la condizione che sia x1 ≠ 0 si ottiene lo stato e l’uscita di equilibrio corrispondenti
all’ingresso u ( k ) = u = 1 ∀k ≥ 0 .
x2 = 2 x1
x1 = 2
x1 = 2
⇒
y = −2 2 + 2·2
x2 = 4
⇒
y = −4 + 4
x1 = 2
x2 = 4
y=0
• Determinazione delle equazioni del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio x1 = 2 e x 2 = 4 corrispondente allo
ingresso u ( k ) = u = 1 ∀k ≥ 0
δx1 (k + 1) = −δx1 (k ) + u ·δx2 (k ) + x2 ·δu (k )
x
xu
u
δx2 (k + 1) = δx2 (k ) − δx1 (k ) + δx2 (k ) + 2 δu (k ) − 22 δx1 (k )
x1
x1
x1
δy (k ) = −2 x1 (k )·δx1 (k ) + δx2 (k )
La sostituzione dei valori dello stato di equilibrio e dell’ingresso relativo, consente di determinare
il seguente modello:
δx1 (k + 1) = −δx1 (k ) + 1·δx2 (k ) + 4·δu (k )
1
4
4·1
δx2 (k + 1) = δx2 (k ) − δx1 (k ) + δx2 (k ) + δu (k ) − 2 δx1 ( k )
2
2
2
δy (k ) = −2·2·δx1 (k ) + δx2 (k )
Svolgendo i necessari passaggi e le dovute semplificazioni algebriche, si ottengono le scritture:
δx1 (k + 1) = −δx1 (k ) + δx2 (k ) + 4·δu (k )
3
δx2 (k + 1) = −2·δx1 (k ) + ·δx2 (k ) + 2·δu (k )
2
δy (k ) = −4·δx1 (k ) + δx2 (k )
La rappresentazione del sistema linearizzato nello spazio degli stati attiene alle relazioni di natura
matriciale di seguito riportate
 δx (k + 1)   − 1 1   δx1 (k )  4
δx(k + 1 ) =  1
 = − 2 3 2·δx (k ) + 2·δu (k )
δ
x
(
k
+
1
)
 2   
 2
 
 δx (k ) 
δy (k ) = [3 3]· 1  + 0·δu (k )
δx2 (k )
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno
dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
−1 1 
Alin = 

− 2 3 2
⇒
4
Blin =  
2
⇒
Clin = [− 4 1]
⇒
Dlin = 0
• valutazione dell’asintotica stabilità del sistema linearizzato;
La stabilità del sistema linearizzato è determinata dai valori degli autovalori della matice Alin
della dinamica del sistema linearizzato; pertanto, è necessario determinare le radici del polinomio
caratteristico pAlin(λ
λ). Consegue che:
p Alin (λ ) = det(λI − Alin ) =
λ +1
2
−1
3
3
3
= (λ + 1)·(λ − ) + 2 = λ2 + λ − λ − + 2
λ −3 2
2
2
2

1
1
1 1
1
p A lin (λ ) = det(λI − Alin ) = 0 ⇒ λ2 − λ + = 0 ⇒ λ1, 2 = · ±
− 2  , da cui:
2
2
2 2
4

1
7
1
7
1 1
7
λ1, 2 = · ± −  ⇒ λ1 = − j
e λ1 = + j
4
4
4
4
2 2
4
Gli autovalori della matrice Alin della dinamica del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di
equilibrio sono due autovalori complessi e coniugati.
La Condizione Necessaria e Sufficiente affinché il sistema linearizzato sia asintoticamente stabile
richiede che il modulo degli autovalori sia minore di uno, cioè: λi< 1; quindi, si procede con la
determinazione del calcolo del modulo degli autovalori sopra calcolati; ricordando che due numeri
complessi e coniugati sono caratterizzati dall’avere lo stesso modulo, è immediato evincere ciò
di seguito viene esplicitato:
2
λ1, 2
2
1
7
8
1
1
2
 1   7 
=   +
=
+
=
=
=
=
= 0,707 < 1
16 16
16
2
2
2
 4   4 
Pertanto, gli autovalori avendo modulo inferiore a uno si posizionano all’interno del cerchio di
raggio unitario e centro nell’origine del piano di Argand-Gauss della variabile complessa “λ
λ”,
ovvero nella regione di asintotica stabilità.
Per questo si conclude affermando che, il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio
è asintoticamente stabile.