Teoria e Progetto di ponti - Colonna Modello

Università degli Studi Roma Tre – Dipartimento di Ingegneria
Corso di Teoria e Progetto di Ponti – A/A 2013-2014 - Dott. Ing. Fabrizio Paolacci
STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA’ • 
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Lezione n° 1
Posizione del problema Il problema della stabilità dell’equilibrio –  aste perfe6e: Il carico cri9co euleriano –  influenza delle imperfezioni –  influenza dei vincoli Aste in c.a.: Il diagramma Momento-­‐Curvatura (M-­‐χ) –  cenni alla sua determinazione numerica –  pun9 cara6eris9ci del diagramma (M-­‐χ) Aste in c.a.: il metodo esa6o Aste in c.a.: il metodo della colonna modello Esempio: calcolo sforzo normale ul9mo di un pilastro in c.a. snello. Prescrizioni Norma9ve Università degli Studi Roma Tre – Dipartimento di Ingegneria
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Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema)
Lezione n° 1
P
II° ordine
I° ordine
Il problema della valutazione della capacità portante di pilastri tozzi (pilastri con
rapporto tra lunghezza e minima dimensione in sezione è sufficientemente
piccola) si riduce al calcolo della capacità portante della sua generica sezione (se
di sezione costante). In tal caso le sollecitazioni sono determinate con la teoria
del primo ordine, in quanto si ritiene che le sollecitazioni non siano influenzate
dalla configurazione deformata essendo gli spostamenti piccoli (teoria del I°
ordine)
P
v
Può però accadere che l’entità degli
spostamenti non sia così piccola da poter
trascurare le sollecitazioni aggiuntive che
nascono imponendo l’equilibrio nella
configurazione deformata. In tal caso si parla di
teoria del II° ordine.
Nel caso ad esempio di una mensola soggetta a
compressione la possibilità che l’asta non sia
inizialmente rettilinea potrebbe comportare
effetti del II° ordine non trascurabili in presenza
di snellezza elevata.
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Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema)
Ci si chiede allora quale sia l’influenza (in genere deleteria) degli
effetti del II° ordine sulla capacità portante delle strutture. In
particolare ci si chiede quale sia l’influenza degli effetti del
secondo ordine sulla capacità portante di pilastri in cemento
armato.
Lezione n° 1
II° ordine
I° ordine
PuI
PuII < PuI
v
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Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.)
EJ
v
P
L
Equazione di equilibrio
(Eq. differenziale omogenea)
M = EJχ ⇒ v' '−
Lezione n° 1
P
v=0
EJ
Carico critico Euleriano
ASTE PERFETTE (Asta di Eulero)
L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo
sviluppo è il problema dell’asta di Eulero.
In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a
sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla
configurazione iniziale.
Comportamento
reale
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Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.)
ASTE PERFETTE (Asta di Eulero)
L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo
sviluppo è il problema dell’asta di Eulero.
In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a
sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla
configurazione iniziale.
P
EJ
v
P
L
Equazione di equilibrio
(Eq. differenziale omogenea)
M = EJχ ⇒ v' '−
Lezione n° 1
P
v=0
EJ
Biforcazione dell’Equilibrio
Pcr = π
EJ
L2
v
Il carico critico Euleriano è il più piccolo carico per il
quale sussiste l’equilibrio nella configurazione deformata.
In corrispondenza di esso sussiste quella che in gergo
viene definita biforcazione dell’equilibrio.
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Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.)
INFLUENZA DELLE IMPERFEZIONI
Dal momento che le condizioni di asta perfetta non sono in genere verificate
occorre considerare anche l’influenza delle imperfezioni, in genere rappresentate
da una eccentricità iniziale e.
P
M=
P
EJ
e
v
L0
Pe
= cM I
P
1−
Pcr
Le imperfezioni eliminano
il fenomeno della
biforcazione dell’equilibrio
P
Lo sforzo Normale
massimo è inferiore al
carico critico di Eulero
Equazione di equilibrio
(Eq. diff. non omogenea)
M = EJχ ⇒ − EJv' ' = P(e + v)
P
P
v' '+ v + e = 0
EJ
EJ
Lezione n° 1
Pcr = π
EJ
L0 2
Py
Pu
Asta di
Eulero con
Imperfezioni
Comportamento reale
v
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Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.)
INFLUENZA DEI VINCOLI
La formulazione del problema di Eulero riguardava l’asta semplicemente
appoggiata. In realtà le condizioni di vincolo che possono presentarsi sono in
genere diverse e hanno notevole influenza sulla valutazione della stabilità
dell’equilibrio di elementi strutturali compressi. Per tener conto di ciò l’idea è
quella di ridursi attraverso condizioni di natura geometrica all’asta di Eulero
modificando opportunamente la lunghezza della trave con un coefficiente β.
Esempi
P
P
P
L0=βL
L
L0=2L
Lezione n° 1
L
L0=0.7 L
L
L0=0.5 L
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
DEFINIZIONE DEL PROBLEMA
Si consideri ora un’asta in cemento armato. Poiché il materiale considerato è a
comportamento non lineare la ricerca di posizioni equilibrate diverse dalla
configurazione iniziale comporta, oltre a non linearità di natura geometrica, anche
non linearità meccaniche. In particolare il momento dipende non linearmente
dalla curvatura alla quale la sezione considerata è soggetta.
M( χ ) = P(e + f ) = M I + M II
Occorre quindi valutare il
massimo valore di P che
soddisfi l’equazione di
equilibrio nella sezione più L
sollecitata tenendo conto
della non linearità della
legge M(χ)
Lezione n° 1
f
v(x)
e
P
Osservazione
Nella generica sezione la riserva di
resistenza flessionale M(χ) è in
parte assorbita dal momento
esterno del I° ordine MI=Pe e in
parte dal momento del II° ordine
MII=Pf.
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
Modello Cinematico
χ=
v
x
εx
y
y
ϕ
Deformazione della
fibra a livello y
ϕ
u =ϕ y
y
u
Lezione n° 1
du dϕ
εx =
=
y
dx dx
r
dϕ
dx
dx+εxdx
dϕ 1
= =χ
dx r
trascurabile
rdϕ = dx + ε x dx
Legame curvatura-deformazione
VALUTAZIONE DELLA CURVATURA
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
Il DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA
Poiché siamo interessati alla valutazione della capacità ultima dell’elemento
strutturale il diagramma M-χ può essere ragionevolmente approssimato con una
trilatera i cui punti caratteristici sono rappresentati rispettivamente dal punto di
prima fessurazione del CLS (I° Stadio), dal punto di primo snervamento
dell’armatura (II° Stadio) e dal punto di rottura allo SLU della sezione (III°
Stadio).
N=cost
M
Diagramma
Momento-Curvatura
Semplificato
(χy , My)
III° Stadio
(χf , Mf)
(χu , Mu)
II° Stadio
I° Stadio
χ
Lezione n° 1
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
PUNTI CARATTERISTCI DEL DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA
I° Stadio
Lezione n° 1
Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti
della sezione si valutano considerando la sezione
interamente reagente omogeneizzata a CLS
II° Stadio
Il momento flettente e lo sforzo normale
resistenti della sezione si valutano considerando
la sezione elastica ma parzializzata.
III° Stadio
Il momento flettente e lo sforzo normale
resistenti si valutano considerando per la sezione
le condizioni di stato limite ultimo.
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
ESEMPIO DI DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (codice VCASLU)
160
(χy , My)
140
(χu , Mu)
M (kNm)
120
100
N=374 kN
80
DATI SEZIONE:
60
Dimensioni Sezione
b=30 cm, h=30 cm
40
(χf , Mf)
20
0
0
0.00005
0.0001
0.00015
0.0002
Curvatura (1/cm)
Lezione n° 1
0.00025
0.0003
0.00035
Armatura
3φ22 inferiore e superiore.
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
METODI DI SOLUZIONE: IL METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Δx
P
P
xi
M( χ ) = P[e + v(x)]
e
vi
vi+1
L0
M(χi ) = P[e + vi (xi )]
Metodo delle differenze finite
d 2 vi vi −1 − 2vi + vi +1
χi ≅ − 2 =
dx
Δx 2
Lezione n° 1
Sistema lineare con incognita vi
− K ik vi −1 + (2K ik − PΔx 2 )vi − K ik vi +1 = Δx 2 (Pe − Mi ( χik ) + K ik χik )
Sviluppo in serie di Taylor della legge M(χ)
dM i ( χik )
Mi ( χ ) +
( χ i − χik ) = P(e + vi )
dχ
χ =χ k
k
i
i
i
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (D.M. 9.1.96)
M( χ ) = P(e + f )
f
e
La verifica del pilastro si esegue calcolando il massimo
valore dello sforzo normale Pu per cui sia ancora possibile
l’equilibrio nella sezione maggiormente sollecitata. Esso
deve risultare minore dello sforzo normale applicato.
χ ⎞
⎛
M (χ ) = Pu ⎜ e + L2 max ⎟
10 ⎠
⎝
P
con
Pu > Pd
Soluzione approssimata
v(x)
L
⎛ x ⎞
v( x ) = f sin ⎜ π ⎟
⎝ L ⎠
d 2 v( x ) π 2
⎛ x ⎞
χ (x) =
=
f
sin
⎜ π ⎟
2
2
dx
L
⎝ L ⎠
Curvatura Massima
Lezione n° 1
χ max =
π2
L2
f ≅ 10
f
L2
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO
Soluzione del sistema
180
160
(χy , My)
140
MII
120
M (kNm)
Pu L2
M(χ ) = Pu e +
χ
10
PuL2/10
Pu L2
M y = Pu e +
χ y = M I + M II
10
100
MI= Pue
80
60
P=Pu
40
20
0
0
0.00005
0.0001
χ
Lezione n° 1
0.00015
0.0002
Curvatura (1/cm)
0.00025
0.0003
0.00035
M y (Pu )
Pu =
Lχ (P )
e+ y u
10
Soluzione Iterativa
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO
SOLUZIONE ITERATIVA
180
160
Lo sforzo normale ultimo Pu si valuta in 5
passi:
Lezione n° 1
M II =
120
M (kNm)
1) si sceglie un Pu di primo tentativo
1) si valuta il diagramma M-χ
3) si valuta il momento del II° ordine MII
4) si valuta MI
5) se Pu×e ≅ MI il procedimento iterativo
termina, altrimenti si utilizza il valore
Pu=MI/e come ulteriore Pu di tentativo
e si ripetono i punti dal 1 al 5 fino a
che la condizione non risulti verificata
(χy , My)
140
100
80
Pu L2
χy
10
MI
60
40
P=Pu
20
0
0
0.00005
0.0001
χ
0.00015
0.0002
Curvatura (1/cm)
0.00025
0.0003
0.00035
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO)
Materiali
Cls Rck 30 Mpa
Acciaio FeB44K
Nel caso dell’esempio considerato sono state necessarie 6
iterazioni per raggiungere la convergenza, ottenendo per lo
sforzo normale ultimo il valore Pu = 374.2 kN che
corrisponde al momento MI=112.26 kNm
DATI:
Dimensioni Sezione
b=30 cm, h=30 cm
Armatura
3φ22 inferiore e superiore.
Eccentricità e = 30 cm
Altezza pilastro H=700 cm
N.B. il valore di Pu in assenza di fenomeni del II° ordine vale 482 kN, valore maggiore del 22%
rispetto al caso nel quale gli effetti del II° ordine siano messi in conto
Lezione n° 1
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Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)
METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO)
Materiali
Cls Rck 30 Mpa
Acciaio FeB44K
180
160
(χy , My)
140
MII=261.8 kNm
DATI:
Dimensioni Sezione
b=30 cm, h=30 cm
Armatura
3φ22 inferiore e superiore.
Eccentricità e = 30 cm
Altezza pilastro H=700 cm
M (kNm)
120
100
80
MI= 112.2 kNm
60
40
P=Pu= 374 kN
20
0
0
0.00005
0.0001
χ
Lezione n° 1
0.00015
0.0002
Curvatura (1/cm)
0.00025
0.0003
0.00035
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PRESCRIZIONI NORMATIVE
Lezione n° 1