A SPASSO CON GOLDBACH

A SPASSO CON GOLDBACH
Il pittore parigino Georges Seurat è stato il padre del puntinismo. Ha visto che, accostando tante
macchioline colorate, l'occhio perde la percezione delle singole entità separate ma vede comparire
l'immagine che l'artista ha creato. La mente di chi guarda ricompone l'insieme e riconosce una
figura indipendentemente dal reale colore o dalla precisione dei contorni.
Gli antichi astrologi e studiosi, alzando lo sguardo verso le stelle, vedevano Leoni, Tori, Carri,
Bilance, Vergini e tante altre forme, ma nel cielo non c'era e non c'è niente di tutto questo.
Similmente può accadere anche a noi, soffermandoci a guardare le nuvole, di veder comparire volti
o figure.
Questa breve premessa per dire che qualche cosa del genere capita con i numeri.
I numeri sono una “apparentemente” normale successione ordinata di simboli, dalla quale traiamo
formule e significati. C' è da chiedersi: Dove è la realtà, dentro o fuori dalla nostra mente?.
Tra le tante “sequenze” numeriche c'è ne una che è alla base dell'argomento che sto per esporre.
Si tratta della sequenza dei numeri primi e della storia che assieme a Christian Goldbach e tanti altri
li ha come protagonisti.
Può essere curioso sapere che il nome Goldbach, tradotto in italiano vuol dire Ruscello d'oro.
Chi era Christian Goldbach (1690-1764) ?. Per quello che ci riguarda mi limiterò a dire che era un
matematico nato a Königsberg, il 18 marzo del 1690 e che all'età di 52 anni giocando con i numeri
si accorse che ogni numero dispari, che gli veniva in mente, poteva essere scritto come la somma di
tre numeri primi e non ne servivano di più.
Cristian Goldbach
Probabilmente se ne era accorto anche prima. A dispetto del problema apparentemente banale non
riusciva a darsene una spiegazione logica. Fu così che nel 1742 dopo l'ennesimo tentativo di
risolvere il dilemma si decise a scrivere, tra lo speranzoso e l'avvilito, al suo amico Leonhard Euler.
Normalmente da noi conosciuto con il nome italianizzato di Eulero, era uno dei più grandi
matematici di quel tempo e probabilmente di tutti i tempi, e Lui , così pensò Goldbach, sicuramente
sarebbe stato in grado di chiarire il motivo di quella strana alchimia matematica.
Ma facciamo un piccolo passo indietro per dire cosa sono i numeri primi e quale è la loro più
importante proprietà.
I NUMERI PRIMI
I numeri naturali, 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ecc....... che, oltre ad essere logicamente divisibili per
uno, hanno come divisore intero solo se stessi, si chiamano numeri primi.
Ad esempio 21 ha come divisore intero il 3 e da come risultato 7 che è un intero tale che 3x7 = 21
ed è naturalmente divisibile per 7, quindi 21 non è un numero primo.
Diversamente non esiste un divisore intero di 13 oltre al 13 stesso che è quindi un numero primo.
I numeri primi sono quasi tutti dispari e quel quasi è dovuto all'unico primo pari che è il numero 2.
Il numero 1 pur rispettando le regole di appartenenza non viene considerato un “primo”.
Un breve elenco, incluso il solitario 2, dei numeri primi è il seguente:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; ….ecc…....
I numeri primi sono importanti perché alla base della struttura moltiplicativa dei numeri naturali: il
Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, attribuito ad Euclide, assicura che ogni “naturale” (escluso i
primi) si può ottenere moltiplicando fra loro opportuni primi in uno ed un solo modo. L'ordine dei
fattori, per la proprietà commutativa della moltiplicazione, non cambia ne il risultato ne il teorema.
Gli interi che non sono primi si dicono numeri composti.
Il grande fascino dei primi è che non esiste un modo immediato per sapere se un numero è o non è
primo, ma compaiono all'improvviso nella sequenza dei naturali come per magia. Tutto questo crea
attorno a loro un alone di mistero.
Il modo, forse l'unico, per scoprire la loro identità è utilizzare il crivello di Eratostene da Cirene
(273-194 a.C), matematico, astronomo e geografo greco, lo stesso che si prese la briga di misurare,
con discreto successo, il diametro della terra.
IL CRIVELLO DI ERATOSTENE.....
Crivello è sinonimo di setaccio. I produttori di Lamon, cittadina famosa per l'ottima qualità dei suoi
fagioli, per separare quelli più grandi da quelli più piccoli, e differenziarli per qualità e prezzo ,
usano un setaccio. Eratostene, per separare i numeri naturali dai numeri primi ha usato un setaccio
matematico che viene chiamato crivello.
Cominciamo con lo scrivere la tabella dei primi 100 numeri naturali.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Dalla tabella vengono eliminati in primo luogo i numeri pari, cioè i multipli di 2, ad esclusione del 2
stesso.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
----------
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
----------
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
----------
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
----------
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
------------
successivamente i multipli del numero 3 ad esclusione del 3.
1 2 3 - 5 - 7 - -- -11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 --
-31
41
-61
71
-91
---------
23
-43
53
-73
83
--
---------
25
35
-55
65
-85
95
---------
-37
47
-67
77
-97
---------
29
-49
59
-79
89
--
----------
successivamente i multipli di 5
1
11
-31
41
-61
71
-91
2
----------
3
13
23
-43
53
-73
83
--
----------
5
----------
- 7 - -- --- 17 -- 19 --- -- -- 29 --- 37 -- -- --- 47 -- 49 --- -- -- 59 --- 67 -- -- --- 77 -- 79 --- -- -- 89 --- 97 -- -- ---
e successivamente i multipli di 7. Alla fine otterremo:
1
11
-31
41
-61
71
---
2
----------
3 - 5 - 7 - -- -13 -- -- -- 17 -- 19 -23 -- -- -- -- -- 29 --- -- -- -- 37 -- -- -43 -- -- -- 47 -- -- -53 -- -- -- -- -- 59 --- -- -- -- 67 -- -- -73 -- -- -- -- -- 79 -83 -- -- -- -- -- 89 --- -- -- -- 97 -- -- ---
che possiamo scrivere di seguito escludendo il numero 1 che non “crivella” nessuno (sarà per
questo che non è considerato primo ?):
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97
per un totale di 25 numeri primi.
Naturalmente il crivello non si ferma a 100; non finisce qui, anzi non finisce mai.
Una cosa utile da sapere è che se devo fare il crivello, per esempio, dei primi 200 numeri è
sufficiente arrivare al numero primo più vicino per difetto alla radice quadrata di 200 cioè 13 e non
serve proseguire oltre.
Nel caso dei 100, il numero primo più vicino per difetto alla radice quadrata di 100 è 7.
Quindi non serve proseguire e controllare con i multipli degli altri numeri dopo il 7 la tabella che
abbiamo appena estrapolato: i rimanenti sono tutti primi.
Fortunatamente esistono elenchi e programmi che ci solleveranno da questa ricerca. Grazie.
ERATOSTENE
TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA
Ripeto qui un concetto molto importante, talmente importante da venire chiamato Teorema
Fondamentale dell'Aritmetica. Fondamentale deriva da “fondamenta” il che significa che, se questo
teorema non fosse vero, non esisterebbe la matematica che conosciamo.
Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica assicura che ogni numero naturale (escluso i primi) si può
ottenere moltiplicando fra loro opportuni numeri primi in uno ed un solo modo. Gli interi che non
sono primi si dicono numeri composti. La spiegazione del Teorema è data dal fatto che i numeri che
ho tolto con il crivello sono proprio i multipli dei numeri primi.
Il fatto di averli tolti non significa che li dobbiamo buttare via.
La domanda che sorge spontanea è: Quanti sono i numeri primi ?.
Pochi?, tanti?, tantissimi?. La risposta esatta è “infiniti”.
Per quanto si possa pensare che con il proseguire della selezione del crivello la quantità si diraderà,
il loro numero è infinito. Una dimostrazione, non super scientifica, può essere fatta con un piccolo
esempio.
Prendiamo il numero dato dal prodotto di primi cinque primi
2x3x5x7 = 210 quindi 210 è divisibile per 2; 3; 5; 7
se aggiungiamo 1 a 210 otteniamo 211 che non è divisibile per nessuno dei primi precedenti.
Dovrà quindi esistere un nuovo numero primo divisore di 211 che non è nell'elenco precedente
oppure, nella peggiore delle ipotesi, lo stesso 211 dovrà essere primo.
Con un po' di fatica troveremo che 211 è primo e se ne trovano molti altri intermedi, quindi la lista
dei numeri primi si è allungata e si allungherà sempre.
Ma torniamo ad Eulero.
EULERO
Eulero a quel tempo si trovava a Berlino ed era da poco rientrato dalla Russia con moglie e figli.
Aveva deciso di stare finalmente un po' tranquillo e godere delle effimere gioie della vita senza
doversi scervellare quotidianamente in problemi matematici. Quando si vide recapitare la lettera
dell'amico Christian, cominciò a corrugare la fonte. Sapeva della sua passione e temeva la solita
domanda che gli avrebbe fatto perdere un po' del suo meritato riposo.
Eulero aveva dei guai alla vista. La cateratta gli aveva quasi spento un' occhio e compromesso
fortemente l'altro. Lasciò al suo assistente il compito di una prima lettura ma quando sentì che si
trattava di una questione riguardante i numeri primi, prese la lettera e sforzò l'occhio più buono per
leggere personalmente i dettagli della domanda. Il problema gli sembrò, di primo acchito,
abbastanza semplice e pensò che in qualche giorno avrebbe mandato la risposta chiarificatrice
all'amico.
Dopo una settimana aveva consumato più carta del previsto ed il sonno non era più così continuo
nella notte. Si svegliava pensando di aver trovato la soluzione ma c'era sempre qualche cosa che gli
sfuggiva. C'era l'infinito di mezzo e questo complicava enormemente la questione; d'altro canto
sebbene provasse con le sue mani che la “congettura” era vera si rendeva conto che tutte le prove
del mondo non avrebbero dimostrato nulla. Aveva verificato l'ipotesi fino al numero 2500, ma
Eulero era un matematico, non un fisico: cento prove, mille prove, un milione di prove seppure con
esito positivo, dal punto di vista matematico non significavano quasi nulla.
Che brutta figura con il mio amico, pensò. Eppure qualche cosa gli devo pur scrivere. In effetti con
alcune considerazioni si poteva, se non risolvere, almeno semplificare apparentemente il problema.
Se da qualsiasi numero dispari somma di tre primi tolgo un numero primo, escluso il due che
tralasceremo nei prossimi ragionamenti, trovo un numero pari composto dalla somma di due primi.
Quindi la “congettura” poteva essere, per così dire, ridotta affermando che era equivalente ad
affermare che ogni numero pari è scomponibile nella somma di due numeri primi.
Prendiamo ad esempio il numero 45. Tolgo un qualsiasi numero primo, ad esempio 7 e trovo 45-7 =
38. Se 38 è scomponibile in due numeri primi automaticamente 45 è la somma di tre numeri primi.
Come si vede è la cosa più logica che si possa pensare. In effetti 38 si può scrivere come 31+7 o
19+19 e quindi 45 = 31+7+7 o 19+19+7.
Non era un granché ma Eulero pensò che il quesito così semplificato sarebbe stato risolto più
facilmente, e si affrettò a rispondere all'amico Goldbach liberandosi così elegantemente della
questione.
Ne aveva molti problemi da risolvere che questo proprio non ci voleva e tra le altre cose non c'era
un riscontro pratico alla soluzione. Giusto la soddisfazione, ma Lui ne aveva avute così tante che
poteva rinunciarci.
Il dilemma così riproposto a Goldbach restò irrisolto per tutta la sua vita finché il povero Christian
morì senza essere riuscito a togliersi quel peso. In compenso il rompicapo rimase nel lessico di
matematici e dilettanti curiosi con il nome di “Congettura di Goldbach”.
Così Goldbach entrò nella storia della matematica, probabilmente per un motivo un po' riduttivo
rispetto il suo reale valore di studioso.
La semplificazione di Eulero ebbe un rilevante effetto divulgativo. Qualsiasi persona un po'
appassionata di matematica difronte ad un problema così apparentemente semplice si sentiva quasi
in obbligo di provare a risolverlo.
Anche super matematici del calibro di Riemann, Paul Erdős, Pafnutij L'vovič Čebyšëv, Srinivasa
Aiyangar Ramanujan, e molti altri dedicarono energie mentali per sbrogliare la matassa, ma
inutilmente o quasi. Alla fine gli anni passavano e il mistero rimaneva irrisolto.
Riemann, uno dei miei preferiti, riuscì a spostare il problema dall'insieme dei numeri naturali,
all'insieme dei numeri complessi, e ne derivò “L'ipotesi di Riemann” che, a quanto sembra, se
risolta comporterebbe l'automatica soluzione della ”Congettura “. La cosa non ha avuto un gran
successo, e l'ipotesi continua a rimanere tale.
Molti dilettanti della matematica, difronte alle difficoltà di trovare le soluzioni della funzione
complessa Z (zeta) di Eulero-Riemann hanno rinunciato alla ricerca, con sollievo degli accademici.
Bernhard Riemann
Due matematici della lista precedente hanno dato degli impulsi significativi per intravedere una
qualche soluzione del problema.
Il primo è stato Čebyšëv che ha dimostrato che tra ogni numero primo e il suo doppio esiste sempre
almeno un numero primo.
Esempio:
Prendiamo la lista iniziale 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; ….ecc…....
e possiamo constatare che tra 5 e 10 si trova il 7; tra il 7 ed il 14 si trova il 13; tra l'11 e il 22 si
trovano il 17 e il 19.
Si può andare avanti quanto si vuole, la dimostrazione di Čebyšëv ci mette tranquilli.
E' una cosa notevole che dobbiamo alle grandi doti del matematico russo.
Il teorema di Čebyšëv tra l'altro ci fa capire che i numeri primi sono ben diluiti tra i numeri
naturali, e non raggruppati.
I secondo è stato Paul Erdős.
Il postulato di Bertrand affermava che per ogni n≥2 esiste un primo
n< p<2∗n . Erdős ne fece una dimostrazione per assurdo.
p tale che
Quindi possiamo dire con certezza che:
Tra ogni numero, anche non primo, e il suo doppio esiste almeno un numero primo.
Esempio: Tra il 12 e il 24 troviamo il 13; 17; 19; 23.
Veramente tanti.
Citiamo inoltre il significativo lavoro del matematico francese Olivier Ramaré che nel 1995
dimostrò che: Ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più o al massimo di sei
numeri primi.
Circa nello stesso anno il Ph.D Leszek Kaniecki ha dimostrato che ogni intero dispari è una somma
di non più di cinque numeri primi, (sotto l'Ipotesi di Riemann). Questa dimostrazione è stata
convalidata da Terence Tao senza l'ipotesi di Riemann, migliorandone così il risultato.
GLI SPAZI TRA NUMERI PRIMI
Continua.......