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L`ottavo problema di Hilbert

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L`ottavo problema di Hilbert
L’ottavo problema di Hilbert (Ipotesi di Riemann)
(Presunta connessione con la crittografia RSA)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show a connection between Riemann Hypothesis and RSA
Cryptography about eighth Hilbert Problem, and a connection with ex Goldbach
conjecture
Riassunto
In questo breve lavoro
parleremo dell’ottavo problema di Hilbert (Ipotesi di
Riemann, RH) , e della crittografia RSA. Una fattorizzazione più veloce, più che in
base alla RH sarebbe invece possibile in base alla ex- congettura di Goldbach,
trasformando però le somme di Goldbach (numeri pari N = p + q) in prodotti di
Goldbach N=p*q (semiprimi, che, se grandissimi, noti come numeri RSA, sono, com’è
noto, alla base della omonima crittografia).
Con l’algoritmo di fattorizzazione di Fermat, conseguenza della ex congettura di
Goldbach (ritenuta spesso poco o punto utile, ma qui mostreremo tutta la sua grande
utilità), esiste qualche possibilità di fattorizzazione più veloce
dei metodi attuali; infatti esse distano tutti e sempre d^2 da s^2 con d ed s
semidifferenza e semisomma , da cui poi p = s - d e q = s + d .
Un nostro teorema sull’algoritmo di Fermat riduce del 67 % i tempi di calcolo per
fattorizzare N. Circa l’ipotesi di Riemann, invece, l’ex congettura di Goldbach
permetterebbe di capire perché tutti gli (infiniti) zeri sono sulla retta reale RE(s) = ½
(Rif. 1 e 2)
Per gli altri 22 problemi vedere la relativa voce di Wikipedia, che riportiamo
parzialmente nella Nota 1 finale (ma vi si parla di 24 problemi in totale)
Testo
Leggendo sull’enciclopedia “Garzantina” di matematica, (Garzanti Ed.) la voce “I
problemi di Hilbert” (con il quale egli sperava, come pure altri matematici anche
attuali, in una connessione tra l’ipotesi di Rieman ed una possibile fattorizzazione
veloce in grado di violare in qualche modo la crittografia RSA) , abbiamo notato
l’ottavo problema, che, seppure già noto ai matematici, lo riportiamo a scopo
divulgativo (gli altri 22 problemi sono reperibili su Wikipedia, riportati alla fine di
questo lavoro, in Nota 1)
Riportiamo , da Garzantina, la descrizione dell’ottavo problema di Hilbert, pag.572:
“Ottavo problema. Problemi riguardanti i numeri primi. Si pone il problema
della possibilità di individuare una legge relativa alla distribuzione dei numeri
primi (→Riemann, ipotesi di). Il problema è di notevole rilevanza sia teorica sia
applicativa, giacchè una legge, anche di natura probabilistica, relativa alla
distribuzione dei numeri primi avrebbe implicazioni notevoli sui sistemi di
crittografia. Il problema è tuttora aperto (2013)”.
Circa la crittografia, vedi Rif. 6, dove mostriamo come la crittografia RSA possa
essere inviolabile, né con una dimostrazione dell’ipotesi di Riemann, né con
computer quantistici , in fase di sperimentazione, o di altro tipo ( a Dna,
mmcomputers, in fase iniziale di studio teorico).
Circa la distribuzione dei numeri primi, è tuttora valido il noto Teorema dei Numeri
Primi, TNP, e pensiamo che una dimostrazione dell’ipotesi di Riemann potrebbe
non apportare grandi variazioni (vedi Rif.1), e comunque è sufficiente per
dimostrare la congettura di Goldbach (N pari ≥ 4 come somma di due numeri
primi, tranne il 2 iniziale),poiché basta considerare la distribuzione da 3 fino ad N/2 e
da N/2 fino ad N, vedi successivo esempio per N = 100 , e considerando i nostri
Riferimenti finali su Goldbach, in modo particolare quello sulle Tabelle, dal quale
riportiamo la TABELLA 1, il nostro crivello di Eratostene bidimensionale per le
coppie di Goldbach.
Una distribuzione dei numeri primi più stringente è legata d’altro canto alla
congettura di Cramer –Shank, da noi dimostrata (Rif. 9 e 22) , secondo la quale il gap
massimo tra due numeri primi consecutivi non supera mai il quadrato del logaritmo
del primo di tali numeri primi ( Rif. 9)
Ma ritorniamo a Goldbach
TABELLA 1
(di addizione dei numeri naturali e dei numeri primi)
Nella quale eliminate con una riga le righe e le colonne che partono da numeri
composti, rimangono solo quelle che contengono tutti i numeri pari come somma dei
numeri primi di cui sono somma; e che si trovano all’incrocio dei due numeri primi
p e q , anche più volte (cioè per G(N) coppie di numeri primi,
con G(N) ≈ N/(ln N)^2.
La attuale e nota distribuzione dei numeri primi, indicata dal TNP, consente quindi
di dimostrare vera la ex congettura di Goldbach per tutti i numeri pari, senza
bisogno quindi di eventuali altre distribuzioni derivabili o meno dall’ipotesi di
Riemann.
Vediamo ora un esempio di coppie di Goldbach per N = 100 = p + q, simmetrici
rispetto ad N/2 = 100/2 = 50, e con una colonna dedicata ai loro prodotti (prodotti di
Goldbach N = p*q che distano di una semidifferenza al quadrato, e quindi d^2,
dal quadrato della loro semisomma s = (p + q) / 2 = 50
TABELLA di Goldbach per N = 100
p
q
p+q
costante
(p+q)/2)
costante
p*q
crescente
3
11
17
29
41
47
50
97
89
83
71
59
53
50
100
100
100
100
100
100
100
50
50
50
50
50
50
50
291
979
1411
2059
2419
2491
2500
Differenze
d^2 da s^2
= 50^2 =
2500
2209 = 47^2
1521= 39^2
1089 = 33^2
441 = 21^2
81 = 9^2
9 = 3^2
0
Notiamo facilmente che mentre somma e semisomma sono costanti, i prodotti sono
invece crescenti , e differenti di un quadrato d^2 dal quadrato della semisomma, in
questo caso 50^2 =2500 Con altre tabelle simili si può trovare che il rapporto q/p
decresce fino a 1 , per esempio 50/50 = 1,
53/47 = 1,12…, 59/41 = 1,43…, 71/29 =
2,44…, 83/17 = 4,88…, 89/17 = 8,09…, 97/3 = 32,33…
I prodotti di Goldbach (semiprimi) in zona RSA sono quelli segnati in blu, con rapporto
minore di 2,25, tipico dei veri numeri RSA. In genere il 33% delle coppie di Goldbach
per ogni numero pari, anche quelli relativi ai numeri RSA.
Facciamo qualche esempio di fattorizzazione con una variante dell’algoritmo di Fermat
con qualche piccolo numero di tipo RSA ( cioè con rapporto q/p compreso tra 1 e 2,25)
N =29083 (= 127*229); cerchiamo di fattorizzarlo con l’algoritmo di Fermat, con
appena 7 tentativi (con i numeri primi, occorrono 34 tentativi, cioè tutti i numeri primi
fino a p =127)
Useremo la formula N+ d^2 = s^2 , con d ed s rispettivamente semidifferenza e
semisomma di p e q, per poi trovare p e q con le due note formule p = s – d e q = s + p
La somma N + d^2 = s^2 deve quindi esser un quadrato perfetto, s^2, senza mantissa
Quindi avremo, aggiungendo ad N tutti i quadrati successivi da 1 a d^2
29083; = √29083 = 170,53 = n , intero superiore 171
29083 + 1 = 29084, √29084 = 170,5403 non intero
29083 + 4 = 29087, …
√29087= 170, 5491 non intero
…
29083 + 51^2 = 31733 +2601 = 31684 , √31684 = 178,
Da cui poi p = 178 -51 =127, q = 178 + 51 = 229 : fattorizzazione ottenuta !
Sarebbero apparentemente 51 tentativi, superiori ai 34 tentativi con i numeri primi; ma
se consideriamo 178 – 171 = s – n intero superiore = 7 tentativi , se invece
usiamo l’algoritmo a partire fa 171 in poi, fino a trovare 178 come s, tale che
n + 1, n + 2, n +3,… fino ad n + 7 = 178 = s , e quindi s^2 – N = d^2.
Infatti
171 +1 = 172, 172 ^2 = 29584; 290584 - 29083 = 501, e √501 = 22,38 non intero,
quindi ≠ d
…
…
171 + 7 =178, 178^2 = 31684, e 31684 - 29084 = 2601 ; e √2601 = 51 intero = d
Con soli 7 tentativi abbiamo trovato insieme sia s che d, e quindi la fattorizzazione
p = 178 -51 =127, q = 178 + 51 = 229
Dal Rif. 5 riportiamo lo stesso esempio:
“ Sull’algoritmo di Fermat abbiamo mostrato una nostra elaborazione, più
semplice della suddetta , in Rif. 3), che riportiamo, e dove parlavamo
erroneamente di 8 tentativi invece di 7 come in questo lavoro:
…“L’algoritmo di Fermat e il nostro algoritmo
“N^2 + d^2 = s^2 , da cui esso deriva: s = (N + i),
con i ≈ √d” .
“…Circa il nostro algoritmo
N^2+ d^2= s^2 (1)
da cui p = s - d e q = s + d, esposto nel nostro ultimo lavoro
“Fattorizzazione veloce e problema P = NP” recentemente pubblicato
sul nostro sito, abbiamo saputo solo ora, dalle “Osservazioni sull’articolo
Fattorizzazione veloce e problema P =NP” dell’ing. Cristiano Teodoro.
Carolla (vedi Lavori dell’Ing. Teodoro), dell’algoritmo di Fermat, al quale
anche noi eravamo recentemente arrivati e indipendentemente dallo stesso
Fermat, pur non conoscendolo. Esso è descritto nella voce di
Wikipedia “Metodo della fattorizzazione di Fermat” alla quale
rimandiamo.
La nostra versione, pur non essendo stata accennata nel nostro lavoro (per
essere oggetto di eventuali lavori successivi), consiste nella
formula accennata nel titolo:
s^2= (N + i)^2 (2)
dove i non è però la nota unità immaginaria dei numeri quanto più piccola
è la differenza q – p. Se q - p = 0, anche i = 0. Tale algoritmo è comunque
molto più veloce della (1), come ha mostrato l’ing. Teodoro nelle sue
“Osservazioni…” sopra accennate.
Abbiamo scoperto che se il rapporto q/p è circa 2, i ≈ √p/2 , e
proporzionalmente minore se il rapporto q/p è inferiore a 2. Il che significa
che la difficoltà computazionale, per numeri p e q di questo tipo, passa dal
numero di cifre di p al numero di cifre di i ≈ √p/2, con quindi circa metà
delle cifre che compongono p. Facciamo un solo esempio:
N = p x q = 127 x 229 =29083 , con q/p = 229/127 =1,80 ≈ 2,
e con semidifferenza:
(q-p)/2 = (229-127)/2 =102/2 = 51
(due sole cifre invece delle tre di p = 127).
Con la (1) occorrono 51 tentativi per trovare s , poiché N + 51^2 = 29083 +
2601 = 31684 = 178^2 da cui poi p = 178 - 51 = 127 e q = 178 + 51 = 229;
ora, con la (2) ne occorrono i = 8 ≈ √51 tentativi, poiché, essendo
√29083 = 170,53 e 170 intero otteniamo, dopo soli 8 tentativi, il quadrato
perfetto 178^2 = 31684; infatti s^2 = √(170 + 8)^2= 178^2 =31684, con 8 ≈
√51= 7,14.
Nell’esempio dell’ing. Teodoro, invece:
p = 97, q = 127 con differenza 127 - 97 = 30 ( e rapporto = q/p = 127/97 =
1,30, inferiore a 2 e a 1,80 dell’esempio precedente) e d = 30/2 = 15, con
√15 = 3,8. Applicando ora la (1), abbiamo N = 97 x 127 = 12319,
√12319 =110,99, intero 110; s = √(110+2)^2 = √12544 = 112, da cui d =
√(12544 – 12319) = √225 = 15, con p = 112-15 = 97 e q = 112 + 15 =127;
in questo esempio i = 2, con 2 < 3,8 = √d = √15.
2 soli tentativi invece che con i 15 tentativi che con la (1), molto efficiente
solo se d è molto piccola, per esempio con i numeri gemelli (d = 1) o
molto vicini (d = 2, 3, 4, ecc.). ….”
Ma questo è già noto.
Lo stesso si potrebbe fare con i numeri RSA, risparmiando notevolmente sui loro tempi
di calcolo (circa almeno il 66% ≈ 1/√2,25= 0,66666…. ) rispetto alla fattorizzazione
per tentativi sui numeri primi fino ad n = √N, o meglio i numeri primi compresi tra il
66% e il 100% dei numeri primi fino a n. E' inutile quindi cercare p tra lo 0% e il
66% di n pur non essendo tutto ciò ancora sufficiente a violare la crittografia RSA, cosa
che però non rientra nei nostri principali scopi di ricerca ( approfondire la Teoria dei
Numeri) .
L’algoritmo di fattorizzazione di Fermat è quindi una conseguenza della ex congettura
di Goldbach, come da TABELLA di Goldbach per N = 100.
Qui mostriamo uno schema che evidenzia tutta l’utilità dell’ex congettura di Goldbach
e le sue conseguenze:
Ex CONGETTURA DI GOLDBACH
↓
Simmetria aritm. ½
1/p^z , 1 – 1/p^z
zeri di zeta
conseguenza:
↓
Dimostr.
Ipotesi di Riemann
↓
Simmetria aritm. N/2 coppie di Goldbach
Simmetria geom. √ N prodotti di Goldbach
conseguenze:
↓
↓
Semisom. s e semidiff. d rapporto q/p
→ ?
Algor. di Fermat
→
TFF
Conclusioni
Possiamo quindi concludere dicendo che, come abbiamo visto, alcune conseguenze
dell’ex congettura di Goldbach, ormai dimostrata per la congettura debole (dalla quale
ne deriva immediatamente la dimostrazione di quella forte (Rif. 5 a e 5b), possono
esser utili sia per comprendere meglio perché tutti gli infiniti zeri della funzione zeta
di Riemann (e quindi alla base di una possibile dimostrazione, Rif. 1) , sia per una
fattorizzazione più veloce, tramite la nostra proposta di modifica dell’algoritmo di
Fermat tramite l’esempio col numero N = 29083 e il teorema sul 66% come
percentuale minima di p rispetto ad n per i numeri RSA, e quindi del risparmio di
almeno il 66% dei tempi di calcolo per trovare p in entrambi i modo (tentativi per
numeri primi o per quadrati d^2 , e che sono ancora meno dei numeri primi compresi tra
il 66% il 100% di n).
Quindi, in sintesi, una fattorizzazione più veloce basata non su una possibile
dimostrazione dell’ipotesi di Riemann (8° problema di Hilbert), ma su una
conseguenza, l’algoritmo di Fermat (qui migliorato con d tentativi e integrato con
il teorema del 66% = percentuale minima di p rispetto ad n per i numeri RSA
dell’ex congettura di Goldbach). Comunque, seppure con grande risparmio dei tempi
di calcolo, in ogni caso non ancora in grado di violare la crittografia RSA (Rif.6) , come
sperano hackers e matematici che associano in via teorica un’eventuale dimostrazione
della’ipotesi di Riemann con la violazione della crittografia RSA.
Più che in direzione Riemann, per trovare algoritmi di fattorizzazione molto efficienti
probabilmente bisognerebbe guardare in direzione Goldbach. Su Google ci sono già
alcuni lavori in merito, alla voce “RSA e Goldbach”, a sostegno della nostra
opinione circa l’ipotesi di Riemann e la crittografia RSA
Riferimenti (tutti sul nostro sito, salvo diversa indicazione)
1) Congettura generale sulle possibili infinite funzioni zeta , compresa quella di
Riemann
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
2a) Congettura debole di Goldbach già dimostrata.
Ne consegue la congettura forte (accenni alla fattorizzazione alla Fermat e alla
RH1)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
2b) From the weak Goldbach’s Conjecture to the strong Conjecture (hints to
the RH1)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
3) TAVOLE ARITMETICHE PER ALCUNE CONGETTURE E TEOREMI
SUI NUMERI PRIMI (Goldbach, Goldbach debole, Polignac, Teorema
fondamentale della fattorizzazione. Possibili connessioni con la crittografia RSA)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Altri
4) IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA FATTORIZZAZIONE
Gruppo “B.Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
5) Alcuni metodi noti di fattorizzazione veloce (crivello quadratico, radici
quadrate di 1 mod N, algoritmo di fattorizzazione di Fermat, di Pollard,
congettura debole e forte e ipotesi percentuale per i numeri RSA con un
attendibile rapporto q/p ≈ 2)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
6) CRITTOGRAFIA R.S.A. INVIOLABILE
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
7) UN PROBLEMA NP DEL MILLENNIO: LA FATTORIZZAZIONE
VELOCE
Autori
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco
Di Noto
8) I numeri semiprimi e i numeri RSA
come loro sottoinsieme
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
9) Proposta di Dimostrazione Congettura di Cramer - Shank
Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria,
Francesco Di Noto, Annarita Tulumello
1.
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/1412/1/Cramer.pdf
Vedi anche Rif. 22 in Seconda parte
Nota 1
Gli altri problemi di Hilbert, da Wikipedia
“Problemi di Hilbert
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
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I Problemi di Hilbert costituiscono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e
presentata l'8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi
a Parigi.
Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto una notevole
portata nella matematica del XX secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi
problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.
Ad imitazione dei problemi di Hilbert, per la fine del XX secolo e del secondo millennio l'Istituto
matematico Clay ha istituito altri 7 problemi per il millennio. L'ipotesi di Riemann è l'unico
problema presente in entrambe le liste.
Indice
[nascondi]
• 1 Descrizione
• 2 Elenco dei 23 problemi
• 3 Problema 1
• 4 Problema 2
• 5 Problema 3
• 6 Problema 4
• 7 Problema 5
• 8 Problema 6
• 9 Problema 7
• 10 Problema 8
• 11 Problema 9
• 12 Problema 10
• 13 Problema 11
• 14 Problema 12
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
15 Problema 13
16 Problema 14
17 Problema 15
18 Problema 16
19 Problema 17
20 Problema 18
21 Problema 19
22 Problema 20
23 Problema 21
24 Problema 22
25 Problema 23
26 Il problema 24
…
Descrizione[modifica | modifica wikitesto]
Nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17,
18, 19 e 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso.
I problemi 1, 2, 5, 9, 15, 21, 22, hanno una soluzione non accettata da tutti i matematici o hanno una
soluzione che non tutti ritengono che risolva il problema (per esempio il problema 1).
I problemi 8 (ipotesi di Riemann) e 12 sono irrisolti.
I problemi 4, 6, 16, 23 sono troppo vaghi per avere una soluzione. Anche il "ventiquattresimo
problema" poi non presentato da Hilbert cadrebbe in quest'ultima categoria.
Elenco dei 23 problemi[modifica | modifica wikitesto]
I 23 problemi di Hilbert sono:
Problema Breve descrizione
Stato attuale del problema
L'ipotesi del continuo, cioè determinare se
Problema 1 esistono insiemi la cui cardinalità è compresa tra Risoluzione parzialmente accettata
quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.
Si può dimostrare che l'insieme degli assiomi
Problema 2
Risoluzione parzialmente accettata
dell'aritmetica è consistente?
Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile
Problema 3 tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri Risolto
più piccoli?
Costruire tutte le metriche in cui le rette sono
Problema 4
Troppo vago
geodetiche.
Tutti i gruppi continui sono automaticamente
Problema 5
Risoluzione parzialmente accettata
gruppi differenziali?
Problema 6 Assiomatizzare tutta la fisica.
Troppo vago
b
Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero a
Problema 7
Risolto Parzialmente
è sempre trascendente?
Problema 8 Dimostrare l'ipotesi di Riemann.
Aperto
Generalizzare la legge di reciprocità in un
Problema 9
Risoluzione parzialmente accettata
qualunque campo numerico algebrico.
Trovare un algoritmo che determini se una data
Problema
equazione diofantea in n incognite abbia
Dimostrato irresolubile
10
soluzione.
Problema Classificare le forme quadratiche nel caso di
Risolto
11
Problema
12
Problema
13
Problema
14
Problema
15
Problema
16
Problema
17
Problema
18
Problema
19
Problema
20
Problema
21
Problema
22
Problema
23
coefficienti in un campo di numeri algebrico.
Estendere il Teorema di Kronecker-Weber sulle
estensioni abeliane dei numeri razionali a
estensioni abeliane di campi numerici arbitrari.
Risolvere l'equazione generale di settimo grado
utilizzando funzioni con due soli argomenti.
Determinare se l'anello degli invarianti di un
gruppo algebrico che agisce su un anello di
polinomi è sempre finitamente generato.
Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di
Schubert.
Topologia delle curve e superfici algebriche.
Determinare se le funzioni razionali non negative
possono essere espresse come quozienti di somme
di quadrati.
Esiste una tassellazione dello spazio anisoedrale?
Qual è il più denso impacchettamento di sfere?
Le soluzioni dei problemi variazionali regolari
sono sempre analitiche?
Tutti i problemi variazionali con determinate
condizioni al contorno hanno soluzione?
Dimostrazione dell'esistenza di equazioni
differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di
monodromia.
Uniformizzazione delle relazioni analitiche per
mezzo di funzioni automorfe.
Sviluppare ulteriormente il calcolo delle
variazioni.
Aperto
Risolto
Risolto
Risoluzione parzialmente accettata
Troppo vago
Risolto
Risolto
Risolto
Risolto
Risoluzione parzialmente accettata
Risoluzione parzialmente accettata
Troppo vago
Problema 1[modifica | modifica wikitesto]
L'ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa
strettamente tra quella dell'insieme dei numeri interi e quella dell'insieme dei numeri reali. Kurt
Gödel e Paul Cohen hanno dimostrato che l'ipotesi non può essere né dimostrata, né confutata, dagli
assiomi ZFC. Non esiste un consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.
L'insieme dei numeri reali può essere dotato della struttura di insieme ben ordinato? Questa
domanda è parzialmente irrisolta, in quanto è correlata all'assioma della scelta di Zermelo-Fraenkel
(o all'equivalente lemma di Zorn); nel 1963 si dimostrò che l'assioma della scelta è indipendente da
tutti gli altri assiomi nella teoria degli insiemi, cosicché non è possibile basarci su quest'ultimo per
risolvere il problema del buon ordinamento dell'insieme dei numeri reali.
Problema 2[modifica | modifica wikitesto]
Lo stesso argomento in dettaglio: Entscheidungsproblem.
La risposta al problema 2 è no, e non solo per l'aritmetica. Il Teorema di incompletezza di Gödel
stabilisce infatti che la coerenza di un sistema formale abbastanza potente da generare l'aritmetica
non può essere dimostrata all'interno del sistema stesso.
Problema 3[modifica | modifica wikitesto]
Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri
più piccoli? Max Dehn ha dimostrato nel 1902, mediante lo sviluppo della teoria degli invarianti di
Dehn, che questo non è possibile in generale; analogo risultato è stato raggiunto indipendentemente
da W.F.Kagon nel 1903.
Problema 4[modifica | modifica wikitesto]
Una formulazione equivalente è la seguente: trovare tutte le geometrie (più precisamente le
metriche di queste) in cui la distanza più breve tra due punti sia costituita da una linea retta.
L'originale problema di Hilbert è ritenuto troppo vago per ammettere una risposta definitiva.
Tuttavia dall'originale è possibile derivare la formulazione del seguente problema: trovare tutte le
geometrie tali che, rispetto alla geometria euclidea, devono mantenere gli assiomi di incidenza e di
ordine, devono mantenere (anche se in forma debole) quello di congruenza e devono omettere
l'equivalente del postulato delle parallele. Questo problema è stato risolto da Georg Hamel.
Problema 5[modifica | modifica wikitesto]
Una formulazione equivalente è: possiamo evitare il requisito di differenziabilità per le funzioni che
definiscono un gruppo continuo di trasformazioni? La risposta positiva è stata trovata da John von
Neumann nel 1930 per i gruppi bicompatti (con ampliamento nel 1952 ai gruppi localmente
compatti da parte di Andrew M. Gleason); risolto in seguito anche per quelli abeliani, e con
ampliamenti di Montgomery, Zipin e Yamabe nel 1952 e 1953.[1]
Problema 6[modifica | modifica wikitesto]
Data la portata così generale, questo problema è rimasto tuttora irrisolto. Una parziale
assiomatizzazione riguarda i postulati della meccanica quantistica, che sarebbero "completati" da
una teoria della gravitazione quantistica.
Problema 7[modifica | modifica wikitesto]
La risposta è positiva nel caso speciale in cui b sia algebrico, come dimostrato nel 1934 da
Aleksander Gelfond con il Teorema di Gelfond. Comunque, nel caso generico, il problema rimane
irrisolto.
Problema 8[modifica | modifica wikitesto]
L'ipotesi di Riemann non è stata finora né confutata né provata, anche se è al vaglio una controversa
proposta di soluzione del matematico Louis de Branges.
Problema 9[modifica | modifica wikitesto]
Il problema venne risolto da Emil Artin nel 1927, con il Teorema di reciprocità di Artin.
Problema 10[modifica | modifica wikitesto]
La risposta negativa (ovvero l'impossibilità di trovare una soluzione generale) si deve ai lavori di
Julia Robinson, Hilary Putnam e Martin Davis, e infine al Teorema di Matiyasevich, 1970.
Problema 11[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 12[modifica | modifica wikitesto]
Questa estensione è stata realizzata mediante l'utilizzo delle funzioni olomorfe in più variabili, che
hanno proprietà simili alla funzione esponenziale e alle funzioni modulari ellittiche.
Problema 13[modifica | modifica wikitesto]
Risolto dal matematico russo Vladimir Igorevič Arnol'd nel 1957.
Problema 14[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 15[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 16[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 17[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 18[modifica | modifica wikitesto]
Nel 1928 Karl Reinhardt trovò un poliedro anisoedrale, ovvero in grado di tassellare lo spazio ma
che non è la regione fondamentale di alcuna azione del gruppo delle simmetrie sullo spazio
tassellato. Hilbert formulò la domanda riferendosi allo spazio euclideo tridimensionale in quanto
riteneva probabile non esistere una tale tassellatura per il piano, mentre in realtà fu trovata nel 1935
da Heinrich Heesch.
La dimostrazione della congettura di Keplero è stata effettuata da Thomas Hales nel 1998. Sebbene
già dopo la prima revisione la dimostrazione venne considerata corretta "al 99%", la dimostrazione
formale è stata terminata e verificata soltanto nel 2014.
Problema 19[modifica | modifica wikitesto]
Risolto indipendentemente da John Nash e Ennio De Giorgi nel 1957.
Problema 20[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 21[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 22[modifica | modifica wikitesto]
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Problema 23[modifica | modifica wikitesto]
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Il problema 24[modifica | modifica wikitesto]
Mentre Hilbert preparava la lista dei problemi, ne stilò anche un altro che poi non venne incluso,
riguardante criteri di semplicità e metodo generale. La scoperta del problema 24 si deve a Rüdiger
Thiele. …”
Caltanissetta 2.1.2016
SECONDA
PARTE
Connessione tra una’ipotesi RH – equivalente, la RH1,
e l’ex congettura di Goldbach (ma non con la fattorizzazione
veloce)
Un’altra interessante connessione la troviamo tra la RH1 e l’ex congettura di
Goldbach (ma non con la fattorizzazione veloce), per approfondimenti rimandiamo
ai Rif. 10 11 e 14.
Riportiamo solo un brano da Rif. 14, pag. 8 – 9 :
“Qui riportiamo solo la seguente Tabella 1, dal lavoro “L’ equivalenza di
Lagarias RH1 = RH esaminata con i soli numeri fattoriali n = k !”
Francesco Di Noto e Michele Nardelli, sul sito :
eprints.bice.rm.cnr.it/481/1/Nardelli_24.pdf
TABELLA 1
Tabella dei valori di L(n) relativi ai soli fattoriali, per
apposito grafico Fattoriali L(n) (approssimati per difetto)
Fattoriali
L(n) valori reali
2! = 2 ≈
0, 31 ? > 0
3! = 6 ≈
0,67
4!= 24 ≈
0,28
5! = 120 ≈
4,39 6,06
6!= 720 ≈
112,87
7! 5040 ≈
923,70
8! 40320 ≈ 14 207
9! 362880 ≈ 92 469
……………
Notiamo che i valori di L(n) sono sempre crescenti, escludendo
quindi del tutto qualsiasi contro esempio L(n) < 0 per la RH1.
Per altre tabelle e grafici, rimandiamo al Rif. 1…”.
(per certi numeri pari n, multipli di 6, in particolare i fattoriali, si hanno più
fattori (e più coppie di Goldbach), e quindi una maggiore abbondanza σ (n) ,
apparentemente più pericolosa per la RH1, in realtà è sempre minore di hn e
quindi la differenza hn - σ (N) = L(n) è sempre maggiore di zero e quindi non
esistono contro esempi per la RH 1 equivalente alla RH, e di conseguenza
entrambe sono vere) .
Ma sull’ipotesi di Riemann abbiamo scritto anche altri lavori (I principali in
Rif. 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17), ed altri sui numeri RSA (23, 24, 25), notando
la mancanza di connessioni con l’ipotesi di Riemann
Riferimenti
10) Proposta di Dimostrazione della variante Riemann di Lagarias (RH1)
equivalente all’Ipotesi di Riemann RH, con RH1 = RH.
Di Noto, Francesco and Nardelli, Michele (2007)
Abstract
Scopo del presente lavoro è quello di proporre una dimostrazione dell'Ipotesi di
Riemann attraverso quella che tecnicamente viene definita "variante di Lagarias".
Anche se l'obiettivo non fosse stato completamente raggiunto, certamente tale lavoro
fornirà un notevole contributo al futuro sviluppo ed alle applicazioni fisico-teoriche
dell'Ipotesi di Riemann, che ci inducono a credere alla "realtà" dell'Ipotesi medesima.
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/462/
11) L’ equivalenza di Lagarias RH1 = RH esaminata
con i soli numeri fattoriali n = k !
Francesco Di Noto e Michele Nardelli1,2
1.
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/481/1/Nardelli_24.pdf
12) ZEROS AND GRAM POINTS ON THE CRITICAL LINE
ζ(½±ix)
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
13) CONNECTION BERNOULLI NUMBERS BN AND RIEMANN
ς(s) ZETA FUNCTION WITH ITS ZEROS
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
14) Ipotesi RH equivalenti, le funzioni σ(n), φ(n), μ(n) e le forme numeriche
6k + 1(Accenno finale alla relazione Fattorizzazione veloce – RH)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
15) Congettura di Levy come ipotesi RH equivalente e relativo grafico comet
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
16) La funzione di Landau come ipotesi RH equivalente II
(La nostra proposta di dimostrazione empirica con tabelle e grafico comet;
ulteriori connessioni con le partizioni di numeri)
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
17) IPOTESI SULLA VERITA’ DELLE CONGETTURE SUI
NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI
NULLI
(Legendre, Goldbach, Riemann…)
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto
18) Connessioni tra partizioni di numeri p(n) e funzione di
Landau come ipotesi RH equivalente
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
19) ON SOME EQUATIONS CONCERNING THE RIEMANN’S PRIME
NUMBER FORMULA AND ON A SECURE AND EFFICIENT PRIMALITY
TEST. MATHEMATICAL CONNECTIONS WITH SOME SECTORS OF
STRING THEORY
Pier Franz Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
20) Connessioni tra i numeri di Bernoulli, di Eulero e di ibonacci
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
21) TRANSCENDENTAL NUMBERS AND PROOF THAT THE ZEROS OF
RIEMANN ZETA FUNCTION ζ(s) ARE ONLY AND ONLY THOSE WITH
THE REAL PART Re=½
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
22) PROOF THAT THEMAXIMUN GAP BETWEEN TWO
CONSECUTIVE PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND n/ln^2
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
23) PROBLEMI NP: LE APPROSSIMAZIONI DELLA NATURA E QUELLE
DEI MATEMATICI
Gruppo “B. Riemann” *
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa
24) I NUMERI RSA : UNA PICCOLA STATISTICA SUI
RAPPORTI r = q/p E RELATIVE OSSERVAZIONI
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto , Michele Nardelli
25) I numeri semiprimi e i numeri RSA
come loro sottoinsieme
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
26) Connessione tra ipotesi RH e crittografia RSA:
un mito da sfatare
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
28) STUDY ON THE RIEMANN ZETA FUNCTION
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli1,2, Francesco Di Noto
Sul sito
empslocal.ex.ac.uk/.../zeta/nardelli2012c.pdf
29) FROM RIEMANN HYPOTHESIS TO RIEMANN THESIS
Ing. Pier Franz Roggero
Sul sito
1.
empslocal.ex.ac.uk/people/staff/.../roggero_RH.pdf
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