Esempio di estrazione delle componenti principali

Esempio di estrazione delle
componenti principali
• Cinque domande di un questionario (scala
di Likert da 1 molto contrario a 5 molto
d’accordo)
• 1559 studenti delle scuole medie hanno
risposto al questionario
Statistiche descrittive
w1
w2
w3
w4
w5
I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
Mia madre è affettuosa con me
Vorrei avere un’altra costituzione fisica
Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Media
4,15
3,80
2,46
2,84
2,77
Deviazi
one std.
1,077
1,144
1,445
1,268
,927
Analisi
fattoriale
N
1559
1559
1559
1559
1559
Matrice di correlazione
a
w1 I
miei
w4
geni
Pen
tori
so
son
w3
di
w5
o
Vorr aver
Gli
brav
ei
e un inse
i
w2
aver bel
gna
geni Mia
e
fisic
nti
tori, mad un’a
o
appr
e ne re è
ltra
anc ezza
son affet cost
he
no il
o
tuos ituzi senz mio
orgo
a
one
a
imp
glio con fisic vest egn
so
me
a
iti
o
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso 1,00 ,472 -,114 ,107 ,147
w2 Mia madre è affettuosa con me
,472 1,00 -,099 ,109 ,186
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
-,114 -,099 1,00 -,567 -,013
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
,107 ,109 -,567 1,00 ,031
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
,147 ,186 -,013 ,031 1,00
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
,000 ,000 ,000 ,000
w2 Mia madre è affettuosa con me
,000
,000 ,000 ,000
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
,000 ,000
,000 ,301
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
,000 ,000 ,000
,114
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
,000 ,000 ,301 ,114
a. Determinante = ,496
Comunalità
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
Con un numero di fattori estratti uguale al numero delle
variabili, le comunanze (somma dei quadrati delle
saturazioni) sono uguali all’unità
Estraz
Iniziale ione
1,000 1,000
1,000 1,000
1,000 1,000
1,000 1,000
1,000 1,000
Varianza totale spiegata
Pesi dei fattori non
Autovalori iniziali
ruotati
%
%
% di
cumul
% di
cumul
Componente Totale varianza
ata
Totale varianza
ata
1
1,780
35,595 35,595 1,780
35,595 35,595
2
1,361
27,222 62,817 1,361
27,222 62,817
3
,900
18,001 80,817
,900
18,001 80,817
4
,527
10,543 91,361
,527
10,543 91,361
5
,432
8,639 100,0
,432
8,639 100,0
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
Con un numero di fattori estratti uguale al numero delle
variabili, la somma degli autovalori è uguale alla varianza
standardizzata delle variabili osservate (=N)
Matrice di componenti
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: analisi componenti principali.
a. 5 componenti estratti
La somma dei quadrati delle
saturazioni (1,780) è uguale
alla varianza del fattore o
autovalore
a
1
,629
,631
-,665
,670
,306
Componente
2
3
4
,500
-,317
-,503
,528
-,228
,519
,583
-,044
,036
-,573
,076
,041
,405
,860
-,050
5
,037
-,034
,464
,463
-,012
Matrice di componenti
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: analisi componenti principali.
a. 5 componenti estratti
La somma dei quadrati delle
saturazioni è uguale alla
varianza del fattore o
autovalore
a
1
,629
,631
-,665
,670
,306
Componente
2
3
4
,500
-,317
-,503
,528
-,228
,519
,583
-,044
,036
-,573
,076
,041
,405
,860
-,050
5
,037
-,034
,464
,463
-,012
Matrice di componenti
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: analisi componenti principali.
a. 5 componenti estratti
La somma dei prodotti delle
saturazioni è uguale a zero
a
1
,629
,631
-,665
,670
,306
Componente
2
3
4
,500
-,317
-,503
,528
-,228
,519
,583
-,044
,036
-,573
,076
,041
,405
,860
-,050
5
,037
-,034
,464
,463
-,012
La somma dei prodotti delle
saturazioni della riga r e della
riga s è uguale al coefficiente
di correlazione fra le variabili r
es
Matrice di componenti
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: analisi componenti principali.
a. 5 componenti estratti
a
1
,629
,631
-,665
,670
,306
Componente
2
3
4
,500
-,317
-,503
,528
-,228
,519
,583
-,044
,036
-,573
,076
,041
,405
,860
-,050
5
,037
-,034
,464
,463
-,012
w1 I miei genitori sono
0,629bravi
0,500
genitori,
-0,317e ne
-0,503
sono orgoglioso
0,037
x
x
x
x
x
w3 Vorrei avere un’altra
-0,665 costituzione
0,583 -0,044
fisica
0,036 0,464
=
=
=
=
=
-0,418 0,291 0,014 -0,018 0,017
somma
-0,114
Questo valore è la
correlazione della
variabile w1 e w3
Grafico delle cinque comunanze,suddivise
secondo la ripartizione in cinque fattori (serie=
fattore)
1,2
1
Serie5
0,8
Serie4
0,6
0,4
Serie3
0,2
Serie1
Serie2
0
1
2
3
4
5
Il metodo delle componenti
principali produce una matrice di
saturazioni fattoriali, che hanno
queste caratteristiche:
• Le n variabili osservate sono scomposte in n componenti
(inferite o latenti)
• La somma dei loro quadrati per riga è uguale a 1 (=
comunanza)
• La somma dei loro quadrati per colonna è uguale
all’autovalore ( o varianza del fattore)
• La somma dei prodotti della riga r per la riga s è uguale al
coefficiente di correlazione fra la variabile r e la variabile s
• La somma dei prodotti di una colonna s per una colonna r è
uguale a zero (i fattori sono indipendenti)
Grazie alla caratteristica degli
autovalori (in forma canonica o
ordine decrescente), si possono
conservare solo le prime
componenti principali, (per
esempio, due) e trascurare le altre
Estrazione di un numero inferiori
di fattori, per esempio due
Varianza totale spiegata
Autovalori iniziali
Pesi dei fattori non
ruotati
%
% di
cumul
Totale varianza
ata
1,780
35,595 35,595
1,361
27,222 62,817
%
% di
cumul
Componente Totale varianza
ata
1
1,780
35,595 35,595
2
1,361
27,222 62,817
3
,900
18,001 80,817
4
,527
10,543 91,361
5
,432
8,639 100,0
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
• Con due fattori estratti, le comunanze
sono inferiori a 1, poiché si trascura la
varianza associata con i fattori di
minore importanza
Comunalità
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
Estraz
Iniziale ione
1,000
,645
1,000
,678
1,000
,782
1,000
,778
1,000
,258
Matrice di componenti
a
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: analisi componenti principali.
a. 2 componenti estratti
Componente
1
2
,629
,500
,631
,528
-,665
,583
,670
-,573
,306
,405
Con due fattori estratti, si
possono rappresentare
graficamente le saturazioni sui
primi due fattori
I due fattori non sono molto
comprensibili. Però possono
essere modificati, per renderli
interpretabili
I fattori possono
essere trasformati ,
senza perdita di
informazione
… In questa direzione,
per rendere le
saturazioni fattoriali alte
su un fattore e nulle
sugli altri
Ecco il risultato finale
La trasformazione imposta ai due
fattori si chiama
rotazione ortogonale
• I valori della trasformazione non hanno
molto senso per l’interpretazione. Sono
però stampati da SPSS
Matrice di trasformazione
dei componenti
Componente
1
2
1
,725
,689
2
-,689
,725
Metodo estrazione: analisi
componenti principali.
Metodo rotazione: Varimax
con normalizzazione di Kaiser.
mponenti
a
ne sono orgoglioso
enza vestiti
principali.
Componente
1
2
,629
,500
,631
,528
-,665
,583
,670
-,573
,306
,405
Matrice di trasformazione
dei componenti
Componente
1
2
1
,725
,689
2
-,689
,725
Metodo estrazione: analisi
componenti principali.
Metodo rotazione: Varimax
con normalizzazione di Kaiser.
Si moltiplica la matrice non ruotata
per la matrice di trasformazione
Componenti
Matrice di
non ruotati
trasformazione
1
2
1
2
0,63
0,50
0,73 0,69
w1 I miei genitori sono bravi
genitori,
e ne sono1orgoglioso
2 -0,69 0,73
w2 Mia madre è affettuosa0,63
con me 0,53
-0,67 0,58
w3 Vorrei avere un’altra costituzione
fisica
0,67 anche
-0,57senza vestiti
w4 Penso di avere un bel fisico
0,31il mio0,40
w5 Gli insegnanti apprezzano
impegno
per esempio:
riga 3a x colonna 1a= coeff riga 3a, colonna 1a
riga 5 x colonna 2a = coeff riga 5a colonna 2a
0,67 x 0,73 +0,58x(-0,69)= -0,88
0,31 x 0,69 +0,40 x0,73 = 0,50
Matrice
fattoriale
ruotata
1
2
0,11 0,80
0,09 0,82
-0,88 -0,04
0,88 0,05
-0,06 0,50
Ecco il risultato finale i due fattori
sono semplici e comprensibili
• Accettazione del proprio corpo
• Armonia coi familiare (o adulti)
Matrice dei componenti ruotata
a
Componente
1
2
,112
,796
,094
,818
-,884
-,035
,881
,046
-,057
,504
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: analisi componenti principali.
Metodo rotazione: Varimax con normalizzazione di Kaiser.
a. La rotazione ha raggiunto i criteri di convergenza in 3 iterazioni.
Grafico delle comunanze con i fattori ruotati (in
azzurro le varianze dei fattori abbandonati)
1,2
1
Serie5
0,8
Serie4
0,6
0,4
Serie3
0,2
Serie1
Serie2
0
1
2
3
4
5
Criterio per la rotazione ortogonale
(Varimax, Kaiser, 1957)
•
Si cerca la soluzione semplice:
Una variabile dovrebbe
1. essere molto satura di un solo fattore
(r >|0,40|)
2. avere saturazioni nulle sugli altri fattori
(r  0)
Rotazione obliqua
• Quando la rotazione degli assi non
mantiene rigidi (ortogonali) gli assi di
riferimento dei fattori, si ottengono le
rotazioni oblique
• Gli assi non restano ortogonali, i fattori
non sono indipendenti fra di loro, ma le
saturazioni fattoriali sono più grandi e
facilitano l’interpretazione dei fattori
Esempio
• Revisionando il questionario sulla depressione
di Beck (BDI II), si scoprì che c’erano due aspetti
che partecipavano del fenomeno: il versante
cognitivo e affettivo e il versante
comportamentale.
• Non aveva senso cercare una soluzione
ortogonale, (non esiste un aspetto affettivo della
depressione indipendente dall’aspetto
comportamentale della depressione). La
soluzione è stata trovata con due fattori obliqui.
Testo del Beck Depression Inventory II
Perché si chiama rotazione
obliqua? Ecco un esempio di sette
variabili su i primi due fattori
La rotazione ortogonale non
produrrebbe una soluzione ottimale, le
variabili sono troppo simili fra di loro
Le variabili sono sature di entrambi i
fattori, ma i due fattori sono ora obliqui,
cioè correlati fra di loro
La rotazione Promax è quella più utile e
consigliabile, perché si basa sulla
rotazione Varimax
La rotazione Promax produce i
fattori correlati (qui r12= 0,66)
Spss produce anche la
correlazione fra i fattori obliqui
Matrice di correlazione
dei fattori
• Tuttavia, in questo
caso la
correlazione fra i
Fattore
1
2
due fattori è
1
1,000
,205
veramente
2
,205
1,000
trascurabile e la
Metodo estrazione: fattorizzazione
soluzione fattoriale
dell'asse principale.
non differisce
Metodo rotazione: Promax con
molto da quella
normalizzazione di Kaiser.
ortogonale
Esempio iniziale, con fattori iterati e
rotazione promax
Matrice di struttura
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: fattorizzazione dell'asse principale.
Metodo rotazione: Promax con normalizzazione di Kaiser.
Fattore
1
2
,150
,627
,142
,751
-,759
-,146
,747
,154
,030
,242
Il metodo di estrazione dei fattori
Metodo di estrazione: Fattori iterati
• Il metodo delle componenti principali è
matematicamente corretto, ma
statisticamente improbabile.
• E’ opportuno usare un altro metodo, detto
dei fattori principali o iterati.
Il metodo consiste infatti in questo
• Al posto delle comunanze, si inserisce il
coefficiente di correlazione multiplo di ogni
variabile.
• Si calcolano gli autovalori,
• Si stimano le comunanze
• Si sostituiscono alle stime iniziali
• Si ripete il ciclo, finche le saturazioni
osservate sono uguali a quelle ottenute
con la soluzione precedente.
Esempio applicativo
• Le stesse cinque variabili dell’esempio
iniziale, con due fattori estratte e ruotati
Varianza totale spiegata
Pesi dei fattori non
Autovalori iniziali
ruotati
%
%
% di
cumul
% di
cumul
Fattore Totale varianza
ata
Totale varianza
ata
1
1,780
35,595 35,595 1,298
25,965 25,965
2
1,361
27,222 62,817
,853
17,068 43,033
3
,900
18,001 80,817
4
,527
10,543 91,361
5
,432
8,639 100,0
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
Pesi dei fattori ruotati
%
% di
cumul
Totale varianza
ata
1,139
22,783 22,783
1,012
20,249 43,033
• Gli autovalori iniziali sono uguali alla soluzione
delle componenti principali, ma quelli dei fattori
sono più piccoli. Il metodo di estrazione tende a
eliminare la varianza delle variabili solitarie.
Matrice fattoriale a
Fattore
1
2
,445
,443
,504
,556
-,644
,402
,639
-,388
,151
,190
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: fattorizzazione dell'asse principale.
a. Tentativo di estrazione di 2 fattori. Sono richieste più di 25 iterazioni.
(Convergenza=,002). L'estrazione è stata interrotta.
Matrice fattoriale ruotata
a
Fattore
1
2
,092
,621
,072
,748
-,756
-,063
,744
,072
,007
,243
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo estrazione: fattorizzazione dell'asse principale.
Metodo rotazione: Varimax con normalizzazione di Kaiser.
a. La rotazione ha raggiunto i criteri di convergenza in 3 iterazioni.
Il metodo dei fattori iterati (o asse principale)
evidenzia la scarsa covariazione della
variabile w5 con le altre variabili dell’analisi, e
per questo è più realistico (saturazioni basse)
Comunalità
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
Estraz
Iniziale ione
,231
,394
,240
,564
,325
,576
,325
,559
,039
,059
• Con due fattori estratti, cambiano molto le
comunanze, soprattutto per la domanda 5
Varianza totale spiegata
Pesi dei fattori non
ruotati
Pesi dei fattori ruotati
%
%
% di
cumul
% di
cumul
Totale varianza
ata
Totale varianza
ata
1,298
25,965 25,965 1,139
22,783 22,783
,853
17,068 43,033 1,012
20,249 43,033
Autovalori iniziali
%
% di
cumul
Fattore Totale varianza
ata
1
1,780
35,595 35,595
2
1,361
27,222 62,817
3
,900
18,001 80,817
4
,527
10,543 91,361
5
,432
8,639 100,0
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
Avvisi
Impossibile richiedere un numero di fattori pari a
quello delle variabili con qualsiasi metodo di
estrazione ad eccezione di PC. Il numero di fattori
verrà ridotto di uno.
• Con i Fattori iterati, SPSS stampa un avviso: non
si possono ottenere tanti fattori quante sono le
variabili osservate, poiché vi è una riduzione
della covariazione (la matrice perde il suo
rango). Ma dal punto di vista statistico è più
realistico questo approccio
Comunalità
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso
w2 Mia madre è affettuosa con me
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica
w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti
w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
Estraz
Iniziale ione
,231
,394
,240
,564
,325
,576
,325
,559
,039
,059
La comunanza della variabile 5 (solitaria) è sparita:
non fa riferimento a nessun’altra variabile
• Il metodo dei Fattori principali è da
consigliare, in sostituzione di quello delle
componenti principali
• Le differenze sono tanto più elevate
quanto più piccolo è il numero di variabili
osservate. A al di là delle 35 variabili
osservate, le differenze fra i metodi sono
minime.
Il problema del numero di fattori da
estrarre
Criteri validi:
1. Scree test
2. Analisi parallela
Lo scree-test
• È la rappresentazione
grafica degli autovalori in
forma canonica
• Secondo Cattell, gli
autovalori connessi con i
fattori reali e non fittizi
hanno un andamento
caratteristico a caduta
• Quelli casuali degradano
lentamente
Lo scree-test
• SI estraggono solo quei fattori che sono
sulla linea di caduta, e si trascurano quelli
che degradano lentamente
Validità dello scree-test
• È molto usato, è facile da utilizzare, ma
non sempre è efficace e veritiero. A volte
il pendìo non è individuabile con facilità
L’analisi parallela
• Consiste nel generare dei numeri causali,
uno per ogni variabile osservata e per ogni
partecipante.
• Si estraggono gli autovalori
• Si ripete la simulazione molte volte
• La media del primo, secondo … ennesimo
autovalore servono da confronto per gli
autovalori della matrice reale
Esempio con cinque simulazioni
Autovalori fuori scala nel
grafico, perché
sicuramente da
conservare
Ambito
dell’incertezza
Autovalori
Autovalorireali
realipiù
piùpiccoli
piccolididi
quelli
quellicasuali,
casuali,sicuramente
sicuramente
da
dascartare
scartare
3
2,75
2,5
2,25
2
1,75
1,5
1,25
1
0,75
0,5
0,25
0
veri
s1
s2
s3
s4
s5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Validità dell’analisi parallela
• Funziona molto bene, anche se non è entrata
completamente nell’uso.
• Un software (Monte Carlo PCA di Marley
Watkins) è disponibile gratuitamente in rete.
Grafico degli autovalori dei dati
reali e simulati
Real and Randomly generated eigenvalues
4,0
3,77
Real
Random
3,0
2,66
2,16
2,0
1,87
1,47
1,0
1,39 1,29
1,28
1,14 1,10
1,04
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Secondo esempio
Valori reale e medie degli autovalori casuali
4,0
4,0
3,5
3,1
3,0
2,8
2,6
2,5
2,3 2,2
2,0
1,9
Reali
Casuali
1,8
1,6
1,5
1,0
1,5
1,4 1,3 1,3
1,2 1,2 1,2
0,5
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Output del programmino di Watkins
•
•
Monte Carlo PCA for Parallel Analysis
Version .
•
•
•
•
08/11/2011 15.57.03
Number of variables:
5
Number of subjects: 1559
Number of replications: 100
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Eigenvalue # Random Eigenvalue Standard Dev
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1
1,0723
,0157
2
1,0323
,0147
3
0,9984
,0102
4
0,9681
,0112
5
0,9289
,0176
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
08/12/2011 15.57.04
•
•
•
Monte Carlo PCA for Parallel Analysis
©2000 by Marley W. Watkins. All rights reserved.
******************************************************
I primi due
autovalori
dell’esempio sono
superiori ai due
autovalori dei dati
casuali (1,78 e
1,36) ma il terzo è
inferiore (0,90), Si
sceglie la
soluzione a due
fattori (da estrarre
e ruotare)
Istruzione del software
•
Select the number of variables (3-300), subjects (100-2500), and replications (1-1000). The
program then: (1) generates random normal numbers for the quantity of variables and subjects
selected, (2) computes the correlation matrix, (3) performs Principal Components Analyses and
calculates the eigenvalues for those variables, (4) repeats the process as many times as
specified in the replications field, and (5) calculates the average and standard deviation of the
eigenvalues across all replications.
•
For stable results, replicate at least 50-100 times. Use these eigenvalues as the criteria for
•
•
•
•
•
•
•
Horn's Parallel Analysis for the number of factors or components to retain for rotation.
Horn, J. L. (1965). A rationale and test for the number of factors in factor analysis. Psychometrika, 30, 179185.
Lautenschlager, G. J. (1989). A comparison of alternatives to conducting monte carlo analyses for
determining parallel analysis criteria. Multivariate Behavioral Research, 24, 365-395.
Velicer, W. F., Eaton, C. A., & Fava, J. L. (2000). Construct explication through factor or component
analysis: A review and evaluation of alternative procedures for determining the number of factors or
components. In R. D. Goffin & E. Helmes (Eds.), Problems and solutions in human assessment: Honoring
Douglas N. Jackson at seventy (pp. 41-71). Boston: Kluwer Academic Publishers.
Zwick, W. R., & Velicer, W. F. (1986). Comparison of five rules for determining the number of components
to retain. Psychological Bulletin, 99, 432-442.
Include this reference in publications which determined the number of factors to retain using
this software:
Watkins, M. W. (2000). Monte Carlo PCA for Parallel Analysis [computer software]. State
College, PA: Ed & Psych Associates.
Monte Carlo PCA for Parallel Analysis is copyright 2000 by Marley W. Watkins. All rights
reserved. It may be distributed through 'shareware' channels but its sale in any form, either
individually or as part of a shareware collection, is prohibited.