verifica e progetto degli accoppiamenti bloccati alla pressa

ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE — 14–17 SETTEMBRE 2005, POLITECNICO DI MILANO
VERIFICA E PROGETTO DEGLI ACCOPPIAMENTI BLOCCATI ALLA PRESSA TRA IL
PERNO DI STERZO ED IL TRAPEZIO DI SOSPENSIONI MOTOCICLISTICHE
Croccolo D.*, Cuppini R., Vincenzi N.
DIEM – Facoltà di Ingegneria – BOLOGNA
Sommario
Scopo principale del presente lavoro è quello di definire un modello matematico che permetta di
calcolare il valore delle pressioni medie e delle tensioni tangenziali nell’accoppiamento per
interferenza tra il perno dello sterzo ed il trapezio di sospensioni anteriori motociclistiche e,
successivamente, quello di aggiornare un programma di calcolo originale scritto dagli autori in
ambiente Visual Basic® per la verifica ed il progetto semiautomatico di tali accoppiamenti.
La determinazione del modello matematico è stata operata mediante l’utilizzo di analisi agli elementi
finiti coadiuvata dalla teoria valida per gli elementi assial-simmetrici di forte spessore che descrive gli
stati tensionali e deformativi in accoppiamenti albero mozzo realizzati per interferenza.
Il risultato principale ottenuto consiste nel disporre di un modello analitico completo che consente di
estendere, grazie ad un coefficiente correttivo, l’applicazione delle formule teoriche alla geometria dei
trapezi, sicuramente difforme da quella cilindrica o assial-simmetrica. L’attendibilità del modello è
dimostrata da una serie di calcoli numerici eseguiti mediante programmi agli elementi finiti e da una
serie di misure eseguite su accoppiamenti perno di sterzo e trapezio realizzate per scooter ad elevate
prestazioni.
Il modello matematico individuato è stato progressivamente affinato ed implementato insieme ad un
altro ricavato precedentemente per la definizione dei coefficienti di attrito di primo distacco µll in un
programma di calcolo originale che permette di ottimizzare e verificare in modo semiautomatico il
progetto dell’accoppiamento, senza ricorrere a costose e dispendiose analisi agli elementi finiti.
Abstract
The fundamental goal of this work is to introduce a new mathematical model useful to calculate the
tensile state in the fork-pin compression couplings produced by the Paioli Meccanica S.p.A. for their
front motorbike suspensions. Second goal is to update a software useful to optimize the design and to
verify the coupling based on the high thickness pipe theory appropriately corrected for the forks which
have an asymmetric circumferential stiffness. The mathematical model has been obtained by
performing a finite element analysis on a lot of different forks which have different geometrical and
stiffness parameters. The mathematical model introduced is valid for all the Paioli steel fork-pin
couplings and allows to continue with applying the high thickness pipe theory in order to know the
tensile state on the elements without performing a finite element analysis. The model was tested and
verified.
Finally, a specific software realized and written in Visual Basic® environment has been update in
order to perform the accurately design and verification of the coupling.
Parole chiave: progettazione, accoppiamento albero-mozzo, sospensioni anteriori motociclistiche
* Corresponding author: Tel.: +39 051 2093413 ; Fax.: +39 051 2093413; E-mail: [email protected]
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005
Legenda dei simboli
A
DAa, DAi
DF
DIa, DIi
E
F11
k
L_acc
L_s
pacc_reale
pacc_teorica
QA=DAi/DAa
QI= DIi/DIa
s
ZAR
ZIR
ZtotR
βr=σr_reale\σr_teorica
βt=σt_reale\σt_teorica
µll
ν
σr_reale
σr_teorica
σt_reale
σt_teorica
altezza dello scavo presente dietro il collare e valutata dal vuoto
diametro esterno, interno del mozzo
diametro nominale dell’accoppiamento
diametro esterno, interno dell’albero
modulo di elasticità
forza di sbloccaggio in direzione assiale
parametro di rigidezza del trapezio
lunghezza dell’accoppiamento
altezza dello scavo presente dietro il collare e valutata dal pieno
pressione media reale di accoppiamento
pressione media teorica di accoppiamento
rapporto tra i diametri del mozzo
rapporto tra i diametri dell’albero
spessore del collare del trapezio
interferenza radiale positiva del mozzo
interferenza radiale negativa dell’albero
interferenza radiale totale
coefficiente correttivo radiale
coefficiente correttivo tangenziale
coefficiente di attrito di primo distacco
coefficiente di Poisson
tensione radiale reale nell’accoppiamento
tensione radiale teorica nell’accoppiamento
tensione tangenziale reale nell’accoppiamento
tensione tangenziale teorica nell’accoppiamento
1. INTRODUZIONE
Il calcolo degli accoppiamenti perno di sterzo-trapezio bloccati alla pressa risulta incerto
prevalentemente a causa della non esatta conoscenza sia del coefficiente d’attrito di primo distacco µll,
sia della pressione media sulle superfici di accoppiamento p e ciò a causa della geometria del trapezio
che non risulta perfettamente cilindrica o assial-simmetrica. Infatti la forza assiale di spiantaggio
Fll=µll·p·A, ovvero il parametro fondamentale di progetto, dipende da entrambi questi fattori,
solitamente incerti, e dalla superficie di accoppiamento, in genere nota.
L’attuale stato dell’arte dimostra che per dimensionare accoppiamenti di questo tipo sia inevitabile
procedere per tentativi, verificando il calcolo di progetto solo a posteriori sui prototipi: tutto questo
comporta una dilatazione dei tempi di realizzazione e, quindi, un aumento dei costi.
Per tali motivi si è pensato, in collaborazione con la Paioli Meccanica S.p.A. di Bologna che produce
sospensioni anteriori motociclistiche come quelle riportate nelle fotografie di Figura 1, di elaborare
una metodologia di calcolo generalizzata che risulti esaustiva per gli accoppiamenti di loro produzione
caratterizzati da alcuni parametri geometrici fondamentali e che permetta la definizione automatica e
rapida di µll e di p. In un precedente lavoro è stato individuato un modello matematico sperimentale
che consente di calcolare il coefficiente di attrito di primo distacco µll in funzione delle caratteristiche
di produzione e di assemblaggio delle parti, ovvero il tempo di riposo, la presenza di umidità e la
presenza di olio protettivo [6]. La determinazione, invece, della pressione media d’accoppiamento
risulta difficile se non impossibile senza l’aiuto di analisi numeriche agli elementi finiti: emerge infatti
che lo stato tensionale sulle superfici di accoppiamento non risulta né costante né mediamente
valutabile applicando le formule valide per i tubi di forte spessore, poiché prevedono una simmetria
assiale che è assente nel trapezio. Oltre a ciò si aggiunge che l’analisi agli elementi finiti necessita
dell’impiego di elementi di contatto (perno di sterzo-trapezio) i quali risultano particolarmente gravosi
in termini di calcolo e questo perché non risulta noto a priori il valore dell’interferenza diametrale del
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005
trapezio (il dato di progetto è il valore dell’interferenza totale dell’accoppiamento). Per tali motivi si è
pensato di migliorare e perfezionare la metodologia presentata in [7] e [8] che, da un lato, consente di
superare le precedenti difficoltà e dall’altro può essere implementata in un programma di calcolo che
permette di eseguire in modo semplice e rapido il progetto e la verifica dell’accoppiamento senza
dover ricorrere alle analisi FEM.
Figura 1: Accoppiamento tra perno di sterzo e trapezio
2. IMPOSTAZIONE METODOLOGICA
L’idea fondamentale su cui si è basato il lavoro è quella di individuare una funzione matematica che
sia in grado di correggere le formule valide per gli elementi assial-simmetrici di forte spessore e che,
dunque, permetta di svincolare il progetto dell’accoppiamento da calcoli ed analisi agli elementi finiti
certamente pesanti e complicati da eseguire per le diverse e molteplici soluzioni progettuali. La
convinzione di poter trovare tale funzione deriva dal fatto che la formule teoriche portano a risultati
errati a causa della diversa rigidezza circonferenziale del trapezio, la quale, però, dipende solo dalle
dimensioni dei parametri geometrici che si trovano nei pressi dell’accoppiamento come si evince dal
disegno riportato in Figura 2.
I valori della pressione media, sia teorica che reale, possiedono andamenti simili al variare del
diametro interno di accoppiamento, dello spessore del collare e della posizione ed entità dello scavo
eventualmente presente in prossimità dell’accoppiamento secondo quanto indicato nel disegno di
Figura 3.
θθ
θ
θ
Figura 2: Variazione della rigidezza cicronferenziale del trapezio con la coordinata θ (vista superiore ed inferiore)
Figura 3: Elementi geometrici del trapezio importanti per il calcolo della rigidezza circonferenziale
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I valori della pressione media reale per ogni trapezio analizzato sono stati ricavati mediante una serie
di analisi agli elementi finiti eseguite su modelli opportunamente semplificati i quali differiscono per i
valori del diametro interno e dello spessore del collare. I risultati delle analisi sono stati ottenuti e
confrontati mediante il programma Ansys 8.1 dopo avere imposto spostamenti radiali Z su tutta la
superficie di accoppiamento al fine di simulare l’interferenza tra le superfici di contatto. I risultati
delle pressioni medie sulla superficie di accoppiamento ottenuti dall’analisi FEM sono stati, quindi,
confrontati con quelli determinati dall’applicazione delle formule valide per geometrie cilindriche o
assial-simmetriche di forte spessore. Tale confronto è stato eseguito calcolando, per ogni trapezio
oggetto di studio, due coefficienti βr (1) e βt (2) come rapporto tra la tensione (radiale e tangenziale
media) ottenute tramite l’analisi agli elementi finiti e la tensione (radiale e tangenziale media)
determinate attraverso le formule teoriche. È stato infine definito un parametro k (3) che consente di
identificare in modo univoco la rigidezza circonferenziale del trapezio con lo scopo di poter utilizzare
un'unica formula teorica qualunque sia la geometria dell’accoppiamento.
Poiché il rapporto βr risulta indipendente dallo spostamento Z e con dipendenza quasi lineare rispetto
ai tre parametri DF, s e k si è cercato di interpolare i punti ottenendo le espressioni analitiche (4) e (5)
che risultano valide per tutti i trapezi e perni Paioli realizzati in acciaio. Introducendo la (4) e la (5)
nelle note formule teoriche di congruenza e di equilibrio (6) e (7), si può, dunque, calcolare il valore
della pressione reale di accoppiamento nelle fasi di progetto o di verifica.
βr =
βt =
k=
p acc_reale
p acc_teorica
=
σ r_reale
(1)
σ r_teorica
σ t_reale
(2)
σ t_teorica
(3)
Di_t ⎞
L_s ⎛
⋅⎜ P_s −
⎟
2 ⎠
L_acc ⎝
β r = 2,282 - 0,0044 ⋅ D F − 0,1141⋅s + 0,0292 ⋅ k
(4)
β t = 0,831+ 0,003⋅D F + 0,007 ⋅s
(5)
2.1 Modello matematico di calcolo del singolo accoppiamento perno di sterzo-trapezio
Nell’accoppiamento albero mozzo è noto che il mozzo risulta soggetto ad una interferenza radiale
positiva ZAR mentre l’albero risulta soggetto ad una interferenza radiale negativa ZIR: l’interferenza
totale sarà dunque pari a ZtotR=ZAR-ZIR.
Le espressioni degli spostamenti Z in funzione delle tensioni radiali e tangenziali su albero e mozzo
sono date dalle seguenti formule:
⎧
R Ai
R
1 + Q 2A
⋅ (σ t _ Ai − ν A ⋅ σ r _ Ai ) = Ai ⋅ p ⋅ (
+ νA )
⎪Z Ai _ R = ε t _ Ai ⋅ R Ai =
EA
EA
1 − Q 2A
⎪
⎨
R Ia
R
1 + Q2
⎪Z
⋅ (σ t _ Ia − ν I ⋅ σ r _ Ia ) = Ia ⋅ p ⋅ ( 2 I + ν I )
Ia _ R = ε t _ Ia ⋅ R Ia =
⎪⎩
EI
EI
QI − 1
⎛R
Z totR = Z AR − Z IR = p ⋅ ⎜⎜ Ai
⎝ EA
⎞⎞
⎛ 1 + Q 2A
⎞ R Ia ⎛ 1 + Q 2I
⎟⎟ +
⋅ ⎜⎜
− ν I ⎟⎟ ⎟⎟
⋅ ⎜⎜
+
ν
A
2
2
⎠⎠
⎝ 1 − QA
⎠ EI ⎝ 1 − QI
(6)
(7)
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005
La (6) e la (7) risultano applicabili senza errore solo a geometrie cilindriche assial-simmetriche in
quanto si presuppone che le deformazioni Z, costanti in senso circonferenziale, provochino una
pressione p anch’essa costante nella direzione circonferenziale. Supposta, dunque, nota la pressione p,
la superficie di accoppiamento A ed il coefficiente di attrito di primo distacco in senso longitudinale µll
è possibile calcolare il limite di sbloccaggio assiale dell’accoppiamento dato da Fll=p·A·µll.
Nel caso dell’accoppiamento perno-trapezio oggetto del presente studio la (6) e la (7) sono affette da
errori a causa della elevata asimmetria del trapezio che coinvolge i seguenti due aspetti:
1. la determinazione del parametro QA risulta difficile a causa della variabilità della dimensione del
raggio esterno del trapezio come si nota dal disegno del trapezio riportato in Figura 2 (in prima
approssimazione DAa=De_t=DAi+2·s con s spessore del collare);
2. la pressione p non può essere considerata costante in senso circonferenziale a causa della
variazione della rigidezza del trapezio.
In un caso come questo l’unica strada percorribile per giungere alla conoscenza esatta delle pressioni
risulta il calcolo agli elementi finiti che deve essere svolto per ciascuna diversa tipologia di
accoppiamento e che, quindi, risulta di difficile impiego per una rapida progettazione ed
ottimizzazione. In alternativa si può tentare di utilizzare le relazioni (6) e (7) dopo averle
opportunamente corrette in funzione dello stato reale di sollecitazione. Si è, perciò, pensato di valutare
l’andamento delle tensioni radiali σr e tangenziali σt sulla superficie di accoppiamento di ogni trapezio
oggetto di studio inizialmente in funzione dei seguenti due parametri:
1. il diametro nominale di accoppiamento DF;
2. lo spessore s del collare del trapezio;
Per valutare gli andamenti delle pressioni è stata realizzata, a partire dai trapezi originali, una famiglia
di trapezi caratterizzati da diverse combinazioni di valori dei precedenti parametri: 6 differenti
diametri DF (25mm, 27mm, 29mm, 31mm, 33mm, 35mm) con 5 spessori s (6mm, 7,3mm, 8mm,
8,5mm, 9mm) per un totale di 30 modelli differenti.
Su tali modelli, opportunamente discretizzati e semplificati (Figura 4), sono state eseguite le analisi
agli elementi finiti con il programma Ansys 8.1 dopo aver imposto correttamente i vincoli ed i carichi
in modo da ricavare il valore delle pressioni sulla superficie di accoppiamento. Le condizioni di
vincolo, con riferimento alla Figura 4, sono le seguenti:
- i nodi appartenenti all’intersezione tra il piano di simmetria (Y, Z) ed il trapezio, sono stati
vincolati alla traslazione lungo l’asse X ed alle rotazioni intorno all’asse Y e Z;
- i nodi appartenenti ai due segmenti superiori di tale sezione (paralleli all’asse Y) sono stati
vincolati allo spostamento lungo la direzione dell’asse Z.
Figure 4: Modelli FEM
Lo stato di sollecitazione imposto sulla superficie di accoppiamento è uno spostamento costante in
direzione circonferenziale pari a ZAR (da [7] si evince che i coefficienti β sono indipendenti da Z).
Dai risultati ottenuti si è potuto verificare che la pressione media sulla superficie di accoppiamento
diminuisce al crescere del diametro DAi mentre aumenta al crescere dello spessore s e dell’interferenza
ZAR in accordo con le formule teoriche. Le pressioni medie calcolate mediante il programma ad
elementi finiti sono state, dunque, confrontate con le pressioni medie calcolate mediante la teoria dei
tubi di forte spessore applicando la seguente relazione:
p=
ZA
⎛
⎞
1
1 + QA
+ ν A ⎟⎟
DF ⋅
⋅⎜
E A ⎜⎝ 1 − Q A
⎠
(8)
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005
3. RISULTATI
3.1 Andamento dei coefficienti βr e βt in funzione di DF ed s
βt
Le analisi numeriche hanno evidenziato che le tensioni tangenziali sono molto simili per tutti i trapezi
e sono abbastanza vicine ai valori teorici mentre le tensioni radiali oltre a differire molto dai valori
teorici differiscono molto anche tra loro (in alcuni trapezi fino al 60%). L’andamento dei coefficienti β
risulta regolare e molto simile ad un piano. La pressione media determinata numericamente risulta
sempre maggiore rispetto a quella determinata tramite le formule teoriche anche se mantiene gli stessi
andamenti al variare dello spessore e del diametro di accoppiamento. Tale considerazione può essere
giustificata ammettendo una maggiore rigidezza della geometria del trapezio rispetto ad un elemento
perfettamente cilindrico corrispondente alle dimensioni del collare: i trapezi più rigidi presentano βr
più elevati rispetto a quelli meno rigidi. In definitiva, per ogni trapezio analizzato, si ha a disposizione
l’andamento di β(DF,s), sia grafico che analitico (Figura 5 e Figura 6). Gli andamenti dei singoli
coefficienti β(DF,s) sono tra loro simili e approssimabili a piani con errori sempre inferiori al 4%. I
piani di βt(DF,s) risultano tutti vicini tra loro e, dunque, sono rappresentabili mediante una unica
equazione che produce errori contenuti nel 5%. I piani di βr(DF,s), invece, risultano distanti con
variazioni sensibilmente più elevate (fino al 30%) a causa della diversa rigidezza circonferenziale non
valutabile solo dai due parametri appena citati.
(949.115.222)
β t = 0,802 + 0,003⋅ D + 0,008⋅s
(949.115.440)
β t = 0,789 + 0,004 ⋅ D + 0,008⋅s
(949.115.465)
β t = 0,855+ 0,002⋅D + 0,007⋅s
(949.115.303)
β t = 0,938+ 0,001⋅D + 0,004⋅s
(949.115.330)
β t = 0,868+ 0,002⋅D + 0,004⋅s
(949.115.570)
β t = 0,734 + 0,006⋅D + 0,011⋅s
(949.115.530)
β t = 0,777+ 0,005⋅D + 0,009⋅s
(949.115.600)
β t =0,798+ 0,006⋅D +0,01⋅s
(949.115.400)
β t = 0,989 + 0,0008 ⋅ D + 0,0027 ⋅s
(949.115.450)
β t = 0,889 + 0,003⋅ D + 0,0047⋅s
Formattato: Tipo di carattere:
11 pt
βr
Figura 5: Andamento grafico di βt per i vari trapezi ed equazioni analitiche in funzione di DF ed s
(949.115.222)
β r = 2,647 − 0,002⋅ D − 0,134⋅s
(949.115.440)
β r = 2,640 − 0,009⋅ D − 0,122⋅s
(949.115.465)
β r = 2,493+ 0,001⋅D − 0,129⋅s
(949.115.303)
βr =1,800+ 0,0046⋅ D − 0,078⋅s
(949.115.330)
β r =1,953 − 0,0052 ⋅ D − 0,068 ⋅s
(949.115.570)
β r = 2,468 − 0,005⋅D − 0,108⋅s
(949.115.530)
β r = 2,732 − 0,0098 ⋅ D − 0,125⋅s
(949.115.600)
β r = 3,102− 0,0102⋅ D − 0,1462⋅s
(949.115.400)
β r =1.503+ 0,0038⋅ D − 0,046⋅s
(949.115.450)
β r = 2,090- 0,0065⋅ D − 0,803⋅s
Figura 6: Andamento grafico di βr per i vari trapezi ed equazioni analitiche in funzione di DF ed s
Formattato: Tipo di carattere:
11 pt
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005
3.2 Estensione del modello a tutti trapezi di produzione Paioli
Analizzando a fondo la geometria dei trapezi si è visto che la rigidezza viene influenzata dalla quantità
di materiale presente, in direzione longitudinale, immediatamente dietro la boccola centrale. Si è
cercato quindi di definire un terzo parametro k che fosse in grado di quantificare l’entità del materiale
presente in tale zona ed al tempo stesso che risultasse facile da individuare e comune a tutti i trapezi.
La definizione del parametro k è stata operata utilizzando alcune grandezze geometriche caratteristiche
indicate in Figura 3 che sono:
- L_s: altezza dello scavo presente dietro il collare e valutata dal pieno (direttamente proporzionale
alla rigidezza);
- P_s: posizione dell’apice dello scavo rispetto al foro centrale (direttamente proporzionale alla
rigidezza);
- L_acc: lunghezza dell’accoppiamento (direttamente proporzionale alla rigidezza).
Tabella 1: Andamento degli errori introdotti con la formula unica per βr(DF,s,k)
D
25
25
25
25
25
27
27
27
27
27
29
29
29
29
29
31
31
31
31
31
33
33
33
33
33
35
35
35
35
35
s
6
7,3
8
8,5
9
6
7,3
8
8,5
9
6
7,3
8
8,5
9
6
7,3
8
8,5
9
6
7,3
8
8,5
9
6
7,3
8
8,5
9
222
440
-4,5% 3,2%
-3,4% 4,2%
-2,7% 4,9%
-2,1% 5,4%
-1,5% 5,9%
-4,8% 3,8%
-3,7% 4,9%
-3,0% 5,6%
-2,5% 6,1%
-1,9% 6,7%
-5,1% 4,4%
-4,1% 5,6%
-3,4% 6,3%
-2,9% 6,9%
-2,3% 7,5%
-5,4% 5,0%
-4,4% 6,2%
-3,7% 7,0%
-3,2% 7,6%
-2,7% 8,3%
-5,8% 5,6%
-4,7% 7,0%
-4,1% 7,8%
-3,6% 8,5%
-3,0% 9,2%
-6,1% 6,3%
-5,1% 7,7%
-4,5% 8,6%
-4,0% 9,3%
-3,4% 10,1%
465
0,2%
1,4%
2,2%
2,8%
3,5%
-0,5%
0,7%
1,5%
2,1%
2,7%
-1,1%
0,0%
3,5%
1,3%
1,9%
-1,7%
-0,6%
0,0%
0,6%
1,1%
-2,3%
-1,3%
-0,7%
-0,3%
0,3%
-3,0%
-2,0%
-1,5%
-1,0%
-0,5%
570
0,5%
0,0%
-0,3%
-0,5%
-0,7%
0,6%
0,1%
-0,2%
-0,4%
-0,7%
0,6%
0,2%
-0,1%
-0,3%
-0,6%
0,7%
0,2%
0,0%
-0,3%
-0,5%
0,8%
0,3%
0,0%
-0,2%
-0,4%
0,8%
0,4%
0,1%
-0,1%
-0,3%
530
-5,8%
-5,5%
-5,3%
-5,1%
-5,0%
-5,2%
-4,9%
-4,6%
-4,4%
-4,2%
-4,7%
-4,2%
-3,9%
-3,7%
-3,5%
-4,1%
-3,6%
-3,2%
-3,0%
-2,7%
-3,5%
-2,9%
-2,5%
-2,2%
-1,9%
-2,9%
-2,2%
-1,8%
-1,5%
-1,1%
303
11,1%
11,0%
9,4%
8,3%
7,0%
12,1%
9,6%
8,7%
6,8%
5,5%
10,8%
8,1%
6,6%
5,3%
4,0%
9,4%
6,6%
5,2%
4,2%
2,6%
8,2%
5,4%
3,8%
2,4%
1,0%
6,9%
4,1%
2,3%
1,1%
-0,4%
330
16,1%
12,6%
10,6%
9,0%
7,4%
16,2%
12,8%
10,7%
9,2%
7,5%
16,4%
13,0%
10,9%
9,3%
7,7%
16,6%
13,2%
11,1%
9,5%
7,8%
16,8%
13,4%
11,3%
9,7%
8,0%
17,1%
13,6%
11,5%
9,9%
8,2%
600
-15%
-15%
-14%
-14%
-13,4%
-15%
-14%
-14%
-13%
-12,8%
-14%
-14%
-13%
-13%
-12,2%
-14%
-13%
-12%
-12%
-11,5%
-13%
-13%
-12%
-11%
-10,9%
-13%
-12%
-11%
-11%
-10,3%
400
450
19,5% 8,9%
14,9% 7,7%
12,3% 7,0%
10,3% 6,5%
8,3% 5,9%
18,1% 9,3%
13,5% 8,1%
10,9% 7,4%
8,9% 6,9%
6,9% 6,3%
16,8% 9,6%
12,2% 8,5%
9,5% 7,8%
7,5% 7,3%
5,4% 6,7%
15,4% 10,0%
10,8% 8,9%
8,1% 8,2%
6,1% 7,7%
4,0% 7,1%
14,1% 10,4%
9,4% 9,3%
6,7% 8,6%
4,7% 8,1%
2,6% 7,6%
12,8% 10,8%
8,1% 9,7%
5,4% 9,1%
3,4% 8,5%
1,3% 8,0%
Attraverso un algoritmo genetico è stato valutato quale di queste quattro grandezze, o quale loro
combinazione, permetta di stimare meglio l’andamento delle tensioni calcolate con le simulazioni
FEM, ovvero introduca l’errore minore. L’evoluzione dell’algoritmo viene ottenuta attraverso una
parziale ricombinazione delle soluzioni o attraverso delle mutazioni introdotte casualmente nella
popolazione di partenza. Finita la fase di evoluzione la popolazione delle soluzioni viene analizzata e
vengono tenute solo quelle che risolvono meglio il problema, ovvero che minimizzano l’errore
introdotto. Queste soluzioni subiranno una nuova fase di evoluzione fino alla definizione di una
popolazione che riesca a risolvere adeguatamente il problema posto; è stata considerata come
soluzione adeguata quella che fornisce un errore inferiore al 10%. L’analisi è stata eseguita mediante
un programma di interpolazione realizzato in ambiente Maple R8® che ha permesso di individuare il
parametro k (3) da inserire in un opportuno polinomio interpolante (4) per il quale è stato ipotizzato
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che, in assenza di scavo, k risulti pari a s/2. Tale parametro è in grado di identificare in modo univoco
il singolo trapezio e consente di mantenere l’errore di βr(DF,s,k) entro il 10%.
3.3 Confronto tra i valori medi delle pressioni e tensioni tangenziali ricavati dalla formula unica e quelli
calcolati mediante l’analisi agli elementi finiti sui singoli trapezi
La formula (4), come illustrato in Tabella 1, introduce degli errori che variano in funzione dello
spessore del collare s e del diametro del foro del trapezio DF. È stato osservato che per mantenere
l’errore contenuto risulta fondamentale realizzare trapezi con spessori del collare almeno di 8mm e
con diametri del foro almeno pari a 31mm. Tali limiti sono soddisfatti dal 99% della popolazione dei
trapezi Paioli.
Seguendo tali accorgimenti la funzione interpolante (4) è semplice da utilizzare e mantiene errori
contenuti entro il 10%. Perciò applicando le note formule di congruenza (6) e di equilibrio (7)
opportunamente corrette con βr(DF,s,k) è possibile calcolare il valore reale della pressione media di
accoppiamento (9) in funzione dell’interferenza effettiva totale Ztot_D.
p acc =
Z tot_D
⎛
⎞⎞
⎞ 1 ⎛ 1 + Q 2I
⎛ 1 + Q 2A
1
⋅ ⎜⎜
− ν ⎟⎟ ⎟⎟
D F ⋅ ⎜⎜
⋅ ⎜⎜
+ ν ⎟⎟ +
2
2
⎠⎠
⎠ EI ⎝ 1 − QI
⎝ E A ⋅ β r (D F , s, k ) ⎝ 1 − Q A
(9)
Infine sono stati confrontati i valori di βt(DF,s) ricavati del programma agli elementi finiti con quelli
calcolati con la (5) osservando che gli errori sono sempre inferiori al 5%. La formula unica per i
βt(DF,s) è stata determinata senza la necessità di ricorrere al parametro k ma semplicemente come
media tra i coefficienti βt(DF,s) dei singoli trapezi risultando, quindi, una funzione solo di DF ed s.
3.4 Aggiornamento del programma Fork Design
Sulla base di tali risultati è stato, dunque, aggiornato un programma specifico, scritto in Visual
Basic®, che consente di eseguire, in modo guidato, il progetto e la verifica di accoppiamenti perno di
sterzo-trapezio. Le finestre di input riportate in Figura 7 ed in Figura 8 mostrano le caratteristiche
geometriche e le informazioni tecniche sui materiali, sulla finitura superficiale e sui parametri di
produzione ed assemblaggio necessari per il progetto dell’accoppiamento. La finestra di output
riportata in Figura 9 mostra tutti i parametri di progetto calcolati e proposti dal programma ed in
particolare i valori dell’interferenze massima e minima, della forza di spiantaggio massima e minima
ed il tipo di accoppiamento unificato idoneo. L’utente può, a questo punto, confermare il tipo di
accoppiamento proposto dal programma o modificarlo a suo piacimento importando i dati di output di
progetto riportati in Figura 9 nella finestra di input per la verifica riportata in Figura 10. Inoltre può
modificare o confermare le caratteristiche geometriche e le informazioni tecniche mediante alcune
finestre di input analoghe a quelle riportate in Figura 7 ed in Figura 8.
Figure 7: Finestre di input del programma
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Infine, la finestra di output di verifica riportata sempre in Figura 10 mostra, per l’insieme di parametri
scelti, il valore dell’interferenza massima e minima, della forza di spiantaggio massima e minima e dei
coefficienti di sicurezza massimo e minimo nei confronti dello snervamento del materiale e dello
sbloccaggio longitudinale dell’accoppiamento.
Figura 8: Finestre di input del programma
Figura 9: Finestra di output del progetto
Figura 10: Finestre di input e di output della verifica
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4. CONCLUSIONI
Il risultato principale del presente lavoro consiste nella definizione di un modello matematico capace
di correggere le formule teoriche valide per geometrie cilindriche o assial-simmetriche di forte
spessore e di poterle, dunque, estendere ed applicare per il calcolo delle tensioni tangenziali e radiali
medie in accoppiamenti tra i trapezi ed i perni in acciaio prodotti dalla Paioli Meccanica S.p.A.. Tale
modello tiene conto della variazione di rigidezza del trapezio mediante l’utilizzo di due coefficienti
βr(DF, s, k) e βt(DF, s) che possiedono errori sempre inferiori al 10%.
È stato inoltre modificato un programma di calcolo originale realizzato dagli autori in ambiente Visual
Basic® che consente la verifica ed il progetto degli accoppiamenti perno di sterzo e trapezio oggetto
del presente studio e che, grazie ai modelli matematici introdotti, permette di definire il valore limite
della forza di spiantaggio, della forza di piantaggio ed i valori esatti dell’interferenza su ciascuna parte
accoppiata. Tale strumento può essere utilizzato con successo per il calcolo delle interferenze
ammissibili di tutti gli accoppiamenti perno di sterzo e trapezio realizzati in acciaio ed in particolare
può permettere di individuare il valore minimo necessario per il superamento delle prove di verifica a
spiantaggio imposte dalla normativa e la forchetta dei valori ammissibili di piantaggio durante la fase
di assemblaggio dei componenti, il tutto con ridotti tempi di calcolo. Grazie ai risultati ottenuti è
possibile procedere al progetto completo dell’accoppiamento valutando anche lo stato tensionale
locale.
Possibili sviluppi futuri riguardano l’estensione di questi risultati a tutte le tipologie di trapezi prodotti
dalla Paioli, ovvero quelli in alluminio, e, più in generale, ad altre tipologie di accoppiamento albero
mozzo aventi geometria non cilindrica o assial-simmetrica.
BIBLOGRAFIA
[1] R. Giovannozzi, “Costruzioni di macchine”, Vol. I e II, PATRON, Bologna 1965.
[2] Niemann Winter, “Elementi di macchine”, Vol. I, EST-SPRINGER (1983).
[3] Richard E. De Vor, Tsong-How Chang, J.W.Sutherland, “Statistical quality design and control”,
Maxwell Macmillan international edition (1992).
[4] D. Maugis, “Adherence of solids in Microscopic aspects of adhesion and lubrication” Proceedings of the 34th International Meeting of the Société de Chimie physique Paris, 14-18
September 1981, J.M. Georges, pp. 221-239, 1982.
[5] G. Cornell, S. “Visual basic 6”, Mc Graw Hill, Milano (1998).
[6] Croccolo D., Reggiani S.- “Modello di calcolo del coefficiente di attrito in accoppiamenti stabili”
– Organi di trasmissione – Tecniche Nuove - Gennaio 2002 – pp. 46-55.
[7] Croccolo D., Di Bernardo F. - “Verifica e progetto di accoppiamenti bloccati alla pressa tra il
perno di sterzo ed il trapezio di una sospensione anteriore motociclistica” - Atti del XXXI
Convegno Nazionale –18-21 Settembre 2002, Parma.
[8] Croccolo D., Cuppini R., Matrà L. - “Verifica e progetto di accoppiamenti bloccati alla pressa tra
il perno di sterzo ed il trapezio di una sospensione anteriore motociclistica - Atti al XXXII
Convegno AIAS 2003 Salerno 3-6 settembre 2003 pp. 127 128 Versione completa su CD.