1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE

1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
(SOLUZIONI)
• POTENZE E RADICI
Siano m, n ∈ N, a ≥ b ≥ 0, allora valgono:
m
m
m
an ≥ bn,
m
b − n ≥ a− n ,
e si ha l’uguaglianza se e solo se a = b oppure m = 0.
Esercizio 1. Dimostra che per ogni coppia di numeri reali a, b ∈ R si ha:
a + b a2 + b2 12
≤
.
2
2
(1)
soluz. Poiché le quantità in gioco sono tutte non negative, dimostrare la (??) equivale
a dimostrare che
(a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ),
che è vero in quanto (a − b)2 ≥ 0 per ogni a, b ∈ R.
• Per ogni numero reale a indichiamo con {a}+ la sua parte positiva: {a}+ = max{a, 0}.
La parte intera di due o più numeri si definisce in modo analogo: {a, b}+ = max{a, b, 0}.
{a}+
o
x
Esercizio 2. È vero che:
(i) max{a, b} + max{c, d} ≥ max{a, b, c, d} per ogni a, b, c, d ∈ R?
(ii) {a, b}+ + {c, d}+ ≥ {a, b, c, d}+ per ogni a, b, c, d ∈ R?
soluz. La (i) non è vera, basta prendere a = b = −1 e c = d = 1. Si ha allora
max{a, b} + max{c, d} = −1 + 1 = 0 ≤ 1 = max{a, b, c, d}.
La (ii) è invece vera. Siano infatti ma,b , mc,d , ma,b,c,d le parti positive di {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}
rispettivamente. Allora si ha ma,b,c,d = ma,b o ma,b,c,d = mc,d e inoltre ma,b , mc,d , ma,b,c,d
sono tutte quantità non negative per definizione. Segue allora banalmente la (ii).
• Dato un numero reale a definiamo il suo valore assoluto |a| in più modi equivalenti:
(
a
se a ≥ 0,
|a| =(1)
=(2) max{a, −a} =(3) {a, −a}+
−a
se a ≤ 0
√
=(4) distanza(a, 0) =(5) a2 .
|x|
x
1
• Dimostra che per ogni a ∈ R si ha: −|a| ≤ a ≤ |a|. Quando vale l’uguale?
soluz. Se a ≥ 0 allora a = |a| e inoltre a ≥ −|a| in quanto −|a| ≤ 0. Analogamente se
a ≤ 0 si ha a = −|a| e a ≤ |a| poiché |a| ≥ 0.
Esercizio 3. Risolviamo:
(i) |x| ≤ 1, x ∈ R;
(ii) |x| + |y| ≤ 1, x, y ∈ R.
soluz. (i) −1 ≤ x ≤ 1.
(ii) Il quadrato delimitato dalle rette
y = 1 − x, y = x − 1, y = −1 − x, y = 1 + x.
• Sia c ∈ R+ . |x| ≤ c se e solo se −c ≤ x ≤ c.
• Sia c ∈ R+ . |x| ≥ c se e solo se x ≥ c oppure x ≤ −c.
• DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha:
|a| + |b| ≥ |a + b|.
(2)
Quando vale l’uguale?
√
√
p
soluz. Dalla definizione segue che |a| = a2 , |b| = b2 , |a + b| = (a + b)2 , quindi
dimostrare la (??) equivale a dimostrare che
√
√
p
a2 + b2 ≥ (a + b)2 .
Elevando entrambi i membri al quadrato (N.B.: ciò è lecito poiché le quantità in gioco
sono tutte non negative!) si ottiene la disuguaglianza equivalente
√
a2 + 2 a2 b2 + b2 ≥ a2 + 2ab + b2 ,
(3)
che è valida
in quanto abbiamo dimostrato che per ogni numero reale x vale |x| ≥ x e
√
quindi a2 b2 ≥ 2ab.
Consideriamo il caso dell’uguaglianza. Vale l’uguale in (??) se e solo se vale l’uguale in
(??) cioè se e solo se |ab| = ab che vale se e solo se ab ≥ 0 cioè quando a e b hanno lo
stesso segno.
Esercizio 4. Dimostra che: ∀a, b ∈ R si ha:
(i) |a| + |b| ≥ |a − b|;
(ii) |a − b| ≥ ||a| − |b||;
(iii) |a + b| ≥ ||a| − |b||.
soluz. (i) Basta sostituire nella disuguaglianza triangolare al posto di b, −b e ricordare
che |b| = | − b|.
(ii) Sfruttiamo la disuguaglianza triangolare sostituendo a − b al posto di a. Si ha:
|a − b| + |b| ≥ |a|.
(4)
sostituiamo adesso b − a al posto di b. Si ottiene:
|a| + |a − b| ≥ |b|.
(5)
Combinando le (??), (??) segue |a − b| ≥ |a| − |b| e inoltre |a − b| ≥ −(|a| − |b|)
cioè la (ii).
2
(iii) È sufficiente sostituire nella (ii) −b al posto di b.
I casi dell’uguaglianza seguono dalla caratterizzazione dell’uguaglianza per la disuguaglianza triangolare.
La disuguaglianza triangolare vale in una versione più generale, e quindi anche le
proprietà che da essa seguono. Si può dimostrare infatti:
• DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: Siano ~u, ~v due vettori. Indichiamo con
k · k la loro norma (cioè la loro lunghezza). Si ha:
k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k,
e vale l’uguale se e solo se i due vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso.
• Dati due numeri reali a, b definiamo la loro media aritmetica: marit (a, b) =
a+b
2 .
• √
Dati due numeri reali non negativi a, b definiamo la loro media geometrica: mgeom (a, b) =
ab.
• DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA E MEDIA GEOMETRICA: per ogni a, b ∈ R+ si ha
a+b √
≥ ab,
2
(6)
e vale l’uguale se e solo se a = b.
soluz. Poichè a, b sono numeri non negativi, si possono considerare c =
Quello che dobbiamo dimostrare è quindi:
√
√
a e d = b.
c2 + d2
≥ cd.
2
(a) Dimostrazione analitica.
c2 + d2
≥ cd se e solo se c2 − 2cd + d2 ≥ 0,
2
che è vero in quanto (c − d)2 ≥ 0. In particolare vale l’uguale se e solo se vale
(c − d)2 = 0 cioè se e solo se c = d.
(b) Due dimostrazioni geometriche.
(1) In un riferimento cartesiano xyO, consideriamo la bisettrice del primo e terzo
quadrante y = x. Siano S = (c, c) e T = (d, d) e chiamiamo P, Q, R i punti
(c, 0), (0, d), (c, d) rispettivamente.
S
T
Q
R
P
O
Osserviamo che il rettangolo OP RQ è interamente ricoperto dai due triangoli
OT Q e OP S quindi se con A indichiamo l’area, si ha
AOP RQ ≤ AOT Q + AOP S .
D’altra parte AOP RQ = cd e AOT Q = 21 d2 , AOP S = 12 c2 , quindi segue
cd ≤
cioè la (??).
3
1 2 1 2
c + d ,
2
2
(2) Consideriamo un triangolo rettangolo le cui proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
misurano rispettivamente a e b. Inscriviamo tale triangolo in una semicirconferenza di diametro a + b. Sia h l’altezza relativa all’ipotenusa.
Per costruzione si ha h ≤ r dove r è il raggio della circonferenza.
Per il
√
secondo Teorema di Euclide si ha che h2 = ab, e quindi h = ab, mentre
r = a+b
2 , da cui segue la disuguaglianza (??).
In particolare vale il segno di uguaglianza se e solo se l’altezza h del triangolo
coincide con il raggio r della semicirconferenza e cioè quando il triangolo
rettangolo considerato è isoscele e quindi le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
sono uguali.
(c) Un’altra interpretazione geometrica.
Si fissi in un sistema di assi cartesiani xOy la retta r : x + y = 2m. Si consideri poi
la famiglia di iperboli xy = c, dove c è un parametro reale positivo. Per opportuni
valori di c l’iperbole corrispondente interseca la retta r. In particolare esiste un
valore massimo per c per il quale l’iperbole corrispondente ha un punto in comune
con la retta. Tale valore corrisponde all’iperbole tangente a r nel punto (m, m) e
vale m2 . Si ha dunque
x + y 2
xy = c ≤ m2 =
,
2
cioè la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica.
• Dati due numeri reali positivi a, b definiamo la loro media armonica marm (a, b), quel
ab
.
numero c tale che 2c = a1 + 1b o, equivalentemente, marm (a, b) = 2 a+b
• DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA, MEDIA GEOMETRICA E MEDIA ARMONICA: per ogni a, b ∈ R+ si ha:
a+b √
ab
≤ ab ≤ 2
2
a+b
e vale l’uguale se e solo se a = b.
Esercizio 5. Mario e Nicola viaggiano da Ancona a Bari (supponiamo siano 1000 km).
- Mario mantiene la velocità costante di 10 km/h durante la prima metà del percorso
e poi prosegue con velocità 20 km/h.
- Nicola, invece, mantiene la velocità di 10 km/h per metà del tempo e prosegue con
velocità di 20 km/h per la restante metà del tempo.
(1) Chi arriva primo?
(2) Come posso modificare le due velocità in modo che il risultato della gara venga
ribaltato?
soluz. Risolviamo il problema considerando due velocità generiche v1 e v2 e confrontando le velocità medie di M e N che indicheremo con vM e vN . M arriva prima di N se e
solo se vM ≥ vN .
Sia tM il tempo totale che M impiega per andare da A a B. Se indichiamo con tM1 e con
tM2 il tempo in cui M procede con velocità v1 e v2 , rispettivamente, si ha tM = tM1 +tM2
con
s 1
tMi =
.
2 vi
4
Segue che
tM =
s 1
1
( + ),
2 v1
v2
e quindi
vM = 2
v1 v2
,
v1 + v2
cioè la velocità media di M, vM , è la media armonica delle velocità v1 , v2 .
In modo analogo sia tN il tempo totale che N impiega per andare da A a B e siano
sN 1 , sN 2 le porzioni di spazio che N percorre a velocità v1 e v2 rispettivamente. Si ha
sN i =
tN
vi ,
2
e quindi considerando lo spazio totale s vale
s = sN 1 + sN 2 =
tN
(v1 + v2 ),
2
da cui segue
v1 + v2
,
2
cioè la velocità media di N, vN , è la media aritmetica delle velocità v1 , v2 .
vN =
Confrontando le due velocità medie vN e vM è allora evidente che comunque si scelgano
i valori per le velocità v1 e v2 , sarà sempre N a vincere la gara, in quanto la media
aritmetica di due numeri è sempre maggiore o uguale della loro media armonica (e
quindi vN ≥ vM comunque si scelgano v1 , v2 ).
Esercizio 6. Sia ABCD un trapezio qualunque le cui basi maggiore e minore misurano
rispettivamente a e b.
(1) Tracciare il segmento GH parallelo alle basi e da esse equidistante . Quanto misura
GH?
(2) Tracciare il segmento KL parallelo alle basi e tale che divide il trapezio ABCD in
due trapezi simili. Quanto misura KL?
(3) Tracciare il segmento EF parallelo alle basi e passante per O il punto di incontro
delle diagonali del trapezio ABCD. Quanto misura EF ?
Fare una figura del trapezio ABCD con i tre segmenti GH, KL, EF .
soluz. (1) Il segmento GH è diviso da ciascuna diagonale AD e BC in due parti che
misurano l’una a2 , l’altra 2b , quindi si ha:
GH =
a+b
.
2
(2) Per la similitudine dei trapezi si ha
AB
KL
=
,
KL
CD
e quindi KL2 = ab, cioè KL =
√
ab.
(3) Osserviamo che O divide in due segmenti uguali EF , cioè EO = OF . Si ha infatti
AACD = ABCD , ma d’altra parte
AACD = AAEO + AEOC + ACDO ,
e allo stesso tempo
ABCD = ABOF + AF OD + ACDO ,
segue quindi
AAEO + AEOC = ABOF + AF OD .
5
Siano h, H le altezze dei triangoli AEO e EOC rispettivamente. Sono quindi
anche le altezze dei triangoli BOF e CDO. In particolare dall’uguaglianza delle
aree segue
h+H
h+H
EO
= FO
,
2
2
e quindi EO = OF .
Vogliamo adesso calcolare EO in termini di a e b. Considerando il triangolo ACD
segue
EO
AE
AC − EC
EC
=
=
=1−
.
CD
AC
AC
AC
D’altra parte considerando il triangolo ABC si ha
EC
EO
=
,
AC
AB
e quindi
EO
EO
=1−
,
CD
AB
che equivale a
EO
1
1 AB · CD
+
= 1, cioè EO =
,
AB
CD
AB + CD
e quindi ricordando che EF = 2EO si ha
EF = 2
ab
.
a+b
D
C
O
E
F
K
L
G
H
B
A
• Ma che cosa è una media?
Dati due numeri reali (supponiamo non negativi) a e b, una loro media è un numero
c tale che
min{a, b} ≤ c ≤ max{a, b}.
Inoltre la media tra a e b deve essere uguale alla media tra b ed a (la media è cioè
simmetrica rispetto ad a e b).
ESEMPI: Dei semplici esempi possono essere:
min{a, b}, max{a, b},
r
a2 + b 2
2
o, più in generale, possiamo considerare la p-media
mp (a, b) =
ap + bp p1
2
,
p ∈ R.
Osserviamo che la 1-media altro non è che la media aritmetica, la (−1)-media è invece
la media armonica. Si può inoltre dimostrare che anche le altre medie considerate
sono esempi di p-medie per particolari valori di p. Facendo infatti il limite di mp per
p che tende a −∞, +∞, 0 si ottengono rispettivamente la media del minimo, quella
del massimo e la media geometrica (attenzione: calcolare questi limiti non è una cosa
banale!!).
6
La disuguaglianza che lega la media aritmetica, geometrica e armonica può essere generalizzata affermando che la p-media è monotona rispetto al parametro p. Ma cosa vuol
dire “monotona”? Significa che, fissati a, b ≥ 0 la loro p-media cresce al crescere del
valore p, cioè: per ogni coppia di numeri reali p, q tali che p ≤ q si ha
mp =
ap + bp p1
2
≤
aq + bq 1q
2
= mq .
• Quando prendiamo in considerazione una o più medie, è perché ci interessa sapere
l’andamento di un certo insieme di valori; ad esempio sapere il voto che avrò in pagella,
analizzare le temperature registrate in certo lasso di tempo. Considerare la media di
soli due numeri può essere perciò riduttivo. Vediamo quindi come si generalizzano il
concetto di media aritmetica e geometrica a più numeri.
• Dati tre numeri reali a, b, c definiamo la loro media aritmetica: maritm (a, b, c) =
a+b+c
.
3
• Dati
tre numeri reali non negativi a, b, c definiamo la loro media geometrica: mgeom (a, b, c) =
√
3
abc.
• DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA E GEOMETRICA DI
TRE NUMERI: per ogni a, b, c ∈ R+ si ha
√
a+b+c
3
≥ abc,
3
(7)
e vale l’uguale se e solo se a = b = c.
soluz. Siano x =
√
√
√
3
a, y = 3 b, z = 3 c. Vale allora la (??) se e solo se
x3 + y 3 + z 3 ≥ 3xyz, che equivale a x3 + y 3 + z 3 − 3xyz ≥ 0.
Osserviamo che
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz),
e quindi, poiché x + y + z ≥ 0, è sufficiente provare che
x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz ≥ 0.
(8)
D’altra parte si ha che
x2 + y 2 − 2xy
2
2
x + z − 2xz
y 2 + z 2 − 2yz
≥
≥
≥
0
0
0,
da cui, sommando le tre disuguaglianze, si ottiene
2x2 + 2y 2 + 2z 2 − 2xy − 2xz − 2zy ≥ 0,
che dimostra la (??)
Inoltre vale l’uguale se e solo tutte le disuguaglianze sono in realtà delle uguaglianze, e
questo accade se e solo se x = y = z.
• DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARTIMETICA E MEDIA GEOMETRICA DI PIÙ NUMERI: per ogni a1 , ..., an ∈ R+ si ha
√
a1 + ... + an
≥ n a1 · ... · an ,
n
(9)
e vale l’uguale se e solo se a1 = ... = an .
Esercizio 7. Andrea gioca a dadi seguendo queste regole: se esce pari prende x punti,
se esce dispari ne prende y. Dopo n lanci ha ottenuto m volte pari e n−m volte dispari.
7
– Quali sono le medie aritmetica e geometrica dei risultati?
– Chiamiamo r = m
n . Come di riscrive la disuguaglianza tra media aritmetica e
media geometrica in termini di r?
– E se chiamiamo p =
1
r
e
1
q
=1−r =
p−1
p ?
soluz. Indichiamo con ai quanti punti A prende al lancio i. A meno di scambiare
l’ordine dei risultati si ha allora a1 = ... = am = x e am+1 = ... = an = y, quindi le
medie aritmetica e geometrica dei risultati sono:
a1 + ... + an
mx + (n − m)y
=
e
n
n
p
√
m
m
n
a1 · ... · an = n xm y n−m = x n y 1− n .
La disuguaglianza (??) diventa allora
m
m
m
m
x+ 1−
y ≥ x n y 1− n ,
n
n
m
n,
e quindi, se chiamiamo r =
si ottiene
rx + (1 − r)y ≥ xr y 1−r ,
dove vale l’uguale se e solo se x = y, comunque si scelga un numero razionale r,
0 ≤ r ≤ 1. Siano adesso p, q tali che p1 = r e q1 = 1 − r = p−1
p . Quindi p, q sono
1
1
generici numeri razionali positivi per cui vale p + q = 1. La disuguaglianza tra media
aritmetica e media geometrica si scrive allora come:
1
1
x y
+ ≥ xp yq ,
p
q
dove vale l’uguale se e solo se x = y. In realtà questa disuguaglianza continua a valere
se consideriamo p, q numeri reali positivi tali che p1 + 1q = 1.
Più in generale possiamo allora scegliere x e y della forma ap , bq , rispettivamente, con
a, b due numeri reali positivi generici. Si ottiene
bq
ap
+
≥ ab,
p
q
dove p, q ∈ R tali che
1
p
+
1
q
= 1, e si ha l’uguaglianza se e solo se a = b.
• Dati a1 , ..., an numeri reali e r1 , ..., rn numeri reali non negativi tali che r1 +r2 +...+rn =
1, si dice media aritmetica pesata di a1 , ..., an il numero
r1 a1 + ... + rn an .
Gli ri sono detti pesi.
• Dati a1 , ..., an numeri reali non negativi e r1 , ..., rn numeri reali non negativi tali che
r1 + r2 + ... + rn = 1, si dice media geometrica pesata di a1 , ..., an il numero
ar11 · ... · arnn .
Esercizio 8. Calcolare la media aritmetica e geometrica pesate di 1, 3, 5, 7, 11, 13 con
1
pesi 61 , 31 , 14 , 0, 15 , 20
rispettivamente.
• DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA E GEOMETRICA PESATE: per ogni a1 , ..., an ∈ R+ , r1 , ..., rn ∈ R+ tali che r1 + ... + rn = 1, si ha
r1 a1 + ... + rn an ≥ ar11 · ... · arnn .
• Siano a1 , ..., an ∈ R+ , r1 , ..., rn ∈ R+ tali che r1 + ... + rn = 1 e r1 = ... = rn . Che
significato hanno le medie aritmetica e geometrica pesate secondo i pesi ri ?
8
soluz. Siano r1 , ..., rn i pesi. Poiché r1 + ... + rn = 1 e r1 = ... = rn , segue necessariamente r1 = ... = rn = n1 , da cui
a1 + ... + an
e
n
√
· ... · arnn = n a1 · ... · an ,
r1 a1 + ... + rn an =
ar11
cioè la media aritmetica è la media sono rispettivamente la media aritmetica pesata e
la media geometrica pesata in cui tutti i pesi sono uguali.
9