UNA SERIE DI EULERO − FOURIER ED IL FENOMENO DI

UNA SERIE DI EULERO − FOURIER
ED IL FENOMENO DI WILBRAHAM − GIBBS
Leonardo Colzani
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano-Bicocca
via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126 Milano
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n
sin(nx) =
x
, −π < x < π.
2
1.5
1
0.5
-4
0
-2
2
-0.5
-1
-1.5
10
X
(−1)n+1
n=1
n
1
sin(nx)
x
4
Ogni funzione localmente integrabile e periodica di periodo 2π può essere
scomposta in serie di Fourier,
+∞
a0 X
ϕ(x) =
+
(an cos(nx) + bn sin(nx)) ,
2
n=1
Z π
Z
1
1 π
an =
ϕ(x) cos(nx) dx, bn =
ϕ(x) sin(nx) dx.
π −π
π −π
Sotto opportune ipotesi, verificate per ogni funzione ragionevole, la serie converge in ogni punto, ma le somme parziali della serie di Fourier di
una funzione con un salto, in un intorno della discontinuità hanno delle
rapide oscillazioni e, per cosı̀ dire, mancano il bersaglio per circa il 9%
del valore del salto. Per esempio, sommando i primi m termini della se+∞
X
(−1)n+1
rie x/2 =
sin(nx), in un periodo −π < x < π si notano m osciln
n=1
lazioni ed avvicinandosi ai punti di salto x = ±π le oscillazioni divengono più
marcate. Questo fenomeno ha una semplice spiegazione, ma è ancora oggetto
di studio perché nei processi di approssimazione si cerca spesso di eliminare o
almeno di tenere sotto controllo queste oscillazioni. Inoltre, questo fenomeno
ha una storia interessante e personaggi importanti vi hanno contribuito. E’
questa storia che qui vogliamo presentare.
Il 21 Dicembre 1807, J.B.J.Fourier presenta un manoscritto ”Sur la propagation de la chaleur” all’Istituto di Francia a Parigi. I risultati sorprendenti
ma non del tutto giustificati causano una vivace controversia tra gli esaminatori, Lacroix, Lagrange, Laplace, Monge. Comunque, una versione riveduta
e corretta del lavoro vince nel 1811 un premio sul problema della diffusione
del calore con la motivazione:
”Cette pièce renferme les véritables équations différentielles de la transmissions de la chaleur, soit à l’intérieur des corps, soit à leur surface: et
la nouveauté du sujet, jointé à son importance, a déterminé la Classe à
couronner cet Ouvrage, en observant cependant que la manière dont l’Auteur
parvient à ses équations n’est pas exempte de difficultés, et que son analyse,
pour les intégrer, laisse encore quelque chose à desirer, soit relativement à la
généralité, soit même du côté de la rigueur.”
2
”Questa teoria contiene le corrette equazioni differenziali della trasmissione del calore, sia all’interno dei corpi, che sulla loro superficie: e la novità
del soggetto, insieme alla sua importanza, hanno determinato la Classe a premiare questo lavoro, osservando tuttavia che il modo con cui l’autore arriva
alle sue equazioni non è esente da difficoltà, e che la sua analisi, per integrarle, lascia qualcosa a desiderare, sia relativamente alla generalità, sia
anche dal punto di vista del rigore.”
Nel 1822 Fourier pubblica la ”Théorie analytique de la chaleur”. Per
risolvere delle equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo di
separazione delle variabili, Fourier introduce le serie che poi prenderanno il
suo nome. Nel 1827 P.G.L.Dirichlet presenta la prima dimostrazione rigorosa
della convergenza delle serie di Fourier. Esempi specifici di sviluppi trigonometrici erano noti dal XVIII secolo e c’erano stati tentativi di A.L.Cauchy,
S.D.Poisson ed altri, di provare questo importante risultato, ma nessuna delle
dimostrazioni presentate sembrava essere completamente soddisfacente. In
particolare, riferendosi ad una memoria di Cauchy, Dirichlet scrive:
”L’auteur de ce travail avoue lui même que sa démostration se trouve
en défaut pour certain fonctions pour lesquelle la convergence est pourtant
incontestable. Un examen attentif du Mémoire cité m’a porté a croire que
la démonstration qui y est exposeé n’est pas même suffisante pour les cas
auxquelle l’auteur la croit applicable.”
”L’autore stesso di questo lavoro confessa che la sua dimostrazione si
trova in difetto per certe funzioni per le quali la convergenza è tuttavia incontestabile. Un attento esame della memoria citata mi ha portato a credere che
la dimostrazione esposta non è neppure sufficiente per casi ai quali l’autore
la crede applicabile.”
Anche se non del tutto soddisfacenti, le dimostrazioni di Fourier, Poisson,
Cauchy dell’inversione della trasformata di Fourier sono però convincenti e
molto interessanti. Comunque, questo è l’enunciato del teorema di Dirichlet
(Lejeune Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent a représenter une fonction arbitraire entre des limites données. Crelle,
Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 4, 1829).
3
Si la fonction ϕ(x), dont toutes les valeurs sont supposées finies et déterminées,
ne présente qu’un nombre fini des solutions de continuité entre les limites −π
et π, et si en outre elle n’a qu’un nombre determiné de maxima et de minima
entre ces même limites, la série
1
2π
Z
Z
Z


1  cos x Z ϕ(a) cos a da + cos 2xZ ϕ(a) cos 2a da + ...
ϕ(a) da +
,
π
 sin x ϕ(a) sin a da + sin 2x ϕ(a) sin 2a da + ...
dont les coefficients sont des intégrales définies dépendantes de la fonction
ϕ(x), est convergente et a un valeur généralement exprimée par:
1
[ϕ(x + ε) + ϕ(x − ε)] ,
2
où ε désigne un nombre infiniment petit. ...
On aurait un exemple d’une fonction qui ne remplit pas cette condition,
si l’on supposait ϕ(x) égale à une constante déterminée c lorsque la variable
x obtient un valeur rationnelle, et égale à une autre constante déterminée d,
lorsque cette variable est irrationnelle. La fonction ainsi définie a des valeurs
finies et déterminées pour toute valeur de x, et cependant on ne saurait la
substituer dans la série, attendu que les différentes intégrales qui entrent dans
cette série, perdraient toute signification dans ce cas.”
Se la funzione ϕ(x), i cui valori si suppongono finiti e determinati, non
presenta che un numero finito di discontinuità tra i limiti −π e π, e se inoltre
non ha che un numero finito di massimi e minimi tra questi limiti, la serie
1
2π
Z
Z
Z


1  cos x Z ϕ(a) cos a da + cos 2xZ ϕ(a) cos 2a da + ...
ϕ(a) da +
,
π
 sin x ϕ(a) sin a da + sin 2x ϕ(a) sin 2a da + ...
i cui coefficienti sono degli integrali definiti dipendenti dalla funzione
ϕ(x), è convergente ad un valore generalmente espresso da:
1
[ϕ(x + ε) + ϕ(x − ε)] ,
2
4
dove ε denota un numero infinitamente piccolo...
Si ha un esempio di funzione che non soddisfa questa condizione, se si
suppone ϕ(x) uguale ad una costante determinata c quando la variabile x
assume un valore razionale, ed uguale ad un’altra costante determinata d
quando questa variabile è irrazionale. La funzione cosı̀ definita assume dei
valori finiti e determinati, tuttavia non si sa come sostituirla nella serie,
perché in questo caso gli integrali che entrano in questa serie perdono ogni
significato.”
In particolare, le serie di Fourier di funzioni con semplici discontinuità
convergono in ogni punto a queste funzioni. Una serie di funzioni continue
può convergere ad una funzione discontinua, questo è il paradosso alla base
del fenomeno di Gibbs.
Nel 1875 W.Thomson, Lord Kelvin, progetta e costruisce una ”Tide Predicting Machine”, che somma fino a 10 componenti di marea, e versioni perfezionate di questa apparecchiatura sono rimaste in uso fino all’avvento dei
calcolatori elettronici. Queste macchine meccaniche calcolano i coefficienti di
Fourier di una funzione data e, viceversa, a partire dai coefficienti disegnano
la funzione. Nella rivista ”Nature”, 3 Febbraio 1898, troviamo una breve
descrizione di uno di questi analizzatori armonici.
”A new harmonic analiser, by A.A.Michelson and S.W.Stroud. This is an
instrument designed to sum up as many as eighty terms of a Fourier series,
or to analise a given curve into its original series. The pen which traces the
curve is worked up and down by a lever controlled by a spring. This spring
is stretched by an excentric, which imparts a ”simple harmonic” variation to
the force. The stretching is resisted by another spring. Eighty such elements
are connected together, with one resisting spring to counterbalance the sum
of the elementary springs. The pen therefore moves in accordance with the
sum of the elementary periodic motions. The authors obtain by this machine
the mathematical series representing the profile of a human face.”
”Un nuovo analizzatore armonico, di A.A.Michelson e S.W.Stroud. Questo
è uno strumento progettato per sommare fino ad ottanta termini di una serie di Fourier, o per analizzare una data curva nella sua serie. Il pennino
che traccia la curva è mosso su e giù da una leva controllata da una molla.
5
Questa molla è tesa da un eccentrico che fornisce una variazione ”armonica semplice” alla forza. La tensione è controbilanciata da un’altra molla.
Ottanta di questi elementi sono connessi insieme, con una molla che controbilancia la somma delle molle elementari. Il pennino quindi si muove in
accordo con la somma dei moti periodici elementari. Con questa macchina gli
autori ottengono la serie matematica che rappresenta il profilo di una faccia
umana.”
(”Nature” prosegue poi con ”Un esame delle velocità registrate dei cavalli
da trotto americani, con osservazioni sul loro valore come dato ereditario”.
E’ uno studio su 5703 cavalli che hanno corso un miglio in meno di 20 3000 .)
Il fisico Michelson, probabilmente motivato da esperimenti con questo
analizzatore armonico, in una lettera a ”Nature”, 6 Ottobre 1898, critica
l’asserzione dei matematici che la serie di Fourier di una funzione converge a
questa funzione anche in un intorno di una discontinuità.
”In all expositions of Fourier series which have come to my notice, it is
expressly stated that the series can represent discontinuous functions. The
idea that a real discontinuity can replace a sum of continuos curves is so
utterly at variance with the physicists’ notion of quantity, that it seems to
me worth while giving a very elementary statement of the problem in such
simple form that the mathematicians can at once point to the inconsistency
if any there be.
Consider the series
·
¸
1
1
y = 2 sin x − sin 2x + sin 3x − ...
2
3
In the language of the text-books (Byerly’s ”Fourier’s Series and Spherical
Harmonics”) this series ”coincides with y = x from x = −π to x = π...
Moreover the series in addition to the continuous portions of the locus ...
gives the isolated points (−π, 0) (π, 0) (3π, 0), &c.”
If for x in the given series we substitute x+ε we have, omitting the factor
2,
−y = sin ε +
1
1
1
sin 2ε + sin 3ε + ... + sin nε + ...
2
3
n
6
This series increases with n until nε = π. Suppose therefore ε = kπ/n,
where k is a small fraction. The series will now be nearly equal to nε = kπ,
a finite quantity even if n = ∞. Hence the value of y in the immediate
vicinity of x = π is not an isolated point y = 0, but a straight line −y = nx.
The same result is obtained by differentiation, which gives
dy
= cos x − cos 2x + cos 3x − ...
dx
putting x = π + ε this becomes
−
dy
= cos ε + cos 2ε + cos 3ε + ...
dx
which is nearly equal n to for values of nε less than kπ. It is difficult to
see the meaning of the tangent if y were an isolated point.
Albert A.Michelson.”
−
”In tutte le esposizioni sulle serie di Fourier che mi sono note, si dice
espressamente che la serie può rappresentare una funzione discontinua. L’idea
che una discontinuità può rimpiazzare la somma di curve continue è cosı̀ in
totale contrasto con la nozione di quantità dei fisici, che mi sembra opportuno
dare una elementare esposizione del problema in una forma cosı̀ semplice che
i matematici ne possano mostrare l’inconsistenza se presente.
Consideriamo la serie
·
¸
1
1
y = 2 sin x − sin 2x + sin 3x − ...
2
3
Nel linguaggio del libro di testo (Byerly ”Fourier’s Series and Spherical
Harmonics”) questa serie ”coincide con y = x da x = −π a x = π... Inoltre
la serie oltre al luogo continuo di punti... dà i punti isolati (−π, 0) (π, 0)
(3π, 0), &c.”
Se per x nella data serie sostituiamo x+ε otteniamo, omettendo il fattore
2,
1
1
1
sin 2ε + sin 3ε + ... + sin nε + ...
2
3
n
Questa serie cresce con n fino a nε = π. Supponiamo quindi ε = kπ/n,
con k piccolo. La serie sarà ora quasi uguale a nε = kπ, una quantità finita
−y = sin ε +
7
anche quando n = ∞. quindi il valore di y nelle immediate vicinanze di
x = π non è un punto isolato y = 0, ma una linea retta −y = nx.
Lo stesso risultato si può ottenere per differenziazione,
dy
= cos x − cos 2x + cos 3x − ...
dx
ponendo x = π + ε questo diventa
−
dy
= cos ε + cos 2ε + cos 3ε + ...
dx
che è quasi uguale a n per valori di nε minori di kπ. E’ difficile vedere
il senso della tangente se y è un punto isolato.
Albert A.Michelson.”
−
Una risposta a Michelson viene da A.E.H.Love con due lettere a ”Nature”,
13 Ottobre 1898 e 29 Dicembre 1898. La prima lettera è piuttosto brusca e
scortese.
”If there are physicists who hold ”notions of quantity” opposed to the
mathematical result that the sum of an infinite series of continuous functions may itself be discontinuous, they woud be likely to profit by reading
some standard treatise dealing with the theory of infinite series... Neither of
these statements is correct... The processes employed are invalid... It is not
legitimate...”
”Se ci sono fisici che sostengono ”nozioni di quantità” opposte al risultato
matematico che la somma di una serie infinita di funzioni continue può essere
essa stessa essere discontinua, questi trarrebbero probabilmente profitto dal
leggere qualche trattato di base sulla teoria delle serie infinite... Nessuna di
queste affermazioni è corretta... I metodi impiegati non sono validi... Non è
legittimo...”
Nella seconda lettera Love spiega la differenza tra convergenza puntuale
ed uniforme.
8
”This peculiarity is always presented by a series whose sum is discontinuous: in the neighbourhoodof the discontinuity the series do not converge
uniformly, or the sums of the first n terms is always appreciably different
from the graph of the limit of the sum.”
”Questa peculiarità è sempre presente in una serie la cui somma è discontinua: in un intorno della discontinuità la serie non converge uniformemente,
o la somma dei primi n termini differisce in modo apprezzabile dal grafico
del limite della somma”
Anche se questa affermazione è formalmente corretta, di fatto Love non
prende seriamente in considerazione il punto di vista di Michelson. Michelson
replica brevemente con una lettera a ”Nature”, 29 Dicembre 1898. Quindi,
in due lettere a ”Nature”, 29 Dicembre 1898 e 27 Aprile 1899, J.W.Gibbs
chiarisce la differenza tra
”... the limit of the graphs... and the graph of the limit...”
”... il limite dei grafici... e il grafico del limite...”
Se la serie di Fourier converge, il grafico del limite è il grafico della funzione, ma se la funzione è discontinua il limite dei grafici delle somme parziali
è differente dal grafico della funzione limite.
Come Michelson, anche Gibbs considera la serie di Fourier della funzione
y = x in −π < x < π. La periodicizzata di questa funzione è una funzione
lineare a tratti con salti da +π a −π nei punti x = π + 2kπ, questa funzione
è detta dente di sega. La prima lettera di Gibbs contiene un errore e non
fa menzione del fatto che le somme parziali della serie di Fourier mancano
il bersaglio per circa il 9% del salto, mentre la seconda lettera descrive con
precisione, ma senza dimostrazioni, il limite dei grafici delle somme parziali.
Questo limite è una linea a zigzag formata alternativamente da segmenti centrati nei punti (2kπ, 0) e inclinati di 45o , e da segmenti
verticali centrati in
Z π
sin(x)
dx = 7, 407748...
(π + 2kπ, 0). I segmenti verticali sono lunghi 4
x
0
e si estendono oltre il punto di intersezione con i segmenti inclinati. Il rap7, 407748...
porto tra questo numero e l’ammontare del salto è
= 1, 178979...,
6, 283185...
9
quindi le somme parziali mancano il bersaglio di circa il 9%, per eccesso in
x = π − ε e per difetto in x = π + ε.
Il graf ico del limite
Il limite dei graf ici
Come abbiamo detto, la lettera di Gibbs contiene una precisa descrizione
del fenomeno, ma senza alcuna dimostrazione. Dopo tre settimane troviamo ancora una difesa del punto di vista di Michelson in un’altra lettera a
”Nature”, 18 Maggio 1899.
”I have M.Poincaré authority to publish the accompanying note regarding
the applicability of Fourier’s series to discontinuous functions, and send it
accordingly for pubblication in Nature.
A.A.Michelson.
Mon cher collègue, comme
Z yje l’avais prévenu vous avez tout à fait raison.
sin xz
Prenons d’abord l’integrale
dx, dont la limite pour y = ∞ est π/4,
x
0
0, −π/4 selon que z est positif, nul ou négatif. Faisons maintenant tendre
simultanément Zz vers 0 et y vers l’infini de telle façon que zy tende vers a.
a
sin x
dx qui peut prendre toutes valeurs possibles depuis 0
La limite sera
x
0
Z π
X sin kz
sin x
jusqu’à
dx. Si prenons maintenant n termes de la série
x
z
0
en faisant tendre simultanément z vers 0 et n vers l’infini de telle façon
que le produit nz tende vers a, cela sera évidemment la même chose; et la
10
différence entre la somme et l’integrale sera d’autant plus petı̂te que z sera
plus petı̂t. Cela se voit aisément. Tout à vous,
Poincaré.
”Ho il permesso del Sig. Poincaré di pubblicare la seguente nota sull’applicabilità
delle serie di Fourier a funzioni discontinue, e la invio per la pubblicazione
su Nature.
A.A.Michelson.
Mio caro collega, come avevo previsto
voi avete del tutto ragione. Per
Z y
sin xz
cominciare prendiamo l’integrale
dx, il cui limite per y = ∞ è
x
0
π/4, 0, −π/4 (π/2?) a seconda che z è positivo, nullo o negativo. Facciamo
ora tendere simultaneamente z verso
Z a 0 e y verso l’infinito in modo tale che
sin x
dx che può prendere tutti i valori
zy tenda verso a. Il limite sarà
x
0
Z π
X sin kz
sin x
da 0 fino a
dx. Se prendiamo ora n termini della serie
z
¶0 x
µX
sin kz
? facendo tendere simultaneamente z verso 0 e n verso l’infinito
k
in modo tale che il prodotto nz tenda verso a, questo sarà evidentemente la
stessa cosa; e la differenza tra la somma e l’integrale sarà tanto più piccola
quanto z sarà più piccolo. Questo si vede facilmente. Vostro,
Poincaré.
(Probabilmente Poincaré ha scritto la lettera di getto e non la ha neanche
riletta, infatti contiene un paio di errori. La lettera di Poincaré su Nature è
seguita da ”Una nota su dei lombrichi fosforescenti”.)
+∞
+∞
X
X
sin(kx)
(−1)k+1
La serie
=
sin(k(π − x)) è lo sviluppo della funk
k
k=1
k=1
π−x
zione
nell’intervallo 0 < x < 2π e in zero c’è un salto di π. Le
2
n
X
sin(kx)
somme parziali
se x = a/n sono somme di Riemann dell’integrale
k
k=1
Z a
sin(t)
dt,
t
0
11
n
X
sin(ka/n)
k
k=1
=
n
X
sin(ka/n)
k=1
(ka/n)
Z
a
· (a/n) ≈
0
sin(t)
dt.
t
Più precisamente, se n → +∞ e x → 0+,
n
X
sin(kx)
k=1
k
Z
π−x
=
−
2
Z
+∞
nx
sin(t)
dt + o(1).
t
+∞
sin(t)
π
Ricordiamo che
dt =
= 1, 570796..., il valore massimo
t
2 Z
0
Z a
π
sin(t)
sin(t)
dell’integrale
dt si ha per a = π,
dt = 1, 851937...
t
t
0
0
Dopo gli interventi di Gibbs e di Poincaré c’è un’ultima lettera di Love su
”Nature”, 1 Giugno 1899. Si ribadisce che il fenomeno osservato da Michelson
è paradossale solo se non si chiarisce il significato di somma di una serie
infinita, ma il tono di questa lettera è più cortese delle precedenti.
Di fatto il fenomeno di Gibbs è stato descritto con precisione da H.Wilbraham,
cinquant’anni prima di Gibbs (H.Wilbraham, On a certain periodic function. Cambridge & Dublin Mathematical Journal 3, 1848). Wilbraham considera la funzione
cos(3x) cos(5x)
+
− ...
3
5
che prende alternativamente i valori ±π/4 e descrive una onda quadra. Il
comportamento delle somme parziali della serie di Fourier dell’onda quadra
è del tutto analogo a quello dell’onda triangolare. Più in generale, la serie di Fourier di una funzione a variazione limitata in un intorno di una
discontinuità presenta il fenomeno di Gibbs. Questo segue dal teorema di
convergenza di Dirichlet. Se f (x) e g(x) sono due funzioni a variazione limitata con un salto in x = a e se f (x) − g(x) è continua in un intorno di a,
allora la serie di Fourier di f (x) − g(x) converge uniformemente in un intorno di a. In particolare, le serie di Fourier di f (x) e g(x) hanno lo stesso
comportamento in un intorno di a. Per funzioni non a variazione limitata c’è
ancora un fenomeno di Gibbs, ma le oscillazioni delle somme parziali sono
più marcate e possono mancare il bersaglio di più del 9%.
y = cos(x) −
12

 π/4,
0,
cos((2n + 1)x) =

2n
+
1
n=0
−π/4,
|x| < π/2,
|x| = π/2, π,
π/2 < |x| < π.
+∞
X
(−1)n
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-2
0
-0.2
2
x
4
-0.4
-0.6
-0.8
10
X
(−1)n
n=0
2n + 1
cos((2n + 1)x)
Abbiamo accennato al fatto che nelle applicazioni si cerca a volte di
smorzare le oscillazioni delle somme parziali di Fourier in un intorno delle
discontinuità. Un possibile modo di procedere è quello di considerare opportune medie che pesano meno le frequenze alte rispetto a quelle basse. Nel
grafico sono rappresentate la funzione x/2, le somme parziali della sua serie
10
10
X
X
(−1)n+1
11 − n (−1)n+1
di Fourier
sin(nx) e le medie di Fejér
sin(nx).
n
11
n
n=1
n=1
13
1.5
1
0.5
0
1
x
2
3
-0.5
-1
-1.5
10
10
X
x X (−1)n+1
11 − n (−1)n+1
,
sin(nx),
sin(nx)
2 n=1
n
11
n
n=1
Il fenomeno di Gibbs non è una particolarità delle serie trigonometriche,
ma è una patologia presente in molti processi di approssimazione. Molti sistemi di funzioni speciali, per esempio i polinomi di Legendre o di Jacobi o
le funzioni di Bessel, hanno dei semplici sviluppi asintotici in termini di funzioni trigonometriche ed il comportamento degli sviluppi in serie con queste
funzioni speciali non è troppo differente dagli sviluppi in serie trigonometriche. Nel 1908 C.J. de la Vallée Poussin considera un analogo del fenomeno
di Gibbs nell’interpolazione con polinomi trigonometrici o con funzioni intere
di tipo esponenziale finito. Nel 1910 H.Weyl studia il fenomeno di Gibbs per
sviluppi in armoniche sferiche. Poi il numero di lavori su questo fenomeno si
moltiplica.
Avremmo ancora parecchio da dire su questo argomento, ma invece che
andare avanti con la storia del fenomeno di Gibbs, preferiamo tornare indietro
con la storia delle serie di Fourier. In particolare, andando a ritroso nel tempo
+∞
X
(−1)n+1
vogliamo presentare qualche curiosità sulla serie
sin(nx).
n
n=1
Nel 1826 N.H.Abel pubblica un lavoro sulla formula del binomio (1+x)α =
+∞
X
¡α¢ n
x e dimostra che una serie di potenze è una funzione continua sui raggi
n
n=0
del cerchio di convergenza.
14
Considerando la serie di Taylor del logaritmo nel piano complesso
log(1 + z) = log |1 + z| + iArg(1 + z) =
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n
zn
e ponendo z = cos(x) + i sin(x), si ottengono le serie
log
+∞
X
p
(−1)n
2 + 2 cos(x) = −
cos(nx),
n
n=1
+∞
x X (−1)n+1
=
sin(nx).
2
n
n=1
Niels Henrik Abel, Recherches sur la série
m
m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2) 3
x+
x +
x + ...etc.
1
1·2
1·2·3
Crelle, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1, 1826.
1+
L’exellent ouvrage de M.Cauchy ”Cours d’analyse de l’école polytechnique” qui doit être lu par tout analyste qui aime la riguer dans les recherches
mathématiques, nous servira de guide...
Dans l’ouvrage cité de M. Cauchy on trouve le théorème suivant:
”Lorsque les différent termes de la série, u0 + u1 + u2 + ...etc. sont des
fonctions d’une même variable x, continues par rapport à cette variable dans
le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la
somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière,
fonction continue de x.”
Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par example la
série
1
1
sin 2ϕ + sin 3ϕ − ...etc.
2
3
est discontinue pour tout valeur (2m + 1)π de ϕ, où m est un nombre
entier. Il y a, comme en sait, plusieurs séries de cette espèce...
sin ϕ −
1
1
1
log (1 + 2α cos ϕ + α2 ) = α cos ϕ − α2 cos 2ϕ + α3 cos 3ϕ − etc.
2
2
3
µ
¶
α sin ϕ
1 3
1 2
arc.tang
= α sin ϕ − α sin 2ϕ + α sin 3ϕ − etc.
1 + α cos ϕ
2
3
15
Pour avoir les sommes de ces séries lorsque α = +1 ou −1, il faut
seulement faire α converger vers cette limite.
L’eccellente opera del Sig. Cauchy ”Corso d’analisi della scuola politecnica” che deve essere letta da ogni analista che ami il rigore nelle ricerche
matematiche, ci servirà da guida...
Nell’opera citata del Sig. Cauchy si trova il seguente teorema:
”Quando i diversi termini della serie, u0 + u1 + u2 + ...etc. sono delle
funzioni di una stessa variabile x, continue rispetto a questa variabile in un
intorno di un valore particolare per il quale la serie è convergente, anche
la somma s della serie è, nell’intorno di questo valore particolare, funzione
continua di x.”
Ma mi sembra che questo teorema ammetta delle eccezioni. Per esempio
la serie
1
1
sin 2ϕ + sin 3ϕ − ...etc.
2
3
è discontinua per ogni valore (2m+1)π di ϕ, dove m è un numero intero.
Ci sono, come è noto, parecchie serie di questo tipo...
sin ϕ −
1
1
1
log (1 + 2α cos ϕ + α2 ) = α cos ϕ − α2 cos 2ϕ + α3 cos 3ϕ − etc.
2
2
3
¶
µ
α sin ϕ
1 2
1 3
= α sin ϕ − α sin 2ϕ + α sin 3ϕ − etc.
arc.tang
1 + α cos ϕ
2
3
Per avere le somme di queste serie quando α = +1 o −1, basta solamente
fare convergere α verso questo limite.
Nel 1807 Fourier introduce le serie che poi prenderanno il suo nome e presenta vari esempi di sviluppi trigonometrici. Tra questi troviamo lo sviluppo
+∞
X
(−1)n+1
sin(nx) = x/2.
n
n=1
Jean Baptiste Joseph Fourier, Sur la propagation de la chaleur. Manoscritto presentato il 21 Dicembre 1807 al Institut de France, Paris.
Soit par example
16
1
1
1
1
1
y = sin .x − sin .2x + sin .3x − sin .4x... +
sin .m − 1x − sin .mx
2
3
4
m−1
m
( m étant un nombre pair quelconque), on tire de cette équation
dy
= cos .x − cos .2x + cos .3x − cos .4x... + cos .m − 1x − cos .mx.
dx
Si l’on multiplie les deux membres par 2 sin .x on aura
2
dy
1
1
sin .x = ... = sin .x − 2 cos .(m + )x sin . x.
dx
2
2
Donc
dy
1 cos .(m + 12 )x sin . 12 x
1 cos .(m + 12 )x
= −
= −
.
dx
2
sin .x
2
2 cos . 12 x
On a donc
Z
cos .(m + 12 )x
1
y = x−
dx
2
2 cos . 12 x
1 1 sin .(m + 12 )x
1
dx + &c.,
=C + x−
2
2 m + 12 2 cos . 12 x
et si m est infini on aura
1
y = C + x.
2
La valeur de y etant nulle en même temp que x, la constante est nulle et
l’on trouve
1
1
1
1
x = sin .x − sin .2x + sin .3x − sin .4x + ...&c.,
2
2
3
4
équation connue qui a été remarquée par Euler.
... Il est essentiel d’observer à l’égard de toutes ces séries que les équations
qui la contiennent n’ont point lieu de la même manière toutes les valeurs de
la variable, et que les valeurs des séries infinie de sinus ou de cosinus d’arcs
changent de signes subitement.
17
... Quant à la fonction
1
1
1
sin .2x + sin .3x − sin .4x + ...&c.,
2
3
4
1
elle donne la valeur x tant que l’arc x est plus grand que zéro et moindre
2
que π. Elle devient nulle subitement à la fin de cet interval et au-delà elle
reprende les valeurs précédentes avec le signe contraire. Ainsi l’équation
sin .x −
1
1
1
1
x = sin .x − sin .2x + sin .3x − sin .4x + ...&c.,
2
2
3
4
appartient à une ligne composée des parallèles inclinée aa...bb...cc... &c.
et des droites perpendiculaires ab, bc, cd,... &c.
Sia per esempio
1
1
1
1
1
y = sin .x − sin .2x + sin .3x − sin .4x... +
sin .m − 1x − sin .mx
2
3
4
m−1
m
(essendo m un numero pari qualunque), da questa equazione si ricava
dy
= cos .x − cos .2x + cos .3x − cos .4x... + cos .m − 1x − cos .mx.
dx
Se si moltiplicano i due membri per 2 sin .x si avrà
2
dy
1
1
sin .x = ... = sin .x − 2 cos .(m + )x sin . x.
dx
2
2
Dunque
dy
1 cos .(m + 12 )x sin . 12 x
1 cos .(m + 12 )x
= −
= −
.
dx
2
sin .x
2
2 cos . 12 x
Si ha dunque
Z
cos .(m + 12 )x
1
y = x−
dx
2
2 cos . 12 x
1 1 sin .(m + 12 )x
1
dx + &c.,
=C + x−
2
2 m + 12 2 cos . 12 x
18
e se m è infinito si avrà
1
y = C + x.
2
Il valore di y essendo nullo nello stesso tempo di x, la costante è nulla e
si trova
1
1
1
1
x = sin .x − sin .2x + sin .3x − sin .4x + ...&c.,
2
2
3
4
equazione nota che è stata trovata da Eulero.
... E’ essenziale osservare riguardo a tutte queste serie che le equazioni
che le contengono non hanno affatto luogo nella stessa maniera per tutti i
valori della variabile, e che i valori delle serie infinite di seni e coseni di arco
cambiano di segno all’improvviso.
... Quanto alla funzione
1
1
1
sin .2x + sin .3x − sin .4x + ...&c.,
2
3
4
1
questa assegna il valore x quando l’arco x è maggiore di zero e minore
2
di π. Questa diviene all’improvviso nulla alla fine di questo intervallo e al
di là riprende i valori precedenti con il segno contrario. Cosı̀ l’equazione
sin .x −
1
1
1
1
x = sin .x − sin .2x + sin .3x − sin .4x + ...&c.,
2
2
3
4
appartiene ad una linea composta di parallele inclinate aa...bb...cc... &c.
e di rette perpendicolari ab, bc, cd,... &c.
x
Fourier attribuisce a L.Eulero la scoperta, nel 1754, della relazione =
2
+∞
n+1
X
(−1)
sin(nx). Per il lettore italiano non è difficile decifrare l’originale
n
n=1
latino.
Leonhardo Eulero, Subsidium calculi sinuum. Novi Commentarii Academiae
Scientiarum Petropolitanae 5, 1754/1755.
Theorema. Si assignari queat summa huius seriei
Az m + Bz m+n + Cz m+2n + Dz m+3n + Ez m+4n + etc. = Z,
19
semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum
A cos .mϕ + B cos .(m + n)ϕ + C cos .(m + 2n)ϕ + D cos .(m + 3n)ϕ + etc.,
A sin .mϕ + B sin .(m + n)ϕ + C sin .(m + 2n)ϕ + D sin .(m + 3n)ϕ + etc.
Demonstratio. Ponantur summae harum serierum
A cos .mϕ + B cos .(m + n)ϕ + C cos .(m + 2n)ϕ + D cos .(m + 3n)ϕ + etc. = S,
A sin .mϕ + B sin .(m + n)ϕ + C sin .(m + 2n)ϕ + D sin .(m + 3n)ϕ + etc = T
sitque ut supra
cos .ϕ +
√
√
−1 sin .ϕ = u
et
cos .ϕ −
−1 sin .νϕ = uν
et
cos .νϕ +
−1 sin .ϕ = v ;
erit
cos .νϕ +
√
√
−1 sin .νϕ = v v .
Hinc ergo erit
√
S + T √−1 = Aum + Bum+n + Cum+2n + Dum+3n + etc. = U,
S − T −1 = Av m + Bv m+n + Cv m+2n + Dv m+3n + etc. = V.
Summae scilicet harum serierum U et V per hypothesin dantur, cum U
et V tales sint functiones ipsarum u et v, qualis functio Z est ipsius z. Hinc
itaque elicitur
U −V
T = √
2 −1
ideoque summae propositarumserierum S et T innotescunt. Q.E.D.
S=
U +V
2
et
Corollarium. Cum sit
m
z + az
m+n
2 m+2n
+a z
3 m+3n
+a z
... Sit m = 1 et n = 1; erit
20
zm
+ etc. =
,
1 − az n
cos .ϕ + a cos .2ϕ + a2 cos .3ϕ + a3 cos .4ϕ + etc. =
cos .ϕ − a
,
1 + aa − 2a cos .ϕ
... Sin autem sit a = −1, erit
1
cos .ϕ − cos .2ϕ + cos .3ϕ − cos .4ϕ + etc. = ,
2
... Illa autem series per dϕ multiplicata et integrata dat
sin .ϕ −
1
1
1
1
ϕ
sin .2ϕ + sin .3ϕ − sin .4ϕ + sin .5ϕ − etc. = ,
2
3
4
5
2
ubi additione constantis non est opus, cum posito ϕ = 0 summa sponte
evanescat.
Cioè, se siamo capaci di sommare una serie di potenze, siamo anche capaci
di sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z = r (cos(ϑ) + i sin(nϑ)),
+∞
+∞
+∞
X
X
X
n
n
cn z =
cn r cos(nϑ) + i cn rn sin(nϑ).
n=0
n=0
n=0
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di
convergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti
che poi integra e deriva a piacimento. Sentiamo cosa ne pensa J.d’Alembert:
”Devo confessare che tutti i ragionamenti ed i calcoli fondati su serie che
non sono convergenti o che si può supporre non essere tali, mi sembrano
sempre molto sospetti.”
E Abel rincara la dose:
”Le serie divergenti sono una invenzione del demonio ed è una disgrazia
fondarci sopra delle dimostrazioni.”
Comunque, proprio con i risultati di Abel non è difficile rendere rigorosi
gli argomenti di Eulero. La serie 1/2−cos(x)+cos(2x)−cos(3x)+... è la serie
21
di Fourier della misura che associa massa π ad ogni punto (2n + 1)π. Questa
serie converge nel senso delle distribuzioni e le operazioni di differenziazione
ed integrazione termine a termine sono lecite.
Eulero non disdegna di tornare più volte sulle sue conquiste ed in un
altro lavoro riottiene questi sviluppi trigonometrici come limite di processi di
interpolazione.
Leonhardo Eulero, De eximio uso methodi interpolationum in serierum
doctrina. Opuscula Analytica 1, 1783.
Si enim quaeratureiusmodi aequatio inter binas variabiles x et y, ut
sumpto x = 0, a, b, c, d, e etc. fiat y = 0, p, q, r, s, t etc., aequatio
haec in genere ita repraesentari poterit
y
x
=
+
+
+
p bb − xx cc − xx dd − xx ee − xx
·
·
·
·
· etc.
a bb − aa cc − aa dd − aa ee − aa
q aa − xx cc − xx dd − xx ee − xx
·
·
·
·
· etc.
b aa − bb cc − bb dd − bb ee − bb
r aa − xx bb − xx dd − xx ee − xx
·
·
·
·
· etc.
c aa − cc bb − cc dd − cc ee − cc
s aa − xx bb − xx cc − xx ee − xx
·
·
·
·
· etc. + etc.,
d aa − dd bb − dd cc − dd ee − dd
ex qua forma simul manifestum est, quomodo sigulis conditionibus satisfiat.
... Progrediantur arcus a, b, c, d, etc. secundum seriem numerorum
naturalium sitque a = ϕ, b = 2ϕ, c = 3ϕ, d = 4ϕ, etc. in infinitum: ex
quorum sinibus p, q, r, etc veram longitudinem arcus ϕ determinari oporteat.
Solutio ergo problematis pro hoc casu suppediat hanc equationem
ϕ
=
−
+
−
+
sin .ϕ 2 · 2 3 · 3 4 · 4 5 · 5
·
·
·
·
· etc.
1
1·3 2·4 3·5 4·6
sin .2ϕ 1 · 1 3 · 3 4 · 4 5 · 5
·
·
·
·
· etc.
2
1·3 1·5 2·6 3·7
sin .3ϕ 1 · 1 2 · 2 4 · 4 5 · 5
·
·
·
·
· etc.
3
2·4 1·5 1·7 2·8
sin .4ϕ 1 · 1 2 · 2 3 · 3 5 · 5
·
·
·
·
· etc.
4
3·5 2·6 1·7 1·9
sin .5ϕ 1 · 1 2 · 2 3 · 3 4 · 4
·
·
·
·
· etc. + etc.;
5
4·6 3·7 2·8 3·7
22
omnia autem haec producta eundem reperiendum habere valorem = 2, ita
ut sit
1
1
1
1
1
ϕ = sin .ϕ − sin .2ϕ + sin .3ϕ − sin .4ϕ + sin .5ϕ − etc.,
2
2
3
4
5
cuius seriei veritas casu, quo angulus ϕ est infinite parvus, per se est
manifesta. Evolvamus ergo casus seguentes:
π
Sit ϕ = 90o = ac prodit series Leibniziana
2
π
1 1 1 1
= 1 − + − + − etc.,
4
3 5 7 9
1
1
1
... Circa seriem invenita ϕ = sin .ϕ − sin .2ϕ + sin .3ϕ − etc. dubium
2
2
3
oriri potest, quod sumto arcu ϕ = 180o = π singuli seriei termini evanes1
cant ideoque summa nequeat π aequari. Verum ad hoc dubium solvendum
2
statuatur primo ϕ = π − ω et resultabit haec equatio
π−ω
1
1
1
= sin .ω + sin .2ω + sin .3ω + sin .4ω + etc.
2
2
3
4
π−ω
nunc vero arcus ω infinite parvus sumatur, unde adipiscimur hanc
=
2
ω + ω + ω + ω + ω + etc., quae nihil amplius continet absurdi. Quod idem
tenendum est, si velimus accipere ϕ = 2π vel ϕ = 2π etc.
Per altre referenze sul fenomeno di Gibbs e la sua storia si può consultare
qualche buon testo di Analisi armonica e l’articolo:
E.Hewitt & R.E.Hewitt, The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode
in Fourier analysis. Archive for the History of Exact Sciences 21, 1979.
23