L`orbita di un pianeta: calcolo con GeoGebra

L’orbita di un pianeta: calcolo con GeoGebra
Allegato: file Geogebra
Abstract
In questo lavoro viene analizzata la possibilità di calcolare e visualizzare l'orbita di un pianeta
intorno al Sole utilizzando un semplice foglio elettronico ed, in particolare, il software open source Geogebra. L'approccio proposto potrebbe essere utilizzato in una classe di I liceo, avendo
come unici prerequisiti la conoscenza della forza di gravitazione e del foglio elettronico, sia per
poter tracciare l’orbita di un pianeta sia per giustificare l'origine delle orbite ellittiche.
La gravitazione universale
La legge di gravitazione universale di Newton afferma che ogni corpo avente una massa (indicata
ad esempio con m1) attrae ogni altro corpo (di massa m2 ) con una forza che è direttamente
proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza ( r12 ). L’espressione della forza F12 in forma vettoriale può essere così scritta
=−
dove G è la costante di gravitazione universale che, nel sistema internazionale, vale
G = 6.67 ⋅10 −11
Nm 2
ed il segno meno indica una forza attrattiva.
kg 2
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Se volessimo studiare il moto della Terra intorno al Sole (rivoluzione), dovremmo considerare, a
rigore, non solo l’effetto di attrazione del Sole sulla Terra, ma anche quello della Terra sul Sole e,
più in generale, tutti gli effetti attrattivi esercitati dagli altri pianeti (effetti perturbativi).
E’ chiaro che un problema di questo tipo non sarebbe facile da risolvere! Per tal motivo,
innanzitutto, non consideriamo le forze di attrazione dovute agli altri corpi celesti ma solo F12 e
F21 dovute al sistema Sole – Terra, avendo identificato con l’indice “1” il Sole e con il “2” la Terra.
Successivamente riteniamo valida l’ipotesi che
forza
≫
, come è nel caso Sole - Terra, quindi la
non produce effetti rilevanti e l’influenza della forza di attrazione della Terra sul Sole può
essere trascurata.
Le leggi di Keplero
Il metodo scelto viene usato oltre che per visualizzare l’orbita del pianeta, anche per dare una
dimostrazione della prima legge di Keplero.
Ricordiamo che le leggi empiriche di Keplero sono 3:
1) L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi;
2) Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive
aree uguali in tempi uguali;
3) I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi
maggiori delle loro orbite.
Si può far vedere molto agevolmente che la seconda legge di Keplero deriva dalla conservazione
del momento angolare (momento esterno r ∧ F12 nullo), essendo la forza gravitazionale una forza
di tipo centrale.
La terza legge la si può dimostrare, nell’ipotesi di moto circolare, eguagliando il modulo della forza
di attrazione gravitazionale con quella centrifuga.
Ma, cosa più difficile, è far discendere la prima legge di Keplero dalla legge di Newton. Il suo
procedimento analitico richiede conoscenze che, generalmente, sono fuori dal corso di studi
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superiori; in molti testi si dice che siccome le orbite permesse dalla forza gravitazionale possono
essere ellissi, parabole o iperboli, la legge è sempre verificata.
Il metodo che proponiamo permette proprio di visualizzare la validità della prima legge di Keplero
ed evitare che gli studenti debbano acquisire tale informazione passivamente. L'approccio utilizzato
sembra sia stato proposto per la prima volta da Feynman e consiste nel discretizzare il tempo in
intervalli finiti nei quali considerare rettilinea la traiettoria e costante l'accelerazione del pianeta.
Naturalmente il metodo sarà tanto più efficace quando più piccolo sarà il Δ scelto.
Date quindi le condizioni iniziali, la soluzione complessiva può essere trovata per iterazioni
successive anche tramite un foglio di calcolo.
Geogebra Vs foglio di calcolo (classico)
Che vantaggi abbiamo nell'usare Geogebra al posto di un comune foglio di calcolo? Diciamo prima
di tutto che anche in Geogebra il foglio di calcolo costituisce il cuore del metodo delle iterazioni
successive. La differenza fondamentale sta però nella possibilità da parte del software di manipolare
direttamente i vettori senza passare per le componenti. Mentre in Excel, ad esempio, è necessario
fornire i vettori attraverso le sue componenti (x ed y nella fattispecie), in Geogebra, attraverso il
comando “vector” è possibile definire l’oggetto “vettore”, manipolarlo ed inserirlo nei calcoli.
Questo quindi semplifica di molto la compilazione del foglio di calcolo e potrebbe aiutare i ragazzi
ad avere familiarità con i vettori.
La tabella che segue illustra la procedura di riempimento del foglio di calcolo
A
B
C
=−
1
2
=
+
Δ +
1
2
Δ
=
+
Δ
=−
3
=
+
Δ +
1
2
Δ
=
+
Δ
=−
4
…
…
…
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Dove
e
universale,
osservare che
sono la posizione e la velocità iniziale del pianeta,
è la costante di gravitazione
è la massa del Sole e Δ è l’intervallo di tempo scelto per il calcolo. Facciamo
e
sono i dati iniziali del problema che devono essere dati a priori, e dai quali
=−
viene calcolata la quantità l’accelerazione iniziale
. Nelle righe successive lo spazio, la
velocità e l’accelerazione vengono calcolati come iterazioni successive considerando moti
uniformemente accelerati secondo le seguenti espressioni
=−
=
;
=
+
+
Δ +
Δ ;
Δ
.
Tre quindi sono le colonne necessarie per ottenere il calcolo completo di un’orbita. La traiettoria del
pianeta può essere visualizzata graficando le posizioni
della colonna A. Per comodità ci si è
ispirati ad un progetto analogo dove si è preferito esprimere le distanze in milioni di km (Giga
metro - Gm), il tempo in giorni e le masse in masse terrestri MT.
Nella fattispecie abbiamo ritenuto opportuno, semplificando ma senza nulla togliere al discorso
generale, che la posizione
sia data da r 0 ≡ (x0 ,0 ) e
(
dato da v0 ≡ o, v y0
)
con x0 e v y0
rappresentati da 2 “slider”. In GeoGebra, uno slider è la rappresentazione grafica di un numero
libero ed il loro utilizzo (attuabile con il semplice movimento di un cursore!) risulta davvero
efficace: si possono investigare le possibili orbite che si vengono a formare cambiando le condizioni
iniziali. I ragazzi possono così vedere come l’ellitticità e il periodo delle possibili orbite dipendono
dalla posizione e dalla velocità del pianeta. Segue una schermata del file Geogebra realizzato.
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La traiettoria calcolata non risulta chiusa: ciò è dovuto all’approssimazione del metodo di calcolo
che usa un Δ finito (nel nostro caso pari ad un giorno).
Da sottolineare che le modalità che offre GeoGebra di operare sulle coniche sono quasi infinite: è
possibile ad esempio sovrapporre l’orbita trovata con l’equazione di un ellisse, verificare
numericamente ed analiticamente la validità della traiettoria calcolata come luogo geometrico e così
via.
Sovrapposizione dell’orbita calcolata con una ellisse. In
questo esempio si può osservare quanto la traiettoria
differisca dal luogo geometrico.
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In questo lavoro si è valutata anche la possibilità di aggiungere altri due “slider” al progetto. Il
primo, per la massa del Sole M, permette di simulare il comportamento gravitazionale e le
variazioni dell’orbita terrestre al variare della massa della nostra stella (normalmente impostata su
333000 masse terrestri). Il secondo, invece, per l’esponente della distanza relativa, ovvero la
potenza che normalmente nella forza gravitazionale è pari a 2. Col variare di esso, si possono
simulare vari comportamenti della Terra se la legge gravitazionale non fosse descritta da quella che
conosciamo. E’ possibile, ad esempio, visualizzare l’orbita terrestre nel caso di
1
con q qualsiasi
rq
ed osservare come sia difficile, per valori diversi da due, ottenere delle orbite chiuse. Seguono due
grafici ottenuti con le potenze di 1 e 3.
Purtroppo dobbiamo osservare che, se da un lato Geogebra presenta delle caratteristiche non
comuni per un classico foglio di calcolo, dall'altro manca di alcune funzioni fondamentali per la
rappresentazione grafica dei dati in funzione del tempo.
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Conclusioni
L’intero lavoro è pervaso dall’idea che le attività di laboratorio sono essenziali e formative per lo
sviluppo di un pensiero scientifico. La risoluzione numerica delle equazioni della fisica usa poche e
semplici leggi matematiche, tali da permettere il suo uso in un contesto scolastico.
Per concludere, pensiamo che il calcolo approssimato dell’orbita tramite Geogebra possa essere
utilizzato come visualizzazione e visione dei comportamenti delle orbite e anche come esercizio per
una classe che abbia già effettuato un percorso matematico/fisico con Geogebra, in particolare
sull'utilizzo di vettori.
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